人教版八年级数学下册20.2 勾股定理的逆定理及其应用 同步练习（含答案）

20.2《 勾股定理的逆定理及其应用》同步练习
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
4．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对
5．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5千米，12千米，13千米，问这块沙田面积有多大？则该沙田的面积为（　　）平方千米．
A．15 B．30 C．75 D．60
6．已知，，是三角形的三边，且满足，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
7如图正方形的边长为，，连接，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是 ABC的角平分线，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在 ABC中，，且 ABC周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s， BPQ的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点A，B在直线的同侧，A到的距离，B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b，则的值为（　　）
A．160 B．150 C．140 D．130
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．在 ABC中，，则的度数为 ．
12．如图， ABC中，，，点、分别是、的中点，，则的长为 ．
13．如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，则 °．
14．如图，在 ABC中，，，．利用尺规在，上分别截取，，使；分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．则 度， ．
15．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为 元．
16．如图，在 ABC中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为 ．
17．如图，在 ABC中，的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，点E在点D右侧．若，则 ABC的面积为 ．
18．如图， ABC中，，，，将 ABC沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当周长最小时，的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在 ABC中，，为上一点，连接，若，，．
(1)判断的形状，并说明理由；(2)求的长．
20．（8分）请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图．
(1)在图1中找一个格点，以为腰，使 ABC为等腰三角形．
(2)在图2中画一个格点，以为底，使 ABC为等腰直角三角形．
21．（10分）如图所示，在 ABC中，，，在中，为边上的高，，的面积．
(1)求的长．(2)求的度数．
22．（10分）如图，在 ABC中，，，，．
(1)求的长．
(2)若是射线上的一个动点，作⊥于点，交直线于点，连接，，如图②．若，求的长．
23．（10分）某小区计划在临街的拐角建造一块绿地（图中阴影部分），并在绿地中开辟一条小路．下图是施工图纸，，其中的长度不小心被污染了，但知道比长．
(1)请你帮忙计算出的长度；
(2)判断的度数并说明理由；
(3)求这片绿地（即四边形）的面积是多少？（小路忽略不计）
24．（12分）如图，在 ABC中，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上．
(1)求证： ABC是直角三角形；
(2)如图1，若D为的中点，求证：；
(3)如图2，若F为的中点，判断线段，与之间的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1．C
解：A. ∵，
∴这三条线段不能构成直角三角形；
B. ∵，
∴这三条线段不能构成直角三角形；
C. ∵，
∴，
∴这三条线段能构成直角三角形；
D. ∵，
∴这三条线段不能构成直角三角形；
故选：C．
2．D
解：∵三边之比为，
∴设三边分别为，，．
∵周长为，
∴，
∴．
∴三边分别为，，．
∵，
∴三角形为直角三角形，直角边为和．
∴面积为．
故选：D．
3．C
解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；
当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6个满足条件的顶点．
故选C．
4．A
解：设正方形地砖边长为1，
，
，
，
在 ABC中，
，，
，
是直角三角形．
故选：A．
5．B
解：∵，，
∴，
∴该三角形为直角三角形，直角边为5千米和12千米，
∴面积（平方千米）．
故选：B．
6．B
∵，，，且，
∴，，，
解得，，，
又∵，，，
∴，
根据勾股定理的逆定理，可知该三角形是直角三角形，
且，故不是等腰三角形，
∴故选：B．
7．B
解：如图，延长交于点，
，，，
，
和是直角三角形，
在和中，
，
，
，，
，，
又，，
，，
在和中，
，
，
，，，
，
同理可得，
在中， ，
故选：B．
8．A
解：如图，过点作于点，
∵，，，
∴，
∴ ABC是直角三角形，且
又∵是 ABC的角平分线
∴
又∵
∴
∴，
∴
设，则，
在中，
∴
解得：
即的长为
故选：A．
9．B
解：设长为，长为，长为．
的周长为，即，
，
解得，
，，，
，
是直角三角形，且．
经过，，，
．
故选：B．
10．A
解：如图，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求点，过点作于点E，
线段的长为的最小值，
、、,
、、，
即的最小值；
延长交于点，
、
当点P运动到时，有最大值，
、、，
过点B作于点F，则，
即有最大值，
，
故选：A．
二、填空题
11．
解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
12．
解：已知点D是的中点，，
∴ ，
∵
∴，
∵，
，
根据勾股定理的逆定理，可得，
即，
∵E是的中点，
∴．
13．
解：连接，
依题意，，，
∵，
∵ ABC是直角三角形，且，
∵，
∴，
则，
结合网格特征，得，
则，
∴，
故答案为：．
14．
解：∵，
∴，
∴ ABC是直角三角形，
∴；
根据作图可得是角平分线，如图所示，过点作于点，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴；
故答案为：， ．
15．72000
解：∵，
，
，
要使公路的造价最低，则，
，
，
故这条公路的最低造价为：（元），
故答案为：72000．
16．
解：∵，，，
∴，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
在 BDE和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．96
解：连接，
∵的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：96．
18．
解：如图，连接，设与交于点，设，
由折叠的性质可知，，，，，
∴，，
∴周长为，
∵，
∴当、、三点共线时，取得最小值，即周长最小，此时点与点重合，
∵，
∴ ABC是直角三角形，，
∴，
∴，
在直角 CDF中，，
∴，
解得，，
∴．
故答案为：．
三、解答题
19．
（1）解：∵，，，
，，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：设，则，
∵是直角三角形，
∴，
∴，即，
解得，
∴．
20．
（1）解：找一个格点，以为腰，使，则 ABC为等腰三角形．
（2）在图2中画一个格点，以为底，使， ABC为等腰直角三角形．
理由：∵，
∴，
∴ ABC是等腰直角三角形．
21．
（1）解：∵在中，为边上的高，，的面积
∴
∴
∴
（2）解：∵ 在中，
∴
∴
∴
∴
∴
∴是直角三角形，且为直角
∴
22．（1）解：，
．
，，
，
是直角三角形，且，
．
在中，．
（2）解：分两种情况讨论：
①当点在线段上时，
，
，
．
，
．
，
．
，
，
，
．
，，
；
②当点在线段的延长线上时，如图．
，
，
．
，
．
同理可得，
．
综上所述，的长为或2．
23．
（1）解：∵，
∴，
又，比长，
∴，
解得，
即的长度为；
（2）解：由（1）知，
又，，
∴，，
∴，
∴为直角三角形，且；
（3）解：
，
即这片绿地（即四边形）的面积是．
24．
（1）证明：，
，，
，，
，
，
，
即 ABC是直角三角形；
（2）证明：连接，
沿直线折叠得到，
，，
，
为的中点，
，
，
，
∵∠DCF+∠DFC+∠DFA+∠A=180 ，
，
，
即，
，
，
；
（3）解：．
理由如下：
过点A作，交的延长线于点H，连接，
，，
为的中点，
，
，
，，
沿直线折叠得到，
，
，
，
，
，
．