第六章 | 平面向量及其应用
6．1 平面向量的概念
明确目标 发展素养
1.了解平面向量的实际背景． 2.了解平面向量的意义． 3.理解平面向量共线和向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素. 1.在学习平面向量概念的过程中，提升数学抽象、直观想象素养． 2.通过对平面向量共线与相等的学习，增强逻辑推理和数学运算素养.
知识点一 向量的实际背景与概念
(一)教材梳理填空
1．向量与数量：
(1)数量：只有大小没有 的量称为数量．数量只是一个代数量，可正，可负，可为零．
(2)向量：既有 又有 的量叫做向量．向量既有大小又有方向，因为方向无大小之分，所以向量不能比较大小．
[微思考] 物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？
提示：位移、速度、力等是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小没有方向．
2．有向线段的概念：
(1)定义：具有 的线段叫做有向线段．
(2)表示方法及长度：
以A为起点、B为终点的有向线段记作 (如图所示)，线段 的长度也叫做有向线段的长度，记作 .
(3)有向线段的三要素： 、 、 ．
3．向量的表示方法：
几何 表示 用 表示向量，有向线段的长度 表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向
字母 表示 通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母，，，…
4．向量的相关概念：
向量的长度(模) 向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||
零向量 长度为 的向量叫做零向量，记作
单位向量 长度等于 的向量，叫做单位向量
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)向量的模是正实数． ( )
(2)单位向量的模相等． ( )
(3)有向线段就是向量． ( )
2．有下列物理量：①质量；②角度；③弹力；④风速．其中可以看成是向量的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．(多选)已知向量a如图所示，下列说法正确的是 ( )
A．也可以用表示 B．方向是由M指向N
C．起点是M D．终点是M
知识点二 相等向量与共线向量
(一)教材梳理填空
1．平行向量(共线向量)：
方向 的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．向量a和b平行，记作 .规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有 .
2．相等向量：
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．用有向线段表示的向量a和b相等，记作 .
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)相等向量一定是共线向量．( )
(2)若向量a＝b，则|a|＝|b|.( )
2.
如图，在 ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与相等的向量的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3.
如图所示，在 ABCD中，与共线的向量有____________________________________．
题型一 向量的有关概念
【学透用活】
[典例1] (多选)下列说法正确的是 ( )
A．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反
B．若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b
C．若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上
D．向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反
【对点练清】
下列说法中正确的个数为 ( )
①单位向量的长度大于零向量的长度；②零向量与任意单位向量平行；③因为平行向量也叫做共线向量，所以平行向量所在的直线也一定共线；④因为相等向量的相等关系具有传递性，所以平行向量的平行关系也具有传递性；⑤向量的大小与方向有关；⑥向量的模可以比较大小．
A．3 B．4
C．5 D．6
题型二 向量的表示及应用
【学透用活】
在画图时，向量是用有向线段来表示的，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，应该注意的是向量常用有向线段来表示，并不能说向量就是有向线段.
[典例2]
在如图所示的坐标纸(每个小方格边长为1)中，用直尺和圆规画出下列向量：
(1) ，使| |＝4，点A在点O北偏东45°方向；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向；
(3) ，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向．
【对点练清】
在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a.
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹．
题型三 相等向量与共线向量
【学透用活】
[典例3] 如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为2的向量有哪些？(在图中标出相关字母，写出这些向量)
【对点练清】
1．[变设问]本例中，与向量同向且长度为2的向量有几个？
2.
[变设问]本例中，如图，与向量相等的向量有多少个？
3．若||＝||且＝，试判断四边形ABCD的形状．
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是 ( )
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
2.
(多选)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是 ( )
A．＝
B．∥
C．||＝||
D． ＝
3．下列说法正确的是 ( )
A．若|a|＝|b|，则a∥b
B．零向量的长度是0
C．长度相等的向量叫相等向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
4．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系错误的是( )
A．C A B．A∩B＝{a}
C．C B D．A∩B {a}
5．(多选)下列四个条件能使a∥b成立的条件是 ( )
A．a＝b B．|a|＝|b|
C．a与b方向相反 D．|a|＝0或|b|＝0
6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________.
7．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
8.如图所示，四边形ABCD与四边形ABDE是平行四边形．
(1)找出与向量共线的向量；
(2)找出与向量相等的向量．
层级(二) 能力提升练
1.(多选)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中( )
A．向量，的模相等
B．||＝
C．向量，共线
D．||＋||＝10
2.如图是3 4的格点图(每个小方格都是单位正方形)．若所有向量的起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有________个．
3.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4 8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中．若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”．若马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共有________个．
4.如图所示，在梯形ABCD中，若E，F分别为腰AB，DC的三等分点，且||＝2，||＝5，求||.
层级(三) 素养培优练
如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．第六章 | 平面向量及其应用
6．1 平面向量的概念
明确目标 发展素养
1.了解平面向量的实际背景． 2.了解平面向量的意义． 3.理解平面向量共线和向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素. 1.在学习平面向量概念的过程中，提升数学抽象、直观想象素养． 2.通过对平面向量共线与相等的学习，增强逻辑推理和数学运算素养.
知识点一 向量的实际背景与概念
(一)教材梳理填空
1．向量与数量：
(1)数量：只有大小没有方向的量称为数量．数量只是一个代数量，可正，可负，可为零．
(2)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．向量既有大小又有方向，因为方向无大小之分，所以向量不能比较大小．
[微思考] 物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？
提示：位移、速度、力等是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小没有方向．
2．有向线段的概念：
(1)定义：具有方向的线段叫做有向线段．
(2)表示方法及长度：
以A为起点、B为终点的有向线段记作 (如图所示)，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||.
(3)有向线段的三要素：起点、方向、长度．
3．向量的表示方法：
几何 表示 用有向线段表示向量，有向线段的长度||表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向
字母 表示 通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母，，，…
4．向量的相关概念：
向量的长度(模) 向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记作0
单位向量 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)向量的模是正实数． (×)
(2)单位向量的模相等． (√)
(3)有向线段就是向量． (×)
2．有下列物理量：①质量；②角度；③弹力；④风速．其中可以看成是向量的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
3．(多选)已知向量a如图所示，下列说法正确的是 ( )
A．也可以用表示 B．方向是由M指向N
C．起点是M D．终点是M
答案：ABC
知识点二 相等向量与共线向量
(一)教材梳理填空
1．平行向量(共线向量)：
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．向量a和b平行，记作a∥b.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.
2．相等向量：
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．用有向线段表示的向量a和b相等，记作a＝b.
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)相等向量一定是共线向量． (√)
(2)若向量a＝b，则|a|＝|b|. (√)
2.
如图，在 ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与相等的向量的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
3.
如图所示，在 ABCD中，与共线的向量有____________________________________．
答案：，，
题型一 向量的有关概念
【学透用活】
[典例1] (多选)下列说法正确的是 ( )
A．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反
B．若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b
C．若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上
D．向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反
[解析] A不正确，由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系；B正确，因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b；C正确，单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一个点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上；D不正确，因为向量a与向量b中若有一个是零向量，则其方向不确定．
[答案] BC
【对点练清】
下列说法中正确的个数为 ( )
①单位向量的长度大于零向量的长度；②零向量与任意单位向量平行；③因为平行向量也叫做共线向量，所以平行向量所在的直线也一定共线；④因为相等向量的相等关系具有传递性，所以平行向量的平行关系也具有传递性；⑤向量的大小与方向有关；⑥向量的模可以比较大小．
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选A ①正确，因为单位向量的长度为1，零向量的长度为0；②正确；③错误，平行向量所在的直线可能不共线；④错误，平行向量的平行关系不具有传递性；⑤错误，向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关；⑥正确，向量的模是一个数量，可以比较大小．
题型二 向量的表示及应用
【学透用活】
在画图时，向量是用有向线段来表示的，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，应该注意的是向量常用有向线段来表示，并不能说向量就是有向线段.
[典例2]
在如图所示的坐标纸(每个小方格边长为1)中，用直尺和圆规画出下列向量：
(1) ，使| |＝4，点A在点O北偏东45°方向；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向；
(3) ，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向．
[解] (1)因为点A在点O北偏东45°方向，所以在坐标纸中点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
(2)因为点B在点A正东方向，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
(3)
由于点C在点B北偏东30°方向，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
【对点练清】
在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a.
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹．
解：(1)
根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等．如图中的b即为所作向量．(2)由平面几何知识可知，所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心、为半径的圆．
题型三 相等向量与共线向量
【学透用活】
[典例3] 如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为2的向量有哪些？(在图中标出相关字母，写出这些向量)
[解] 如图所示，满足与平行且长度为2的向量有，，，，，，，．
【对点练清】
1．[变设问]本例中，与向量同向且长度为2的向量有几个？
解：与向量同向且长度为2的向量占与向量平行且长度为2的向量中的一半，共4个．
2.
[变设问]本例中，如图，与向量相等的向量有多少个？
解：图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量 方向相同的向量与其相等，共有8个，图略．
3．若||＝||且＝，试判断四边形ABCD的形状．
解：因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形．又||＝||，即邻边相等，所以四边形ABCD为菱形．
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是 ( )
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
解析：选C 速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较
2.
(多选)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是 ( )
A．＝
B．∥
C．||＝||
D． ＝
解析：选ABC 由题图可知，||＝||，但，的方向不同，故≠，D不正确，其余均正确，故选A，B，C.
3．下列说法正确的是 ( )
A．若|a|＝|b|，则a∥b
B．零向量的长度是0
C．长度相等的向量叫相等向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
解析：选B 当|a|＝|b|时，由于a，b方向是任意的，a∥b未必成立，所以A错误；因为零向量的长度是0，所以B正确；因为长度相等的向量方向不一定相同，所以C错误；因为共线向量不一定在同一条直线上，所以D错误．故选B.
4．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系错误的是( )
A．C A B．A∩B＝{a}
C．C B D．A∩B {a}
解析：选B 因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量，故B错误．
5．(多选)下列四个条件能使a∥b成立的条件是 ( )
A．a＝b B．|a|＝|b|
C．a与b方向相反 D．|a|＝0或|b|＝0
解析：选ACD 因为a与b为相等向量，所以a∥b，即A能够使a∥b成立；由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即B不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即C能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是A、C、D.
6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________.
解析：因为正方形的对角线长为2，所以||＝.
答案：
7．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
解析：∵A，B，C不共线，∴与不共线．
又∵m与，都共线，∴m＝0.
答案：0
8.如图所示，四边形ABCD与四边形ABDE是平行四边形．
(1)找出与向量共线的向量；
(2)找出与向量相等的向量．
解：(1)依据图形可知，，，与方向相同， ，，与方向相反，所以与向量共线的向量为，，，，，.
(2)由四边形ABCD与四边形ABDE是平行四边形，知，与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.
层级(二) 能力提升练
1.(多选)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中( )
A．向量，的模相等
B．||＝
C．向量，共线
D．||＋||＝10
解析：选BC 因为||＝＝，||＝＝2，所以||≠||，所以A错误；因为||＝＝，所以B正确；因为∠CDG＝∠CFH＝45°，所以DG∥HF，所以向量，共线，所以C正确；因为||＋||＝＋＝5≠10，所以D错误．故选B，C.
2.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)．若所有向量的起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有________个．
解析：与平行且长度为的线段即为小正方形中与线段AB平行的对角线，共有12条这样的对角线，且每条对角线都对应2条方向相反的向量，则满足条件的向量有24个．
答案：24
3.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中．若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”．若马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共有________个．
解析：如图，以B点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共3个；以C点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共8个．所以共有11个．
答案：11
4.如图所示，在梯形ABCD中，若E，F分别为腰AB，DC的三等分点，且||＝2，||＝5，求||.
解：如图，过D作DH∥AB，分别交EF，BC于点G，H.
∵E，F分别为腰AB，DC的三等分点，
∴EF∥AD∥BC.∴G为DH的三等分点．
∴∥，且||＝||.∵||＝2，
∴||＝||＝2.又∵||＝5，∴||＝3，
∴||＝1.∴||＝||＋||＝2＋1＝3.
层级(三) 素养培优练
如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
解：(1)画出所有的向量，如图所示．
(2)由(1)所画的图可知，①当点C位于点C1或C2时，|| 取得最小值 ＝；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝，∴||的最大值为，最小值为.
