第六章 | 平面向量及其应用
6.3平面向量基本定理及坐标表示
6.3.5平面向量数量积的坐标表示
明确目标 发展素养
1.能用坐标表示平面向量的数量积． 2.会表示两个向量的夹角． 3.能用坐标表示平面向量的条件垂直. 通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.
知识点 平面向量数量积的坐标表示
(一)教材梳理填空
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有：
坐标表示
数量积 a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ 或|a|2＝x＋y
两点间 距离公式 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则|P1P2―→|＝
垂直 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
夹角 cos θ＝＝
[微思考] 已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？
提示：设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向．
易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±，其中正、负号表示不同的方向．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0°.(×)
(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b x1x2－y1y2＝0. (×)
(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．(×)
2．已知＝(3，－4)，则||等于( )
A．3 B．4
C. D．5
答案：D
3．若向量a＝(4,2)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m的值是( )
A．12 B．3 C．－3 D．－12
答案：D
4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a·b＝________，a与b夹角的余弦值为________．
答案：63
题型一 向量数量积的坐标运算
【学透用活】
(1)两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
(2)公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．
(3)若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．
[典例1] (1)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上．若·＝，则·＝________.
(2)已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
①求a的坐标；
②若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
[解析] (1)以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(，0)，D(0,2)，C(，2)，E(，1)．
可设F(x,2)，因为·＝(，0)·(x,2)＝x＝，所以x＝1，所以·＝(，1)·(1－，2)＝.
答案：
(2)①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，
∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
②∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，
∴a(b·c)＝0a＝(0,0)，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
【对点练清】
1．已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝ ( )
A．10 B．－10 C．3 D．－3
解析：选B 因为a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，
所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
2．已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
解析：选C ∵＝－＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，
||＝1，∴＝1，解得t＝3，
∴＝(1,0)，∴·＝2×1＋3×0＝2.
题型二 向量模的问题
【学透用活】
[典例2] (1)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝( )
A. B．2 C．5 D．50
(2)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为________．
[解析] (1)∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，
∴|a－b|＝＝.
(2)∵2a－b＝(2cos θ－，2sin θ)，
∴|2a－b|＝
＝＝，
当且仅当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋.
[答案] (1)A (2)2＋
【对点练清】
1．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于( )
A. B.
C．5 D．25
解析：选C ∵a＝(2,1)，∴a2＝5，又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，
∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb(λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为________．
解析：∵a＝(1,2)，b＝(－3,4)，∴c＝a＋λb＝(1－3λ，2＋4λ)，∴|c|2＝c2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝25λ2＋10λ＋5＝252＋4.当λ＝－时，|c|min＝2.
答案：－
题型三 向量的夹角和垂直问题
【学透用活】
[典例3] 设平面上向量a＝(cos α，sin α)(0°≤α≤90°)，b＝.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求证：a＋b与a－b垂直．
[解] (1)由题意知，|a|＝1，|b|＝1，
a·b＝－cos α＋sin α，则cos θ＝＝＝－cos α＋sin α＝cos(120°－α)．
∵0°≤α≤90°，∴30°≤120°－α≤120°.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°－α，即两向量的夹角为120°－α.
(2)证明：∵(a＋b)·(a－b)
＝·
＝＋
＝cos2α－＋sin2α－＝1－－＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
【对点练清】
1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
解析：选D 因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)·(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D.
2．如图，在2×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，则向量a＋b，a－b的夹角余弦值是________．
解析：不妨设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直 角坐标系，
则a＝(2，－1)，b＝(3,2)，
所以a＋b＝(5,1)，a－b＝(－1，－3)，所以(a＋b)·(a－b)＝－5－3＝－8，|a＋b|＝，|a－b|＝，所以向量a＋b，a－b的夹角余弦值为＝－.
答案：－
层级(一) “四基”落实练
1．在△ABC中，C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则实数k的值是( )
A．5 B．－5
C. D．－
解析：选A ＝－＝(2－k,2)．
∵C＝90°，∴⊥，∴2(2－k)＋6＝0，解得k＝5.
2．已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
解析：选B ∵cos A＝＝＝0，∴A＝.故选B.
3．已知a＝(1,2)，b＝(－1，)，则a·b＋|b|＝( )
A．1 B．1＋
C．1＋2 D．2
解析：选C 因为a·b＝(1,2)·(－1，)＝－1＋2，|b|＝2，所以a·b＋|b|＝－1＋2＋2＝1＋2.
4．(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则( )
A．x＝－3是a⊥b的必要条件
B．x＝－3是a∥b的必要条件
C．x＝0是a⊥b的充分条件
D．x＝－1＋是a∥b的充分条件
解析：选C a⊥b x2＋x＋2x＝0 x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确．a∥b 2x＋2＝x2 x2－2x－2＝0 x＝1±，故B，D错误．
5．(多选)已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，a，b的夹角为θ，b方向上的单位向量为e.则 ( )
A．b＝(5,12) B．a·b＝16
C．cos θ＝ D．a在b上的投影向量为e
解析：选BCD ∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)．
又2a＋b＝(3,18)，∴b＝(－5,12)，
∴a·b＝－20＋36＝16.
又|a|＝5，|b|＝13，∴cos θ＝＝.
∴a在b上的投影向量为e＝e.
6．已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.
解析：∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，
∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，
|a|＝＝2，|b|＝＝10.
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
答案：－
7.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D
被阴影遮住，找出D点的位置，计算·的值为________．
解析：以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2,3)，所以·＝(4,1)·(2,3)＝8＋3＝11.
答案：11
8．已知a＝(1,2)，b＝(1，－1)．
(1)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值；
(2)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值．
解：(1)因为a＝(1,2)，b＝(1，－1)，所以2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)．所以cos θ＝＝＝.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
(2)ka－b＝(k－1,2k＋1)，依题意(3,3)·(k－1,2k＋1)＝0，所以3k－3＋6k＋3＝0，所以k＝0.
层级(二) 能力提升练
1．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·等于( )
A．16 B．12
C．8 D．－4
解析：选A 以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(4,0)，B(0,0)，C(0，6)，D(2,3)．
设E(0，t)，则·＝(2,3)·(－4，t)＝－8＋3t＝0，
∴t＝，即E，∴·＝·(0,6)＝16.
2．在梯形ABCD中，∥，⊥，||＝2，||＝2||，若点P在线段BC上，则|＋3的最小值是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选B
如图，以点B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系．
设||＝d，则B(0,0)，A(0,2)，C(2d,0)，D(d,2)，
设P(p,0)，其中0≤p≤2d，
所以＝(2d－p,0)，＝(d－p,2)，
则＋3＝(5d－4p,6)，
所以|＋3＝≥6，
当且仅当5d＝4p，
即p＝时取等号．
所以|＋3的最小值是6.
3．已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则·＋·＝________.
解析：由题意可建立如图所示的平面直角坐标系．可得A(2,0)，B(0,2)， P(1,1)，C(0,0)，则·＋·＝(1,1)·(0,2)＋(1,1)·(2,0)＝2＋2＝4.
答案：4
4．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
解：(1)由题意知＝(3,5)，＝(－1,1)，
则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为2，4.
(2)由题意知，＝(－2，－1)，
－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，
得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.
5．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，
∴x2＋y2＝20.由c∥a和|c|＝2，
可得解得或
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×＝0，
整理得a·b＝－，∴cos θ＝＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
层级(三) 素养培优练
已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．
解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，∴⊥，即AB⊥AD.
(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴得∴C点坐标为(0,5)．由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，∴·＝8＋8＝16>0，||＝2，||＝2.设与夹角为θ，
则cos θ＝＝＝>0，
∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.第六章 | 平面向量及其应用
6.3平面向量基本定理及坐标表示
6.3.5平面向量数量积的坐标表示
明确目标 发展素养
1.能用坐标表示平面向量的数量积． 2.会表示两个向量的夹角． 3.能用坐标表示平面向量的条件垂直. 通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.
知识点 平面向量数量积的坐标表示
(一)教材梳理填空
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有：
坐标表示
数量积 a·b＝
模 |a|＝ 或|a|2＝
两点间 距离公式 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则|P1P2―→|＝
垂直 a⊥b a·b＝0
夹角 cos θ＝＝
[微思考] 已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？
提示：设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向．
易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±，其中正、负号表示不同的方向．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0°.( )
(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b x1x2－y1y2＝0. ( )
(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( )
2．已知＝(3，－4)，则||等于( )
A．3 B．4
C. D．5
3．若向量a＝(4,2)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m的值是( )
A．12 B．3 C．－3 D．－12
4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a·b＝________，a与b夹角的余弦值为________．
题型一 向量数量积的坐标运算
【学透用活】
(1)两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
(2)公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．
(3)若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．
[典例1] (1)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上．若·＝，则·＝________.
(2)已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
①求a的坐标；
②若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
【对点练清】
1．已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝ ( )
A．10 B．－10 C．3 D．－3
2．已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
题型二 向量模的问题
【学透用活】
[典例2] (1)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝( )
A. B．2 C．5 D．50
(2)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为________．
【对点练清】
1．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于( )
A. B.
C．5 D．25
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb(λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为________．
题型三 向量的夹角和垂直问题
【学透用活】
[典例3] 设平面上向量a＝(cos α，sin α)(0°≤α≤90°)，b＝.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求证：a＋b与a－b垂直．
【对点练清】
1．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
2．如图，在2 4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，则向量a＋b，a－b的夹角余弦值是________．
层级(一) “四基”落实练
1．在△ABC中，C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则实数k的值是( )
A．5 B．－5
C. D．－
2．已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
3．已知a＝(1,2)，b＝(－1，)，则a·b＋|b|＝( )
A．1 B．1＋
C．1＋2 D．2
4．(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则( )
A．x＝－3是a⊥b的必要条件
B．x＝－3是a∥b的必要条件
C．x＝0是a⊥b的充分条件
D．x＝－1＋是a∥b的充分条件
5．(多选)已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，a，b的夹角为θ，b方向上的单位向量为e.则 ( )
A．b＝(5,12) B．a·b＝16
C．cos θ＝ D．a在b上的投影向量为e
6．已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.
7.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D
被阴影遮住，找出D点的位置，计算·的值为________．
8．已知a＝(1,2)，b＝(1，－1)．
(1)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值；
(2)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值．
层级(二) 能力提升练
1．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·等于( )
A．16 B．12
C．8 D．－4
2．在梯形ABCD中，∥，⊥，||＝2，||＝2||，若点P在线段BC上，则|＋3的最小值是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
3．已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则·＋·＝________.
4．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
5．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
层级(三) 素养培优练
已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．
