2026学年七年级数学下学期第一次月考测试卷（1-2章）--北师大版（含答案）

2026学年七年级数学下学期第一次月考测试卷（1-2章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（ ）
A．减少 B．不变 C．减少 D．增加
3．若，则p、q的值是（ ）
A．3，10 B．10，3 C．， D．3，
4．如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（　　）
A． B． C． D．
5．已知，，那么（ ）
A．19 B．25 C．31 D．73
6．图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．的度数无法确定
7．如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
8．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．对于多项式：用任意两个多项式的积，再与剩余两个多项式的积作差，称之为“积差操作”，例如：下列说法：
①存在一种“积差操作”使得操作后的结果，无论x取何值，都能被3整除；
②不存在任何“积差操作”，使其结果为0；
③所有“积差操作”共有5种不同结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，则与的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若，则____．
12．如图，直线截，，其中内错角有__________对．
13．若规定符号的意义是：，则当时，的值为___________．
14．如图，已知，则__________°．
15．若，则的最大值是______．
16．如图，，的平分线交于点B，G是上一点，连结，，的平分线交于点D，连结．给出下面四个结论：
①；②与的面积相等；③与互余的角有2个；④若，则．
上述结论中，正确结论的序号有______．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）计算：
(1)； (2)．
18．（6分）如图，已知直线与直线相交于点，，．
(1)则；
(2)若平分，求的度数．
19．（8分）（1）先化简，再求值，其中；
（2）已知，求的值．
20．（8分）如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数．阅读下面的解题过程并填空(理由或数学式)．
解：∵，
∴（ ），
∵，
∴，
∵，
∴ （ ），
∴ (两直线平行，同位角相等)，
∵是的平分线，
∴．
21．（10分）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定填空：
________ ________ ________．
(2)已知，，，，求证：．
22．（10分）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能．
(1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图1，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则______， ______；
(2)一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成的锐角的度数．
23．（12分）如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形．
(1)分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________；
(2)如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积；
(3)分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积．
24．（12分）【问题背景】
如图①，在同一平面内，a、b、c三根木棒钉在一起，
【实践操作】
(1)木棒a、c固定不动，木棒沿顺时针方向至少旋转__________，使得（如图②）；
(2)如图③，当木棒时，将一个三角板ABC放在与之间（其中，），并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，请你求出的度数；
(3)现将图①中的木棒a、b同时沿顺时针的方向转动一周，速度分别为每秒和每秒，当一根木棒停止旋转时，另一根也同时停止转动．在旋转的过程中，存在某一时刻使得，请你直接写出是在第几秒．
参考答案
一、选择题
1．B
∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∴，故A选项错误；
∵积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，
∴，故B选项正确；
∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，
∴，故C选项错误；
∵与所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，
∴，故D选项错误．
2．C
解：∵，
∴减小时，减小，
故选：C．
3．C
解：∵
∴，
4．C
解：如图，，，则，
当，，
故选：C．
5．B
解：∵完全平方公式为．
∴移项可得．
∵，．
∴代入得．
故选：B
6．B
解：过点A作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
7．C
解：设，则，，
∴
∵与的差始终不变，即与的取值无关，
∴的系数必须为0，
∴，
∴，
故选：C．
8．C
解：如图：延长到H，由于纸带是长方形，
∴，
∴，
根据翻折不变性得，
∴，
又∵，
∴，．
在梯形中，，
根据翻折不变性，．
故选：C．
9．C
解：；
；
；
；
；
结果中，有不同结果有5种：0、、、、．
说法：存在结果为0的操作，0总是3的倍数，正确．
说法：存在结果为0的操作，错误．
说法：有5种不同结果，正确．
正确个数为2．
故选：C．
10．C
解：过点作，
，
，
，
，
，
，即
过点作，
，，
，
，
，
，
，
；
∴
故选：C．
二、填空题
11．3
解：将原方程左边变形，可得，
根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，得，
因此原方程可化为，
因此得，
∴．
12．
解：如图，设直线分别交，于点，，
形成的内错角有①与，
②与，
③与，
④与，共对．
故答案为：．
13．
解：根据题意，可得
，
∵，
∴，
∴
．
故答案为：6．
14．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：38．
15．17
解：设，
则，，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为17，
即的最大值是17．
故答案为：17．
16．①②④
解：的平分线交于点B，的平分线交于点D，
，
，
,
，故①正确；
与等底等高，
与的面积相等，故②正确；
与互余的角有，共4个，故③错误；
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
三、解答题
17．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．（1）由题可知，（对顶角相等）；
故答案为：；
（2），
，
平分，
，
．
19．解：（1）原式
，
当时，原式；
（2）原式
，
∵，
∴原式．
20．解：∵，
∴(垂直的定义)，
∵，
∴，
∵，
∴(同旁内角互补，两直线平行)，
∴(两直线平行，同位角相等)，
∵是的平分线，
∴．
21．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）证明：∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴．
22．（1）解：由题意可得：，，，
∴，，
∴
故答案为：，．
（2）解：由题意可得：，
如图：过E点作，
，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
23．（1）解：由题意得，长方形的面积，
阴影部分图形的面积，
∴可以发现一个乘法公式为；
故答案为：；
（2）解：∵正方形、正方形的面积分别是7和3，
∴，，
∴，
整理得，，即，
长方形的面积；
（3）解：∵正方形的面积是，正方形的面积是，
∴，，
∴四边形的面积
．
．
24．（1）解：如图，
∵，，
∴，
∴木棒a、c固定不动，木棒沿顺时针方向至少旋转，使得.
（2）解：如图，过作，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴.
（3）解：情况①：如图，设旋转的时间为，则最长旋转时间为，
由题意可得：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
情况②：如图，，，
由题意可得：，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
综上：在旋转的过程中，存在某一时刻使得，的值为或.