第六章 | 平面向量及其应用
6.3平面向量基本定理及坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
明确目标 发展素养
1.掌握数乘向量的坐标运算法则，并会用坐标表示平面向量的数乘运算． 2.能用坐标表示平面向量共线的条件. 通过对向量数乘运算坐标表示，提升数学运算、逻辑推理素养.
知识点 平面向量数乘运算的坐标表示
(一)教材梳理填空
1．平面向量数乘运算的坐标表示：
已知a＝(x，y)，那么λa＝ ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
2．平面向量共线的坐标表示：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是 .
[微思考] 两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成＝吗？
提示：不能，因为当x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)向量(1,2)与向量(4,8)共线． ( )
(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向． ( )
(3)如果x1y2－x2y1＝0，那么向量a＝(x1，y1)与向量b＝(x2，y2)共线．( )
2．已知＝a，且A，B，若λ＝，则λa等于( )
A. B.
C. D.
3．已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，则实数λ的值为( )
A．－ B.
C. D．－
4．已知a＝(－3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝_________.
题型一 平面向量数乘运算的坐标表示
【学透用活】
[典例1] 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
【对点练清】
1．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝ ( )
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求点M，N的坐标．
题型二 平面向量共线的判定
【学透用活】
正确理解向量平行的条件
(1)a∥b(b≠0) a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．
(2)a∥b x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了代数运算．
(3)a∥b ＝，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
[典例2] 已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，判断与是否共线．如果共线，它们的方向是相同还是相反？
【对点练清】
1．(多选)下列各组向量中，可以表示它们所在平面内所有向量的基底的是 ( )
A．a＝(－1,2)，b＝(3,5)
B．a＝(1,2)，b＝(2,1)
C．a＝(2，－1)，b＝(3,4)
D．a＝(－2,1)，b＝(4，－2)
2．已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
题型三 平面向量共线的应用
【分类例析】
角度(一) 三点共线问题
[典例3] (1)已知A(1，－3)，B，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线．
(2)已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
角度(二) 求点的坐标
[典例4] 已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．
【对点练清】
1．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是 ( )
A．k＝－2 B．k＝
C．k＝1 D．k＝－1
2．已知经过点P(－2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且||＝3||，求点A，B的坐标．
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1．若向量a＝(，1)，b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是 ( )
A．(，－1) B．(－1，－)
C．(－，－1) D．(－1，)
2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则等于 ( )
A．－2 B．2
C．－ D.
3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
4．已知向量a＝(cos α，－2)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则2sin αcos α等于 ( )
A．3 B．－3
C．－ D.
5．(多选)已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中，不正确的是 ( )
A．存在实数x，使a∥b
B．存在实数x，使(a＋b)∥a
C．存在实数x，m，使(ma＋b)∥a
D．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
6．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．
7．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)．若(a－c)∥b，则k＝________.
8.如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0,0)，B(3,1)，C(4,3)，D(1,2)，M， N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线．
层级(二) 能力提升练
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝ ( )
A. B.
C．1 D．2
2．已知A，B，C三点共线，＝－，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第一象限内，∠AOC＝，且OC＝2，＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.
4．已知四点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．
(1)求实数x，使两向量，共线；
(2)当两向量∥时，A，B，C，D四点是否在同一条直线上？
5．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t (t∈R)．
(1)t为何值时，P在x轴上？t为何值时，P在y轴上？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
层级(三) 素养培优练
1．设a＝，b＝，且a//b，则tan α＝_________.
2．设a，b>0，若点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)共线，则a＋3b的最小值为________．
3．已知向量a＝(1,1)，b＝(x，tx＋2)．若存在实数x，使得a与b的方向相同，则t的一个取值为________．第六章 | 平面向量及其应用
6.3平面向量基本定理及坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
明确目标 发展素养
1.掌握数乘向量的坐标运算法则，并会用坐标表示平面向量的数乘运算． 2.能用坐标表示平面向量共线的条件. 通过对向量数乘运算坐标表示，提升数学运算、逻辑推理素养.
知识点 平面向量数乘运算的坐标表示
(一)教材梳理填空
1．平面向量数乘运算的坐标表示：
已知a＝(x，y)，那么λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
2．平面向量共线的坐标表示：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是 x1y2－x2y1＝0.
[微思考] 两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成＝吗？
提示：不能，因为当x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)向量(1,2)与向量(4,8)共线． (√)
(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向． (√)
(3)如果x1y2－x2y1＝0，那么向量a＝(x1，y1)与向量b＝(x2，y2)共线． (√)
2．已知＝a，且A，B，若λ＝，则λa等于 ( )
A. B.
C. D.
答案：A
3．已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，则实数λ的值为 ( )
A．－ B.
C. D．－
答案：C
4．已知a＝(－3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝_________.
答案：－4
题型一 平面向量数乘运算的坐标表示
【学透用活】
[典例1] 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
[解] (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．
(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．
(3)a－b＝(－1,2)－(2,1)＝－＝.
【对点练清】
1．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝ ( )
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
解析：选A ∵a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，∴c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5,2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．
2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求点M，N的坐标．
解：∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
∴＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，
＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)．
∵＝3，＝2，
∴＝3(1,8)＝(3,24)，＝2(6,3)＝(12,6)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，
∴解得
∴M(0,20)，N(9,2)．
题型二 平面向量共线的判定
【学透用活】
正确理解向量平行的条件
(1)a∥b(b≠0) a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．
(2)a∥b x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了代数运算．
(3)a∥b ＝，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
[典例2] 已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，判断与是否共线．如果共线，它们的方向是相同还是相反？
[解] ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
法一：∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴与共线，通过观察可知，和方向相反．
法二：∵＝－2，∴与共线且方向相反．
【对点练清】
1．(多选)下列各组向量中，可以表示它们所在平面内所有向量的基底的是 ( )
A．a＝(－1,2)，b＝(3,5)
B．a＝(1,2)，b＝(2,1)
C．a＝(2，－1)，b＝(3,4)
D．a＝(－2,1)，b＝(4，－2)
解析：选ABC 要满足题意，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a与b不平行，即x1y2－x2y1≠0.对于A,2×3＋1×5≠0，所以A不平行；对于B，2×2－1×1≠0，所以B不平行；对于C，－1×3－2×4≠0，所以C不平行；对于D,1×4－(－2)×(－2)＝0，所以D平行．故选A，B，C.
2．已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
解：因为＝(1,3)－(－1，－1)＝(2,4)，
＝(2,7)－(1,5)＝(1,2)．
又因为2×2－4×1＝0，所以∥.
又因为＝(1,5)－(－1，－1)＝(2,6)，＝(2,4)，
所以2×4－2×6≠0，所以A，B，C不共线，
所以AB与CD不重合，所以AB∥CD.
题型三 平面向量共线的应用
【分类例析】
角度(一) 三点共线问题
[典例3] (1)已知A(1，－3)，B，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线．
(2)已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
[解] (1)证明：＝＝，
＝(9－1,1＋3)＝(8,4)，∵7×4－×8＝0，
∴∥，且，有公共点A，∴A，B，C三点共线．
(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝.
角度(二) 求点的坐标
[典例4] 已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．
[解] 设点P的坐标为(x，y)，||＝2||.
当P在线段AB上时，＝2，
∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
∴解得
∴点P的坐标为.
当P在线段AB延长线上时，＝－2，
∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，
∴解得∴点P的坐标为(－5,8)．
综上所述，点P的坐标为或(－5,8)．
【对点练清】
1．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是 ( )
A．k＝－2 B．k＝
C．k＝1 D．k＝－1
解析：选C 因为A，B，C三点不能构成三角形，所以A，B，C三点共线，即∥.又＝－＝(1,2)，＝－＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，解得k＝1.
2．已知经过点P(－2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且||＝3||，求点A，B的坐标．
解：由题设知，A，B，P三点共线，且||＝3||，
设A(x,0)，B(0，y)，
①点P在A，B之间，则有＝3，
∴(－x，y)＝3(－2－x,3)，解得x＝－3，y＝9，
点A，B的坐标分别为(－3,0)，(0,9)．
②点P不在A，B之间，则有＝－3，同理，
可求得点A，B的坐标分别为，(0，－9)．
综上所述，点A，B的坐标分别为(－3,0)，(0,9)或，(0，－9)．
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1．若向量a＝(，1)，b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是 ( )
A．(，－1) B．(－1，－)
C．(－，－1) D．(－1，)
解析：选D 法一：∵a＋2b＝(，－3)，
∴×－(－1)×(－3)＝0.
∴(－1，)与a＋2b是共线向量．故选D.
法二：∵a＋2b＝(，－3)＝－(－1，)，∴向量a＋2b与(－1，)是共线向量．故选D.
2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则等于 ( )
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：选C 由题意得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，
a－2b＝(4，－1)，∵(ma＋nb)∥(a－2b)，
∴－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，∴＝－，故选C.
3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
解析：选D 由c∥d，则存在λ使c＝λd，即ka＋b＝λa－λb，所以(k－λ)a＋(λ＋1)b＝0.又a与b不共线，所以k－λ＝0且λ＋1＝0，所以k＝－1，此时c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d.
4．已知向量a＝(cos α，－2)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则2sin αcos α等于 ( )
A．3 B．－3
C．－ D.
解析：选C 因为a∥b，所以cos α＋2sin α＝0，所以tan α＝－，则2sin αcos α＝＝＝＝－.
5．(多选)已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中，不正确的是 ( )
A．存在实数x，使a∥b
B．存在实数x，使(a＋b)∥a
C．存在实数x，m，使(ma＋b)∥a
D．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
解析：选ABC 由a∥b，得x2＝－9，无实数解，故A中叙述错误；
a＋b＝(x－3,3＋x)，由(a＋b)∥a，得3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9，无实数解，故B中叙述错误；ma＋b＝(mx－3，3m＋x)，由(ma＋b)∥a，得(3m＋x)x－3(mx－3)＝0，即x2＝－9，无实数解，故C中叙述错误；由(ma＋b)∥b，得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，故D中叙述正确．
6．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．
解析：∵向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，
∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)．若(a－c)∥b，则k＝________.
解析：a－c＝(3－k，－6)，∵(a－c)∥b，
∴3(3－k)＋6＝0，解得k＝5.
答案：5
8.如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0,0)，B(3,1)，C(4,3)，D(1,2)，M， N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线．
解：由已知可得M(2.5,2.5)，N(1.5,0.5)，所以＝(2.5,2.5)，＝(－2.5，－2.5)．又2.5×(－2.5)－2.5×(－2.5)＝0，所以，共线．
层级(二) 能力提升练
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝ ( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选B 由题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)4－3×2＝0，解得λ＝.故选B.
2．已知A，B，C三点共线，＝－，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．
解析：设点C的纵坐标为y，∵A，B，C三点共线，＝－，A，B的纵坐标分别为2,5，∴2－5＝－(y－2)，解得y＝10.
答案：10
3．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第一象限内，∠AOC＝，且OC＝2，＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.
解析：由题意，知＝(1,0)，＝(0,1)．
设C(x，y)，则＝(x，y)．
∵＝λ＋μ，∴(x，y)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，
∴又∵∠AOC＝，OC＝2，
∴λ＝x＝2cos＝，μ＝y＝2sin＝1，∴λ＋μ＝＋1.
答案：＋1
4．已知四点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．
(1)求实数x，使两向量，共线；
(2)当两向量∥时，A，B，C，D四点是否在同一条直线上？
解：(1)＝(x,1)，＝(4，x)．因为，共线，
所以x2－4＝0，解得x＝±2.
则当x＝±2时，两向量，共线．
(2)当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2,1)，
＝－3，则∥，此时A，B，C三点共线，
又∥，从而，当x＝－2时，A，B，C，D四点在同一条直线上．当x＝2时，＝(2,1)，＝(－2,1)，与不平行，故A，B，C，D四点不在同一直线上．
5．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t (t∈R)．
(1)t为何值时，P在x轴上？t为何值时，P在y轴上？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
解：(1)由题意得＝(1,2)，＝(3,3)，
则＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．
若P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－；
若P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－.
(2)不能．理由如下：
由题意知＝(1,2)，＝－＝(3－3t，3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，则＝，
∵无解，∴四边形OABP不能成为平行四边形．
层级(三) 素养培优练
1．设a＝，b＝，且a//b，则tan α＝_________.
解析：因为a∥b，所以×＝sin αcos α＝＝ tan α＝1.
答案：1
2．设a，b>0，若点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)共线，则a＋3b的最小值为________．
解析：由题意知，＝(a－2，－2)与＝(－2，b－2)共线，则(a－2)(b－2)＝4 b＝＋2(a>2)，∴a＋3b＝a＋＋6＝a－2＋＋8≥2＋8＝4＋8，当且仅当a－2＝，即a＝2＋2时，等号成立．
答案：4＋8
3．已知向量a＝(1,1)，b＝(x，tx＋2)．若存在实数x，使得a与b的方向相同，则t的一个取值为________．
解析：∵a与b方向相同，∴b＝λa(λ>0)，
∴∴x＝λ＝.由>0得t<1.
∴存在实数t＝0，x＝2，使得a与b方向相同．
答案：0(答案不唯一，小于1的实数均可)
