第六章 | 平面向量及其应用
6．2 平面向量的运算
6．2.1 向量的加法运算
明确目标 发展素养
1.理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义． 2.掌握平面向量的加法运算、向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则及加法运算律. 1.在学习向量加法运算的过程中，提升逻辑推理、数学运算素养． 2.通过对平面向量加法运算的几何意义的理解，提升数学抽象、直观想象素养.
知识点 向量的加法运算
(一)教材梳理填空
1．向量加法的定义及运算法则：
定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法
向量加法的三角形法则 前提 已知非零向量a，b
作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作向量
结论 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
图形
向量加法的平行四边形法则 前提 已知不共线的两个向量a，b
作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b.以OA，OB为邻边作 OACB，连接OC，则＝＋＝a＋b
结论 对角线就是a与b的和
图形
规定 零向量与任意向量a的和都有a＋00a＝a
2.向量a，b的模与a＋b的模之间的关系：
|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b同向时等号成立．
3．向量加法的运算律：
交换律 结合律
a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量． ( )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加． ( )
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线． ( )
2．已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
3．如图所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则＋＝ ( )
A．a B．b
C．0 D．a＋b
题型一 向量的加法及其几何意义
【学透用活】
向量加法的三角形法则与向量加法的平行四边形法则的区别与联系
(1)区别：①向量加法的三角形法则中强调“首尾相接”，向量加法的平行四边形法则中强调“共起点”．
②向量加法的三角形法则适用于所有的非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．
(2)联系：向量加法的三角形法则与向量加法的平行四边形法则在本质上是一致的．这两种求向量和的方法，通过向量平移能相互转化，解决具体问题时应视情况而定．
[典例1]
如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
【对点练清】
如图，已知向量a，b，求作向量a＋b.
题型二 向量加法及运算律的应用
【学透用活】
多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)．
[典例2] 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：
(1)＋＝_________；
(2)＋＝_________；
(3)＋＋＝_________.
【对点练清】
1．[变设问]在本例条件下，求＋.
2．化简下列各式：
(1)＋＋＋＋；
(2)(＋)＋＋.
题型三 向量加法的实际应用
【学透用活】
[典例3] 一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地，然后向C地飞行，已知C地在A地东偏北30°的方向处，且A，C两地相距300 km，求飞机从B地到C地飞行的方向及B，C间的距离．
【对点练清】
河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船在静水中的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，求小船的实际航行速度和方向．
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1．在四边形ABCD中，＋＝，则四边形ABCD是 ( )
A．梯形 B．矩形
C．正方形 D．平行四边形
2．(多选)对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的是 ( )
A．＋＋ B．＋＋
C．＋＋ D．＋＋
3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示
( )
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行(1＋)km
4.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋＝ ( )
A． B．
C． D．
5．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a的方向相同
B．与向量a的方向相反
C．与向量b的方向相同
D．不确定
6．如图，在平行四边形ABCD中，＋＝________，＋＝________，＋＝________.
7．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度为________．
8．已知向量a，b，c
（1）如图①，求作向量a＋b；
（2）如图②,求作向量a＋b＋c；
层级(二) 能力提升练
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是 ( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上
D．P在△ABC的外部
2．(多选)若a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中正确的是
( )
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|
3．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值是________．
4.如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝ 24
N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N．求F1和F2的合力大小．
层级(三) 素养培优练
在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且||＝||＝1， ＋＝＋＝0，cos∠DAB＝.求|＋|与|＋|的值．第六章 | 平面向量及其应用
6．2 平面向量的运算
6．2.1 向量的加法运算
明确目标 发展素养
1.理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义． 2.掌握平面向量的加法运算、向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则及加法运算律. 1.在学习向量加法运算的过程中，提升逻辑推理、数学运算素养． 2.通过对平面向量加法运算的几何意义的理解，提升数学抽象、直观想象素养.
知识点 向量的加法运算
(一)教材梳理填空
1．向量加法的定义及运算法则：
定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法
向量加法的三角形法则 前提 已知非零向量a，b
作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作向量
结论 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
图形
向量加法的平行四边形法则 前提 已知不共线的两个向量a，b
作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b.以OA，OB为邻边作 OACB，连接OC，则＝＋＝a＋b
结论 对角线就是a与b的和
图形
规定 零向量与任意向量a的和都有a＋00a＝a
2.向量a，b的模与a＋b的模之间的关系：
|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b同向时等号成立．
3．向量加法的运算律：
交换律 结合律
a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量． (√)
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加． (×)
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线． (×)
2．已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：D
3．如图所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则＋＝ ( )
A．a B．b
C．0 D．a＋b
答案：B
题型一 向量的加法及其几何意义
【学透用活】
向量加法的三角形法则与向量加法的平行四边形法则的区别与联系
(1)区别：①向量加法的三角形法则中强调“首尾相接”，向量加法的平行四边形法则中强调“共起点”．
②向量加法的三角形法则适用于所有的非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．
(2)联系：向量加法的三角形法则与向量加法的平行四边形法则在本质上是一致的．这两种求向量和的方法，通过向量平移能相互转化，解决具体问题时应视情况而定．
[典例1]
如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
[解] 法一(三角形法则)
可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.
如图，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，则得向量＝a＋c，然后作向量＝b，则向量＝a＋b＋c为所求．
法二
(平行四边形法则)
如图，(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b；
(2)作平行四边形AOBC，则＝a＋b；
(3)再作向量＝c；
(4)作平行四边形CODE，则＝＋c＝a＋b＋c.即为所求．
【对点练清】
如图，已知向量a，b，求作向量a＋b.
解：(1)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图①.
(2)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图②.
(3)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图③.
题型二 向量加法及运算律的应用
【学透用活】
多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)．
[典例2] 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：
(1)＋＝_________；
(2)＋＝_________；
(3)＋＋＝_________.
[解析] 如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知，
(1)＋＝＋＝.
(2)＋＝＋＝.
(3)＋＋＝＋＋＝.
[答案] (1) (2) (3)
【对点练清】
1．[变设问]在本例条件下，求＋.
解：因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以＋＝.
2．化简下列各式：
(1)＋＋＋＋；
(2)(＋)＋＋.
解：(1)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0.
(2)(＋)＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
题型三 向量加法的实际应用
【学透用活】
[典例3] 一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地，然后向C地飞行，已知C地在A地东偏北30°的方向处，且A，C两地相距300 km，求飞机从B地到C地飞行的方向及B，C间的距离．
[解] 如图所示，
＝＋，∠BAC＝90°，||＝||＝300 km，所以||＝300 km.
又因为∠ABC＝45°，且A地在B地的东偏南60°的方向处，可知C地在B地的东偏南15°的方向处．故飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15°，B，C两地间的距离为300 km.
【对点练清】
河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船在静水中的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，求小船的实际航行速度和方向．
解：如图所示，设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内任意一点O作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作矩形OACB，连接OC，则＝a＋b，并且即为小船的实际航行速度．
∴||＝＝＝20(km/h)．
∵tan∠AOC＝＝，∴∠AOC＝60°.
∴小船的实际航行速度为20 km/h，沿北偏东30°的方向航行．
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1．在四边形ABCD中，＋＝，则四边形ABCD是 ( )
A．梯形 B．矩形
C．正方形 D．平行四边形
解析：选D 由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形．故选D.
2．(多选)对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的是 ( )
A．＋＋ B．＋＋
C．＋＋ D．＋＋
解析：选ABD 在A中，＋＋＝＋＝；在B中，＋＋＝＋＝；在C中，＋＋＝＋＝；在D中，＋＋＝＋＝＋＝.
3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示
( )
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行(1＋)km
解析：选B 如图，易知tan α＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又|a＋b|＝2 km，故选B.
4.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋＝ ( )
A． B．
C． D．
解析：选B ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.
5．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a的方向相同
B．与向量a的方向相反
C．与向量b的方向相同
D．不确定
解析：选A 若a和b方向相同，则a＋b的方向与a(或b)的方向相同；若它们的方向相反，而|a|>|b|，则a＋b的方向与a的方向相同．
6．如图，在平行四边形ABCD中，＋＝________，＋＝________，＋＝________.
解析：利用三角形法则和平行四边形法则求解．
答案： (或)
7．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度为________．
解析：因为＋＝，所以＋＋的长度为的模的2倍．又||＝＝2，
所以向量＋＋的长度为4.
答案：4
8．已知向量a，b，c
（1）如图①，求作向量a＋b；
（2）如图②,求作向量a＋b＋c；
解：(1)在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.
(2)在平面内任意取一点O，作＝a，
＝b，＝c，则＝a＋b＋c.
层级(二) 能力提升练
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是 ( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上
D．P在△ABC的外部
解析：选D
＋＝，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外．故选D.
2．(多选)若a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中正确的是
( )
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|
解析：选AC ∵a＝＋＋＋＝0，b为任一非零向量，∴a∥b，即A对；0b＝b，即B错，C对；D中|0b|＝|b|＝|0||b|，即D错．
3．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值是________．
解析：由向量的三角形不等式，知|a＋b|≥|b|－|a|，当且仅当a与b反向，且|b|≥|a|时，等号成立，故|a＋b|的最小值为4.
答案：4
4.如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝ 24
N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N．求F1和F2的合力大小．
解：如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝.
在△OCA中，| |＝24，||＝12，∠OAC＝60°，∴∠OCA＝90°， ∴||＝12.∴F1与F2的合力大小为12 N，方向为与F2成90° 角竖直向上．
5.如图，已知 ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作：
(1)＋；(2)＋.
解：(1)延长AC，在延长线上截取CF＝AO，则向量即为所求．
(2)在AB上取点G，使AG＝AB，
则向量 即为所求．
层级(三) 素养培优练
在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且||＝||＝1， ＋＝＋＝0，cos∠DAB＝.求|＋|与|＋|的值．
解：∵ ＋＝＋＝0，∴＝，＝.
∴四边形ABCD是平行四边形．又||＝||＝1，
∴四边形ABCD为菱形．
又cos∠DAB＝，0°<∠DAB<180°，
∴∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形．
∴|＋|＝|＋|＝||＝2||＝，
|＋|＝||＝||＝1.
