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高频考点专练14 反比例函数
（4个知识点+5个题型+3个专练+验收卷）
1、反比例函数的概念
一般的，形如 (是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．其它表示形式：或．因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴、y轴永不相交．
2、反比例函数的图象与性质
反比例函数(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响．
(k为常数，k≠0) k>0 k<0
图象
所在象限 一、三(x，y同号) 二、四(x，y异号)
性质 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
3、反比例函数的k的几何意义
由y=(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k|．
4、反比例函数解析式的确定
（1）待定系数法．由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
（2）利用反比例函数中反比例系数的几何意义
若已知某点到坐标轴的垂线与坐标轴所围成的面积，根据函数图象所在象限判断k的正负，从而确定k值，再将k值代入反比例函数解析式即可．
类型1 反比例函数的图象与性质
【例题】
1．（2025·广东佛山·三模）点在函数图象上，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称
C．点和点都在图象上 D．当时，
【变式】
2．（2025·广东广州·二模）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ）
A． B．1 C．3 D．4
3．（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
4．（2025·广东梅州·一模）在反比例函数的图象上有三个点，则函数值，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·广东江门·三模）若正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
类型2 反比例函数系数k的几何意义
【例题】
6．（2025·广东河源·模拟预测）如图，点在反比例函数图象上，轴于点，若的面积等于3，则的值是（ ）
A．3 B． C．6 D．
【变式】
7．（2025·广东清远·模拟预测）已知点都在反比例函数的图象上．过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为；过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积为，与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点在反比例函数（，）的图象上，轴，垂足为，点在轴正半轴上，连接，交轴于点.若是的中点，且，则的值为（ ）
A．1 B．0.5 C． D．
9．（2025·广东湛江·模拟预测）如图，反比例函数的图象交的斜边于点，交直角边于点，点在轴上，若的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·广东肇庆·一模）如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（ ）
A． B． C．4 D．
11．（2025·广东佛山·模拟预测）已知，如图，在矩形的对角线在轴上，，矩形的面积为，若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
类型3 实际问题与反比例函数
【例题】
12．（2025·广东韶关·二模）如图1，现有一台可调节温度的取暖器，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现控温．如图2是该取暖器的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法错误的是（ ）
A．I与R的函数关系式是
B． 当时
C．当时，I的取值范围是
D． 已知该取暖器的发热功率为，则P随R的增大而增大
【变式】
13．（2025·广东惠州·一模）某智能空调的制冷功率（单位：瓦特）与用户设定的温度（单位：）成反比例关系，表达式为．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合设计要求，参数的取值范围应为（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·广东深圳·二模）钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高）．若要使频率升高到（即达到标准音高），以下调整张力正确的是（ ）
A．增大至 B．减小至
C．增大至 D．减小至
15．（2025·广东肇庆·三模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
16．（2025·广东清远·二模）节能环保已成为人们的共识．小东家计划购买300度电，若平均每天用电度、则能使用天．下列说法正确的是（ ）
A．若减小，则也减小 B．若减少100，则就增加100
C．若，则 D．若，则
17．（2025·广东佛山·一模）反比例函数广泛应用于物理、化学等自然学科中．比如在电学的某一电路中（开关闭合），电压不变时，电流（安培）是电阻（欧姆）的反比例函数．当时，．则与之间的函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2025·广东·二模）【实验与探究】
在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格：
托盘B与点O之间的距离 10 20 30 40
托盘B中砝码的总质量 60 30 20 15
(1)小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式；
(2)当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离；
(3)已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量．
19．（2025·广东东莞·三模）如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上．
(1)求段滑梯所在的双曲线的解析式不需写出的取值范围；
(2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离；
(3)若要在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到的距离不超过米，求点到水面的距离至少多少米？
20．（2025·广东广州·二模）综合与实践：课题小空间检测视力问题
具体情境：对某班学生视力进行检测的任务；
现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的空书房．
(1)如图，若将视力表挂在墙上，在墙上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离______米处；
(2)小明选择按比例制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力表上视力值V和该行字母E的宽度a之间的关系是一种函数模型，字母E的宽度a如上中图所示，视力表上部分视力值V和字母E的宽度a的部分对应数据如左下表所示：
位置 视力值V a的值（）
第1行 0.1 70
第5行 0.25 28
第8行 0.5 14
第14行 2 3.5
①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值V与字母E的宽度a（说明理由），并求出视力值V与字母E宽度a之间的函数关系式；
②小明在制作过程中发现某行字母E的宽度a的值，请问该行对应的视力值是多少？
类型4 反比例函数与一次函数综合
【例题】
21．（2025·广东惠州·二模）实践与研究：
(1)根据下面列表，在同一直角坐标系中画出函数和的图像．
… 1 2 3 …
… 4 2 …
… 0 2 3 4 …
… 4 2 …
(2)观察两个函数图像，的图像可以由的图像怎么变换得到？
(3)当动直线与在第一象限内只有一个交点时，交点坐标为，若与在轴右侧的图像无交点，试确定的取值范围．
【变式】
22．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点．
(1)求t的值；
(2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；
(3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．
23．（2025·广东广州·二模）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度随时间变化的部分示意图.该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时开始制冷，温度开始逐渐下降；当温度下降到时停止制冷，温度开始逐渐上升；当温度上升到时，再次开始制冷，按照以上方式循环工作.通过研究发现，当时，温度是时间的一次函数；当时，温度是时间的反比.
(1)求当时的反比例函数关系式，并求出的值；
(2)若规定温度不高于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是多少？
24．（2025·广东广州·二模）如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现的长度和重物的质量之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
… 10 16 20 25 40 50 …
… 8 5 4 3.2 2 1.6 …
(1)在图1中描出表中数据对应的点；
(2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物的质量为和的长度为的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标．
25．（2025·广东佛山·二模）综合与实践
【问题情境】小明在海边看到一艘装有四根大圆筒的轮船（如1图所示），通过查阅资料了解到这是马格努斯转子船，当圆筒高速旋转时，可以助推货轮前进，其原理是旋转的物体在流体（如空气或水）中运动时，会受到一个垂直于运动方向的力，这种物理现象被称为马格努斯效应（如2图所示）．生活中的足球“香蕉球”、乒乓球弧圈球，都是马格努斯效应的常见例子．
【设计方案】小明与同学组成科技小组，设计实验验证马格努斯效应．实验装置如3图所示，圆柱体模拟转子船的圆筒（圆柱体半径和高度都可以调节）．已知装置产生的推力满足公式．，其中k为比例系数（与圆柱体侧面积A有关，实验条件下关系近似为ω为电机控制圆柱体旋转的角速度（单位：），v为电风扇模拟的风速（单位：），产生的推力F可用测力计测量（单位：N）．现有实验数据如下：
实验组 风速v（） 旋转角速度ω（） 推力F（N）
1 5 4 24
【问题解决】
(1)保持风速不变，若要推力达到48N，求此时旋转角速度；
(2)保持风速不变，已知圆柱体的最高旋转角速度ω为10．
①现有装置能否产生100N的推力？请说明理由；
②已知初始时圆柱体半径，请设计一个改变圆柱体半径的方案（高度不变），使得装置在最高旋转角速度下能产生100N推力．（结果保留2位小数，计算过程中π取3）
26．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标；
(3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．
类型5 反比例函数与几何综合
【例题】
27．（2025·广东湛江·二模）反比例函数在第一象限的图象如图所示，过点作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点M，的面积为2．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)设点B的坐标为，其中．若以为一边的正方形有一个顶点在反比例函数的图象上，求t的值．
【变式】
28．（2025·广东东莞·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边轴，点的坐标为，点的坐标为，为边的中点，点在边上，且，反比例函数的图象经过点．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)求点的坐标；
(3)将点向下平移，当点落在反比例函数的图象上时，求平移的距离．
29．（2025·广东广州·二模）一把直尺如图所示放置在直角坐标系上，直尺的零刻度与原点重合，且直尺一边与y轴正半轴夹角为，对边经过x轴上点和双曲线上的点B，双曲线上的点C正好对着直尺上的刻度2．（直角坐标系中单位长度与直尺刻度单位长度一致．）
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)求点B的坐标．
30．（2025·广东东莞·模拟预测）【问题情境】如图1，矩形的顶点分别在轴和轴上，点的坐标为，反比例函数的图象与边和边分别交于点和点，连接．
【数学理解】
(1)如图1，当时，求点和点的坐标；
(2)如图2，连接，请判断与的位置关系，并给出证明；
(3)如图3，将沿折叠，点关于的对称点为点，当点不落在矩形外部时，求的取值范围．
31．（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．
(1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长．
(2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明．
32．（2024·广东·中考真题）【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A．
【构建联系】
（1）求证：函数的图象必经过点C．
（2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值．
【深入探究】
（3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围．
专练1 反比例函数的图像与性质
满分：60分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2025·云南·中考真题）若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（ ）
A． B． C．D．
4．（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
7．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
8．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
二、填空题（每题4分，共36分）
9．（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是 ．（只需写出一个）
10．（2025·湖北武汉·中考真题）在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的的值是 ．
11．（2025·福建·中考真题）若反比例函数的图象过点，则常数 ．
12．（2025·甘肃·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么 （请写出一个符合条件的k值）．
13．（2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数，则当时，的最小值是 ．
14．（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过两点，若，则的取值范围是 ．
15．（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为 ．
16．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为 ．
17．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ．
专练2 反比例函数与一次函数综合
满分：120分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2025·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．或
2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
3．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（ ）
A． B．与的面积相等
C．的面积是 D．当时，
4．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数与正比例函数的图象交于点A．将正比例函数的图象向上平移个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C．过点C作x轴的垂线，与x轴交于点D．线段与交于点E，点E为中点，则k的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
5．（2025·贵州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论：
①线段的长为8；
②点的坐标为；
③当时，一次函数的值小于反比例函数的值．
其中结论正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、解答题（共96分）
6．（2025·甘肃·中考真题，8分）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当的面积为3时，求m的值．
7．（2025·江西·中考真题，8分）如图，直线与反比例函数的图象交于点．
(1)求一次函数和反比例函数解析式；
(2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离．
8．（2025·四川达州·中考真题，8分）如图，直线与双曲线交于点，点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)点P在x轴上，，求点P的坐标．
9．（2025·山西·中考真题，8分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2．
(1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
(2)连接，请直接写出四边形的面积．
10．（2025·四川南充·中考真题，8分）如图，一次函数与反比例函数图象交于点，．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式．
(2)点在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为，过点作轴的垂线，交于点，，求的值．
11．（2025·山东淄博·中考真题，10分）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点．
(1)求出直线对应的函数表达式；
(2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
12．（2025·四川广元·中考真题，10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积；
(3)点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
13．（2025·四川内江·中考真题，12分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
(3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积．
14．（2025·四川成都·中考真题，12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为．
(1)求k的值；
(2)直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式；
(3)P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标．
15．（2025·重庆·中考真题，12分）如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围：
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
专练3 反比例函数与几何综合
满分：90分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共21分）
1．（2025·山东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形是面积为4的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．10
4．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（ ）
A．25 B．26 C． D．
6．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论：
①与的面积一定相等；
②与的面积可能相等；
③一定是锐角三角形；
④可能是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题（每题3分，共9分）
8．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则 ．
9．（2025·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A作直线交x轴于点C，连接，则的面积是 ．
10．（2025·福建·中考真题）如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，且反比例函数的图像经过点，连接，则与的面积比是 ．
三、解答题（每题10分，共60分）
11．（2025·河南·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标．
12．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值．
13．（2025·四川德阳·中考真题）如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点．
(1)求反比例函数解析式；
(2)求直线的解析式和点的坐标．
14．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，．
(1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式；
(2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____．
15．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5．
(1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；
(2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C．
(1)求m，k的值．
(2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m．
①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标；
②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标．
反比例函数验收卷
满分：120分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（ ）
A．人的身高和年龄
B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高
C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用
D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间
2．已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ）
A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点
C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而减小
3．函数（为常数）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．变速自行车通过调节牙盘（前齿轮）与飞轮（后齿轮）的齿数组合来调节车速，如图，始终满足：前齿轮齿数前齿轮转速后齿轮齿数后齿轮转速．若将前齿轮齿数设定为40，转速为100转/分钟；后齿轮齿数为x，其转速为y转/分钟，错误的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．要增大y，应增大x D．若x增大一倍，则y减少一半
6．如图，点A，C在反比例函数第一象限的图象上，点B，D在反比例函数第二象限的图象上，轴，，，与之间的距离为1，则的值是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．8
7．“已知，求代数式的值．”其中两个“”部分给出的是x，y，e，d满足的条件．在题目中的已知条件下，求出的这个代数式的值的正确答案是．下列选项中不能得到正确答案的是（ ）
A．x，y互为倒数，c，d互为相反数
B．，
C．点在双曲线上，点在直线上
D．，
8．若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（ ）
A．最大值为 B．最大值为
C．最小值为 D．最大值为
9．如图，平面直角坐标系内有正六边形，，，若的图象使得正六边形的六个顶点分布在它的两侧，每侧各三个点，则的整数值的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，已知平行四边形的顶点，分别在轴和轴的正半轴上，顶点，分别落在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线，垂足为点，且．若平行四边形的面积为，则的值为( )
A．6 B．9 C．12 D．18
二、填空题（每题3分，共15分）
11．已知反比例函数在时，y的值随x的增大而减小，写出一个符合条件的k的值为 ．
12．若反比例函数经过，则的值为 ．
13．如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．
14．如图，正方形的顶点都在正方形网格的格点处，已知点，若反比例函数的图象与正方形有公共点（包括边界），则的整数值有 个．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点，，若反比例函数的图象经过点，则 ．
三、解答题（共75分）
16．（8分）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
17．（8分）某公司生产甲、乙两种产品，每件甲种产品的成本为15元，每件乙种产品的成本包括材料成本和制造成本，其中材料成本固定不变，制造成本与生产产品的数量成反比；现计划生产甲、乙两种产品共200件，其中生产乙产品件，乙产品每件成本为元，在生产过程中，可以得到如下数据：
（件） 20 40
（元） 20 15
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若生产甲产品的总成本不少于生产乙产品的总成本，求生产这200件产品的最小成本．
18．（8分）如图，反比例函数的图象经过点，，直线与轴交于点．
(1)求反比例函数的表达式及的值；
(2)过点作轴于点，连接，．请直接写出的面积．
19．（9分）如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
(3)线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：．
20．（9分）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象为G，直线经过点，与图象G交于B，C两点．
(1)求b的值，并在图中画出直线l；
(2)当点B与点A重合时，点在第一象限内且在直线l上，过点P作轴于点Q．
①求点C的坐标；
②连接OP，若，直接写出m的取值范围．
21．（10分）如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘与点之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格：
托盘与点的距离 10 15 20 25 30
托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10
(1)与之间的函数表达式为____________．
(2)当砝码的质量为时，求托盘与点之间的距离．
(3)当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码 并说明理由．
22．（10分）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．
(3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．
23．（13分）如图，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，连接．点的刻度分别为5，2，直尺的宽度为，，设直线的解析式为．
(1)请结合图象直接写出不等式的解集；
(2)求直线的解析式；
(3)平行于轴的直线与交于点，与反比例函数图象交于点，当这条直线左右平移时，线段的长有没有可能是，若有可能，请求出的值；若没有可能，请说明理由．
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高频考点专练14 反比例函数
（4个知识点+5个题型+3个专练+验收卷）
1、反比例函数的概念
一般的，形如 (是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．其它表示形式：或．因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴、y轴永不相交．
2、反比例函数的图象与性质
反比例函数(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响．
(k为常数，k≠0) k>0 k<0
图象
所在象限 一、三(x，y同号) 二、四(x，y异号)
性质 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
3、反比例函数的k的几何意义
由y=(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k|．
4、反比例函数解析式的确定
（1）待定系数法．由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
（2）利用反比例函数中反比例系数的几何意义
若已知某点到坐标轴的垂线与坐标轴所围成的面积，根据函数图象所在象限判断k的正负，从而确定k值，再将k值代入反比例函数解析式即可．
类型1 反比例函数的图象与性质
【例题】
1．（2025·广东佛山·三模）点在函数图象上，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称
C．点和点都在图象上 D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，包括函数的增减性、对称性和点的坐标关系，解题的关键在于理解反比例函数的基本性质，特别是函数图像的分布特点和对称性，以及通过给定的点验证其他点是否满足函数关系，从而判断各选项的正确性．结合点在图象上的条件，逐一分析选项的正确性．
【详解】解：A、反比例函数，在每个象限内y随x的增大而增大，选项说法不正确，不符合题意；
B、反比例函数，图象分布在第二、四象限，图象关于原点对称，选项说法不正确，不符合题意；
C、点在函数图象上，所以点和点都在图象上，选项说法正确，符合题意；
D、当时，，选项说法不正确，不符合题意；
故选：C．
【变式】
2．（2025·广东广州·二模）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ）
A． B．1 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据当时，反比例函数的图象位于第一、三象限求解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴，
∴，
观察各选项，只有选项D符合题意，
故选：D．
3．（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限．
【详解】解：确定k的符号：
由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数．
∵反比例函数的图象位置由的符号决定：
当时，图象位于第一、三象限；
当时，图象位于第二、四象限．
因为负数，故图象在第二、四象限．
综上，正确答案为选项C．
故选：C
4．（2025·广东梅州·一模）在反比例函数的图象上有三个点，则函数值，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先分别求出的值，再比较大小即可，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：在反比例函数的图象上有三个点，
，，，
，
，
故选：C．
故选：A．
5．（2025·广东江门·三模）若正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数与正比例函数图象关于原点成中心对称图形解答即可．
【详解】解：依题意，点与点关于原点成中心对称图形，
∴点的坐标是
类型2 反比例函数系数k的几何意义
【例题】
6．（2025·广东河源·模拟预测）如图，点在反比例函数图象上，轴于点，若的面积等于3，则的值是（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数中的几何意义．由的面积为3，可得，再结合图象经过一、三象限，从而可确定的值．
【详解】解：的面积为3，
，
，
，
图象经过一、三象限
，
，
故选：C．
【变式】
7．（2025·广东清远·模拟预测）已知点都在反比例函数的图象上．过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为；过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积为，与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握反比例函数图形的性质是解题的关键．
根据题意得到，，由此即可求解．
【详解】解：点都在反比例函数的图象上，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为，
∴，
过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积为，
∴，
∴，
故选：D ．
8．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点在反比例函数（，）的图象上，轴，垂足为，点在轴正半轴上，连接，交轴于点.若是的中点，且，则的值为（ ）
A．1 B．0.5 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了求反比例函数的几何意义，解题的关键是熟练掌握系数k的意义，连接，根据题意得出，，求出k的值即可．
【详解】解：如图，连接，
因为，
所以四边形是平行四边形，
∴
又∵是的中点
∴
∴
∴
∵反比例函数图象在第二象限，
∴，
故选：D．
9．（2025·广东湛江·模拟预测）如图，反比例函数的图象交的斜边于点，交直角边于点，点在轴上，若的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
利用反比例函数系数的几何意义和相似三角形的判定与性质，通过面积关系建立方程即可求解的值．
【详解】解：过点作轴的垂线交轴于点，如图：
的面积和的面积相等，都等于，
的面积为，
的面积，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
故选：B．
10．（2025·广东肇庆·一模）如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解答本题的关键．根据k值的几何意义得出，，根据，得出，从而得出，最后求出k值即可．
【详解】解：∵矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
故选：D．
11．（2025·广东佛山·模拟预测）已知，如图，在矩形的对角线在轴上，，矩形的面积为，若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义、矩形性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键．根据矩形性质得到，根据条件证明，利用相似三角形性质得到，继而求出值即可．
【详解】解：如图，作轴，垂足为，
矩形的对角线在轴上，，矩形的面积为，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
类型3 实际问题与反比例函数
【例题】
12．（2025·广东韶关·二模）如图1，现有一台可调节温度的取暖器，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现控温．如图2是该取暖器的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法错误的是（ ）
A． I与R的函数关系式是
B． 当时
C．当时，I的取值范围是
D． 已知该取暖器的发热功率为，则P随R的增大而增大
【答案】D
【分析】根据题意，确定反比例函数的解析式，利用性质解答即可．
本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练掌握函数的增减性是解题的关键．
【详解】解：A.点在反比例函数的图象上，
，
解得
反比例函数的解析式是，正确，不符合题意；
B. 当时，，正确，不符合题意；
C. 当时，，当时，，根据反比例函数的性质，得I随R的增大而减小，由，故I的取值范围是，正确，不符合题意；
D. 已知该取暖器的发热功率为，I是变量，R是变量，无法这样描述它们之间的关系，错误，符合题意；
故选：D．
【变式】
13．（2025·广东惠州·一模）某智能空调的制冷功率（单位：瓦特）与用户设定的温度（单位：）成反比例关系，表达式为．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合设计要求，参数的取值范围应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的性质及其应用．根据变量变化趋势即可确定参数范围．
【详解】解：∵，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小，
∴，
解得，
故选：A．
14．（2025·广东深圳·二模）钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高）．若要使频率升高到（即达到标准音高），以下调整张力正确的是（ ）
A．增大至 B．减小至
C．增大至 D．减小至
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．
利用待定系数法求出与之间的函数关系式，求出对应的值即可．
【详解】解：设与之间的函数关系式为（为常数，且），
将，代入，
得，
解得，
∴与之间的函数关系式为，
当时，得，
解得，
∵与之间的函数关系式为，在第一象限，随的增大而减小，
∴当由 升到时，并结合图像，应该将张力减小至，
故选：D．
15．（2025·广东肇庆·三模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的应用，根据待定系数法求出v与M的函数关系式，当时，求出对应v的值即可．
【详解】解：最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，
∴设v与M的函数关系式为（k为常数，且），
将，代入得：，
，
∴v与M的函数关系式为，
时，，
∴当其载重后总质量时，它的最快移动速度．
故选：D．
16．（2025·广东清远·二模）节能环保已成为人们的共识．小东家计划购买300度电，若平均每天用电度、则能使用天．下列说法正确的是（ ）
A．若减小，则也减小 B．若减少100，则就增加100
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的应用，先理解题意得，再结合反比例函数的图象性质得若减小，则增大，当时，，当时，则，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵小东家计划购买300度电，若平均每天用电度、则能使用天．
∴，
∴
若减小，则增大，故不符合题意；
∵，
∴不一定等于300，故B不符合题意；
当时，，故C不符合题意：
当时，，则，故D符合题意．
故选D．
17．（2025·广东佛山·一模）反比例函数广泛应用于物理、化学等自然学科中．比如在电学的某一电路中（开关闭合），电压不变时，电流（安培）是电阻（欧姆）的反比例函数．当时，．则与之间的函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键在于根据题意求出反比例函数解析式．设，利用待定系数法求出解析式，再结合解析式求解，即可解题．
【详解】解：由题意设，
∵当时，，
∴，
∴与之间的函数关系式为：；
A、当时，，即在图象上方，故该选项不符合题意；
B、当时，，即在图象上方，故该选项符合题意；
C、当时，，即在图象上，故该选项不符合题意；
D、当时，，即在图象下方，故该选项不符合题意；
故选：B．
18．（2025·广东·二模）【实验与探究】
在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格：
托盘B与点O之间的距离 10 20 30 40
托盘B中砝码的总质量 60 30 20 15
(1)小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式；
(2)当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离；
(3)已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）设出解析式并利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出函数值为10时的自变量的值即可得到答案；
（3）求出自变量的值为120时的函数值，再判断出函数的增减性即可得到答案．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由表格中的数据可知，当时，，
∴，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：在中，当时，，
∴当砝码的总质量为时，托盘B与点O之间的距离为；
（3）解：在中，当时，，
∵，
∴在第一象限内，y随x增大而减小，
∴当时，，
∴装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量为．
19．（2025·广东东莞·三模）如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上．
(1)求段滑梯所在的双曲线的解析式不需写出的取值范围；
(2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离；
(3)若要在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到的距离不超过米，求点到水面的距离至少多少米？
【答案】(1)
(2)米
(3)米
【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．
（1）利用待定系数法计算即可；
（2）设点的坐标为并代入与的函数关系式，求出的值再减去的长即可；
（3）设点的坐标为并代入与的函数关系式，将用表示出来，根据列关于的不等式并求其解集，从而得到的最小值即可．
【详解】（1）解：米，米，
点的坐标为，
设段滑梯所在的双曲线的解析式为为常数，且，
将坐标代入，
得，
解得，
段滑梯所在的双曲线的解析式为．
（2）设点的坐标为，
将代入，
得，
解得，
米，
，之间的水平距离为米．
（3）设点的坐标为，
将代入，
得，
，
根据题意，得，
解得，
点到水面的距离至少米．
20．（2025·广东广州·二模）综合与实践：课题小空间检测视力问题
具体情境：对某班学生视力进行检测的任务；
现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的空书房．
(1)如图，若将视力表挂在墙上，在墙上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离______米处；
(2)小明选择按比例制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力表上视力值V和该行字母E的宽度a之间的关系是一种函数模型，字母E的宽度a如上中图所示，视力表上部分视力值V和字母E的宽度a的部分对应数据如左下表所示：
位置 视力值V a的值（）
第1行 0.1 70
第5行 0.25 28
第8行 0.5 14
第14行 2 3.5
①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值V与字母E的宽度a（说明理由），并求出视力值V与字母E宽度a之间的函数关系式；
②小明在制作过程中发现某行字母E的宽度a的值，请问该行对应的视力值是多少？
【答案】(1)1.2
(2)①；②该行对应的视力值是
【分析】本题考查反比例函数的应用，轴对称的性质，关键是由题意得到视力值V与字母宽度a成反比例函数关系．
（1）由轴对称的性质即可得到答案．
（2）①由视力值V与字母宽度a的乘积是定值，得到视力值V与字母宽度a成反比例函数关系，用待定系数法即可求出函数关系式．②把，代入，即可得到答案．
【详解】（1）解：（米），
∴测试线应画在距离墙的米处；
（2）解：①∵视力值V与字母宽度a的乘积是定值7，
∴视力值V与字母宽度a成反比例函数关系．
设，
把，代入得到，
∴视力值V与字母宽度a的函数关系是，
②把，代入，得，
∴该行对应的视力值是．
类型4 反比例函数与一次函数综合
【例题】
21．（2025·广东惠州·二模）实践与研究：
(1)根据下面列表，在同一直角坐标系中画出函数和的图像．
… 1 2 3 …
… 4 2 …
… 0 2 3 4 …
… 4 2 …
(2)观察两个函数图像，的图像可以由的图像怎么变换得到？
(3)当动直线与在第一象限内只有一个交点时，交点坐标为，若与在轴右侧的图像无交点，试确定的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)将 的图象向右平移1个单位，得到的图象．
(3)
【分析】本题考查反比例函数图象及性质，函数图象上点的特点；掌握函数图象的画法，数形结合是解题的关键．
（1）根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象即可；
（2）根据函数图象的变换得出平移方法；
（3）分别将代入直线，求出，求出 的图象与y轴的交点为，把代入直线，求出，根据与在轴右侧的图像无交点即可确定的取值范围．
【详解】（1）解：描点，连线，如图即为两函数图像
（2）解：将 的图象向右平移1个单位，得到的图象．
（3）解：因为的图象由 的图象向右平移1个单位得到，
此时动直线与函数图象的交点也向右平移1个单位得到，
将代入直线，得，
当时，，
∴ 的图象与y轴的交点为，
将代入直线得，
故要使得与在轴右侧的图像无交点，则．
【变式】
22．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点．
(1)求t的值；
(2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；
(3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．
【答案】(1)
(2)，见详解
(3)
【分析】本题考查了概率公式，反比例函数的性质，一次函数的性质，画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）直接把代入进行计算，得；
（2）先得出，再代入直线，求出，即可求出l与y轴交点的坐标，再由两点确定一条直线画出直线的函数图象；
（3）先得出格点共有个，分别是再分析得出格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，最后运用概率公式列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵曲线过点．
∴；
（2）解：由（1）得，
故，
∵直线也经过点P，
∴把代入，得，
解得，
∴；
令，则，
∴l与y轴交点的坐标为；
直线l的函数图象，如图所示；
（3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是，
∵曲线，
则，
∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，
即该格点在曲线G上的概率．
23．（2025·广东广州·二模）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度随时间变化的部分示意图.该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时开始制冷，温度开始逐渐下降；当温度下降到时停止制冷，温度开始逐渐上升；当温度上升到时，再次开始制冷，按照以上方式循环工作.通过研究发现，当时，温度是时间的一次函数；当时，温度是时间的反比.
(1)求当时的反比例函数关系式，并求出的值；
(2)若规定温度不高于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是多少？
【答案】(1)，
(2)有效制冷时间是9分钟
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的图象和性质，函数与方程的关系，是解题的关键．
（1）由函数图象可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的t的值即可；
（2）求出一次函数的解析式，分别求出时一次函数中与反比例函数中的x值，即可求解．
【详解】（1）解：设当时的反比例函数关系式为，
由图象可知，点在函数图象上，
，
解得，，
当时的反比例函数关系式为．
当时，，
解得，；
（2）解：当时，，
解得：，
设当时的一次函数关系式为，
由图象可知，点，点在函数图象上，
则，
解得：
当时的一次函数关系式为，
当时，，
解得，，
（分钟）．
答：在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是9分钟．
24．（2025·广东广州·二模）如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现的长度和重物的质量之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
… 10 16 20 25 40 50 …
… 8 5 4 3.2 2 1.6 …
(1)在图1中描出表中数据对应的点；
(2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物的质量为和的长度为的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)满足条件的点的坐标为或
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键．
（1）在坐标系中描出表中数据对应的点即可；
（2）将代入得，求出，得到函数的解析式为；
（3）设，连接，得到，求出，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：将代入得，
，
函数的解析式为；
（3）解：点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数上一点，
设，
如图，连接，
，
，
，
解得，
经检验是原方程的根，
当时，，
，
当时，，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
25．（2025·广东佛山·二模）综合与实践
【问题情境】小明在海边看到一艘装有四根大圆筒的轮船（如1图所示），通过查阅资料了解到这是马格努斯转子船，当圆筒高速旋转时，可以助推货轮前进，其原理是旋转的物体在流体（如空气或水）中运动时，会受到一个垂直于运动方向的力，这种物理现象被称为马格努斯效应（如2图所示）．生活中的足球“香蕉球”、乒乓球弧圈球，都是马格努斯效应的常见例子．
【设计方案】小明与同学组成科技小组，设计实验验证马格努斯效应．实验装置如3图所示，圆柱体模拟转子船的圆筒（圆柱体半径和高度都可以调节）．已知装置产生的推力满足公式．，其中k为比例系数（与圆柱体侧面积A有关，实验条件下关系近似为ω为电机控制圆柱体旋转的角速度（单位：），v为电风扇模拟的风速（单位：），产生的推力F可用测力计测量（单位：N）．现有实验数据如下：
实验组 风速v（） 旋转角速度ω（） 推力F（N）
1 5 4 24
【问题解决】
(1)保持风速不变，若要推力达到48N，求此时旋转角速度；
(2)保持风速不变，已知圆柱体的最高旋转角速度ω为10．
①现有装置能否产生100N的推力？请说明理由；
②已知初始时圆柱体半径，请设计一个改变圆柱体半径的方案（高度不变），使得装置在最高旋转角速度下能产生100N推力．（结果保留2位小数，计算过程中π取3）
【答案】(1)
(2)①现有装置不能产生推力，详见解析；②当圆柱体半径变为时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生推力
【分析】本题主要考查实际问题与反比例函数和解一元一次方程，
（1）根据和表中数据求得k，结合已知的推力即可求得旋转角速度；
（2）①根据保持风速不变，可求得现有装置能产生的最大推力为60，
②根据求得圆柱体的高，在最高旋转角速度下，当时求得，进一步求得解得即可．
【详解】（1）解：，
，
当时，，
解得旋转角速度；
（2）解：①保持风速不变，现有装置能产生的最大推力为
，
现有装置不能产生推力；
②，
，
解得圆柱体的高，
在最高旋转角速度下，当时，．
又，
，
解得
当圆柱体半径变为时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生推力．
26．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标；
(3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键．
（1）过点作轴于，由的面积为1，可得的长，从而得出点的坐标，即可得出答案；
（2）设，则，，利用坐标与图形的性质表示出和的长，从而列出方程解决问题；
（3）首先求出点的坐标，设，，再利用中点坐标公式可得点的横坐标，从而解决问题．
【详解】（1）解：过点作轴于，
对于一次函数，
当时，，
，
的面积为1．
，
，
当时，，
，
将点代入反比例函数得：
，
反比例函数解析式为；
（2）解：设，则，
，，
，
，
解得，
点在直线下方的双曲线上，
，
当时，，
；
（3）解：所有符合条件的点的坐标为或；理由如下：
当时，
解得或，
经检验，或都是方程的根，
，
设，，其中，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，，
当、为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得，
；
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得，
；
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：（舍去）；
综上所述，点的坐标为或．
类型5 反比例函数与几何综合
【例题】
27．（2025·广东湛江·二模）反比例函数在第一象限的图象如图所示，过点作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点M，的面积为2．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)设点B的坐标为，其中．若以为一边的正方形有一个顶点在反比例函数的图象上，求t的值．
【答案】(1)；
(2)4或．
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象和性质等知识．关键在于结合图形找点的坐标．
（1）根据的面积为2，可求出点的坐标，即可求解．
（2）分情况讨论即可．
【详解】（1）解：的面积为2，反比例函数的图象经过第一象限，
，
，
反比例函数的表达式为．
（2）解：设正方形为，
当顶点在反比例函数的图象上时，点与点重合，即．
把代入，得，
点的坐标为，
，
；
当顶点在反比例函数的图象上时，，
点的坐标为，
．
整理，得，
解得，（舍去），
综上所述，的值为4或．
【变式】
28．（2025·广东东莞·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边轴，点的坐标为，点的坐标为，为边的中点，点在边上，且，反比例函数的图象经过点．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)求点的坐标；
(3)将点向下平移，当点落在反比例函数的图象上时，求平移的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)平移的距离为个单位
【分析】本题考查了反比例函数与坐标图形，掌握反比例函数的性质是解题的关键；
（1）待定系数法求解析式，将代入反比例函数解析式，即可求解；
（2）根据题意得出，然后根据得出，即可求解；
（3）设平移后的对应点为，代入（1）中的函数解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
∴
∴该反比例函数的解析式为；
（2）解：∵正方形的边轴，点的坐标为，
∴的纵坐标为，点的横坐标为
∵点的坐标为，为边的中点，
∴
∴正方形的边长为
∴，则
∵，
∴，则的横坐标为
∴；
（3）解：依题意，设向下平移个单位，则平移后的对应点为
∵在上，
∴
解得：，即平移的距离为个单位．
29．（2025·广东广州·二模）一把直尺如图所示放置在直角坐标系上，直尺的零刻度与原点重合，且直尺一边与y轴正半轴夹角为，对边经过x轴上点和双曲线上的点B，双曲线上的点C正好对着直尺上的刻度2．（直角坐标系中单位长度与直尺刻度单位长度一致．）
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)求点B的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，解直角三角形的相关计算，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）先结合，，得出，然后得，再把代入进行计算，即可作答．
（2）过点作轴于，结合，故，因为，即，再把代入进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于，
在中，，，，
，，
．
设反比例函数解析式为，
把代入，得，
反比例函数解析式为．
（2）解：过点作轴于，
，
．
设，在中，，则．
，
．
．
∵在反比例函数的图象上，
，
整理得，解得或（舍去），
．
30．（2025·广东东莞·模拟预测）【问题情境】如图1，矩形的顶点分别在轴和轴上，点的坐标为，反比例函数的图象与边和边分别交于点和点，连接．
【数学理解】
(1)如图1，当时，求点和点的坐标；
(2)如图2，连接，请判断与的位置关系，并给出证明；
(3)如图3，将沿折叠，点关于的对称点为点，当点不落在矩形外部时，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）设，可得，，将点D，E代入反比例函数解析式求出a即可；
（2）根据,、，求出，，证明，可得，然后利用相似三角形的性质和平行线的判定定理可得结论；
（3）根据点D坐标可知，当点在轴上时，的值最小；当点与点重合时，的值最大；当点在轴上时，证明，解直角三角形求出，然后利用勾股定理求出，得到点E坐标，进而可得的最小值；当点与点重合时，代入即可求出的最大值．
【详解】（1）解：设，
四边形是矩形，点的坐标为，
，，
双曲线经过点，E，
，
，
，；
（2）；
证明：如图2，点、点都在双曲线上，点的坐标为，
,、，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，
，
，
；
（3）解：如图3，连接、交于点，交于点，
,，
随D的横坐标的增大而增大，
当点在轴上时，的值最小；当点与点重合时，的值最大，
当点在轴上时，
垂直平分，，
，
，
，
，且，
，
解得：，
则，
∴，
当点与点重合时，则，
∴的取值范围是．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，解直角三角形以及勾股定理等，其中确定的临界点是（3）中解题的关键．
31．（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．
(1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长．
(2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点，证明过程见解析
【分析】（1）设，根据题意，得，解分式方程，即可求解；
（2）①作线段的垂直平分线，交于点；②过点作，且；③连接；④以点为圆心，为半径，画弧，交于点；⑤以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为线段的中外比点．
设，根据勾股定理求得，继而求得，，分别代入、，即可求证点为线段的中外比点；
（3）当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，分三种情况讨论：①当时，证得，设点，则，根据点、在反比例函数的图象上，可构建方程，解得，分别求得、、、、、的值，即可求证．设直线的函数解析式为，利用待定系数法求得直线的函数解析式为，联立方程组，求得点的坐标，即可求证；②当，同理可证点，，分别为，，的中外比点；③当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符．
【详解】（1）解：设，则，
根据题意，得：，即，
整理，得：，解得：，，
，
舍去，
．
（2）解：如图所示，点为所求．
设，
根据题意，得：，，
，
，，
，，
，
点为线段的中外比点．
（3）解：当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，理由如下：
第一种情况：当，则，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
设点，
，，则，
点、在反比例函数的图象上，
得：，
由①得：，将其代入②，得：，
整理，得：，
解得：，
，（舍去），
，，，
，，，
，，，
，，
，，
，，
点、为、的中外比点．
点在反比例函数的图象上，，
，
反比例函数为，
，
设直线的函数解析式为，
将点，代入，得：，
直线的函数解析式为，
联立方程组，解得：，
，
，
点为的中外比点．
第二种情况：当，则，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
设点，
，，则，
点、在反比例函数的图象上，
得：，
由①得：，将其代入②，得：，
整理，得：，
解得：，
，（舍去），
，，，
，，，
，，，
，，
点、为、的中外比点．
点在反比例函数的图象上，，
，
反比例函数为，
，
设直线的函数解析式为，
将点，代入，得：，
直线的函数解析式为，
联立方程组，解得：，
，
，
点为的中外比点．
第三种情况：当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在．
综上所述，当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，中外比点即黄金分割点的尺规作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，二次根式的混合运算，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，两点坐标的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题关键．
32．（2024·广东·中考真题）【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A．
【构建联系】
（1）求证：函数的图象必经过点C．
（2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值．
【深入探究】
（3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】（1）设，则，用含的代数式表示出，再代入验证即可得解；
（2）先由点B的坐标和k表示出，再由折叠性质得出，如图，过点D作轴，过点B作轴，证出，由比值关系可求出，最后由即可得解；
（3）当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，进而即可求出k的取值范围．
【详解】（1）设，则，
∵轴，
∴D点的纵坐标为，
∴将代入中得：得，
∴，
∴，
∴，
∴将代入中得出，
∴函数的图象必经过点C；
（2）∵点在直线上，
∴，
∴，
∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2，
∵函数的图象经过点A，C，
∴，，
∴，
∴，
∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，
∴，，
∴，
如图，过点D作轴，过点B作轴，
∵轴，
∴H，A，D三点共线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴,
∵，
∴，，
∴，
由图知，，
∴，
∴；
（3）∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合，
∴，
∵四边形为矩形，
∴四边形为正方形，，
∴，，，
∵轴，
∴直线为一，三象限的夹角平分线，
∴，
当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，
∵轴，
∴H，A，D三点共线，
∵以点O为圆心，长为半径作，，
∴，
∴，
∴，，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，
∵,
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴,
∴当与的边有交点时，k的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
专练1 反比例函数的图像与性质
满分：60分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2025·云南·中考真题）若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．
将已知点的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可求出k的值．
【详解】解：∵点在反比例函数（为常数，且）的图象上，
∴将，代入，得：
解得：，
故选：B．
2．（2025·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可．
【详解】解：反比例函数的，
点所在的反比例函数的，
反比例函数的图象一定经过的点是，
故选：D．
3．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键．
化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可．
【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限；
当时，，则此时图象分布在第三象限；
故选C．
4．（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于的范围求解．
【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，
∴当时，，
故选：B．
5．（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大，
∵点都在反比例函数的图象上，且，
∴；
故选D．
6．（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质．
首先将，代入求出，，然后根据得到，然后分两种情况求解即可．
【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上，
∴，，
∵，
∴
∴当时，解得，
∴；
当时，解得；
综上所述，则的取值范围是或．
故选：A．
7．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键．
过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，
直角三角板中，
，
轴，
，
直角三角板中，
，
，
又，
，
，
点B坐标为，
，，
，，
点A坐标为，
点A在反比例函数的图像上，
，
故选：C．
8．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．连接，由、轴得到，根据反比例函数系数k的几何意义可得，继而求出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解．
【详解】解：如图，连接，
轴，，
，
．
点A在反比例函数图象上，
，
，
且，
∴，
∴．
故选A．
二、填空题（每题4分，共36分）
9．（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是 ．（只需写出一个）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，根据增减性可知该反比例函数的比例系数大于0，据此可得答案．
【详解】解：∵一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，
∴该反比例函数的比例系数大于0，
∴符合题意的反比例函数解析式可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
10．（2025·湖北武汉·中考真题）在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的的值是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，即反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则，反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则，据此作答即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，
∴即可，
∴，
故答案为：1（答案不唯一）．
11．（2025·福建·中考真题）若反比例函数的图象过点，则常数 ．
【答案】
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出值即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象过点，
∴；
故答案为：．
12．（2025·甘肃·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么 （请写出一个符合条件的k值）．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据点，在反比例函数的图象上，且，得到在同一象限内随着的增大而减小，进而得到图象过一，三象限，得到，即可．
【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上，
又∵，，
∴在同一象限内随着的增大而减小，
∴双曲线过一，三象限，
∴，
∴（答案不唯一）；
故答案为：1（答案不唯一）．
13．（2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数，则当时，的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用相关性质．由反比例函数解析式可得 ，根据 的取值范围和函数的增减性 ，求最小值．
【详解】解：将反比例函数代入中，
可得：，
，
当增大时，也随之增大，则随之减小，
因此，在时取得最小值，代入计算，
得，
故答案为：．
14．（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过两点，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的性质，不等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．反比例函数的图象经过两点，则，，由可求得的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过两点，
则，
即，
∵，
∴，
即．
故答案为：．
15．（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式；反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数解析式，将点的坐标代入对应的反比例函数解析式中，即可求解.
【详解】解：∵点在双曲线上，
∴，
∴，
∵点，在双曲线上，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，则，
当时，，则，
故N的坐标为或.
16．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点B和点C的坐标，过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可求出k的值．
【详解】解：一次函数中，
令，得，
令，则，
解得，
∴B点坐标为，C点坐标为，
过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴A点坐标为，
将代入反比例函数
解得，
故答案为：．
17．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
专练2 反比例函数与一次函数综合
满分：120分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2025·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，观察函数图象，得出函数图象都在函数图象的上方的自变量的取值范围，即可求解．数形结合是解题的关键．
【详解】解：当函数图象都在函数图象的上方时，，
由函数图象可得，当或时，，
∴不等式的解集为或，
故选：D．
2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案．
【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方，
即当时，的取值范围是或，
故选：C．
3．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（ ）
A． B．与的面积相等
C．的面积是 D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系中三角形的面积，函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键．
先根据待定系数法求出两个函数的解析式，即可判断A选项，对于一次函数，分别令，，求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式求出各个三角形的面积，即可判断B、C选项，根据图象即可判断D选项．
【详解】解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，解得，
∴，
∵一次函数的图象过点，，
∴，
解得，
故A选项正确；
∴一次函数的解析式为．
∵对于一次函数，令，则；
令，则，
解得，
∴，，
∴，，
∴，
，
，
∴，故B选项正确；
，故C选项错误；
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
∴由图象可得当时，，故D选项正确．
故选：C．
4．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数与正比例函数的图象交于点A．将正比例函数的图象向上平移个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C．过点C作x轴的垂线，与x轴交于点D．线段与交于点E，点E为中点，则k的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．联立求得点的坐标为，由点E为中点，求得点E的坐标为，由平移的性质求得点C的坐标为，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：联立得，解得（舍去负值），
∴，则，
∴点的坐标为，
∵点E为中点，
∴点E的坐标为，
由题意得，，
∴，
∴点C的坐标为，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
故选：C．
5．（2025·贵州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论：
①线段的长为8；
②点的坐标为；
③当时，一次函数的值小于反比例函数的值．
其中结论正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求出点的坐标进而求出的长，判断①，联立两个函数解析式，求出点坐标，判断②，图象法判断③即可．
【详解】解：∵点的横坐标为1，
∴，
∴，
∵过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，
∴；
∴；故①正确；
联立，解得：或（舍去）；
∴点的坐标为，故②正确；
由图象可知，当，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误；
故选C．
二、解答题（共96分）
6．（2025·甘肃·中考真题）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当的面积为3时，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及了求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题等知识点，熟记相关结论即可；
（1）由题意得：点在一次函数的图象上，可求出，即可求解；
（2）对于一次函数，令求出；一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；求出，即可求解；
【详解】（1）解：由题意得：点在一次函数的图象上，
∴，
∴；
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：对于一次函数，令，则；
∴；
一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；
对于一次函数，令，则；
∴；
∴；
解得：
7．（2025·江西·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点．
(1)求一次函数和反比例函数解析式；
(2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为；
(2)点，直线l平移的距离为．
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，直线的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先得到点和点关于直线对称，可求得，设直线l向上平移个单位经过点，再利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∵直线经过点，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为；
（2）解：作一三象限的角平分线，如图，
∵，∴，
根据双曲线的对称性，知点和点关于直线对称，
∴，
作轴于点，作轴于点，
∵，，，
∴，
∵，
∴，，
∴点，设直线l向上平移个单位经过点，
∴平移后的直线为，
∴，
解得，
∴直线l平移的距离为．
8．（2025·四川达州·中考真题）如图，直线与双曲线交于点，点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)点P在x轴上，，求点P的坐标．
【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)点的坐标为或
【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）先由待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据即可求解．
【详解】（1）解：∵双曲线经过点，，
∴，
∴，
∴，反比例函数解析式为：，
∵直线经过点，点，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：；
（2）解：∵点P在x轴上，，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为或．
9．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2．
(1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
(2)连接，请直接写出四边形的面积．
【答案】(1)，
(2)10
【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得点B的坐标；
（2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解．
【详解】（1）解：∵点C的坐标为，且在反比例函数的图像上，
∴，即，
∴反比例函数的解析式为；
设直线的解析式为，把A、C两点坐标分别代入得：
，解得：，
即直线的解析式为；
上式中，令，，
∴点B的坐标为；
（2）解：∵点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，
∴，
解得：；
由题意知，，
∴
．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键．
10．（2025·四川南充·中考真题）如图，一次函数与反比例函数图象交于点，．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式．
(2)点在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为，过点作轴的垂线，交于点，，求的值．
【答案】(1)，；
(2)或
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式，解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（）由题意可得，，因为，所以， 然后解方程并检验即可．
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为，
∵经过点，
∴．
∴反比例函数为，
∵在图象上，，
∴，
设一次函数解析式为，
∴，解得，
∴一次函数为；
（2）解：∵轴，
∴，，
∵，
∴，
解得：或或或
∵点在第二象限，
∴或．
11．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点．
(1)求出直线对应的函数表达式；
(2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)是等腰直角三角形
(3)或
【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理；
（1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可；
（3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答．
【详解】（1）解：把代入得，
∴点A的坐标为，
把代入得，
∴点C的坐标为，
把点和代入得：
，解得，
∴直线对应的函数表达式；
（2）解：由作图可得，即，
设点D的坐标为，
则，
解得，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：令，
解得，，
由图像可得关于的不等式的解集为或．
12．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积；
(3)点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)一次函数为，反比例函数为；
(2)
(3)或；
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理、待定系数法求函数的解析式，求出函数的解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用一次函数求得的坐标，利用反比例函数求得点的坐标，过点B作轴，交直线于点E，求出直线的解析式为，得到，然后利用三角形面积公式求得即可．
（3）设，则，当时，，列方程并解得或，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与与反比例函数的图象交于点，
，，
， ，
∴一次函数为，反比例函数为；
（2）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，
当时，，当时，，
，，
∵点是反比例函数图象上一点，
，
，
过点B作轴，交直线于点E，
设直线的解析式为，把，代入得到
解得
∴直线的解析式为，
∵点，轴，
∴点的横坐标为，
当时，，
∴
∴
∴的面积．
（3）解：设，
∵，，
则，
当时，
即，得到
解得：或，
故点P的坐标为或；
13．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
(3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数的几何意义、函数图象的特点，掌握理解函数图象的特点是解题关键．
（1）先根据点利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；再通过反比例函数的表达式求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
（2）所求不等式的解集即为求一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围；
（3）根据题意得出，，根据反比例函数的几何意义得出，则，即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点
∴，
故反比例函数的表达式为
把点代入反比例函数得，，解得
∴点的坐标为
∵一次函数的图象经过、两点
∴，解得
故一次函数的表达式为；
（2）∵
∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方
∴；
（3）∵点横坐标为，代入
解得：
∴
当时，代入，得
解得：
∴
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∵，
∴，
∵，
∴．
14．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为．
(1)求k的值；
(2)直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式；
(3)P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
（1）把代入，可求出一次函数的解析式，从而得到点A的坐标，即可求解；
（2）连接，求出点C的坐标为，可得，设点D的坐标为，可得到，再由勾股定理求出m的值，即可求解；
（3）设点E的坐标为，求出直线的解析式，可用t表示点E的坐标，再由三角形的面积公式解答，即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与x轴的交点为，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴点，
把点代入得：；
（2）解：如图，连接，
由（1）得：反比例函数的解析式为，
∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点，
∴点C的坐标为，
∴，
设点D的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴点D的坐标为，
设直线的函数表达式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的函数表达式为；
（3）解：设点E的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴点P的坐标为，
∴，
∴，
∵的面积为2，
∴，
解得：或，
∴点E的坐标为或．
15．（2025·重庆·中考真题）如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围：
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
【答案】(1)，
(2)作图见解析，性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小
(3)（或或或或）
【分析】本题考查函数解析式，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，反比例函数与不等式，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关性质，并能正确分段列出动点问题的相关线段是解题的关键．
（1）利用矩形性质和勾股定理得出，，分两部分：①当时；②当时，分别列出；过点作于点，利用等面积法求出，即可表示出的面积为，同理可得的面积为，再结合矩形的面积为与，即可列出；
（2）根据函数解析式画图即可，再根据函数图象写出性质；
（3）根据图象写出的图象在下方时对应的自变量的取值范围即可
【详解】（1）解：∵为矩形的对角线AC的中点，，，
∴，，
∴，
当时，，如图，
∴；
当时，，如图，
∴；
∴；
如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴的面积为，
同理可得的面积为，
又∵矩形的面积为，
∴，
∴；
（2）解：作图如下：
性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小；
（3）解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或）．
专练3 反比例函数与几何综合
满分：90分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共21分）
1．（2025·山东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形是面积为4的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形、反比例函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
由题意可设点B的坐标为，易得，即点B的坐标为，再结合反比例函数图象即可解答．
【详解】解：∵四边形是面积为4的正方形，设点B的坐标为，
∴，解得：（已舍弃负值）．
∴点B的坐标为，
∵函数的图象经过点，
∴满足的的取值范围为．
故选A．
2．（2025·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了双曲线的解析式，点的坐标与线段长度，解题的关键是得出双曲线的解析式．
把点的坐标代入，可得双曲线的解析式，结合已知的线段长度求出点和点的横坐标，代入解析式可得纵坐标，作差即可．
【详解】解：∵点在双曲线上，
∴，
∴双曲线，
∵“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且，
∴点的横坐标为，点的横坐标为，
∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，
∴，
故选：．
3．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
设，可证明，则，，那么，再由，即可求解．
【详解】解：设，
由题意得，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键；
过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可．
【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示：
则，
∴四边形是矩形，
，，，
，
，
，，
，
，
把代入反比例函数的解析式得，
，
双曲线图象在第二象限，
，
，，
，，，
，
，，
，
，
双曲线经过B，则,
，
解得：（舍），，
故选D．
5．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（ ）
A．25 B．26 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为，点C的坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可．
【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为，
则点B的坐标为，点D的坐标为，
又∵点D在反比例函数的图象上，
∴，
又∵点E，F在反比例函数的图象上，
∴点F的坐标为，点E的坐标为，
∴，，
∴，
解得，
∴
，
故选：D．
6．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接，先证明四边形为平行四边形，则，证明，则，再证明，则， ，则，由轴，得到，则，则，则可求，即可求解的值．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接，
点、在双曲线上，
∴，
轴，轴，轴，
∴，
∵，且共底，
∴在上的高相等，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵双曲线经过第二象限，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是熟练掌握反比例函数有关的“等角、等线段”的性质是解题的关键．
7．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论：
①与的面积一定相等；
②与的面积可能相等；
③一定是锐角三角形；
④可能是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴
又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴，
∴
∴，即与的面积一定相等；故①正确，
由①可得
当与的面积相等时，如图，连接，
∴
∴在直线上，则重合，
∴与的面积不可能相等，故②不正确，
∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确,
如图
当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误
综上，①④正确、②③错误.
故选：B．
二、填空题（每题3分，共9分）
8．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则 ．
【答案】12
【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线，勾股定理，中点坐标，求反比例函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．在中，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，利用勾股定理得到，则，再结合中点坐标公式，得到，根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出值．
【详解】解：在中，点C为的中点，，
，
点B的坐标为，
，
，
，
点C的坐标为，即，
反比例函数的图象经过点C，
，
故答案为：12．
9．（2025·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A作直线交x轴于点C，连接，则的面积是 ．
【答案】20
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，求出的值，设，根据，利用勾股定理求出的值，进而求出的长，进而求出的面积即可．
【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点，
∴，
∴，
∴，
设，
则：，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积是；
故答案为：20．
10．（2025·福建·中考真题）如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，且反比例函数的图像经过点，连接，则与的面积比是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握反比例函数图像的性质，中点坐标的计算，几何图形面积的计算是关键．
根据反比例函数图像的性质设，由中点坐标的计算得到点的横坐标为，，，设，则，再结合中点坐标的计算得到，，，用含的式子表示出与的面积，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图像经过的中点，
∴设，
∵的顶点在轴正半轴上，
∴，点的横坐标为0，
∵，即，
∴，
∴点的横坐标为，
∴点的横坐标均为，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，即，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，即，
设，则，
∴，且的中点，
∴，
解得，，
∴，，
∴，
∴，，
∴则与的面积比是，
故答案为：．
三、解答题
11．（2025·河南·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为：
(2)
【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案；
（2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可.
【详解】（1）解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）解：∵，
∴，
∵含角的三角板为等腰直角三角形，，
∴，，
如图，连接，旋转到的位置；
∴，
∵的对应点在的图象上，
∴，
∴，
由旋转可得：，
∴.
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键.
12．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合性问题，等腰三角形的三线合一性质，一次函数和反比例函数图象上的坐标特征，利用等腰三角形的三线合一性质求反比例函数图象上点的坐标是解题的关键．
（1）对于一次函数，分别令，和，即可求得答案；
（2）过点C作，垂足为E，根据等腰三角形的三线合一性质，可得，于是可逐步求得点D和点C的坐标，再代入，即可求得答案．
【详解】（1）解：令，则，
解得，
点A的坐标为，
令，则，
点B的坐标为；
（2）解：如图，过点C作，垂足为E，
，，
，
令，则，
，
点D的坐标为，
点C的坐标为，
点C在一次函数的图象上，
，
解得．
13．（2025·四川德阳·中考真题）如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点．
(1)求反比例函数解析式；
(2)求直线的解析式和点的坐标．
【答案】(1)；
(2)，．
【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法即可求解；
（）由得，又四边形是菱形，则，得到，从而求出直线的解析式为，然后联立，即可求解．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把代入得，
∴
∴直线的解析式为，
∵点是反比例函数与正比例函数的交点，
∴联立解析式，
解得或，
∵，
∴．
14．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，．
(1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式；
(2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查反比例函数图象和性质，相似三角形的性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）由可得，利用对应边成比例及可求出A、B两点坐标，则反比例函数的表达式可求．
（2）由A、B两点坐标可知轴，根据点、分别在反比例函数和的图像上，设出两点坐标，因为、与点A、构成以为边的平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点A的横坐标为，且点在反比例函数的图象上，代入得：
，
，
作轴，轴，如图，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
∵，
，
∵，点的坐标为，
，
，，
，
，
在反比例函数的图像上，代入得：
，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵、分别在反比例函数和的图像上，
∴设，，
∵，，
∴轴，且，
∵、与点A、构成以为边的平行四边形，
∴，且，如图，
∴轴，且，
∴
由②得：，
代入①得：
解得：（舍），
则，
∴．
故答案为：．
15．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5．
(1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；
(2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，反比例函数解析式为
(2)点坐标为或或或
【分析】本题主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）先求出点值，可得点坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得坐标；
（2）先求出点坐标，进而分类讨论很容易求出点坐标．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得：，
∴正比例函数表达式为，
，
∴反比例函数解析式为，
∵点关于原点对称，
，
综上，，反比例函数解析式为；
（2）解：过作轴，交于点，
设，则，
，
，
解得：或（舍去），
，
则，
当为菱形的边时，有如下三种情况：
①如图，点在点左侧，
此时轴，且，
；
②如图，此点在点右侧，
此时轴，且，
；
③如图，为对角线，
此时点与点关于轴对称，则；
当为菱形的对角线时，如下有一种情况：
过作轴于点，
设，则，
在中，，
解得，
，
，
综上，点坐标为或或或．
16．（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C．
(1)求m，k的值．
(2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m．
①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标；
②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标．
【答案】(1)，
(2)①，②
【分析】（1）将点代入一次函数求得，结合点在反比例函数的图象上代入求得k；
（2）①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，则，有，进一步求得点D的坐标，结合已知比例可求得和，以及，即可求得点E；
②根据一次函数求得点，即可知点，过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，则为等腰直角三角形，且，则，进一步判定点M与点K重合，由待定系数法求得直线的解析式，设点，结合平行四边形的性质求得点，代入反比例函数即可求得m，即可知点D．
【详解】（1）解：由题意可知，点在一次函数的图象上，则
，解得，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得，
则，；
（2）解：①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，如图，
则，
∴，
∴，
∴，
∵点D的横坐标为4，
∴点D的纵坐标为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，解得，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
则，
那么，点；
②一次函数的图象与y轴交于点C，
令，则，
∴，
∵，
∴，
过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，如图，
则，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
则，
∵点，
∴，
∵，
∴点M与点K重合，，
∴点，
设直线的解析式为，则
，解得，
∴，
设点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
则，
∵D为反比例函数图象上的一点，
∴，解得，或，
∵D的横坐标大于1，
∴，
∴，
故点．
【点睛】本题主要考查函数和三角形的结合，涉及一次函数与坐标轴的交点、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质和解一元二次方程，题目综合性较强，难度偏高，解题的关键是熟悉函数性质和平行四边形的性质．
反比例函数验收卷
满分：120分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（ ）
A．人的身高和年龄
B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高
C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用
D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间
【答案】B
【分析】本题考查反比例关系的量．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵人的身高与年龄不一定有关系，即身高与年龄不成反比例，故A不符合题意，
∵三角形面积一定时，底边与其高乘积为定值，符合反比例关系，故B符合题意，
∵购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用之和为定值，它们的乘积不为定值，故C不符合题意，
∵小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间成正比，故D选项不符合题意，
故选：B．
2．已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ）
A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点
C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而减小
【答案】D
【分析】根据反比例函数图像的性质判断即可．
【详解】解：A、反比例函数，，经过一、三象限，此选项正确，不符合题意；
B、将点代入中，等式成立，故此选项正确，不符合题意；
C、反比例函数不可能坐标轴相交，此选项正确，不符合题意；
D、反比例函数图像分为两部分，不能一起研究增减性，故此选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，熟知反比例函数的图像的性质是解题关键．
3．函数（为常数）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的性质，先由函数值的正负判断点是否在同一支上，确定自变量的正负，再用反比例函数的性质判断自变量的大小，即可求解．掌握性质是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
故选：A．
4．某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意建立函数模型可得，即，符合反比例函数，根据反比例函数的图象进行判断即可求解．
【详解】解：依题意，
，
，且为整数．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例数的应用，根据题意建立函数模型是解题的关键．
5．变速自行车通过调节牙盘（前齿轮）与飞轮（后齿轮）的齿数组合来调节车速，如图，始终满足：前齿轮齿数前齿轮转速后齿轮齿数后齿轮转速．若将前齿轮齿数设定为40，转速为100转/分钟；后齿轮齿数为x，其转速为y转/分钟，错误的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．要增大y，应增大x D．若x增大一倍，则y减少一半
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据前齿轮齿数前齿轮转速后齿轮齿数后齿轮转速，进行判断即可．
【详解】解：A、当时，，故A正确，不符合题意；
B、当时，，故B正确，不符合题意；
C、根据题意得，所以要增大y，应减小x，故C不正确，符合题意；
D、根据题意得，所以x增大一倍，则y减少一半，故D正确，不符合题意，
故选：C．
6．如图，点A，C在反比例函数第一象限的图象上，点B，D在反比例函数第二象限的图象上，轴，，，与之间的距离为1，则的值是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义．解法一：过A、B、C、D分别向x轴做垂线，垂足为E、F、G、H，证明四边形和四边形都是矩形，得出，，根据反比例函数k值意义可得，设，则，得出，求出，得出答案即可；解法二：设，两点的坐标分别为、，根据点与点的纵坐标相同，点与点的纵坐标相同，得到，，由，，得到，根据与的距离为1，把代入中，即可求解．
【详解】解：解法一：过A、B、C、D分别向x轴做垂线，垂足为E、F、G、H，
则轴，
∵轴，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，，
根据反比例函数k值意义可得：
，
∵与之间的距离为1，
∴设，则，
∵，，
∴，
解得：，
∴；
解法二：设，两点的坐标分别为、，
∵轴，
∴点与点的纵坐标相同，即，解得，
点与点的纵坐标相同，即，解得，
∵，，
∴，解得，
∵与的距离为1，
∴ ，
把代入中，得，
故选：C．
7．“已知，求代数式的值．”其中两个“”部分给出的是x，y，e，d满足的条件．在题目中的已知条件下，求出的这个代数式的值的正确答案是．下列选项中不能得到正确答案的是（ ）
A．x，y互为倒数，c，d互为相反数
B．，
C．点在双曲线上，点在直线上
D．，
【答案】C
【分析】此题考查了代数式求值．熟练掌握相反数的概念，倒数的概念，函数性质，整体代入求代数式求值，是解题的关键．
根据相反数的概念，倒数的概念，函数性质，整体代入求代数式求值，逐一判断即得．
【详解】解：A. ∵x，y互为倒数，c，d互为相反数，∴；
B. ∵，，∴；
C. ∵点在双曲线上，点在直线上，∴；
D. ∵，，∴．
故选：C．
8．若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（ ）
A．最大值为 B．最大值为
C．最小值为 D．最大值为
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的增减性问题，求反比例函数值，根据解析式可得反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，则当时，，则可求出，再分别求出和时的函数值即可得到答案．
【详解】解：∵在反比例函数中，，
∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，
∵当时，反比例函数中有最大值，
∴，
∴，
当时，则y的最大值为，最小值为
故选： D．
9．如图，平面直角坐标系内有正六边形，，，若的图象使得正六边形的六个顶点分布在它的两侧，每侧各三个点，则的整数值的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先求得正六边形的边长，再通过正六边形的内角和求得，连接，作于，通过等腰三角形三线合一和勾股定理，求得，表示出点的坐标，当过点时，；当过点时，，从而推出，然后得到的整数值的个数．
【详解】解：，
，
多边形是正六边形，
，其内角和为，
，
连接，作于，如图所示：
，，，
，，
，
，
，
，
．
当过点时，；
当过点时，；
，
则可取5，6，7，8，共4个整数值，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质、点的坐标与线段长度的关系、反比例函数系数的性质、勾股定理、等腰三角形三线合一，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
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