2025-2026学年下学期辽宁名校联盟高一数学3月开学考试卷(含解析)

高 一 数 学 试 卷
本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的。
1. 命题“ ” 的否定为
A. B.
C. D.
2. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
3. 已知 ,函数 表示 小数点后第 位数字 ,约定 1,则
A. 1 B. 7 C. 3 D. 2
4. 函数 的定义域为
A. B. C. D.
5. 乐乐、丁丁解关于 的不等式 ,乐乐得到的解集为 ,丁丁得到的解集为 ，检验解答题过程发现乐乐、丁丁的均正确，再次审题时，发现乐乐写错了常数 的值,丁丁写错了一次项系数 的值,则原不等式 的解集为
A. B.
C. D.
6. 在平行四边形 中, 为 的中点,点 在 上,且 ,设 ,若 ，则
A. B. C. D.
7. 智能物流车配送包裹具有安全、快速、准确的优势. 下表统计了某地区的智能物流车的数量情况:
年份 2023 2024 2025
智能物流车数量 (单位:百台) 2 3 4.5
近似反映该地区智能物流车的数量 与年份 的函数模型为 ,则该地区智能物流车的数量从_____年开始超过 40 百台(参考数据: )
A. 2030 B. 2031 C. 2032 D. 2033
8. 已知实数 互不相等,且 ,若 ,则 的关系可能为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知向量 ,则
A. B.
C. D.
10. 已知函数 ,则
A. 为偶函数 B. 的单调递增区间为
C. 当 时, D. 的最小值为
11. 已知函数 若 ,且 ,则
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 若 10 名跳水运动员在一次比赛(满分:100 分)中的得分情况分别为95,80,68,77,74,90,88,83, 76,86，则这组数据的 75% 分位数为_____.
13. 已知 ,则 _____.
14. 记 表示 中最大的数,已知 ,则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
已知集合 .
(1)当 时,求 ；
(2)若 ，则是否存在实数 ，使得 是 的充分不必要条件？若存在，求出 的取值范围; 若不存在, 请说明理由.
16.(15分)
已知幂函数 .
(1)求 的解析式;
(2)设 ，证明: 在其定义域上单调递减.
17. (15 分)
中国新能源技术领跑世界，新能源汽车备受人们欢迎. 某科研所新研发了一种新能源汽车，为检测这类汽车的续航能力，在不同路段进行了 500 次实验，根据续航能力(单位:百公里)分成 2 ， 3), ,共六组,并制作如下频率分布直方图.
(1)求续航能力在区间 内的实验次数；
(2)估计这类汽车的续航能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)若按分层随机抽样的方法从续航能力在 和 的实验中随机抽取 7 次实验，再从这 7 次实验中随机抽取 2 次实验,求这 2 次实验中有续航能力在 中的实验的概率.
18. (17 分)
已知函数 .
(1)当 时.
(i) 证明: 为定值;
(ii) 求 的值;
(2)当 且 时,求关于 的不等式 的解集.
19. (17 分)
已知函数 为奇函数.
(1)求 的值；
(2)设 ，若 有 2 个零点，求实数 的取值范围；
(3)设 ，若 ， ，使得 ，求实数 的最大值.
参考答案
一、选择题
1. D 存在量词命题的否定为全称量词命题, 所以命题“ ” 的否定为 “ . 故选 D 项.
2. C 因为 ,所以 . 故选 C 项.
3. A 因为 ,所以 . 故选 A 项.
4. D由题意可知 解得 且 . 故选 D 项.
5. A 由题意可知 ,所以 , ,则原不等式为 ,解得 ,即原不等式 的解集为 . 故选 A 项.
6. C 如图,因为 为 的中点,所以 ,又 ,所以 ,
又点 在 上，且 ，所以 ,因为 ,所以 ,解得 ,所以 . 故选 C 项.
7. 由题意可知 解得 ,所以 ,由 ,得 ,两边取常用对数得 ,即 ,所以 ,所以从 2031 年开始, 该地区智能物流车的数量超过 40 百台. 故选 B 项.
8. 由 ,得 ,整理得 ,令 ,得关于 的方程 有一个负根,则 ,又 ,且 互不相等,所以 ,即 ,所以 . 设 ,则 是二次函数 的图象的对称轴,且 若 是 的较小零点,则 ,所以 ; 若 是 的较大零点,则 ,所以 . 故选 B 项.
二、选择题
9. ACD 由 ,得 ,则 , , A 项正确; 项错误; 因为 ,所以 项正确; 设 ,则 ,所以 ,所以 项正确. 故选 ACD 项.
10. ABD 易知 的定义域为 ,因为 ,所以 为偶函数, A 项正确; 则 在 上单调递增,又 在 上单调递增,所以 的单调递增区间为 , B 项正确; 当 时, ,因为 在 上单调递减,所以 , C 项错误; 由上可知 的值域为 ,所以 项正确. 故选 ABD 项.
11. BCD 在平面直角坐标系 中,作出 的图象,如图所示:
要使 的图象与直线 有 4 个不同的交点,则 , A 项错误; 根据图象可知 1,则 ,根据不等式的性质可知 项正确; 根据二次函数的对称性可知 , 所以 ,由 , 得 ,所以 ,即 ,则 . ,又 ,所以 ,则 ,所以 , C 项正确; 由 ,整理得 , 所以 2. 令 ,设 ,则 在 上单调递增,所以 ,所以 项正确. 故选 BCD 项.
三、填空题
12.88 将比赛得分从小到大排列为68,74,76, 77,80,83,86,88,90,95,因为 ,所以这组数据的 分位数为 88 .
13. 由 ,得 ,所以
14. 因为 ,所以 中有 1 正 2 负,不妨设 ,所以 ,所以 ,则 ,所以 ,当且仅当 ,即 时取得等号,故 的最小值为 .
四、解答题
15. 解: (1) 因为 , (2 分)
所以 或 , (3 分)
当 时, , (4 分)
所以 . (6 分) (2)因为 是 的充分不必要条件,所以 ,
(8 分)
则 等号不同时取得, (10 分)
解得 , (12 分)
故存在实数 ,使得 是 的充分不必要条件, 的取值范围为 . (13 分)
16.(1)解:由幂函数的定义可知 (2 分)
解得 , (4 分)
故 . (6 分)
(2)证明:由(1)可知 ，其定义域为 . (7 分)
任取 ,且 ,
则
, (10 分)
因为 ,且 ,所以 , (12 分)
则 ,
所以 ,
故 在其定义域上单调递减. (15 分)
17. 解: (1) 由频率分布直方图可得 ,解得 , (3 分)
所以续航能力在区间 内的实验次数为 . (4 分)
(2)因为
所以估计这类汽车的续航能力的平均数为 5.38 .
(8 分)
(3)按分层随机抽样的方法从续航能力在 和 , 7)的实验中随机抽取 7 次实验，则从续航能力在 和 的实验中分别抽取 1 次与 6 次,记从续航能力在 的实验中抽取的 1 次实验记为 ,从续航能力在 的实验中抽取的 6 次实验记为 , , (10 分)
从这 7 次实验中随机抽取 2 次实验的样本空间
，共 21 个样本点，(12 分) 设这 2 次实验中有续航能力在 中的实验记为事件 ,
则 , ，共 6 个样本点， (13 分)
根据古典概型可知 ,
故这 2 次实验中有续航能力在 中的实验的概率为 . (15 分)
18.(1)当 时， ，其定义域为 . (1 分)
(i) 证明: , (4 分)
故 为定值. (5 分)
(ii) 解:记 ,
所以 (6 分) 两式相加,得 (8 分)
故 . (10 分)
(2)解:由 ,得 +1 ,
即 ,(12 分)
所以
整理得 (14 分)
当 时,解得 ; (15 分)
当 时,解得 . (16 分)
综上,当 时,原不等式的解集为 ; 当 时，原不等式的解集为 . (17 分)
19. 解: (1) 的定义域为 ,
因为 为奇函数,所以 , 取 ,则 ,解得 或 (舍去), (2 分)
当 时, , (3 分)
经验证,当 时, 为奇函数,满足题意,故 . (4 分)
(2)因为 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增,
所以 在 上单调递增.
设 ,则 ,
当 时,方程 仅有一个根,所以 在 上有 2 个不同的根, (6 分)
则 (8 分)
解得 或 ,
故实数 的取值范围为 (10 分)
(3)由 ，得 ,
由题意可知 , (11 分)
由 (2) 知 在 上单调递增,
所以 (12 分) 则 ,
即 , (13 分)
令 ,则 ,所以 ,
即 (15 分)
因为 在 上均为增函数,
所以 ,
所以 , (16 分)
故实数 的最大值为 . (17 分)