第六章 | 平面向量及其应用
6．2.2 向量的减法运算
明确目标 发展素养
1.理解向量减法的概念以及向量减法的几何意义． 2.掌握平面向量的减法运算、向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则及减法运算律. 1.通过学习向量减法及有关概念，提升数学抽象、直观想象素养． 2.通过对向量减法运算几何意义的理解及应用，增强逻辑推理、直观想象、数学运算素养.
知识点一 相反向量
(一)教材梳理填空
定义 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a
性质 －(－a)＝
零向量的相反向量仍是零向量
a＋(－a)＝(－a) ＋a＝0
如果a，b互为相反向量，那么a＝ ，
b＝ ，a＋b＝0
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)相反向量就是方向相反的向量． ( )
(2)－＝，－(－a)＝a. ( )
2．若非零向量m与n是相反向量，则下列不正确的是 ( )
A．m＝n B．m＝－n
C．|m|＝|n| D．方向相反
3．在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为________．
知识点二 向量的减法运算
(一)教材梳理填空
定义 求两个 的运算叫做向量的减法，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的
作法 在平面内任取一点O，作＝a， ＝b，则向量a－b＝ ，如图所示
几何 意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的 的向量
[微思考] 移项法则对向量等式适用吗？即若a－c＝b－d，则a＋d＝c＋b成立吗？
提示：成立，移项法则对向量等式适用．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)两个相等向量之差等于0. ( )
(2)两个相反向量之差等于0. ( )
(3)两个向量的差仍是一个向量． ( )
(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算． ( )
2．化简－＋所得的结果是 ( )
A． B．
C．0 D．
题型一 向量的减法及其几何意义
【学透用活】
[典例1] 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
【对点练清】
1．[变设问]若本例条件不变，求作向量a－b－c.
2.如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作向量b＋ c－a.
题型二 向量的减法运算
【学透用活】
[典例2] 化简：(1)＋－＝________；
(2)＋(＋)＋＝________；
(3) －－－＝________.
【对点练清】
化简下列各式：
(1)－－；
(2)＋－；
(3)－－.
题型三 向量加减法的几何意义的应用
【学透用活】
[典例3] 如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，用向量a，b表示，，并回答下面几个问题．
(1)当a，b满足什么条件时，AC⊥BD
(2)当 ABCD满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|
【对点练清】
设平面内四边形ABCD及任一点O，＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d且|a－b|＝|a－d|，试判断四边形ABCD的形状．
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1.(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是 ( )
A．＝
B．＋＝
C．－＝
D．＋＝0
2．已知向量a与b反向，则下列等式成立的是 ( )
A．|a|＋|b|＝|a－b| B．|a|－|b|＝|a－b|
C．|a＋b|＝|a－b| D．|a|＋|b|＝|a＋b|
3.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
4．(多选)下列结果为零向量的是 ( )
A．－(＋) B．－＋－
C．－＋ D．＋＋－
5．已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则 ( )
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________.
7．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是____________.
8.如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a.
层级(二) 能力提升练
1．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
2．已知点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上运动，且＝2，设＝x，＝y，若|－|＝，则x＋y的最大值为( )
A．2 B．4
C．2 D．4
3．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角为________．
4.如图，已知点B是 ACDE内一点，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.
5.如图，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c.
求：(1)|a＋b＋c|；
(2)|a－b＋c|.
层级(三) 素养培优练
1．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，－＝λ，则λ＝________.
2．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速直线运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状．第六章 | 平面向量及其应用
6．2.2 向量的减法运算
明确目标 发展素养
1.理解向量减法的概念以及向量减法的几何意义． 2.掌握平面向量的减法运算、向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则及减法运算律. 1.通过学习向量减法及有关概念，提升数学抽象、直观想象素养． 2.通过对向量减法运算几何意义的理解及应用，增强逻辑推理、直观想象、数学运算素养.
知识点一 相反向量
(一)教材梳理填空
定义 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a
性质 －(－a)＝
零向量的相反向量仍是零向量
a＋(－a)＝(－a) ＋a＝0
如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，
b＝－a，a＋b＝0
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)相反向量就是方向相反的向量． (×)
(2)－＝，－(－a)＝a. (√)
2．若非零向量m与n是相反向量，则下列不正确的是 ( )
A．m＝n B．m＝－n
C．|m|＝|n| D．方向相反
答案：A
3．在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为________．
答案：，
知识点二 向量的减法运算
(一)教材梳理填空
定义 求两个向量差的运算叫做向量的减法，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
作法 在平面内任取一点O，作＝a， ＝b，则向量a－b＝ ，如图所示
几何 意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
[微思考] 移项法则对向量等式适用吗？即若a－c＝b－d，则a＋d＝c＋b成立吗？
提示：成立，移项法则对向量等式适用．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)两个相等向量之差等于0. (√)
(2)两个相反向量之差等于0. (×)
(3)两个向量的差仍是一个向量． (√)
(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算． (√)
2．化简－＋所得的结果是 ( )
A． B．
C．0 D．
答案：C
题型一 向量的减法及其几何意义
【学透用活】
[典例1] 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
[解] 法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
【对点练清】
1．[变设问]若本例条件不变，求作向量a－b－c.
解：如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.再作＝c，则＝a－b－c.
2.如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作向量b＋ c－a.
解：法一：如图，以，为邻边作 OBDC，
连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，
＝－＝b＋c－a.
法二：
作＝＝b，连接AD，则＝－＝c－a，＝
＋＝c－a＋b＝b＋c－a.
题型二 向量的减法运算
【学透用活】
[典例2] 化简：(1)＋－＝________；
(2)＋(＋)＋＝________；
(3) －－－＝________.
[解析](1)原式＝＋(－O)＝＋＝0.
(2)原式＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
(3)原式＝(－)－(＋)＝.
[答案] (1)0 (2)0 (3)
【对点练清】
化简下列各式：
(1)－－；
(2)＋－；
(3)－－.
解：(1)－－＝＋＝.
(2)＋－＝－＝.
(3)－－＝＋＋＝＋＋＝.
题型三 向量加减法的几何意义的应用
【学透用活】
[典例3] 如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，用向量a，b表示，，并回答下面几个问题．
(1)当a，b满足什么条件时，AC⊥BD
(2)当 ABCD满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|
[解] ∵＝a，＝b，∴＝a＋b，＝a－b.
(1)当|a|＝|b|时， ABCD为菱形，因为菱形的对角线互相垂直，所以AC⊥BD.
(2)当 ABCD为长方形时，因为长方形的对角线相等，所以|a＋b|＝|a－b|.
【对点练清】
设平面内四边形ABCD及任一点O，＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d且|a－b|＝|a－d|，试判断四边形ABCD的形状．
解：由a＋c＝b＋d，得a－b＝d－c，
即－＝－.
∴＝.于是AB綉CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又|a－b|＝|a－d|，
从而|－|＝|－|，
∴||＝||.∴四边形ABCD为菱形．
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1.(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是 ( )
A．＝
B．＋＝
C．－＝
D．＋＝0
解析：选ABD 结合图形可知，A、B、D显然正确．由于－＝，故C项错．
2．已知向量a与b反向，则下列等式成立的是 ( )
A．|a|＋|b|＝|a－b| B．|a|－|b|＝|a－b|
C．|a＋b|＝|a－b| D．|a|＋|b|＝|a＋b|
解析：选A 如图，作＝a，＝－b，易知选A.
3.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
解析：选A ＝D＋＋＝－＋＝a－b＋c.
4．(多选)下列结果为零向量的是 ( )
A．－(＋) B．－＋－
C．－＋ D．＋＋－
解析：选BCD A项，－(＋)＝－＝2；B项，－＋－＝＋＝0；C项，－＋＝＋＝0；D项， ＋＋－＝＋＝0.故选B，C，D.
5．已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则 ( )
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
解析：选B 易知－＝，－＝，而在平行四边形ABCD中有＝，所以－＝－，即b－a＝c－d，也即a－b＋c－d＝0.故选B.
6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________.
解析：由题图知－－＋＋＝－＋＝.
答案：
7．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是____________.
解析：∵||＝|－|且|||－|||≤|－|≤||＋||，∴3≤|－|≤13，∴3≤||≤13.
答案：[3,13]
8.如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a.
解：作法：如图，作向量＝a，向量＝b，则向量＝a－b.作向量＝a，
则＝a－b＋a.
层级(二) 能力提升练
1．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
解析：选C 以，为邻边作平行四边形，则m＝＋，n＝－＝，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形，所以△ABC必为直角三角形且∠B为直角．故选C.
2．已知点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上运动，且＝2，设＝x，＝y，若|－|＝，则x＋y的最大值为( )
A．2 B．4
C．2 D．4
解析：选C ∵|－|＝＝＝2，∴x2＋y2＝4.∴(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2(x2＋y2)＝8，当且仅当x＝y时取等号．∴x＋y≤2，即x＋y的最大值为2，故选C.
3．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角为________．
解析：如图，设＝a，＝b，则a－b＝.因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以||＝||＝||.所以△OAB是等边三角形，∠BOA＝60°，四边形OACB为菱形．因为＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，所以a与a＋b所在直线的夹角为30°.
答案：30°
4.如图，已知点B是 ACDE内一点，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.
解：∵四边形ACDE为平行四边形，
∴＝＝c；＝－＝b－a；
＝－＝c－a；＝－＝c－b；
＝＋＝b－a＋c.
5.如图，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c.
求：(1)|a＋b＋c|；
(2)|a－b＋c|.
解：(1)由已知得a＋b＝＋＝，
∵＝c，∴延长AC到E，使| |＝||，如图所示．
则a＋b＋c＝，且| |＝2.
∴|a＋b＋c|＝2.
(2)作＝，连接CF，BD，
则＋＝.∵a－b＝－＝－＝，∴|a－b＋c|＝|＋ |＝||，且||＝2.∴|a－b＋c|＝2.
层级(三) 素养培优练
1．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，－＝λ，则λ＝________.
解析：连接A6A3，A1A4，A7A2且A6A3∩A1A4＝B，在A1A4上取一点C，使得＝，则四边形A1CA6A7为平行四边形，＝.设||＝m，则| |＝||＝m＋m＋m＝(2＋)m，由图可知，－＝＋ ＝＋＝2＝2×＝·.
答案：
2．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速直线运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状．
解：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于合力作用后做匀速直线运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.所以a＋c＝－b.
如图，作平行四边形APCD为菱形，
＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°.
同理∠APB＝∠BPC＝120°.
又因为|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC为等边三角形．
