人教版八年级数学下册20.1 勾股定理及其应用 同步练习（含答案）

20.1《勾股定理及其应用》同步练习
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1．已知一个直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的第三条边的长为（ ）
A．5 B． C．8 D．5或
2．已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（ ）
A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米
5．如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河对岸选定一点，再在河一侧岸边选定点和点，使，测得米，，根据测量数据可计算小河宽度为（ ）
A．米 B．20米 C．米 D．米
6．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，已知为边上一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
8．如图，某同学用圆规画一个半径为的圆，测得此时，为了画一个半径更大的同心圆，固定端不动，将端向左移至处，此时测得，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送 (水平距离)时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是（ ）．
A． B． C． D．
10．勾股定理在我国有着悠久的历史．古代数学家赵爽在《周髀》中利用“勾股方圆图”直观的证明了勾股定理．后人通常把右图称为“赵爽弦图”．如右图所示，点坐标为，点坐标为，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，直角三角形的直角边的长为1，线段绕点旋转，使点落在数轴上并记为点，则数轴上点表示的实数是 ．
12．如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中， ABC的三个顶点均在格点上，则 ABC中边上的高为 ．
13．如图，的顶点分别在第一，二象限内，，则n的值为 ．
14．我国古代“赵爽弦图”是勾股定理的重要证明方法，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．若直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，小正方形边长为1，则 ．
15．如图，圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要 米．
16．如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为 海里/时．
17．如图， ABC是等边三角形，，点在上，，直线，垂足为，分别是边，直线上的动点，则的最小值是 ．
18．毕达哥拉斯学派发现了无理数，通过学习我们知道无理数也可以表示在数轴上．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作正方形，连接，以为半径作圆弧交轴正半轴于点，再作长方形，连接，以为半径作圆弧交轴正半轴于点，再作长方形，连接，如此反复操作，我们可以得到的坐标为 ，在到的所有横坐标中，的同类二次根式有 个．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在 ABC中，，，，平分交于点，于点．
(1)求证：；
(2)求的长．
20．（8分）将与按如图所示的方式摆放，延长交于点F，连接，其中，，．
(1)证明：；
(2)若，，求长．
21．（10分）如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角重合，另一端靠在点处，．
(1)求小凳子顶点与墙面的距离；
(2)在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度．
22．（10分）如图，在 ABC中，，点D在上，，点E在上，．
(1)求的长度；
(2) ，给出证明；
(3)求证：点E为线段中点．
23．（10分）如图：已知中，，，的面积是12，于点D，点M在直线上，且，动点P从点M出发，以每秒1个单位的速度从点M沿射线运动，设运动的时间为t秒，回答下列问题．
(1)直接写出线段__________；
(2)用含t的代数式表示线段的长；
(3)在上取点Q，使，连结，当与全等时，求t值；
(4)在点P运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的值．
24．（12分）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)已知 ABC中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积．
参考答案
一、选择题
1．D
解：当3和4是直角边时，
在直角三角形中，第三边长为；
当3是直角边，4是斜边时，
在直角三角形中，第三边长为；
故选：D．
2．B
解：设，
∵，
∴=，
两边平方得，
化简得，
解得，
故点的坐标为，
故选B．
3．B
解：在中，，
由勾股定理得：，
．
故选：B．
4．B
解：∵，
∴在中，，
即，
∵，
∴在中，
∴，
∴，
∴，
∴两个书柜之间的距离为2.2米；
故选：B．
5．A
解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得米（负值舍去），
故选：A．
6．C
解：由折叠的性质得，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴的长为．
故选：C．
7．D
解：在中，，
∴，
根据作图可知，是的角平分线，
∵点为边上一个动点，
∴当时，有最小值，
如图所示，当点在处，有最小值，即的值，
∵是的角平分线，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，，
∴，
∴的最小值为，
故选：D ．
8．A
解：∵，，
∴，
∴，
过作，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：A．
9．C
解：设秋千绳索，
，，
，
，
在中，
，即，
解得，
秋千绳索的长度是．
故选：C．
10．C
解：如图所示，
根据“赵爽弦图”，可知大正方形由个全等的直角三角形和个小正方形组成，
点坐标为，点坐标为，
，，，
，，
∴，
，
故点的坐标为．
故选：．
二、填空题
11．
∵点C的坐标为，点O在原点上，
∴，又，
由勾股定理得：．
∴．
即数轴上点A表示的实数是，
故答案为：．
12．
解：过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E．
由题意可得，，，
∵，
∴，
∴，
即 ABC中边上的高为．
故答案为：
13．
解：∵的顶点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得.
故答案为：．
14．1
解：在赵爽弦图中，四个全等的直角三角形围成一个小正方形，小正方形的边长等于两直角边之差的绝对值．
∵小正方形边长为1，
∴，
∴．
故答案为1．
15．
解：由题意得：彩带最短为长方形对角线长度，
∵圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米，
∴ 米，
故答案为：．
16．15
解：由条件得：(海里)，(海里)，
而，
∴ (海里)，
∴乙船的速度是(海里/时)．
故答案为：15．
17．
解：如图，作D关于直线的对称点G，连接，则，
∵直线，
∴，
∴，
即G、B、D、C在一条直线上，
∴，
∵G、D关于直线对称，
∴，
由垂线段最短可知当时，有最小值．
∵ ABC是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
即的最小值是．
故答案为：．
18．
解：点的坐标为，四边形是正方形，
，，
点的坐标为，
，
，
点的坐标为，
四边形是长方形，
，，
，
，
点的坐标为，
......，
点的坐标为，
即点的坐标为；
由图可知：
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，点的坐标为，
，
在到的所有横坐标中，有、、、、，共个的同类二次根式；
故答案为：，.
三、解答题
19．
（1）解：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴的长为．
20．
（1）证明：∵，
∴，又，，
∴，
∴；
（2）解：在中，
∴
∵
∴
∵，，
∴
∴
设，则，
在中，
则
解得
∴的长为．
21．
（1）解：过作垂直于墙面，垂足，根据题意可得，，
在中，，
即顶点与墙面的距离为．
（2）解：延长交墙面于点，可得，
设，则，，，
在中，，即，
解得，
∴，
∴凳子宽的长度为木杆的长度为．
22．
（1）解：，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
，
，
，
，
；
故答案为：；
（3）证明：过点作，交于点，交于点，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点E为线段中点．
23．
（1）解：∵，
，
，
故答案为：4．
（2）解：，
，
，
∵动点从点出发，以每秒 1 个单位长度的速度从点沿射线运动，运动的时间为秒，
∴当时，；
当时，；
（3）解：∵，
，
，
，
当点在点左侧，时，，
，
解得：；
当点在点右侧，时，，
，
解得：；
综上分析可知：或时，与全等；
（4）解：当时，，
，
，即点P与点B重合，
，
当，点在点左侧时，，
，
，
当点在点右侧，，
，
，
综上，或或时，是以为腰的等腰三角形．
24．
（1）解：梯形的面积为，梯形面积也等于，
∴，
∴，
∵左边：，
∴；
（2）解：∵，千米，千米，，
∴设千米，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴千米，千米，
∴千米，
∴新路比原路少千米；
（3）解：如图所示，
∵是边上的高，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴；
如图所示，，
在中，，
在中，，
∴，
∴；
综上所述， ABC的面积为24或84．