2026学年七年级数学下册第一次月考测试卷（7-8章）--苏科版（含答案）

2026学年七年级数学下册第一次月考测试卷（7-8章）
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．小病毒粒（），是最小且最简单的病毒．小病毒粒是直径约为米的二十面体．数据“”用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．运用乘法公式计算时，下列变形中，最适合运用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
4．要使的展开式中项系数为1，则的值为（ ）
A． B．2 C．0 D．1
5．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，分别以长方形的边，为直角边向外作等腰直角三角形，面积分别是和，且，，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．24 C．22 D．18
7．已知，，，现给出，，之间的五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中正确的关系式是（　　）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
8．如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则（ ）
A．16 B．15 C．14 D．12
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．）
9．若式子有意义，则实数满足___________
10．计算：______．
11．已知，，则______．
12.若是一个完全平方式，那么m的值为_______．
13．若等式成立，则x的值为_________．
14．如果，，那么等于________．
15．观察下列各式：
；
；
；
…
根据规律计算：的值是_______．
16．在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是___________．
三、解答题（本题共11小题，共82分．）
17．（5分）计算：
(1)； (2)．
18．（5分）计算：
(1)； (2)．
19．（6分）先化简，再求值：，其中．
20．（6分）已知：，．求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)的值．
21．（6分）已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)写出，，之间的数量关系，并说明理由．
22．（8分）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况：
①底数不为零的零指数幂，例如；
②底数为的整数指数幂，例如；
③底数为的偶数指数幂，例如．
【知识运用】
(1)若，则_________；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
23．（8分）【个例探索】请同学们思考后，回答下列问题：
（1）填空：①________，________，
②________，________；
【归纳猜想】根据第（1）问的计算结果，猜想乘方的定义，完成下题．
（2）________（其中m为正整数）；
【迁移应用】根据归纳形成的结论，完成计算．
（3）计算：．
24．（8分）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下：
设，则．
∴．
∴，
即．
(1)根据上述规定，填空：
① ， ；②若，则 ．
(2)计算： ，并说明理由．
(3)记．求证：．
25．（10分）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．
通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下：
原式
∵代数式的值与的取值无关，
∴，
解得：
【理解应用】
(1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ；
(2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值；
26．（10分）阅读理解并解答：
我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．
例如：①，
∵是非负数，即，∴，
则当时，代数式的最小值是2；
②，
∵是非负数，即，∴，
则当时，代数式存在最小值－7．
(1)知识再现：当______时，代数式的最小值是_______；
(2)知识运用：若，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值；
(3)知识拓展：若，求的最小值．
27．（10分）【探索发现】
数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．
（1）观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系是：___________；
【解决问题】
（2）若，且，则___________；
【实际应用】
（3）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知于点，．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，米，求主舞台和观众区的面积和．
【拓展提升】
（4）已知，求的值．
参考答案
一、选择题
1．C
解：A、因为，所以选项 A错误，不符合题意；
B、 因为，所以选项B错误，不符合题意；
C、 ，所以选项C正确，符合题意；
D、 ，所以选项D错误，不符合题意．
故答案为：C．
2．B
解：数据“”用科学记数法可表示为．
故选：B
3．D
解：
故选：D．
4．D
解：
，
的展开式中项系数为1，
，
解得：．
故选：D．
5．B
解：∵负整数指数幂法则：，零指数幂法则：
∴，
，
，
∵，
∴，
故选：B．
6．C
解：设，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即阴影部分的面积为22．
故选：C
7．C
解：∵，
∴，即，故①正确；
∵，，
∴，故②正确；
∵，，
∴，故③正确；
∵，，
∴，故④错误；
∵，，
∴，故⑤正确；
∴正确的关系式为①②③⑤．
故选：C．
8．A
解：根据题意，得，，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：A．
二、填空题
9．
解：， 解不等式得．
10．
解：
．
故答案为：．
11．
∵，
∴
故填：．
12．
解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
故答案为：．
13．或或
解：当时，
解得，
此时，，更符合题意，
成立；
当时，
解得，
则等式成立；
当时，
解得，
则等式成立；
综上所述，x的值为或或．
故答案为：或或．
14．
解：∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．
解：由题中规律可得，当时，
，
即，
即，
即，
即．
故答案为：．
16．
由知，
即，
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）解：
；
（2）解：
．
19．解：原式
，
当时，
原式
．
20．（1）解：∵，，
∴；
（2）∵，，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴或．
21．（1）解：∵，，
∴．
（2）解：∵，
∴．
（3）解：∵，
又，
∴，
∴．
22．（1）解：∵，
又∵，
∴，
∴，解得：；
（2）∵，
∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况：
①底数不为零的零指数幂，即且，解得：；
②底数为1的整数指数幂，即，解得：；
③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：为偶数，即成立，
∴综上，的值为或或；
（3）∵，
∴分类讨论：
（）当且时，解得：且，矛盾，不成立；
（）当时，整理，得：，
∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况：
①底数不为零的零指数幂，即且，解得：；
②底数为的整数指数幂，即，解得：；
③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：不为偶数，即不成立；
∴综上，的值为或．
23．解：（1）①，，
②，；
故答案为：①36，36；②，；
（2）；
故答案为：；
（3）
．
24．（1）解：①∵，
∴；
∵，
∴；
故答案为：3，5，
②∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）解：设，则．
∴．
∴，即；
故答案为：．
（3）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．（1）解：，
∵其值与的取值无关，
∴，
解得．
故答案为：．
（2）解：
∵的值与的取值无关，
∴，，
解得，．
26．（1）解：，
，
当，即时，代数式取得最小值，最小值为．
故答案为：3，3；
（2）解：
，
，；
当，即时，有最大值，最大值；
（3）解：由得；
则，
当时，取得最小值，最小值为．
27．（1）解：大正方形的面积为，小正方形的面积为，长方形的面积为，
由图可知，大正方形的面积减去个长方形的面积等于小正方形的面积，
∴，
故答案为：；
（2）解：由（1）可得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：设，，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵无人机和机器人表演区域的面积和为平方米，
∴，
∴，
∴，
∴主舞台和观众区的面积和为；
（4）解：
，
∵，
∴，
（负值舍去）
∵，
∴，
即，
∴
∵
，
∴．