2025-2026学年下学期河北保定高二数学3月开学考试卷(含解析)

数学试题
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:人教 A 版选择性必修第一册，选择性必修第二册第 四章。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1、在公差不为 0 的等差数列 中， ，则
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
2. 若直线 与 互相垂直，则
A. -2 B. 3 C. -2 或 3 D.
3. 数列 为单调递减的等比数列,且 ,则公比
A. B. C. D.
4. 在正方体 中, ,则
A. B.
C. D.
5. 设等差数列 的前 项和分别为 ,若 ,则
A. B. C. D.
6. 曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度, 曲率半径越大, 则曲线在该点处的弯曲程度越小. 已知椭圆 上点 处的曲率半径公式为 . 若椭圆 上所有点相应的曲率半径的最大值为 ，最小值为 ，则椭圆 的标准方程为
A. B.
C. D.
7. 设等比数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. 6 B. 16 C. 26 D. 36
8. 已知 是双曲线 的右焦点,直线 与双曲线 交于 两点,其中 在第一象限, ,且 ,则双曲线 的离心率为
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
9. 已知点 在平面 内,点 在平面 外,且平面 的一个法向量为 , 1),则下列选项正确的是
A. 向量 在向量 上的投影向量为 B. 向量 在向量 上的投影向量为 -5n
C. 点 到平面 的距离为 D. 点 到平面 的距离为
10. 已知数列 的首项 ,则
A. 是等比数列
B.
C. 数列 的前 项和为
D. 数列 的前 项和为
11. 已知圆 与直线 ,点 在圆 上,点 在直线 上,则下列选项正确的是
A. 直线 过定点
B. 若直线 与圆 相切,则
C. 若 ，则
D. 当 时，从 点向圆 引切线，切线长的最小值是
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 若数列 满足 ,则 _____▲_____.
13. 抛物线 上有一动点 ，其焦点为 ， ，则 的最小值为_____▲_____.
14. 在平行六面体 中, ,则 _____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知抛物线 经过 的三个顶点， ，且直线 ， 的倾斜角互补.
(1)求抛物线 的方程；
(2)求直线 的斜率.
16.(15 分)
已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ；
(3)求数列 的前 项和 .
17. (15 分)
在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 为等边三角形， 为 的中点.
(1)证明:平面 平面 .
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. (17分)
在平面直角坐标系中,已知 ,且 ,记动点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)已知点 是曲线 上的一动点，不过原点 的直线 与曲线 交于 两点，记直线 的斜率分别为 ,若 ,求 的值.
19. (17 分)
已知 为正项数列 的前 项和,且 .
(1)求 的通项公式.
(2)已知数列 满足:① ，② ，③ .
(1)求 .
(1)证明: .
(iii)若 ，求 的取值范围.
数学试题参考答案
1. C 因为 ,所以 ,所以 .
2. D 因为直线 与 互相垂直，所以 ,得
3. A 因为 ,且 为单调递减的等比数列,所以 ,所以 , 故 .
4. B .
5. C 因为 ,所以 .
6. 因为曲率半径越大意味着曲线在该点处的弯曲程度越小,所以椭圆 在点 处的曲率半径最小,则 ,椭圆 在点 处的曲率半径最大,则 ,所以 ,故椭圆 的标准方程为 .
7. C 因为 为等比数列,所以 仍为等比数列. 令 ,则 ,由 ,得 . 由 ,得 ,所以 .
8. A 设 的左焦点为 ，则 为平行四边形， . 因为 ，所以 ,所以 . 因为 ，所以 ,所以 ,得 ,故离心率 .
9. 因为 ,所以向量 在向量 上的投影向量为 ,故 A 不正确, B 正确; 点 到平面 的距离为 ,故 正确, 错误.
10. 因为 ,所以 ,所以 ,
又因为 ,所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,故 不正确;
因为 ,所以 ,故 B 正确;
因为数列 的前 项和为 ,所以 不正确; 记数列 的前 项和为 ,因为 ,所以 , 故 D 正确.
11. 将直线 的方程整理为 ,由 得 所以直线 过定点 ,故 正确; 圆 的标准方程为 ,圆心为 , ,半径 ,若直线 与圆 相切,则 ,解得 ,所以 正确; 若 ,则直线 的方程为 ,因为圆心 到直线 的距离 ,所以 ,故 不正确; 从 点向圆 引切线,设切点分别为 ,连接 (图略),则 ,则 ,当 时, 取得最小值,此时 取得最小值,即 ,故 D 正确.
12. 6 因为 ,所以 . 因为 ,所以 , 所以 是周期为 2 的数列,故 .
13.16 过 向抛物线 的准线 作垂线,垂足为 (图略),则 ,当 三点共线时, 最小,最小值为 ,即 的最小值为 16 .
14.5 设 ,则 . 因为 ,所以
15. 解: (1) 因为抛物线 过 ,
所以 ,即抛物线 的方程为 . 3 分
(2)设 ，则 4 分
两式相减得 ,所以 . 7 分因为直线 的倾斜角互补,
所以 的斜率存在,且 , 10 分
所以 ,故 . 13 分
16. 解: (1) 因为 ,①
所以当 时, , 1 分
当 时, ,②
由①-②得 ， 4 分
因为 符合上式,所以 . 6 分
(2)由(1)知数列 是以 1 为首项， 为公差的等差数列， 7 分
所以 . 9 分
(3)因为 ，所以 . 10 分
因为 , 11 分
所以
, 13 分
所以 . 15 分
17. ( 1 )证明:取 的中点 ，连接 ， . 1 分
因为四边形 是边长为 2 的正方形,所以 . 2 分
因为 是边长为 2 的等边三角形,所以 . 3 分
因为 ,所以 ,所以 . 4 分
因为 ,所以 平面 . 5 分
因为 平面 ,所以平面 平面 . 6 分
(2)解:设 的中点为 ，连接 ，则 . 结合(1) 可知 两两垂直. 7 分
以 为坐标原点,以 的方向分别为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ,
则 , . 8 分
设 是平面 的法向量,因为 ,
, 9 分
所以 令 ,得 . 10 分
因为 平面 ,所以 . 11 分
因为 ,且 ,所以 平面 , 12 分
所以 为平面 的一个法向量. 13 分
因为 , 14 分
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
18. 解: (1) 设 , 1 分
则
则 , 3 分
由椭圆的定义可知 的轨迹是以 为焦点,以 为长轴长的椭圆, 6 分
所以曲线 的方程为 . 7 分
(2)设 ， ， ，则 . 8 分
因为 ,所以 . 设直线 的方程为 , 9 分
由 整理得 . 10 分
因为 在椭圆 上，所以 ，所以上式可化为 0 , 11 分
所以 , 12 分
所以 , 13 分
14 分
因为
, 15 分
16 分
所以 . 17 分
19.(1)解:将 代入(1 - q) ，得 . 1 分
由 ,得 , 2 分
两式相减得 ,即 , 3 分
因为 为正项数列,所以 ,则 为等比数列,且首项和公比均为 , 所以 . 4 分
(2)(1)解: ， ，若 ，则 ，得 ，这与 矛盾,
所以 ,则 ,又 ,所以 ,得 . 6 分同理得 ,
又因为 ,所以 ,所以 . 8 分
(ii) 证明: ,又 ,所以 . 9 分
,
得 ,即 . 11 分
(ii) 解:因为 , ,
所以 . 12 分
13 分
因为 ,所以 ,即 ,所以 , 14 分
所以数列 是以 为首项,2 为公比的等比数列. 15 分
因为 ,所以 , 16 分
若 ,则 ,即 ,
解得 . 17 分