第六章 | 平面向量及其应用
6.4平面向量的应用
6.4.1&6.4.2平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例
明确目标 发展素养
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题． 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用，提升运算能力及解决问题的能力. 通过运用向量方法解决平面几何问题和力学等实际问题，培养直观想象、数学运算和数学建模素养.
知识点一 平面几何中的向量方法
(一)教材梳理填空
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将 转化为向量问题；
(2)通过 ，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量在平面几何中的应用：
(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：
a∥b a＝λb(b≠0) x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：
a⊥b a·b＝0 .
(3)求夹角问题，用夹角公式：
cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)．
(4)计算线段长度，常用模长公式：
||＝ .
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)若△ABC为直角三角形，则有·＝0.( )
(2)若向量∥，则AB∥CD.( )
(3)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是菱形．( )
2．在△ABC中，已知A(4, 1)，B(7, 5)，C(－4, 7)，则BC边的中线AD的长是( )
A．2 B.
C．3 D.
3．在四边形ABCD中，·＝0且＝，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
知识点二 向量在物理中的应用
(一)教材梳理填空
1．物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．
2．向量的加、减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．
3．动量mv是向量的数乘运算．
4．功是力F与所产生的位移s的数量积．
(二)基本知能小试
1．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为( )
A．7 B．10 C．14 D．70
2．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么( )
A．s＞|a| B．s＜|a|
C．s＝|a| D．s与|a|不能比大小
3. 已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
题型一 平面向量在几何证明中的应用
【学透用活】
[典例1] 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点．求证：AF⊥DE.
【对点练清】
如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H.求证：HG∥EF.
题型二 平面几何中的求值问题
【学透用活】
[典例2] 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
【对点练清】
已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长度(用m，
n表示)．
题型三 平面向量在物理中的应用
【学透用活】
[典例3] 已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功．
【对点练清】
1．[变设问]若本例条件不变，求F1，F2的合力F对质点所做的功．
2．[变条件]若本例条件变为：两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i，j分别是与x轴、y轴正方向同方向的单位向量)．求F1，F2分别对该质点做的功．
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
2．在△ABC中，若·＋2＝0，则△ABC是 ( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3.如图所示，一力F作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成30°角，当小车向前运动10 m时，力F做的功为( )
A．100 J B．50 J
C．50 J D．200 J
4．(2025·全国Ⅰ卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和．其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反，表中给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系，已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为( )
级数 名称 风速(单位：m/s)
2 轻风 1.6～3.3
3 微风 3.4～5.4
4 和风 5.5～7.9
5 劲风 8.0～10.7
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
5．(多选)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的三个任意的非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于 ( )
A．以a，b为邻边的平行四边形的面积
B．以b，c为邻边的平行四边形的面积
C．以a，b为两边的三角形面积的2倍
D．以b，c为两边的三角形面积
6．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为________．
7．如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos∠DOE的值为________．
8．已知在静水中船速为5 m/s，且知船速大于水速，河宽为20 m，船从A点垂直到达对岸的B点用的时间为5 s，试用向量法求水流的速度大小．
层级(二) 能力提升练
1．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的( )
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
2．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝________.
3．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状一定是________．
4．已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．利用向量方法证明：AC⊥BD.
5．已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g取10 m/s2)
层级(三) 素养培优练
1.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°取0.6)，高为2 m的斜面上，质量为
5 kg 的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5 倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为_________J，重力所做的功为_________J(g取9.8 m/s2)．
2.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC
上，且BD＝DC.求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．第六章 | 平面向量及其应用
6.4平面向量的应用
6.4.1&6.4.2平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例
明确目标 发展素养
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题． 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用，提升运算能力及解决问题的能力. 通过运用向量方法解决平面几何问题和力学等实际问题，培养直观想象、数学运算和数学建模素养.
知识点一 平面几何中的向量方法
(一)教材梳理填空
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量在平面几何中的应用：
(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：
a∥b a＝λb(b≠0) x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夹角问题，用夹角公式：
cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)．
(4)计算线段长度，常用模长公式：
||＝ .
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)若△ABC为直角三角形，则有·＝0.(×)
(2)若向量∥，则AB∥CD.(×)
(3)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是菱形．(√)
2．在△ABC中，已知A(4, 1)，B(7, 5)，C(－4, 7)，则BC边的中线AD的长是( )
A．2 B.
C．3 D.
答案：B
3．在四边形ABCD中，·＝0且＝，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
答案：C
知识点二 向量在物理中的应用
(一)教材梳理填空
1．物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．
2．向量的加、减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．
3．动量mv是向量的数乘运算．
4．功是力F与所产生的位移s的数量积．
(二)基本知能小试
1．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为( )
A．7 B．10 C．14 D．70
答案：D
2．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么( )
A．s＞|a| B．s＜|a|
C．s＝|a| D．s与|a|不能比大小
答案：A
3. 已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
答案：D
题型一 平面向量在几何证明中的应用
【学透用活】
[典例1] 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点．求证：AF⊥DE.
[证明] 法一：设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0.
又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0.故⊥，即AF⊥DE.
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，
D(0,2)，E(1，0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE.
【对点练清】
如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H.求证：HG∥EF.
证明：∵DG―→⊥，⊥，∴DG―→∥.
设＝λ (λ≠0)，则＝λDG―→.
同理＝λDH―→.于是＝－＝λ(DG―→－DH―→)＝λHG―→，∴HG―→∥，即HG∥EF.
题型二 平面几何中的求值问题
【学透用活】
[典例2] 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
[解] 设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b.
∵||＝|a－b|＝
＝＝＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝.
又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴||＝，即AC＝.
【对点练清】
已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长度(用m，
n表示)．
解：(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴、
y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．
∵D为AB的中点，∴D，
∴||＝，||＝，
∴||＝||，即CD＝AB.
(2)∵E为CD的中点，∴E.设F(x,0)，
则＝，＝(x，－m)．
∵A，E，F三点共线，∴＝λ.
即(x，－m)＝λ，则
故λ＝，即x＝，∴F，
∴||＝，即AF＝.
题型三 平面向量在物理中的应用
【学透用活】
[典例3] 已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功．
[解] 设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s.∵＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
∴W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3.
【对点练清】
1．[变设问]若本例条件不变，求F1，F2的合力F对质点所做的功．
解：W＝F·＝(F1＋F2)·＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102.
2．[变条件]若本例条件变为：两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i，j分别是与x轴、y轴正方向同方向的单位向量)．求F1，F2分别对该质点做的功．
解：由题意知，＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，F1＝(1,1)，F2＝(4，－5)，故F1做的功W1＝F1·s＝F1·＝(1,1)·(－13，－15)＝－28.F2做的功W2＝F2·s＝F2·＝(4，－5)·(－13，－15)＝23.
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．故选B.
2．在△ABC中，若·＋2＝0，则△ABC是 ( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C 因为·＋2＝0，所以·(＋)＝0，
所以·＝0，所以⊥，
所以∠BAC是直角，△ABC是直角三角形．
3.如图所示，一力F作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成30°角，当小车向前运动10 m时，力F做的功为( )
A．100 J B．50 J
C．50 J D．200 J
解析：选C 设小车的位移为s，则|s|＝10 m，
W＝F·s＝|F||s|·cos 30°＝10×10×＝50(J)．
4．(2025·全国Ⅰ卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和．其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反，表中给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系，已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为( )
级数 名称 风速(单位：m/s)
2 轻风 1.6～3.3
3 微风 3.4～5.4
4 和风 5.5～7.9
5 劲风 8.0～10.7
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
解析：选A ∵视风风速a＝(0,2)－(3,3)＝(－3，－1)，船速b＝(3,3)－(2,0)＝(1,3)，∴真风风速n＝a＋b＝(－3，－1)＋(1,3)＝(－2,2)，真风风速大小|n|＝2≈2.828，∴该时刻的真风为轻风．
5．(多选)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的三个任意的非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于 ( )
A．以a，b为邻边的平行四边形的面积
B．以b，c为邻边的平行四边形的面积
C．以a，b为两边的三角形面积的2倍
D．以b，c为两边的三角形面积
解析：选AC 设b与c的夹角为α，a与b的夹角为θ，则|b·c|＝|b|·|c||cos α|＝| b||a||cos(90°±θ)|＝|b||a|sin θ，故选A，C.
6．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为________．
解析：设所用时间长短为t，则＝tv，
即(3,6)＝t(1,2)，所以t＝3.
答案：3
7．如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos∠DOE的值为________．
解析：∵＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴||＝，||＝，·＝2＋2＝1，∴cos∠DOE＝＝.
答案：
8．已知在静水中船速为5 m/s，且知船速大于水速，河宽为20 m，船从A点垂直到达对岸的B点用的时间为5 s，试用向量法求水流的速度大小．
解：如图，设水流的速度为v水，船在静水中的速度为v0，船的实际
行驶速度为v，
则|v0|＝5，|v|＝＝4.
∵v⊥v水，∴|v水|＝＝3，
即水流的速度为3 m/s.
层级(二) 能力提升练
1．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的( )
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
解析：选C
由||＝||＝||，知点O为△ABC的外心．如图，D为BC的中点，因为＋＋＝0，所以＋＝－.由向量加法的 平行四边形法则，知||＝2|ND―→|，故点N为△ABC的重心．
因为·＝·，所以(－)·＝·＝0.同理·＝0，·＝0，所以点P为△ABC的垂心．
2．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝________.
解析：建立如图的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2，0)．设AD＝a，
则C(1, a)，＝(1, a)，＝(－1, a)．
因为AC⊥BC，所以⊥. 所以·＝－1＋a2＝0，所以a＝1(负值舍去)．
答案：1
3．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状一定是________．
解析：因为(＋－2)·(－)＝[(－)＋(－)]·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－||2＝0，所以||＝||，所以△ABC是等腰三角形．
答案：等腰三角形
4．已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．利用向量方法证明：AC⊥BD.
证明：因为＝＋，＝－，所以·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0.
所以⊥，即AC⊥BD.
5．已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g取10 m/s2)
解：如图所示，设木块的位移为s，则WF＝F·s＝|F||s|cos 30°＝
50×20×＝500(J)．将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1
的大小为|F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此Wf＝f·s＝|f||s|·cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
即F和f所做的功分别为500 J和－22 J.
层级(三) 素养培优练
1.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°取0.6)，高为2 m的斜面上，质量为
5 kg 的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5 倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为_________J，重力所做的功为_________J(g取9.8 m/s2)．
解析：物体m的位移大小为|s|＝＝(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cos 90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J)．
答案：0 98
2.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC
上，且BD＝DC.求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
解：(1)设＝a，＝b，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
∴||2＝2＝2＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3.
故AD＝.
(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量与的夹角．
