人教版八年级数学下册21.3.1 矩形 同步练习（含答案）

21.3.1《矩形》同步练习
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1．矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（ ）
A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等
C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等
2．如图所示，矩形的对角线相交于点，，则矩形对角线的长等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
5．如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，点是矩形外一点，且在上方，连接，点在边上，连接交边于点F．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，点，分别在边，上，连接，点，分别是，的中点，连接，若，则的最小值是（ ）
A．1.8 B．2 C． D．2.5
8．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交、于点、，连接、．若图中阴影部分的面积为8，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
9．如图，在四边形中，，，，，点E，F分别是的中点，连接，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．8
10．如图，在矩形中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点F；再以B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，矩形中，、相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E．已知，则的度数为______．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，且顶点B的坐标是（1，2），如果以O为圆心，OB长为半径画弧交x轴的正半轴于点P，那么点P的坐标是_______．
13．如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为______．
14．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．

15．如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为__________．
16．如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为_____．
17．如图，，，点在上，四边形是矩形，且，连接，交于点，连接，则______．
18．如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接、．若，则线段的长为____________．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，求：
(1)求的度数；
(2)求矩形的面积．
20．（8分）如图，为的斜边上的高，设，，．
(1)若，，求h的值；
(2)求证：．
21．（10分）如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，．
(1)求证：是矩形；
(2)若点E为的中点，求的度数．
22.（10分）如图，点是两直角边上的两点，连接，已知点D、E、F分别是的中点．
(1)求度数；
(2)连，取中点G，连接，若，求的长．
23.（10分）如图，四边形为矩形，，，分别为，边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边（或直角边所在直线）分别与矩形的边交于点，．
(1)操作发现：
如图1，当三角板的一条直角边交于点，另一条直角边交于点时，求证：．
(2)深入探究：
如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由．
(3)拓展探究：
在（2）的条件下，若，，求的长度．
24.（本小题满分12分）综合与实践：在数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作步骤：小明利用一张矩形纸操作如下：
步骤①：把矩形对折，得折痕；（如图1）
步骤②：把A折向，得；（如图2）
步骤③：沿线段折叠，得到另一条折痕，展开后可得到．（如图3）
(1)基础探究：根据以上操作，图3中与的数量关系是：______________．（直接写出结论）
(2)深入探究：在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由．
(3)拓展探究：在（2）的条件下，如图4，过点E作于点H，交于点Q．求证：．
参考答案
一、选择题
1．D
解：、∵矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分，
∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意；
、∵矩形的对边相等，平行四边形的对边相等，
∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意；
、∵矩形的对边平行，平行四边形的对边平行，
∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意；
、∵矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的所有性质外，还具有四个角均为直角（即四个角相等）的性质，
∴矩形具有而平行四边形不具有，符合题意；
故选：．
2．B
解：由题意知，，
∴，
∴矩形对角线的长为2．
故选：B ．
3．A
解：过点作于点，
∵矩形的顶点的坐标分别为，，点是的中点，
∴点
∵，，
∴，
即点
∴点，
故选：A
4．B
解：由折叠的性质及矩形的性质可得：，．
在 和 中，
，
．
设 ，则 ．
在 中，
解得：，
，
.
故选：B．
5．A
解：如图，连接．
∵平移，
∴，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
6．A
解：∵四边形是矩形，
，∠D=90 ，
，，
，
，
故选：A．
7．B
解: 连接，
在中, , , ，
，
点为的中点，
，
分别是、边上的点, 且，
，
点在以点为圆心，半径为的圆弧上运动，
且当点三点共线时，最小，
，
故选：B．
8．B
解：作于，交于．
则有四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，
∴，
，
∵，
∴，即，
∴．
故选：B．
9．B
解：如图，连接，
，F是的中点，
，
又，
四边形是平行四边形，
同理，四边形是平行四边形．
平行四边形中，，
四边形是矩形，
，
又 E是的中点，
，
，
，是等边三角形，
．
四边形是平行四边形，
，
，
，
，F是的中点，
，
，
，
，，
，
又，，
，
，
故选：B．
10．D
解：如图，过点F作于Q．
∵在矩形中，，，
∴．
根据题意可知为的平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
设，则．
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
二、填空题
11．
解：四边形是矩形，
，
，
，
∵，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
∴的度数为．
故答案为：．
12．（，0）
由题意可得：OP＝OB，OC＝AB＝2，BC＝OA＝1，
∵OB＝＝＝，
∴OP＝，
∴点P的坐标为（，0）．
故答案为：（，0）．
13．
解：∵，分别是斜边，上的中线，
∴，，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：．
14．60
解：四边形是矩形，
，
∵∠CEF=10 ，
，
，
四边形是平行四边形，
故答案为：60．
15．
解：四边形是矩形，
，
是等腰直角三角形，
，
由折叠可知，，，
设，
则，
在中，，
，
解得：，(负值，舍去)，
，
．
16．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵四边形为矩形，
∴，．
∴，．
∴．
∴为等边三角形．
∴．
∴．
∴．
故答案为：
17．
解：∵四边形是矩形，
∴，．
∵，，
∴为等边三角形
∴，，．
∴．
18．
，
是等腰直角三角形，
如图，作点关于直线的对称点，则点在直线上，连接，
，
，
，
此时、、三点共线且，
，
，
在的中点处，
，
．
三、解答题
19．（1）解：因为四边形是矩形，根据矩形性质，
对角线，且对角线互相平分，
即，
，
在中，，
，
．
（2）在中，，
根据直角三角形中，斜边是角对边的2倍，
，
根据勾股定理可得，
故矩形面积为．
20．（1）解：在中，，即，
∴．
∵，
∴，∴．
（2）证明：（解法一）
在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得．
∵，
∴，
∴．
（解法二）取中点O，连接，
则，
∵，O是中点，∴．
在中，，
∴，化简得．
21．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，点E为的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
22.（1）证明：∵D、E、F分别是的中点，
∴．
∴．
∴，
（2）解：连接，，
∵G、F分别是和的中点，
∴．
同理：．
∴，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴四边形为矩形．
∴，，
∵E、F、G，D分别是、、、的中点，，
∴，．
∴．
23.（1）证明：∵在矩形中， ，，分别为，边上的中点，
∴，，
∴四边形和四边形都是正方形．
∴，．
∵．
∴，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）解：同（1）可得．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，．
∴
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，，，
当时， ．
∵，
∴，
∴．
24.（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵把矩形对折，得折痕，
∴，
∴点是中点，点是的中点，，
如图所示，
把A折向，得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：是等边三角形，理由如下，
如图所示，根据折叠得到，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（3）证明：∵是等边三角形，，
∴，，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．