人教版八年级数学下册21.2.1平行四边形及其性质 同步练习（含答案）

21.2.1《平行四边形及其性质》同步练习
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1．如图，在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．在平行四边形中，对角线相交于点O，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，则的长为（ ）
A． B． C．8 D．
4．平行四边形不一定具备的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分
5．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
6．将一个有角的三角板的直角顶点C放在一张宽为的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另一边沿上，测得，则三角板的最大边的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将平行四边形沿对角线翻折，点B落在点E处，交于点F．若，，则下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，点在的边上，．若，，则的度数为（ ）
A．75° B．80° C．90° D．105°
9．如图，中，，于点E，于点F，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，点在边上，，过点作于点．若，则线段的长度是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，在中，若，，，则______．
12．如图，平行四边形的对角线相交于坐标原点O，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为______．
13．已知平行四边形的一边长为，一条对角线长为，则另一条对角线的取值范围是______．
14．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交边于点．若，，则的长为______．

15．如图，在中，和的平分线交于点，且分别交直线于点、．若，，则的值是______．
16．如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，为上一点，连接，，．若，，，则的面积为____________．
17．如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_________．
18．如图，在四边形中，，，，M是上一点，且．点E从点A出发以的速度向点D运动；点F从点B出发，以的速度向点C运动．当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，中，分别是和的平分线，相交于点O．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
20．（8分）如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且．
(1)求证： BCE≌ FDC；
(2)若，平分，求的长．
21．（10分）如图，在中，于点，于点．
(1)求证：；
(2)若，，，则的长_________．
22．（10分）如图，在中，对角线，相交于点O，，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的面积．
23．（10分）材料阅读
小明偶然发现线段的端点的坐标为，端点的坐标为，则线段中点的坐标为，通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段中点坐标为．
(1)知识运用：
如图，矩形的对角线相交于点分别在轴和轴上，为坐标原点，则的长为___________，点的坐标为___________．
(2)能力拓展：
在直角坐标系中，有三点，另有一点与点构成平行四边形的顶点，求点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果）
24．（12分）在学习了《平行四边形》之后，小颖同学和小慧同学对平行四边形进行了更为深入的探究．
【初步探究】
如图1，小颖同学连接了的对角线，并发现当时，与之间存在一定的数量关系，请直接写出这个数量关系；
【深入探究】
在小颖同学发现的基础上，小慧同学大胆提出一个猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图2，是（）斜边上的中线，请根据小慧同学的猜想写出中线与斜边的数量关系，并证明这个数量关系；
【拓展延伸】
如图3，小颖同学和小慧同学在图2中的基础上又作了，使（点在斜边所在直线的同侧），且平分．连接，请帮助小颖同学和小慧同学判断与之间的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1．B
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，解得，
∴．
故选：B．
2．C
解：∵平行四边形的对角线互相平分，
∴，故A正确，不符合题意；
∵ 平行四边形的对边相等，
∴，故B正确，不符合题意；
∵ 平行四边形的对角线不一定垂直（仅特殊平行四边形如菱形时成立），
∴不一定成立，故C错误，符合题意；
∵ 平行四边形的对角相等，
∴，故D正确，不符合题意．
故选C．
3．A
解：设与交于点F，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
4．C
解：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，邻角互补，
平行四边形不一定有的性质是对角线相等，即C选项，
故选：C．
5．C
解：分两种情况讨论：
当直线c在直线a和直线b之间时，
∵a与b的距离为，b与c的距离为，
∴a与c的距离为；
当a与c分别在b的两侧时，
∵a与b的距离为，b与c的距离为，
∴a与c的距离为；
综上，a与c之间的距离为或．
6．C
解：过点作于点T，如图所示：
依题意，，，
∴，，
∴，
∵将一个有角的三角板的直角顶点C放在一张宽为的纸带边沿上，
∴
∴
故选：C
7．D
解：∵四边形是平行四边形，且，
∴，，，，
∴，
设，
∴，
由翻折性质得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在 CDF中，，
∴，
∴，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∵，
∴，故选项B正确，不符合题意；
∵
∴，
在和 CDF中，
，
，故选项C正确，不符合题意；
∵，
与不垂直，故选项D不正确，符合题意，
故选：D．
8．C
解：∵四边形是平行四边形，
∴
∵
∴
∵ 四边形是平行四边形
∴
∵
∴，
是等腰三角形，
∴
∵在中，
∴
∵
∴
∵ 四边形是平行四边形
∴
∴ ，
．
故选：C．
9．A
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
10．C
解：设．
∵四边形是平行四边形，
，，
．
，
，
，解得，
即，
．
，，
．
根据勾股定理，得，
则，
．
故选：C.
二、填空题
11．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
解：∵四边形是平行四边形且对角线交于原点O，
∴点D与点B关于原点成中心对称，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
解：如图所示：
假设，，
∴，
由三角形三边关系，
可得，
∴，
故答案为：．
14．
解：如图，设与交于点，

∵以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，
∴，
∵分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，
∴，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．64
解：由题意知，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，
∴，
又∵和的平分线交于点，
∴，
∴，
∴．
故答案为：64 ．
16．56
解：∵四边形是平行四边形，
，．
在 ABC与中，
，
，即．
，
，
．
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
17．
解：如图，设，交于点，过点作于点，
连接，
四边形是平行四边形，
，，
∵点D是的中点，为定点，
∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，则最小，
即当重合时，最小，
∴的最小值为，
，
∴，
∵，即
∴
，
∴的最小值为
的最小值为
故答案为：．
18．或
解∶∵，，
∴，
∵，
∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，，
当F在M的右侧时，，
又，
∴，
∴；
当F在M的左侧时，，
又，
∴，
∴；
综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或，
故答案为：或．
三、解答题
19．（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
又分别是和的平分线，
，
，
．
（2）解：四边形是平行四边形．
，
的周长．
，
的周长为16．
20．（1）证明：在平行四边形中，，
∴；
∵，，
∴；
（2）解：在平行四边形中，；
∵平分，
∴；
由（1）知，
∴，
∴，
∴．
21．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
．
，，
．
在和 CDF中，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，．
，，
∴，
，
．
23．（1）解：为坐标原点，，
的长为，
矩形的对角线相交于点，
点M为的中点，
点M的坐标为，即，
故答案为：5，；
（2）解：设点D的坐标为，
如图，分三种情况：
当为对角线时，与的中点重合，
，
解得，
点D的坐标为；
当为对角线时，与的中点重合，
，
解得，
点D的坐标为；
③当为对角线时，与的中点重合，
，
解得，
点D的坐标为；
综上可知，点的坐标为或或．
24．[初步探究]数量关系：
解： 四边形是平行四边形，
∴,
∴,
∵，
∴,
∴,
又,
，
．
[深入探究]数量关系：
证明：如图，延长到点，使，即，连接，
是斜边上的中线，
．
四边形为平行四边形．
，
又，
，在和中，
，
．
[拓展延伸]
解：理由如下：取和的斜边的中点，连接交于点，
由[深入探究]得，
，
，
，
平分，
，
，即，
，
，
，
所在的直线是线段的垂直平分线，
，
．