2025-2026学年下学期福建龙岩一中高一数学3月第一次周考试卷（含答案）

龙岩一中 2028 届高一下学期第一次周考 数学试题
(考试时间:80 分钟 总分:116 分)
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 下列四式不可以化简为 的是( )
A. B.
D.
2. 已知平面向量 ，若 ，则 ()
A. B. -2 C. 2 D.
3. 已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为( )
A. B. C. D.
4. 在平行四边形 中, 是 的中点, 交 于 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知三角形 满足 ，则三角形 的形状一定是( )
A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
6. 在 中， . 若 ， 且 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
7. 设向量 满足 ，则 的最小值为( )
A. 2
B.
C. 1
D.
8、已知等边 的边长为 4、 为 边上的动点，且满足 ，则点 轨迹的长度是( )
A. 7 B 3 C. 10 D. 11
二、多选题:本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. 已知平面向量 ，则()
A. B. 与 可作为一组基底向量
C. 与 夹角的余弦值为 D. 在 方向上的投影向量的坐标为
10. 已知 为 内任意一点,若满足 ,则称 为 的一个 “优美点”. 则下列结论中正确的是( )
A.,若 ,则点 为 的重心;
B. 若 ， ， ，则 ；
C. 若 ,则点 为 的外心;
D. 若 且 为 边中点，则 .
11. 如图，在直角三角形 中， ，点 是以 为直径的半圆弧上的动点，若 ，则()
A. B.
C. 的取值范围为 D. 三点共线时,
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知 ,若 与 的夹角为钝角,则实数 的取值范围为_____
13. 若三点 ， ， 共线，则 的值等于_____
14. 已知非零平面向量 不共线，且满足 ，记 ，当 的夹角取得最大值时, 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (本小题 13 分) 已知向量 是同一平面内的三个向量,其中 .
(1)若 ，且 ，求向量 的坐标；
(2)若 是单位向量，且 ，求 与 的夹角 .
16. (本小题 15 分) 在直角坐标系 中,已知点 , 其中 .
(I) 求 的最大值;
(II) 是否存在 ,使得 为钝角三角形？若存在，求出 的取值范围；若不存在, 说明理由.
17. (本小题 15 分) 如图,在 中， 是 的中点， 是 的中点，过 点的直线与边 分别相交于点 . 设 .
(1)若 ，求 的值；
(2)求 的最小值；
(3)若 是边长为 1 的等边三角形，求 的最小值.
温馨提示:以下两题(第 18 题和第 19 题)为选做题，不计入总分
18. (本小题 17 分) 已知向量 ，设函数
(I)求函数 的解析式和单调增区间；
(II) 若 ,求 的值.
19. (本小题 17 分) 定义非零向量 的 “相伴函数” 为
,向量 称为函数 的 “相伴向量” (其中 为坐标原点). 记平面内所有向量的 “相伴函数” 构成的集合为 .
(1) 设 ,试求函数 的相伴向量 ;
(2)记向量 的相伴函数为 ，求当 且 时， 的值； (3)已知点 满足: ，向量 的 “相伴函数” 在 处取得最大值,求 的取值范围.
龙岩一中 2028 届高一下学期第一次周考参考答案
1. D 2. A 3. A 4. D 5. B 6. C 7. D
8. 解: 当点 在边 上时, ,得 ,此时点 轨迹的长度为 3 ;
当点 在边 上时， ，得 ，此时点 轨迹是线段 ,其长度为 4 ;
当点 在边 上时, ,得 ,此时点 轨迹的长度为 2 . 所以点 轨迹的长度是 . 故选:
9. 10. 11. 解: 直角三角形 中, ,故
,因为 ,故 为 中点,故 ,故 , 正确;
,故 错误;
以 为坐标原点， 方向为 轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
故 ,设 , 故 , 因为 ,所以 ,故 的最大值为 正确; ,若 三点共线,则存在非零常数 ,使得 ,则 ,可得 ,此时 , 又 ,即 ,可得 ,故 正确.
12. 13.
14. 4 . 解: 因为 ,设向量 夹角为 ,则有 ，建立平面直角坐标系如图，其中 ，
则 ,
如图 ,则 的夹角为 ,又 ,
所以 ，当且仅当 时，正切值取最大值，此时 ，故答案为 4.
15. 解: (1) 设 ,由 ,且 得 ,
所以 或 ,故 ,或 ; ( 6 分)
( 2 )因为 ，且 ，所以 ，
即 ，所以 ，得 ，即 ，
因为夹角 ,所以 与 的夹角 . ( 13 分)
16. 解: (I) 由题意得 ,
所以 (4 分)
因为 ,所以 ,
所以当 ，即 时， 取得最大值 2 ； (7 分)
(II) 因为 ,
,
又 ,所以 ,所以 ,
若 为钝角三角形，则角 是钝角，从而 ； (11 分)
由 (I) 得 ,解得 ,
所以 ,即 ,
反之,当 时 ,又 三点不共线,所以 为钝角三角形, 综上: 当且仅当 时, 为钝角三角形. ( 15 分)
17. 解: (I) 因为点 是 中点,所以 ,
因为点 是 中点,所以 ,
又 ,所以 ,所以 ;
(2)由(1)知 ，
又 三点共线,所以 均为正数,
所以 ,
当且仅当 时取等号,可得 时取等号; (10分)
(3) ，
因为 ,所以 ,
所以 ,
则 ，
由 (2) 知 ,即 ,又 ,
所以 ,解得 ,当且仅当 时取等号,
所以 ,
因为 ,所以当 时, 取到最小值,
最小值为 ，故 的最小值为 . (15 分)
18. 解: (1)
由 ,
所以函数 的增区间是
(2)
所以
19. 解: (1) 因为
所以,函数 的相伴向量 .
( 2 )向量 的相伴函数 ，
令 ,即 ,
,
.
(3) 的 “相伴函数” ，因为 在
处取得最大值,所以当 ,即 时, 有
最大值 ,所以 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,令 ,则 ,
因为 均为 上的单调递减函数,所以 在 上单调递减,
所以 ,所以 ,
所以 的取值范围为 .