第六章 | 平面向量及其应用
6.4平面向量的应用
6.4.3余弦定理、正弦定理
明确目标 发展素养
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理． 2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题. 1.通过对余弦定理、正弦定理的学习及运用，提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养． 2.通过对余弦定理、正弦定理的应用举例的学习，提升数学建模、直观想象素养.
第一课时 余弦定理
知识点 余弦定理
(一)教材梳理填空
1．余弦定理：
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
语言 叙述 三角形中任何一边的平方，等于
公式 表达 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝ _B，c2＝
推论 cos A＝，cos B＝， cos C＝
[微思考] 勾股定理和余弦定理有什么关系？
提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
2．解三角形的定义：
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的 ．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 ．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形．( )
(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．( )
(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．( )
2．在△ABC中，已知B＝120°，a＝3，c＝5，则b等于( )
A．4 B．
C．7 D．5
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝( )
A. B．
C．2 D．3
4．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝_______.
题型一 已知两边及一角解三角形
【学透用活】
1．已知边a，b和角C.
2．已知边a，b和角A.
[典例1] 在△ABC中，
(1)若a＝2，c＝＋，B＝45°，求b及A.
(2)若A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c.
【对点练清】
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝( )
A．4 B．
C．3 D.
2．若b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，C和边a.
题型二 已知三边解三角形
【学透用活】
已知边a，b，c.
[典例2] 在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C.
【对点练清】
1．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数．
2．在△ABC中，已知a2＋c2＝b2＋ac，且sin A∶sin C＝(＋1)∶2，求角C.
题型三 三角形形状的判断
【学透用活】
[典例3] 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC的形状．
【对点练清】
在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状．
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1．(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝( )
A．45° B．60° C．120° D．135°
2．在△ABC中，cos C＝－，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A．4 B．
C. D．2
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，则角B为( )
A. B. C.或 D.或
5．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b
A．b＝2 B．b＝2
C．B＝60° D．B＝30°
6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
7．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是______．
8．(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin C＝，a＝2，b＝2，求c；
(2)在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状．
层级(二) 能力提升练
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为( )
A．7.5 B．7
C．6 D．5
2．(多选)在△ABC中，已知AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，D为AC的中点，E为BC的中点，AE与BD相交于点M，下列结论正确的是( )
A．BC＝4 B．ME＝
C．BD＝2 D．cos∠DBC＝
3．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是_______．
4．在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B＋C)的值．
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.
(1)求B的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求a的值．
层级(三) 素养培优练
1．若钝角△ABC的内角A，B，C满足A＋C＝2B，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是( )
A．(1,2) B．(2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(3，＋∞)
2．已知△ABC中，2·(－)＝·(－)，则tan C的最大值是( )
A. B.
C. D.
第二课时 正弦定理
知识点 正弦定理
(一)教材梳理填空
1．正弦定理的表示：
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等
符号语言 ＝＝
[微思考] 已知三角形的哪几个元素，可以用正弦定理解相应三角形？
提示：(1)已知两角及其中一角的对边．
(2)已知两角及另外一角的对边，此时不能直接利用正弦定理，需利用三角形内角和定理求已知边的对角．
(3)已知两边及一边的对角．
2．正弦定理的常见变形：
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)．
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)．
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(4)＝＝＝.
(5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B．
3．三角形面积公式：
(1)S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．
(2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．
(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)正弦定理只适用于锐角三角形．( )
(2)正弦定理不适用于直角三角形．( )
(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值．( )
(4)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB. ( )
2．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于______．
3．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝________.
4．在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝b，则A＝________.
题型一 已知两角及一边解三角形
【学透用活】
[典例1] (1)在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝60°，则b等于 ( )
A. B. C. D.
(2)在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝_________.
【对点练清】
1．在△ABC中，AB＝，A＝75°，B＝45°，则AC＝_______.
2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b＝3，则c＝________.
题型二 已知两边及一边的对角解三角形
【学透用活】
[典例2] 在△ABC中，已知a＝2，c＝，C＝，求A，B，b.
【对点练清】
在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，求边c的长．
题型三 正、余弦定理的综合应用
【学透用活】
[典例3] (2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1.
(1)若∠ADC＝，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
【对点练清】
(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，且a2＋b2－c2＝ab.
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c.
解：(1)在△ABC中a2＋b2－c2＝ab，
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是 ( )
A. B. C. D.
2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．(多选)在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B＝ ( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．在△ABC中，已知A＝，a＝，b＝1，则c的值为( )
A．1 B．2 C.－1 D.
5．若△ABC的三个内角满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则△ABC是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
6．在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________.
7．在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，则B＝________，△ABC的面积等于________．
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C.
层级(二) 能力提升练
1．(多选)在△ABC中，已知b＝－1，c＝，B＝15°，则边长a＝( )
A．2 B．＋1 C．3 D．2
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.
3．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于点D，则AD＝________.
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．
5．(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
层级(三) 素养培优练
1.八卦田最早出现于明代记载，如图中正八边形代表八卦，中间的圆 代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积．现测得正八边形的边长为8 m，代表阴阳太极图的圆的半径为2 m，则每块八卦田的面积为________m2.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且b(a－b＋c)(sin A＋sin B＋sin C)＝6S.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝b＋1，c＝b－2，求cos A，cos C的值．
第三课时 余弦定理、正弦定理应用举例
知识点 余弦定理、正弦定理的应用
(一)教材梳理填空
实际测量中的有关名称、术语：
(1)方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的角．如图所示的θ1，θ2即表示点A和点B的方位角．故方位角的范围是0°≤θ＜360°.
(2)方向角：指以观测者为中心，正北或正南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，
它是方位角的另一种表示形式．如图，图①中表示北偏东30°，图②中表示南偏西60°.
(3)仰角和俯角：
与目标视线在同一铅垂平面内的 和 的夹角，目标 视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做 ．如图所示．
(4)视角：观测者的两条视线之间的夹角叫做 ．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)东北方向就是北偏东45°的方向． ( )
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.( )
(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( )
2．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( )
A．10 km B．10 km
C．10 km D．10 km
3．如图中的两个方向，用方位角应表示为_______(图①)与_________(图②)．
4．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的北偏西________．
题型一 测量距离问题
【学透用活】
[典例1] 如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)．若在河岸选取相距20米的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA ＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？
【对点练清】
如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)
题型二 测量高度问题
【学透用活】
[典例2] 如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是C点到水平面的垂足，求山高CD.
【对点练清】
为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王沿与河岸平行的方向向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为______m.
题型三 测量角度问题
【学透用活】
[典例3] “一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，会议期间达成了多项国际合作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝120 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝150 m，则cos∠DEF＝________.
【对点练清】
甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的 倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站
南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 ( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
2．设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )
A．20 m， m B．10 m, 2 0 m
C．10(－)m, 20 m D. m， m
3．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( )
A．15 km B．30 km
C．45 km D．60 km
4．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船的航行速度为 ( )
A. n mile/h B．34 n mile/h
C. n mile/h D．34 n mile/h
5.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 ( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
6．某人朝正东方向走x m后，向右转150°，然后朝新方向走3 m，结果他离出发点恰好为 m，那么x的值为_______．
7.如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，
45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时
14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈2.236)
8.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从 A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，求山高MN.
层级(二) 能力提升练
1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：
①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
2．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________.
3．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为______小时．
4.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直 弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚 s．A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.
(1)求A，C两地的距离；
(2)求该仪器的垂直弹射高度CH.
(声音的传播速度为340 m/s)
层级(三) 素养培优练
如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4 m后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.
(1)求BC的长；
(2)若小明身高为1.70 m，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01 m，其中≈1.732)．第六章 | 平面向量及其应用
6.4平面向量的应用
6.4.3余弦定理、正弦定理
明确目标 发展素养
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理． 2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题. 1.通过对余弦定理、正弦定理的学习及运用，提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养． 2.通过对余弦定理、正弦定理的应用举例的学习，提升数学建模、直观想象素养.
第一课时 余弦定理
知识点 余弦定理
(一)教材梳理填空
1．余弦定理：
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
语言 叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式 表达 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C
推论 cos A＝，cos B＝， cos C＝
[微思考] 勾股定理和余弦定理有什么关系？
提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
2．解三角形的定义：
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形．(√)
(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(√)
(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．(×)
2．在△ABC中，已知B＝120°，a＝3，c＝5，则b等于( )
A．4 B．
C．7 D．5
答案：C
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝( )
A. B．
C．2 D．3
答案：D
4．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝_______.
答案：
题型一 已知两边及一角解三角形
【学透用活】
1．已知边a，b和角C.
2．已知边a，b和角A.
[典例1] 在△ABC中，
(1)若a＝2，c＝＋，B＝45°，求b及A.
(2)若A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c.
[解] (1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×(＋)×2×cos 45°＝8，所以b＝2.
由cos A＝，
得cos A＝＝.
因为0°(2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A
＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)，
所以49＝64－2bc，即bc＝15.
由解得或
【对点练清】
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝( )
A．4 B．
C．3 D.
解析：选D cos C＝－cos(A＋B)＝－. 又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×＝17，所以c＝.故选D.
2．若b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，C和边a.
解：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3)2－2×3a×cos 30°，
即a2－9a＋18＝0，所以a＝6或a＝3.
当a＝6时，由cos A＝＝＝0，可得A＝90°，C＝60°.当a＝3时，同理得A＝30°，C＝120°.
题型二 已知三边解三角形
【学透用活】
已知边a，b，c.
[典例2] 在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C.
[解] 根据余弦定理，得cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
又cos C＝＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.∴B＝π－A－C＝π－－＝π，∴A＝，B＝π，C＝.
【对点练清】
1．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数．
解：已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，可令a＝2，b＝，c＝(＋1)，由余弦定理的推论，得
cos A＝＝＝，
∵0°cos B＝＝＝，
∵0°∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
2．在△ABC中，已知a2＋c2＝b2＋ac，且sin A∶sin C＝(＋1)∶2，求角C.
解：∵a2＋c2＝b2＋ac，a2＋c2－b2＝2accos B，
∴2accos B＝ac，∴cos B＝.
∵0°＜B＜180°，∴B＝60°，A＋C＝120°.
∵＝，∴2sin A＝(＋1)sin C，
∴2sin(120°－C)＝(＋1)sin C，
∴2sin 120°cos C－2cos 120°sin C＝(＋1)·sin C，
∴sin C＝cos C，∴tan C＝1.∵0°题型三 三角形形状的判断
【学透用活】
[典例3] 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC的形状．
[解] ∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc.
而a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴2cos A＝1.∴cos A＝，
∴A＝60°.又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
sin A＝2sin Bcos C，∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
即sin(B－C)＝0，∴B＝C.又∵B＋C＝120°，∴A＝B＝C＝60°.故△ABC为等边三角形．
【对点练清】
在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状．
解：将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)
＝2bccos Bcos C.
由余弦定理并整理，得
b2＋c2－b22－c22
＝2bc××，
∴b2＋c2＝＝＝a2.
∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形．
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1．(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝( )
A．45° B．60° C．120° D．135°
解析：选A 法一：∵BC法二：∵cos A＝
＝＝＝，
且A∈(0，π)，∴A＝45°.
2．在△ABC中，cos C＝－，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A．4 B．
C. D．2
解析：选A 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
∴AB＝＝4.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
解析：选C 由>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，则角B为( )
A. B.
C.或 D.或
解析：选A ∵a2－b2＋c2＝ac，∴cos B＝＝＝.又B为△ABC的内角，
∴B＝.
5．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且bA．b＝2 B．b＝2
C．B＝60° D．B＝30°
解析：选AD 由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b＋8＝0 (b－2)(b－4)＝0，由b6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
解析：∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.
答案：0
7．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是______．
解析：设中间角为θ，则θ为锐角，cos θ＝＝，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求．
答案：120°
8．(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin C＝，a＝2，b＝2，求c；
(2)在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状．
解：(1)∵sin C＝，且0当C＝时，cos C＝，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝4，
∴c＝2.当C＝时，cos C＝－，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝28，∴c＝2.综上所述，c的值为2或2.
(2)由余弦定理知cos A＝，
cos B＝，cos C＝，代入已知条件，得
a·＋b·＋c·＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(c2＋a2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
层级(二) 能力提升练
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为( )
A．7.5 B．7
C．6 D．5
解析：选D ∵bcos A＋acos B＝c2，∴由余弦定理可得b·＋a·＝c2，整理可得2c2＝2c3，解得c＝1，则△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋1＝5.
2．(多选)在△ABC中，已知AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，D为AC的中点，E为BC的中点，AE与BD相交于点M，下列结论正确的是( )
A．BC＝4 B．ME＝
C．BD＝2 D．cos∠DBC＝
解析：选ABD 对于A，在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2·AB·AC·cos120°＝48，所以BC＝4，故A正确；对于B，因为AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，E为BC的中点，所以AE⊥BC，∠BAE＝60°，所以AE＝ABcos60°＝2，易知M是△ABC的重心，所以ME＝AE＝，故B正确；
对于C，在△ABD中，由余弦定理，
得BD＝＝＝2，故C错误；
对于D，在△DBC中，由余弦定理，得cos∠DBC＝＝＝，故D正确．
3．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是_______．
解析：cos B＝＝＝＋≥.∵0答案：
4．在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B＋C)的值．
解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得b2＝32＋c2－2×3×c×.因为b＝c＋2，
所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，
解得c＝5，所以b＝7.
(2)因为cos A＝＝，
所以sin A＝＝.
在△ABC中，B＋C＝π－A，
所以sin(B＋C)＝sin A＝.
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.
(1)求B的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求a的值．
解：(1)由余弦定理，得cos B＝，
cos C＝，
∴原式化为·＝－，
整理，得a2＋c2－b2＋ac＝0，
∴cos B＝＝＝－.
又0(2)将b＝，a＋c＝4，B＝，
代入b2＝a2＋c2－2accos B，得
13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)cos，
即a2－4a＋3＝0.
解得a＝1或a＝3.
层级(三) 素养培优练
1．若钝角△ABC的内角A，B，C满足A＋C＝2B，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是( )
A．(1,2) B．(2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(3，＋∞)
解析：选B 设三角形的三边从小到大依次为a，b，c，
因为A＋C＝2B，则A＋B＋C＝3B＝180°，故可得B＝60°.
根据余弦定理得cos B＝＝，于是b2＝a2＋c2－ac，
因为△ABC为钝角三角形，故a2＋b2－c2<0，于是2a2－ac<0，即>2.
则m＝>2，即m∈(2，＋∞)．
2．已知△ABC中，2·(－)＝·(－)，则tan C的最大值是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 因为2·(－)＝·(－)，所以2·－2·＝·－·，即2bccos A－2abcos C＝abcos C－accos B.
所以2bccos A－3abcos C＋accos B＝0.由余弦定理得
b2＋c2－a2－＋＝0，
即2a2＋b2＝3c2.
所以cos C＝＝＝＋≥2＝，
当且仅当＝，即a＝b时取等号．
显然C为锐角，要使tan C取最大值，则cos C取最小值，此时sin C＝＝，
所以tan C＝＝＝，即tan C的最大值是.
第二课时 正弦定理
知识点 正弦定理
(一)教材梳理填空
1．正弦定理的表示：
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
符号语言 ＝＝
[微思考] 已知三角形的哪几个元素，可以用正弦定理解相应三角形？
提示：(1)已知两角及其中一角的对边．
(2)已知两角及另外一角的对边，此时不能直接利用正弦定理，需利用三角形内角和定理求已知边的对角．
(3)已知两边及一边的对角．
2．正弦定理的常见变形：
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)．
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)．
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(4)＝＝＝.
(5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B．
3．三角形面积公式：
(1)S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．
(2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．
(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)正弦定理只适用于锐角三角形．(×)
(2)正弦定理不适用于直角三角形．(×)
(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值．(√)
(4)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB. (√)
2．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于______．
答案：
3．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝________.
答案：2
4．在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝b，则A＝________.
答案：
题型一 已知两角及一边解三角形
【学透用活】
[典例1] (1)在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝60°，则b等于 ( )
A. B.
C. D.
(2)在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝_________.
[解析] (1)因为A＝75°，B＝60°，
所以C＝180°－75°－60°＝45°.
因为c＝，根据正弦定理＝，
得b＝＝＝.
(2)由正弦定理，得＝，即＝，
解得AC＝4.
[答案] (1)A (2)4
【对点练清】
1．在△ABC中，AB＝，A＝75°，B＝45°，则AC＝_______.
解析：C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理，得＝，即＝，解得AC＝2.
答案：2
2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b＝3，则c＝________.
解析：在△ABC中，∵cos A＝＞0，∴sin A＝.
∵cos B＝＞0，∴sin B＝.
∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得c＝＝.
答案：
题型二 已知两边及一边的对角解三角形
【学透用活】
[典例2] 在△ABC中，已知a＝2，c＝，C＝，求A，B，b.
[解] ∵＝，∴＝，解得sin A＝.
又∵a＜c，C＝，∴A＝.
∴B＝π－A－C＝π－－＝，
sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，
∴b＝＝＝＋1.
【对点练清】
在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，求边c的长．
解：由＝，得sin B＝＝.
∵aA＝30°，∴B＝60°或B＝120°.
①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°.
此时，c＝ ＝＝2.
②当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°.此时，c＝a＝1.
综上知c＝1或2.
题型三 正、余弦定理的综合应用
【学透用活】
[典例3] (2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1.
(1)若∠ADC＝，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
[解] (1)因为D为BC的中点，
所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DCsin∠ADC＝2××1×DC×＝，解得DC＝2，
所以BD＝DC＝2，a＝4.
因为∠ADC＝，所以∠ADB＝.
在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝.
在△ABD中，由正弦定理，得＝，所以sin B＝＝，
所以cos B＝＝.
所以tan B＝＝.
(2)因为D为BC的中点，所以BC＝2BD.
在△ABD与△ABC中，由余弦定理，得cos B＝＝，
整理，得2BD2＝b2＋c2－2＝6，
得BD＝，所以a＝2.
在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝－，
所以S△ABC＝bcsin∠BAC＝bc
＝bc＝ ＝，解得bc＝4.则由解得b＝c＝2.
【对点练清】
(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，且a2＋b2－c2＝ab.
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c.
解：(1)在△ABC中a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理可知cos C＝＝＝.
因为C∈(0，π)，所以C＝.
因为sin C＝cos B，所以cos B＝，
又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由(1)可得B＝，C＝，则A＝π－－＝，
sin A＝sin＝sin＝×＋×＝，
由正弦定理得＝＝，
从而a＝·c＝c，b＝·c＝c，
由三角形面积公式，可知S△ABC＝absin C＝·c·c·＝c2，
由已知△ABC的面积为3＋，可得c2＝3＋，所以c＝2.
课时跟踪检测
层级(一) “四基”落实练
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是 ( )
A. B. C. D.
解析：选A 根据正弦定理得＝＝.故选A.
2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选B 由题意有＝b＝，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．
3．(多选)在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B＝ ( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：选BC 由正弦定理可知＝，
∴sin B＝＝＝，
∵0°＜B＜180°，b>a，∴B＝60°或120°.
4．在△ABC中，已知A＝，a＝，b＝1，则c的值为( )
A．1 B．2 C.－1 D.
解析：选B 由正弦定理＝，可得＝，
∴sin B＝，由a>b，得A>B，∴B∈，
∴B＝.故C＝，由勾股定理得c＝2.
5．若△ABC的三个内角满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则△ABC是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
解析：选C 由题意，利用正弦定理可得6a＝4b＝3c，则可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k＞0，则cos C＝＜0，所以C是钝角，所以△ABC是钝角三角形，故选C.
6．在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________.
解析：由正弦定理，得AB＝·BC＝2BC＝2.
答案：2
7．在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，则B＝________，△ABC的面积等于________．
解析：在△ABC中，由正弦定理得sin B＝＝＝1. 又B为三角形的内角，∴B＝，
∴c＝＝ ＝2，
∴S△ABC＝×2×2＝2.
答案： 2
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C.
解：由正弦定理可得sin A＋sin C＝sin B，又由于A－C＝90°，B＝180°－(A＋C)，故cos C＋sin C＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2C)＝cos 2C，
即cos C＋sin C＝cos 2C，cos(45°－C)＝cos 2C.
因为0°层级(二) 能力提升练
1．(多选)在△ABC中，已知b＝－1，c＝，B＝15°，则边长a＝( )
A．2 B．＋1 C．3 D．2
解析：选AB 由正弦定理可得，sin C＝＝＝，在△ABC中，∵c>b，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝105°，∴a＝＝＝＋1；当C＝120°时，A＝45°，∴a＝＝＝2.综上，可得a＝＋1或2.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.
解析：由正弦定理＝，得sin B＝·sin A＝×＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得7＝4＋c2－4c×cos 60°，
即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．
答案： 3
3．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于点D，则AD＝________.
解析：由余弦定理得cos 60°＝，整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋.又S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以×2ACsin 60°＝×2ADsin 30°＋AC×ADsin 30°，所以AD＝＝＝2.
答案：2
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．
解：(1)根据正弦定理及2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C，
得2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C＝sin(A＋C)＝sin B．∵sin B≠0，∴cos A＝.∵0＜A＜π，∴A＝.
(2)根据余弦定理得7＝a2＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－3bc.∵b＋c＝4，∴bc＝3.
5．(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
解：(1)因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.
因为2sin(A－C)＝sin B，
所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
所以2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin Acos C＝3cos Asin C，
所以sin A＝3cos A．由sin2A＋cos2A＝1，
得sin A＝.
(2)由(1)知sin A＝，tan A＝3＞0，所以A为锐角，所以cos A＝，
所以sin B＝sin＝(cos A＋sin A)＝×＝，
由正弦定理＝，
得AC＝＝＝2，
故AB边上的高为AC×sin A＝2×＝6.
层级(三) 素养培优练
1.八卦田最早出现于明代记载，如图中正八边形代表八卦，中间的圆 代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积．现测得正八边形的边长为8 m，代表阴阳太极图的圆的半径为2 m，则每块八卦田的面积为________m2.
解析：由题图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为＝45°，设等腰三角形的腰长为a，由正弦定理可得＝，解得a＝8sin，所以等腰三角形的面积S＝2sin 45°＝32·＝16(＋1)(m2)，则每块八卦田的面积为16(＋1)－×π×22＝16＋16－(m2)．
答案：16＋16－
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且b(a－b＋c)(sin A＋sin B＋sin C)＝6S.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝b＋1，c＝b－2，求cos A，cos C的值．
解：(1)由S＝absin C及b(a－b＋c)(sin A＋sin B＋sin C)＝6S，
得(a－b＋c)(sin A＋sin B＋sin C)＝3asin C.
由正弦定理得(a－b＋c)(a＋b＋c)＝3ac，
所以a2＋c2－b2＝ac.
由余弦定理得cos B＝＝＝，
因为0(2)因为a2＋c2－b2＝ac，a＝b＋1，c＝b－2，
所以(b＋1)2＋(b－2)2－b2＝(b＋1)(b－2)，
解得b＝7，所以a＝8，c＝5.
所以cos A＝＝＝，
cos C＝＝＝.
第三课时 余弦定理、正弦定理应用举例
知识点 余弦定理、正弦定理的应用
(一)教材梳理填空
实际测量中的有关名称、术语：
(1)方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的角．如图所示的θ1，θ2即表示点A和点B的方位角．故方位角的范围是0°≤θ＜360°.
(2)方向角：指以观测者为中心，正北或正南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，
它是方位角的另一种表示形式．如图，图①中表示北偏东30°，图②中表示南偏西60°.
(3)仰角和俯角：
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标 视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角．如图所示．
(4)视角：观测者的两条视线之间的夹角叫做视角．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)东北方向就是北偏东45°的方向． (√)
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×)
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(×)
(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(√)
2．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( )
A．10 km B．10 km
C．10 km D．10 km
答案：D
3．如图中的两个方向，用方位角应表示为_______(图①)与_________(图②)．
答案：60° 210°
4．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的北偏西________．
答案：34°27′
题型一 测量距离问题
【学透用活】
[典例1] 如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)．若在河岸选取相距20米的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA ＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？
[解] 由正弦定理得
AC＝
＝＝10(1＋)(米)，
BC＝＝＝20(米)．
在△ABC中，由余弦定理得
AB＝
＝10(米)．∴A，B两点间的距离为10米．
【对点练清】
如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)
解析：过点A作AD垂直于CB的延长线，垂足为D(图略)，则在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，AD＝46，则AB＝.在△ABC中，根据正弦定理得BC＝＝46×≈60(m)．
答案：60
题型二 测量高度问题
【学透用活】
[典例2] 如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是C点到水平面的垂足，求山高CD.
[解] 因为CD⊥AD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.
因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由＝，得AD＝＝＝800(＋1)(m)．
即山的高度为800(＋1)m.
【对点练清】
为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王沿与河岸平行的方向向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为______m.
解析：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝600(m)．
在△ACD中，∵tan∠DAC＝＝，
∴CD＝600×＝600(m)．
答案：600
题型三 测量角度问题
【学透用活】
[典例3] “一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，会议期间达成了多项国际合作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝120 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝150 m，则cos∠DEF＝________.
[解析] 如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，作FH∥AC交BE于H.由题中所给数据得
DF＝＝
＝10(m)，
DE＝＝＝100(m)，
EF＝＝＝130(m)．
在△DEF中，由余弦定理的推论，得
cos∠DEF＝
＝＝－.
[答案] －
【对点练清】
甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的 倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile
解：如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离BC 为
x n mile，则AC＝x.
由正弦定理得
sin θ＝＝，而θ<60°，
∴θ＝30°，∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝a.
∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a n mile.
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层级(一) “四基”落实练
1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站
南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 ( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
解析：选D 由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°.又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2．设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )
A．20 m， m B．10 m, 2 0 m
C．10(－)m, 20 m D. m， m
解析：选A 由题意，知h甲＝20tan 60°＝20(m)，
h乙＝20tan 60°－20tan 30°＝(m)．
3．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( )
A．15 km B．30 km
C．45 km D．60 km
解析：选B 如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠ CBM＝15°，所以∠MAB＝30°，
∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理，得＝，解得BM＝30 (km)．
4．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船的航行速度为 ( )
A. n mile/h B．34 n mile/h
C. n mile/h D．34 n mile/h
解析：选A 如图所示，在△PMN中，＝，
∴MN＝＝34，
∴v＝＝(n mile/h)．故选A.
5.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD
为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 ( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：选B 依题意可得AD＝20(m)，
AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，
由余弦定理得cos∠CAD＝
＝＝＝.
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
6．某人朝正东方向走x m后，向右转150°，然后朝新方向走3 m，结果他离出发点恰好为 m，那么x的值为_______．
解析：如图，在△ABC中，AB＝x，B＝30°，BC＝3，AC＝，由余
弦定理得()2＝x2＋32－2×3×x×cos 30°，
∴x2－3x＋6＝0，∴x＝或2.
答案：2或
7.如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直
线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，
45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时
14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈2.236)
解析：由题意可知，AB＝200 m，AC＝100 m，
由余弦定理可得BC＝
≈316.2(m)，
这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s)．
答案：22.6
8.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从 A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，求山高MN.
解：根据图示，AC＝100 m．在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得＝，解得AM＝100 m．在△AMN中，＝sin 60°，所以MN＝100×＝150(m)．
层级(二) 能力提升练
1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：
①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选A 对于①，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于②，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c；对于③，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c.故选A.
2．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________.
解析：如图，设竹竿的影子长为x.
依据正弦定理可得＝.
所以x＝·sin(120°－α)．
因为0°<120°－α<120°，
所以要使x最大，只需120°－α＝90°，
即α＝30°时，影子最长．
答案：30°
3．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为______小时．
解析：如图，设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米， AP＝x.在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cos A，即302＝x2＋402－2x·40cos 45°，化简得x2－40x＋700＝0，
|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，
|x1－x2|＝20，即图中的CD＝20(千米)，
故t＝＝＝1(小时)．
答案：1
4.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直 弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚 s．A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.
(1)求A，C两地的距离；
(2)求该仪器的垂直弹射高度CH.
(声音的传播速度为340 m/s)
解：(1)由题意，设AC＝x m，则BC＝x－×340＝(x－40)m.在△ABC中，由余弦定理，
得BC2＝BA2＋AC2－2BA·ACcos∠BAC，
即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.
所以A，C两地间的距离为420 m.
(2)在Rt△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°，
所以CH＝ACtan∠CAH＝140 m.
所以该仪器的垂直弹射高度CH为140 m.
层级(三) 素养培优练
如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4 m后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.
(1)求BC的长；
(2)若小明身高为1.70 m，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01 m，其中≈1.732)．
解：(1)在△ABC中，∠CAB＝45°，∠DBC＝75°，
则∠ACB＝75°－45°＝30°，AB＝4.
由正弦定理得＝，
解得BC＝4(m)．即BC的长为4 m.
(2)在△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝4，
所以DC＝4sin 75°.因为sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝，则DC＝2＋2.
所以CE＝ED＋DC＝1.70＋2＋2≈3.70＋3.464≈7.16(m)．即这棵桃树顶端点C离地面的高度为7.16 m.
