7.2 相交线、平行线 同步练习（含答案）初中数学人教版（2024）七年级下册

第7章《相交线与平行线》--- 相交线、平行线
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．在同一平面内，两条不同的直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．平行或重合
2．如图是古城墙的一角，因墙角内设有石雕无法直接测量的度数，嘉嘉延长至点后，测得的度数为，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线，将一块含的直角三角板按如图方式放置，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
4．下列图形中，线段的长度表示点到直线的距离的是（ ）
A．B．C． D．
5．如图， ABC中，，，点P是边上的动点，则长不可能是（ ）
A． B． C．6 D．8
6．如图，下列说法不正确的是（ ）
A．与是直线，被所截得的内错角
B．与是对顶角
C．和互为补角
D．与是直线，被直线所截得的同旁内角
7．光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，长方形为盛满水的水槽，一束光线从点P射向水面上的点D，折射后照到水槽底部的点C．测得，，若P，D，B三点在同一条直线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．的度数无法确定
10．如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接交于点，，点、在上，连接、，已知，，，下列结论：与互为同位角；②；③平分；④．其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①④ D．①②④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．如图，直线，相交于点．若，则 °．
12．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ．
13．小明与小亮要到科技馆参观．小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，由图可知，科技馆位于小明家的南偏西方向，则科技馆位于小亮家的 ．
14．如图，光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，则的度数是 °．
15．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，含的三角板固定不动，将的三角板绕点顺时针旋转，点始终在直线的上方．在旋转的过程中，若两块三角板有一组边互相平行，则的度数是 ．
三、解答题：本题共6小题,第16题6分，第17、18题每题8分，第19题10分，第20题11分，第21题12分，共55分.
16．补全下面的推理过程，并在括号内注明理由．
如图，点，，在同一条直线上，点在这条直线外，连接，，过点分别作的平行线，作的垂线，且．
求证：平分．
证明：∵（已知），
∴___________①（___________②）．
∵（已知），
∴（垂直的定义），
即___________③．
又∵（已知），
∴___________④（___________⑤）．
∴平分（___________⑥）．
17．如图，点在直线上，．
(1)若，求的度数；
(2)求的度数．
18．如图1，．
(1)求证：．
(2)如图2，连接．若，，求的度数．
19．如图，P是的边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母．
(1)过点P画的垂线，交于点C；过点P画的垂线，垂足为D；并完成填空：
①线段______的长度表示点P到直线的距离；
②______ ；（填“＞”“＜”或“＝”）
(2)过点A画的平行线，点E在格点上．
20．已知，点为直线上一点，过点作射线．
(1)如图1，则的度数为_____；
(2)如图2，过点在的下方作射线，使得，若平分，求和的度数；
(3)在（2）的条件下，过点作射线，若与互余，求的度数．
21．在初中物理学中，凸透镜成像原理与数学息息相关．
【凸透镜光学性质】如图1，1．通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变．2．平行于主光轴的光线经凸透镜折射后通过焦点
【物距与像距】如图2，平行于主光轴的光线经凸透镜折射后与光线的交点为点，过点作主光轴的垂线，垂足为，即可得出物体所成的像．
(1)如图3是凸透镜成像的光路图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线交于主光轴上一点，若，则的度数是_____．
(2)如图4是凸透镜成虚像的光路图，平行于主光轴的光线经过凸透镜折射后，折射光线与主光轴交于点，光线的反向延长线与光线的反向延长线交于点，若，求的度数（利用作辅助线——平行线的方法解决问题）．
(3)如图5，已知，点是线段上一点，连接，使，且．
①与的位置关系为_____，请说明理由．
②在射线上找一点，使得，则与有怎样的数量关系？请直接写出答案．
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系为平行或相交，重合的直线视为同一条直线，不属于两条不同直线的位置关系．
∴两条直线的位置关系是平行或相交，
故选：C．
2．B
解：，
．
故选：B．
3．A
解：∵直线，
∴，
∵，
∴．
故选A．
4．C
解：选项A中，不垂直于，线段的长度不表示点到直线的距离；
选项B中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离；
选项C中，，垂足为，线段的长度表示点到直线的距离；
选项D中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离；
故选：C．
5．A
解：，，，
到的距离为，
点是边上的动点，
则的长不可能是．
故选A．
6．C
解：选项，∵与是直线，被所截，且在截线两侧、被截线之间，
∴与是内错角，
故项正确，不符合题意；
选项，∵与是两条直线相交形成的对顶角，
∴与是对顶角，
故项正确，不符合题意；
选项，∵和并非由一条直线与另一条直线相交形成的邻补角，也不满足和为，
∴和不互为补角，
故项不正确，符合题意；
选项，∵与是直线，被直线所截，且在截线同侧、被截线之间，
∴与是同旁内角，
故项正确，不符合题意；
故选：．
7．C
解：根据题意得：，
∵，，
∴，
故选：C．
8．A
解：如下图所示，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：A．
9．B
解：过点A作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴∠ABD=90 ，
∴．
故选：B．
10．A
解：①与互为同旁内角，故①错误，不符合题意；
②∵，
∴，故②正确，符合题意；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∴平分，故③正确，符合题意；
④∵，，
∴，
∴，故④错误，不符合题意；
综上所述，正确的有②③，
故选：A．
二、填空题
11．40
解：∵与是邻补角，
∴．
已知 ，代入上式得：
∴．
∵与是对顶角，根据对顶角相等，
∴．
故答案为：．
12．垂线段最短
解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
13．南偏东的方向
解：如图，射线为正北方向，
根据题意，，，
∵，
∴，
∴科技馆位于小亮家的南偏东方向．
故答案为：南偏东方向．
14．
解：，，
．
，，
，
；
，，
，
；
．
故答案为：．
15．或或
解：根据题意得：，，，
当时，如图所示：
则；
当时，如图所示：
则，
∴，
∴；
当时，如图所示：
则，
∴；
综上，的度数为或或；
故答案为：或或．
三、解答题
16．证明：∵（已知），
（两直线平行，内错角相等）．
（已知），
（垂直的定义），
即．
又（已知），
（等角的余角相等）．
平分（角平分线的定义）．
17．（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴．
18．（1）证明：，
.
，
，
．
（2）解：，
.
，
.
，
．
19．解：（1）图形如图所示：
①线段的长度表示点P到直线OA的距离；
故答案为：；
②垂线段最短，即；
故答案为：；
（2）如图，直线即为所求．
20．（1）解：∵，，
∴，
（2）解：由（1）可知，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
（3）解：由（2）可知，
∵与互余，
∴，
∴，
当射线在内部时，；
当射线在外部时，．
综上，或．
21．（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：如图，过作，
∵，
∴，，
∴．
（3）解：①，理由如下：
∵，设，
∴，
∵，设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
②，理由如下：
如图，由①得：，而，
∴，
∴，
过作，而，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．