第六章 | 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2&6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示&平面向量加、减运算的坐标表示
明确目标 发展素养
1.借助于平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． 2.理解向量坐标的概念，会用坐标表示平面向量的加法和减法运算. 1.通过平面向量正交分解及坐标表示的学习，提升数学抽象、直观想象素养． 2.在运用坐标表示向量加、减运算的过程中，达成逻辑推理、数学运算素养.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
(一)教材梳理填空
1．正交分解：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
2．平面向量的坐标表示：
(1)基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向 的两个 向量分别为i，j，取{i，j}作为 ．
(2)坐标：对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对 叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．其中，x叫做a在轴上的坐标，y叫做a在轴上的坐标．
(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量a的坐标表示．
(4)特殊向量的坐标：i＝ ，j＝ ，0 ．
3．向量与坐标的关系：
设＝xi＋yj，则向量的坐标 就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标 就是向量的坐标．这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量的终点坐标． ( )
(2)点的坐标与向量的坐标相同． ( )
(3)平面内的一个向量a，其坐标是唯一的．( )
2．已知＝(2,3)，则点N位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．不确定
3．如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________.
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
(一)教材梳理填空
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 a＋b＝
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 a－b＝
重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 的坐标减去 的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝
(二)基本知能小试
1．已知M(2,3)，N(3,1)，则NM―→的坐标是 ( )
A．(2，－1) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(1，－2)
2．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则a－b＝ ( )
A．(1,5) B．(3,9)
C．(3,3) D．(3,5)
3．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是( )
A. B.
C．(－8,1) D．(8,1)
题型一 平面向量的坐标表示
【学透用活】
点的坐标与向量的坐标的区别与联系
区 别 表示形式不同 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号
意义 不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外，(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)
联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
[典例1] (1)已知i，j分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，a＝3i－2j，b＝－i＋5j，求向量a＋4b的坐标．
(2)已知边长为2的正三角形ABC，顶点A为坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象限，D为AC的中点．
①求C，D的坐标；
②求向量，，，的坐标．
【对点练清】
1.如图，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝__________， ＝__________，＝__________.
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB ＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形．求向量a，b的坐标．
题型二 平面向量的加、减坐标运算
【学透用活】
(1)平面向量的加、减运算结果仍然是向量，坐标运算的结果仍然是坐标．
(2)进行向量的坐标运算时，要结合向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则，先化简向量，再进行坐标运算．
[典例2] (1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝ ( )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标．
【对点练清】
1．已知＝(1,3)，且点A(－2,5)，则点B的坐标为 ( )
A．(1,8) B．(－1,8)
C．(3,2) D．(－3,2)
2．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求＋，－的坐标．
题型三 平面向量坐标运算的综合应用
【学透用活】
[典例3] 已知平面上三个点的坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，若点D使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点，求点D的坐标．
【对点练清】
1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝ ( )
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
2．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6，8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则＝ ( )
A．(－2，－2) B．(2,2)
C．(1,1) D．(－1，－1)
2．(多选)下列各式不正确的是 ( )
A．若a＝(－2,4)，b＝(3,4)，则a－b＝(1,0)
B．若a＝(5,2)，b＝(2,4)，则b－a＝(－3,2)
C．若a＝(1,0)，b＝(0,1)，则a＋b＝(0,1)
D．若a＝(1,1)，b＝(1，－2)，则a＋b＝(2,1)
3．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于 ( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
4．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，下列说法正确的是 ( )
A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2
C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O
D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)
5．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，＝(－1,2)，则＋＝ ( )
A．(－2,4) B．(4,6)
C．(－6，－2) D．(－1,9)
6．设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，若a＝i－2j，则向量a用坐标表示为________．
7．已知2 020个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为(8,15)，则其余2 019个向量的和为________．
8．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，则向量的坐标为________．
9．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，求a和b.
10.已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标 系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求和的坐标．
层级(二) 能力提升练
1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(－1,3)，＝(2,5)，则( )
A．(－2，－4) B．(4，－1)
C．(3,5) D．(2,4)
2．已知A(7,2)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝，则实数a的值( )
A．2 B．1
C. D.
3．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)与相等，已知A(1,3)，B(2,4)，则x＝________.
4．已知点A(2,2)，B(－2,2)，C(4,6)，D(－5,6)，E(－2，－2)，F(－5，－6)．在平面直角坐标系中，分别作出向量，，，并求向量，，的坐标．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3，2)．
(1)若＝＋，求点P的坐标；
(2)若＋＋＝0，求的坐标．第六章 | 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2&6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示&平面向量加、减运算的坐标表示
明确目标 发展素养
1.借助于平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． 2.理解向量坐标的概念，会用坐标表示平面向量的加法和减法运算. 1.通过平面向量正交分解及坐标表示的学习，提升数学抽象、直观想象素养． 2.在运用坐标表示向量加、减运算的过程中，达成逻辑推理、数学运算素养.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
(一)教材梳理填空
1．正交分解：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
2．平面向量的坐标表示：
(1)基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．
(2)坐标：对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．其中，x叫做a在轴上的坐标，y叫做a在轴上的坐标．
(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量a的坐标表示．
(4)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0(0,0)．
3．向量与坐标的关系：
设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量的坐标．这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量的终点坐标． (√)
(2)点的坐标与向量的坐标相同． (×)
(3)平面内的一个向量a，其坐标是唯一的．(√)
2．已知＝(2,3)，则点N位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．不确定
答案：D
3．如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________.
答案：(－4,0) (0,6)
(－2，－5)
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
(一)教材梳理填空
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝(x1－x2，y1－y2)
重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
(二)基本知能小试
1．已知M(2,3)，N(3,1)，则NM―→的坐标是 ( )
A．(2，－1) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(1，－2)
答案：B
2．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则a－b＝ ( )
A．(1,5) B．(3,9)
C．(3,3) D．(3,5)
答案：C
3．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是( )
A. B.
C．(－8,1) D．(8,1)
答案：C
题型一 平面向量的坐标表示
【学透用活】
点的坐标与向量的坐标的区别与联系
区 别 表示形式不同 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号
意义 不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外，(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)
联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
[典例1] (1)已知i，j分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，a＝3i－2j，b＝－i＋5j，求向量a＋4b的坐标．
(2)已知边长为2的正三角形ABC，顶点A为坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象限，D为AC的中点．
①求C，D的坐标；
②求向量，，，的坐标．
[解] (1)因为a＝3i－2j，b＝－i＋5j，所以a＋4b＝(3i－2j)＋4(－i＋5j)＝3i－2j－4i＋20j＝－i＋18j，
因此向量a＋4b的坐标为(－1,18)．
(2)如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°， 2sin 60°)．
①C(1，)，D.
②＝(2,0)，＝(1，)，
＝(1－2，－0)＝(－1，)，
＝＝.
【对点练清】
1.如图，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝__________， ＝__________，＝__________.
解析：由题图可知，＝－＝－(－1，－1)＝(1,1)．
由正方形的对称性可知，B(1，－1)，
所以＝(1，－1)．同理：＝(－1,1)．
答案：(1，－1) (1,1) (－1,1)
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB ＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形．求向量a，b的坐标．
解：如图，作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2，
AM＝OA·sin 45°＝4×＝2.
∴A(2，2)，故a＝(2，2)．
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.又∵OC＝AB＝3，∴C，
∴＝＝，即b＝.
题型二 平面向量的加、减坐标运算
【学透用活】
(1)平面向量的加、减运算结果仍然是向量，坐标运算的结果仍然是坐标．
(2)进行向量的坐标运算时，要结合向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则，先化简向量，再进行坐标运算．
[典例2] (1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝ ( )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标．
[解析] (1)法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.
法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.
答案：A
(2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)．
【对点练清】
1．已知＝(1,3)，且点A(－2,5)，则点B的坐标为 ( )
A．(1,8) B．(－1,8)
C．(3,2) D．(－3,2)
解析：选B 设点B的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(－2，5)＝(x＋2，y－5)＝(1,3)，所以解得所以点B的坐标为(－1,8)．
2．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求＋，－的坐标．
解：∵＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)，
∴＋＝(－2,10)＋(－8,4)＝(－10,14)，
－＝(－8,4)－(－10,14)＝(2，－10)．
题型三 平面向量坐标运算的综合应用
【学透用活】
[典例3] 已知平面上三个点的坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，若点D使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点，求点D的坐标．
[解] ①当平行四边形为ABCD时，＝，设点D的坐标为(x，y)．
所以(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，
所以所以所以D(0，－1)；
②当平行四边形为ABDC时，同理可得D(2，－3)；
③当平行四边形为ADBC时，同理可得D(6，15)．
综上可知，点D可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．
【对点练清】
1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝ ( )
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
解析：选B ∵＝＋，∴＝－＝(－1，－1)，
∴＝－＝(－3，－5)，故选B.
2．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6，8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．
解析：法一：由题意知，四边形ABCD是平行四边形，所以＝.设D(x，y)，则(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，所以x＝0，y＝－2，即D(0，－2)．
法二：由题意知，四边形ABCD为平行四边形，所以＝，即－＝－，所以＝＋－＝(8,6)＋(－2,0)－(6,8)＝(0，－2)，即D点的坐标为(0，－2)．
答案：(0，－2)
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则＝ ( )
A．(－2，－2) B．(2,2)
C．(1,1) D．(－1，－1)
解析：选A ＝－＝(－2，－2)．故选A.
2．(多选)下列各式不正确的是 ( )
A．若a＝(－2,4)，b＝(3,4)，则a－b＝(1,0)
B．若a＝(5,2)，b＝(2,4)，则b－a＝(－3,2)
C．若a＝(1,0)，b＝(0,1)，则a＋b＝(0,1)
D．若a＝(1,1)，b＝(1，－2)，则a＋b＝(2,1)
解析：选ACD 由向量加、减法的坐标运算可得．
3．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于 ( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 因为x2＋x＋1＝2＋＞0，x2－x＋1＝2＋＞0，所以向量a对应的坐标位于第四象限．
4．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，下列说法正确的是 ( )
A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2
C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O
D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)
解析：选A 由平面向量基本定理，可知A正确；
例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故B错误；
因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的始点是原点为前提的，故D错误．
5．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，＝(－1,2)，则＋＝ ( )
A．(－2,4) B．(4,6)
C．(－6，－2) D．(－1,9)
解析：选A 在平行四边形ABCD中，因为A(1,2)，B(3,5)，所以＝(2,3)．又＝(－1,2)，所以＝＋＝(1,5)，＝－＝(－3，－1)，所以＋＝(－2,4)，故选A.
6．设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，若a＝i－2j，则向量a用坐标表示为________．
解析：易知i＝(1,0)，j＝(0,1)，则a＝(1，－2)．
答案：(1，－2)
7．已知2 020个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为(8,15)，则其余2 019个向量的和为________．
解析：其余2 019个向量的和为(0,0)－(8,15)＝(－8，－15)．
答案：(－8，－15)
8．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，则向量的坐标为________．
解析：设点A(x，y)，则x＝||cos 150°＝6cos 150°＝－3，y＝||sin 150°＝6sin 150°＝3，即A(－3，3)，所以＝(－3，3)．
答案：(－3，3)
9．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，求a和b.
解：设a＝(m，n)，b＝(p，q)，则有
解得所以a＝(－3,4)，b＝(5，－12)．
10.已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标 系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求和的坐标．
解：由长方形ABCD知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，
因为AB＝4，AD＝3，所以＝4i＋3j，所以＝(4,3)．
又＝＋＝－＋，所以＝－4i＋3j，
所以＝(－4,3)．
层级(二) 能力提升练
1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(－1,3)，＝(2,5)，则等于( )
A．(－2，－4) B．(4，－1)
C．(3,5) D．(2,4)
解析：选B ∵＋＝，∴＝－＝(3,2)．
∴＝－＝(3,2)－(－1,3)＝(4，－1)．
2．已知A(7,2)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝，则实数a的值为( )
A．2 B．1
C. D.
解析：选C 设C(m，n)，则＝(m－7，n－2)，＝(1－m，4－n)，又＝，所以解得m＝4，n＝3，所以C(4，3)，代入y＝ax得3＝2a，所以a＝.
3．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)与相等，已知A(1,3)，B(2,4)，则x＝________.
解析：∵＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)，＝a，
∴ 解得x＝1.
答案：1
4．已知点A(2,2)，B(－2,2)，C(4,6)，D(－5,6)，E(－2，－2)，F(－5，－6)．在平面直角坐标系中，分别作出向量，，，并求向量，，的坐标．
解：如图，描出点A(2,2)，B(－2,2)，C(4,6)，D(－5,6)，E(－2， －2)，F(－5，－6)，分别作出向量，，.
易知＝(2,4)，＝(－3,4)，＝(－3，－4)．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3，2)．
(1)若＝＋，求点P的坐标；
(2)若＋＋＝0，求的坐标．
解：(1)因为＝(1,2)，＝(2,1)，所以＝(1,2)＋(2,1)＝(3,3)，即点P的坐标为(3,3)．
(2)设点P的坐标为(x，y)．因为＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x,6－3y)．所以
解得
所以点P的坐标为(2,2)，故＝(2,2)．
