2026学年七年级数学下学期第一次月考测试卷（7-8章）--苏科版（含答案）

2026学年七年级数学下学期第一次月考测试卷（7-8章）
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中，能运用完全平方公式进行计算的是（ ）
A． B．
C． D．
4．世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．图，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．若，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：
请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
8．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　）
小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值．
A． B． C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．）
9．计算_____．
10．已知，则的值为_____．
11．若，则的值为______．
12．如果，那么的值为______．
13．已知，， 则的值为 ___________
14．若，，，，则a，b，c，d的关系是______．（用“＜”连接）
15．如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片各10张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．取其中的若干张(三种图形都要取到)拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的种数为________．
16．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是_______．
三、解答题（本题共11小题，共82分）
17．（5分）计算：
(1)； (2)．
18．（5分）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
19．（6分）先化简，再求值：，其中，．
20．（6分）已知：，，，试比较a、b、c的大小．
21．（6分）若（且，m，n是正有理数数），则．利用该结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值；
(3)若，，用含x的代数式表示y．
22．（8分）已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题：
(1)的值为_____________；
(2)若是一个完全平方式，则_____________；
(3)已知，且，求的值．
23．（8分）【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片1张，乙种纸片1张，丙种纸片2张拼成了如图（b）所示的一个大正方形．
(1)理解应用：观察图（b），用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式 ；
(2)拓展升华：利用上面的等式解决下列问题：
①已知，求的值；
②已知，求的值．
24．（8分）如果，那么我们规定，例如：因为，所以．
(1)（理解）根据上述规定，填空：________，________；
(2)（说理）记，，，试说明：；
(3)（应用）若（且），求的值．
25．（10分）图1是一个长为，宽为的长方形，将四个这样的长方形拼成如图2所示的“回”字形图其中四边形是正方形，中间的四边形也是正方形．
(1)观察图2，直接写出，，之间的等量关系式：____________；
(2)如果长方形的两条边，满足：，，求的值；
(3)将两个正方形，如图3摆放，是边上任意一点，若两个正方形面积之和为34，，求图中阴影部分面积之和．
26．（10分）【知识回顾】
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关具体解题过程是：原式，
代数式的值与的取值无关，
，解得．
【理解应用】
（1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值；
（2）已知，，且的值与的取值无关，求的值.
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系．
27．（10分）阅读理解学习；
【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数，，，因为，所以是对称式：而代数式中字母，交换位置，得到代数式，因为与不一定相等，所以不是对称式．
【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是 （填序号即可）；
①②③④
【能力提升】
已知．
①若，，求对称式的值；
②若，求对称式的最小值．
参考答案
一、选择题
1．A
解：幂的乘方法则为
对于选项A，，运算正确．
同底数幂相乘法则为
选项B中，运算错误．
积的乘方法则为
选项C中，运算错误．
同底数幂相除法则为
选项D中，运算错误．
故选：A．
2．B
解：，
故选：B．
3．D
解：A．可以利用平方差公式计算，故不符合题意；
B．可以利用平方差公式计算，故不符合题意；
C．可以利用多项式乘以多项式法则计算，故不符合题意；
D．可以利用完全平方公式计算，故符合题意；
故选：D．
4．B
解：．
故选：B．
5．C
解：方法一：
图中四个长方形的面积的和图的长方形的面积，
图的大正方形的面积，
图中阴影部分的面积＝图的大正方形的面积﹣图中四个长方形的面积的和，
即，
，
，
；
方法二：
图中阴影部分是正方形，且四个边长都是，
阴影部分的面积．
故选：．
6．B
解：∵，，，，
∴ ，，，，
∴．
故选：B．
7．C
解：由题意可得展开式中含项为第二项，
∵展开式中的第二项系数为1，
展开式中的第二项系数为2，
展开式中的第二项系数为3，
展开式中的第二项系数为4，
……，
∴以此类推，根据杨辉三角形展开式中，第二项的系数为，
的展开式中含项的系数是2023，
故选：C．
8．A
解：①大长方形的长为，小长方形的宽为，
小长方形的长为，说法①正确；
②大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为，
阴影的较短边为，阴影的较短边为，
阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误；
③阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为，
阴影的周长为，阴影的周长为，
阴影和阴影的周长之和为，
阴影和阴影的周长之和与值无关，说法③正确；
④阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为，
阴影的面积为，阴影的面积为 ，
阴影和阴影的面积之和为，
当时，，说法④正确．
综上所述，正确的说法有①③④．
故选：A．
二、填空题
9．
解：
．
故答案为：．
10．
解：∵，，
∴，
故答案为：．
11．8
解： ∵ ，
∴，
故答案为：．
12．
解：，
∵，
∴，
∴，，
，，
∴，
故答案为：．
13．3
解：∵，，
∴
，
故答案为：3．
14．
解：，，，，
∵，
∴，
故答案为：．
15．
①，即可以用、正方形纸片各张，长方形纸片张拼成一个边长为的正方形；
②，即可以用正方形纸片张，纸片张，长方形纸片张拼成一个边长为的正方形：
③，即可以用纸片张，纸片张，纸片张，拼成一个边长为的正方形；
④，即可以用正方形纸片张，纸片张，纸片张，拼成一个边长为的正方形；
⑤，即可以用纸片张，纸片张，纸片张，拼成一个边长为的正方形；
⑥，即可以用纸片张，纸片张，纸片张，拼成一个边长为的正方形．
综上所述，共有种不同的正方形．
故答案为：．
16．2701
解：设两个数分别为，k，其中，且k为整数．则．
设两个数分别为和，其中，且k为整数．则，时，，
∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
∴（且k为整数）均为智慧数；
除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下：
∵假设是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得，
∴，
∵和这两个数的奇偶性相同，
∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．
∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，
又∵，
∴第2024个智慧数在（组），并且是第1个数，即．
故答案为：2701．
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
19．解：
，
当，时．
原式
．
20．解：，，，
∵，
∴，
∴．
21．（1）解：∵，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（3）解：∵，，
∴，
∴．
22．（1）解：，
，
故答案为：10；
（2）
，
是一个完全平方式，
，
，
，
故答案为：；
（3）
，
，
，
．
23．（1）解：图（b）中阴影部分的面积，图b中阴影部分的面积，
∴等式为；
（2）①由（1）知，，
当时，，
解得：；
②令，
∴，
，
∵9=a2+b2+2，
，
即．
24．（1）解∶∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3，4；
（2）解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（3）解∶设，，，且，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
25．（1）解：∵大正方形的面积等于个小长方形面积和小正方形面积之和，
，
；
故答案为：；
（2）解：由（1）得，
（3）解： 设两个正方形，边长分别为，，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
．
26．解：（1）
，
多项式的值与的取值无关，
∴，
解得；
（2）∵，，
∴
，
∵的值与的取值无关，
∴，
解得；
（3）设，由图可知，，
∴，
，
∵当的长变化时，的值始终保持不变．
∴取值与x无关，
∴，
∴．
27．（理解判断）①，是对称式；
②，是对称式；
③，不是对称式；
④，是对称式；
故答案是：①②④；
（能力提升）①，
，．
①∵，，
；
②，
∴，
∴
∴当时，对称式的最小值是．
故答案是：①②④，18，．