人教版八年级数学下册 21.3.2 菱形 同步练习（含答案）

21.3.2《菱形》同步练习
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1．如图，在菱形中，连接，过点作于点，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
3．道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线长为，为，则该标志的占地面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，菱形的边长为5，对角线与相交于点，，延长至，平分，点是上任意一点，则的面积为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．18
6．如图，的对角线，交于点O，以下条件不能证明是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，菱形的对角线、交于点，，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在菱形中，，E是的中点，F是上一点且满足，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在菱形中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，与交于点，如果点为线段上一动点，当取最小值时，（ ）
A． B．1 C． D．
10．如图，菱形和中，，，是的中点，在的延长线上，，分别是，上的动点，且，，分别是，的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为，则点的坐标为_____________．
12．如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接．若，则的长为_____．
13．如图，小强在作线段的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点、为圆心，大于线段长度一半的长为半径画弧，相交于点、，则直线即为所求．连接、、、，则根据她的作图方法可知，四边形是________．
14．如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为________．
15．如图， ABC是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作．，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则_____．
16．如图，在菱形中，，．为边上的一点，且不与点、重合，连接，过点作，且，连接、，则四边形的面积为_____________．
17．如图，菱形中，，点P在对角线上，将沿翻折，得到，当____________ 时，P、、D三点共线．
18．如图，在中，对角线，交于点，，过点作交的延长线于点．
（1）若，，则的长为____________．
（2）在（1）的条件下，已知是线段上的一点，且，则的长为____________．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，四边形是菱形，于点，于点．
(1)求证：；
(2)若菱形的边长为，，求的长．
20．（8分）如图，已知：在中，是对角线，，是上一点，连接．
(1)将图补充完整（不写作法，不需保留作图痕迹）；
(2)当时，求与的面积比．
21．（10分）如图，在中，，，点是 ABC外一点连接，，将沿折叠使点落在边上的点处，连接，若．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，，若，求四边形的面积．
22.（10分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若菱形的边长为8，，求的值．
23.（10分）如图，在平行四边形中，，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的点，且，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求点D到的距离h．
24.（12分）如图，在四边形中，是四边形的对角线，过点作的垂线交的延长线于点，点恰好是的中点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点作于点，交于点，连接，若，求和的长．
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵菱形，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
2．D
解：四边形是平行四边形，
当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形，
逐一对比选项，其中选项能使变为菱形，符合对角线互相垂直，、、均不能使变为菱形，不符合题意．
故选：D．
3．A
解：根据题意，得菱形的面积等于，
故选：A．
4．C
解：如下图所示，过点作，
当点与点重合时，的值最小，
四边形是菱形，
，，，
，，
，，
，
，
，
解得：，
，
的最小值为．
故选：C．
5．B
解：如图，过点作于点，
∵菱形的边长为5，且，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴的面积为，
故选：B．
6．D
解：A项：在中，与是一组邻边，当时，满足菱形的定义，
∴可以证明是菱形，故不符合题意；
B项：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是菱形，故不符合题意；
C项：∵四边形ABCD是平行四边形，且，满足菱形的判定条件，
∴可以证明是菱形，故不符合题意；
D项：在中，对角线互相平分，
∴是平行四边形本身就具有的性质，
但仅由不能证明是菱形，故符合题意，
故选：D．
7．A
解：如下图所示，连接，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
当时，最短，
设中边上的高为，
，
，
，
的最小值是，
即的最小值是.
故选：A．
8．C
解：过点F作于点G，过点D作交延长线于点H，如图，
则，
设菱形的边长为，则，
∵，
∴，，
则，，
∵E是的中点，，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
在中，，
则，
故选：C．
9．B
解：如图，连接，设交于点，交于点O．
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，都是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由作图可知垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴（负值舍去），
∵D，B关于对称，
∴，
∴，
∴当点P与点重合时，的值最小，此时．
故选：B．
10．A
解：连接，交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴是的中点，
∵是的中点，
∴点和点重合，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，在的延长线上，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
连接，
∵，是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
故选：A．
二、填空题
11．
解：∵点C的坐标为，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴A点的坐标为．
12．4
解：∵四边形是菱形，对角线、交于点O，
．
点O为的中点．
点M为的中点，
是 ABC的中位线．
，
．
故答案为：4．
13．菱形
解： 分别以点，为圆心，以大于长度的长为半径画弧，两弧相交于，，
，
四边形是菱形．
故答案为：菱形
14．24
解：过点A作于点M，于点N，
则，
∵两张纸条的对边平行，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵两张纸条的宽度相等，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴四边形的周长为，
故答案为：24．
15．
解：∵ ABC是边长为1的等边三角形，
∴，
∵E是边中点，，
∴是 ABC的中位线，
∴，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的，
即，，……，，
∴．
故答案为：．
16．
解：连接，，如图：
由题意可得：
∴，，，
∴是等边三角形，
过点作于点，过点作于点，
则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴．
故答案为： ．
17．或
解：当P，，D三点共线时，分两种情况：
①当D在线段上时，
如图，连接，
∵沿翻折至，
∴，
∴，
设，
∵四边形为菱形，且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵P在菱形的对角线上，
∴，
∴，
又∵，
而，
∴，
∴；
②当D在延长线上时，
如图，连接，，
同上，设，
∵，
∴，
又∵P在菱形的对角线上，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴当或时，P、、D三点共线，
故答案为：或．
18． 1或3
解：（1）∵四边形是平行四边形，，
是菱形，
，，．
，，
，．
在中，，
．
∵AE CD交的延长线于点，
，
，
，
．
（2），，，
．
当点在线段上时，；
当点在线段上时，．
故的长为或．
三、解答题
19．（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：在中，
，
∵，
∴，
∵菱形的边长为，即，
∴．
20．（1）解：如图所示为所求：
（2）解：如图，连接，设的垂直平分线交于点，
∵中，，
∴是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与的面积比为．
21．（1）证明：如图1，连接，设交于点，
由折叠的性质得：，，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：如图2，
由（1）可知，四边形是菱形，
，
，，
，
，
，
四边形的面积．
22.（1）证明：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴
，
∴四边形是平行四边形．
，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：在菱形中，，，，
∴ ABC是等边三角形，
，
∴，
∴在矩形中，，
∵矩形中，
∴在中，．
23.（1）证明：∵是平行四边形，
∴是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
在中，，
即，
解得，负值舍去，
则，，
∴，
∴，
即，
则．
24.（1）解：，，
四边形是平行四边形，
，
，即是直角三角形，
点是的中点，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：连接，交于点，
四边形是菱形，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
设，，
，则，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
由此可得，即，
在中，由勾股定理得：，
即，解得，
由，得，
，，，
四边形是菱形，，
垂直平分，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，解得，
；
综上，的长为，的长为．