第六章 | 平面向量及其应用
6．3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
明确目标 发展素养
1.了解向量的一个基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理． 2.在平面内，当一个基底选定后会用这个基底来表示其他向量． 3.能灵活应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. 1.通过理解平面向量基本定理的概念，提升数学抽象、直观想象素养． 2.通过运用平面向量基本定理解决问题，达成逻辑推理、数学运算素养.
知识点 平面向量基本定理
(一)教材梳理填空
平面向量基本定理：
(1)定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a，
实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：
若e1，e2 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
[微思考] 定理中的“不共线”是否可以去掉？平面内的任一向量都能用e1，e2唯一表示吗？
提示：不能去掉“不共线”，两个共线向量不能表示平面内的任一向量，不能作为基底．平面内任一向量都能用两个确定的不共线的e1，e2表示，且这样的表示是唯一的．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底． ( )
(2)零向量可以作为基向量． ( )
(3)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量． ( )
2．若e1，e2是平面内的一个基底，则下列向量能作为平面向量的基底的是 ( )
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－e2
C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
3．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________．
4．若向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为________．
题型一 对平面向量基本定理的理解
【学透用活】
(1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
(2)基底给定时，分解形式唯一．λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值．
(3){e1，e2}是同一平面内所有向量的一个基底，则当a与e1共线时，λ2＝0；当a与e2共线时，λ1＝0；当a＝0时，λ1＝λ2＝0.
(4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．
[典例1] (多选)
如图，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，有下列向量组，可
作为该平面内的其他向量基底的是 ( )
A．与 B．与
C． 与 D．与
【对点练清】
1.如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量
是 ( )
A．， B．，
C．， D．，
2．设{e1，e2}是平面内的一个基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝( )
A. B．－
C．－3 D．3
题型二 用基底表示向量
【学透用活】
[典例2] (1)(多选)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，则下列结论中正确的是 ( )
A．＝－a－b B．＝a＋b
C．＝－a＋b D．＝a
(2)如图所示，在 ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G.若＝a，＝b，试用a，b表示向量，.
【对点练清】
1．[变设问]若本例(2)中条件不变，试用a，b表示.
2．[变条件]若本例(2)中的基向量“，”换为“，”，即若＝a，＝b，试用a，b表示向量，.
3．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝3＝r＋s，求r－s的值．
题型三 平面向量基本定理的应用
【学透用活】
[典例3] 如图，在△ABC中，点M是 BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．
【对点练清】
面内有一个△ABC和一点O(如图)，线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G，BC，CA，AB的中点分别为L，M，N，设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量， ， ；
(2)求证：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分．
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1.如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于( )
A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1)
2．已知平行四边形ABCD，P是对角线AC所在直线上一点，且＝t＋(t－1)，则t＝ ( )
A．0 B．1
C．－1 D．任意实数
3．如图，向量a－b等于 ( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
4．已知在△ABC中，＝，P是BN上的一点．若＝m＋，则实数m 的值为 ( )
A. B.
C. D.
5．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则 ( )
A．＝－＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝－
6．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x＋y)e1＋(3x＋2y)e2＝0，则x＋y＝________.
7.如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于 点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝_________.
8.如图，在△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点．若 ＝a，＝b，用a，b表示，，.
层级(二) 能力提升练
1.如图所示，向量，，的终点在同一直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是 ( )
A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q D．r＝－q＋2p
2.如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且＋＝x＋y，则＋的最小值为 ( )
A. B．2
C. D.
3．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
4．在梯形ABCD中，∥，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k.设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量，， .
5．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)求证：{a，b}可以作为一个基底；
(2)以{a，b}为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
层级(三) 素养培优练
(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则( )
A.＝－＋ B.＝＋
C.＝－＋ D.＝＋第六章 | 平面向量及其应用
6．3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
明确目标 发展素养
1.了解向量的一个基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理． 2.在平面内，当一个基底选定后会用这个基底来表示其他向量． 3.能灵活应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. 1.通过理解平面向量基本定理的概念，提升数学抽象、直观想象素养． 2.通过运用平面向量基本定理解决问题，达成逻辑推理、数学运算素养.
知识点 平面向量基本定理
(一)教材梳理填空
平面向量基本定理：
(1)定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
[微思考] 定理中的“不共线”是否可以去掉？平面内的任一向量都能用e1，e2唯一表示吗？
提示：不能去掉“不共线”，两个共线向量不能表示平面内的任一向量，不能作为基底．平面内任一向量都能用两个确定的不共线的e1，e2表示，且这样的表示是唯一的．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底． (×)
(2)零向量可以作为基向量． (×)
(3)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量． (√)
2．若e1，e2是平面内的一个基底，则下列向量能作为平面向量的基底的是 ( )
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－e2
C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
答案：D
3．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________．
答案：4e1＋3e2
4．若向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为________．
答案：3
题型一 对平面向量基本定理的理解
【学透用活】
(1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
(2)基底给定时，分解形式唯一．λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值．
(3){e1，e2}是同一平面内所有向量的一个基底，则当a与e1共线时，λ2＝0；当a与e2共线时，λ1＝0；当a＝0时，λ1＝λ2＝0.
(4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．
[典例1] (多选)
如图，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，有下列向量组，可
作为该平面内的其他向量基底的是 ( )
A．与 B．与
C． 与 D．与
[解析] 结合图形可知，与不共线，与不共线，∴A、C可以作为基底．B、D两组向量分别共线，故不可以作为基底．
[答案] AC
【对点练清】
1.如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量
是 ( )
A．， B．，
C．， D．，
解析：选B 由题中图形可知与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底．故选B.
2．设{e1，e2}是平面内的一个基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝( )
A. B．－
C．－3 D．3
解析：选B 因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，
即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)．故μ＝－3，－λμ＝－1，
解得λ＝－.故选B.
题型二 用基底表示向量
【学透用活】
[典例2] (1)(多选)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，则下列结论中正确的是 ( )
A．＝－a－b B．＝a＋b
C．＝－a＋b D．＝a
(2)如图所示，在 ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G.若＝a，＝b，试用a，b表示向量，.
[解] (1)如图，＝＋＝－b＋＝－b－a，A正确；＝＋＝a＋b，B正确；＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a)＝b－a，C正确； ＝＝－a，D不正确．
答案：ABC
(2)＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋＝a－b.
＝＋＋＝－＋＋＝b－a.
【对点练清】
1．[变设问]若本例(2)中条件不变，试用a，b表示.
解：由平面几何的知识可知＝，
故＝＋＝＋＝a＋
＝a＋b－a＝a＋b.
2．[变条件]若本例(2)中的基向量“，”换为“，”，即若＝a，＝b，试用a，b表示向量，.
解：＝＋＝2＋
＝－2＋＝－2b＋a.
＝＋＝2＋
＝－2＋＝－2a＋b.
3．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝3＝r＋s，求r－s的值．
解：因为＝3＝r＋s，
所以＝＝(－)＝r＋s，
所以r＝，s＝－，所以r－s＝＋＝.
题型三 平面向量基本定理的应用
【学透用活】
[典例3] 如图，在△ABC中，点M是 BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．
[解] 设＝e1， ＝e2，则＝＋＝－3e2－e1， ＝＋＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μ e1＋μ e2.∴＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得解得∴＝，＝，∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝.
【对点练清】
面内有一个△ABC和一点O(如图)，线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G，BC，CA，AB的中点分别为L，M，N，设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量， ， ；
(2)求证：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分．
解：(1)∵＝a， ＝(b＋c)，
∴＝－＝(b＋c－a)．
同理：＝(a＋c－b)，＝(a＋b－c)．
(2)证明：设线段EL的中点为P1，
则＝(＋)＝(a＋b＋c)．
设FM，GN的中点分别为P2，P3，
同理可求得＝(a＋b＋c)， ＝(a＋b＋c)．
∴＝＝，即EL，FM，GN交于一点，且互相平分．
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1.如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于( )
A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1)
解析：选A ＝＝(－)
＝(＋)＝(5e1＋3e2)．
2．已知平行四边形ABCD，P是对角线AC所在直线上一点，且＝t＋(t－1)，则t＝ ( )
A．0 B．1
C．－1 D．任意实数
解析：选B 因为，，共始点，且P，A，C三点共线，所以t＋t－1＝1，故t＝1，故选B.
3．如图，向量a－b等于 ( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
解析：选C 不妨令a＝，b＝，则a－b＝－＝，由平行四边形法则可知＝e1－3e2.
4．已知在△ABC中，＝，P是BN上的一点．若＝m＋，则实数m 的值为 ( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ＝(1－λ)＋＝m＋，∴解得
5．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则 ( )
A．＝－＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝－
解析：选A 由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋.
6．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x＋y)e1＋(3x＋2y)e2＝0，则x＋y＝________.
解析：∵e1，e2不共线，∴
解得∴x＋y＝0.
答案：0
7.如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于 点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝_________.
解析：＝－＝＋－＝a＋b－＝a ＋b－×＝a＋b－(a－b)
＝a＋b.
答案：a＋b
8.如图，在△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点．若 ＝a，＝b，用a，b表示，，.
解：＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b；＝＋＝＋＝a＋(b－a)
＝a＋b.
层级(二) 能力提升练
1.如图所示，向量，，的终点在同一直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是 ( )
A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q D．r＝－q＋2p
解析：选A ∵＝－3，∴＝－2＝2.
∴r＝＝＋＋＝＋＋＝＋(－)＝－＝－p＋q.
2.如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且＋＝x＋y，则＋的最小值为 ( )
A. B．2
C. D.
解析：选D 设＝m＋n，＝λ＋μ.
∵B，D，E，C共线，∴m＋n＝1，λ＋μ＝1.
∵＋＝x＋y，则x＋y＝2，
∴＋＝(x＋y)
＝≥
＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，
∴＋的最小值为.
3．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
解析：如图，由＝＋可知M，B，C三点共线，令＝λ ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)
＝(1－λ)＋λ λ＝，
所以＝，即面积之比为1∶4.
答案：1∶4
4．在梯形ABCD中，∥，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k.设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量，， .
解：如图所示，∵＝e2，且＝k，
∴＝k＝ke2.
又∵＋＋＋＝0，∴＝－－－＝－＋＋＝e1＋(k－1)e2.又∵＋＋＋＝0，且＝－，＝，∴＝－－－＝－＋＋＝e2.
5．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)求证：{a，b}可以作为一个基底；
(2)以{a，b}为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得
∴λ不存在，故a与b不共线，∴{a，b}可以作为一个基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴ ∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴ 故所求λ，μ的值分别为3和1.
层级(三) 素养培优练
(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则( )
A.＝－＋ B.＝＋
C.＝－＋ D.＝＋
解析：选ABC ∵AB∥CD，AB＝2DC，∴＝＋＋＝－＋＋＝－＋，A正确．∵＝3，∴＝＝－＋.∴＝＋＝＋＝＋.又F为AE的中点，∴＝＝＋，B正确．∴＝＋＝－＋＋＝－＋，C正确．∴＝＋＝－＝－＋－＝－－，D错误．故选A，B，C.
