7.2 平行线证明题 专项达标讲义（含答案）初中数学人教版（2024）七年级下册

2025-2026年人教版七年级下册7.2平行线证明题专项达标训练卷
一、知识清单
1.平行线的判定
同位角相等，两直线平行：若∠1=∠2，则a∥b。
内错角相等，两直线平行：若∠3=∠2，则a∥b。
同旁内角互补，两直线平行：若∠4+∠2=180°，则a∥b。
平行公理推论：若a∥c，b∥c，则a∥b。
同一平面内垂直于同一直线的两直线平行：若a⊥c，b⊥c，则a∥b。
2.平行线的性质
两直线平行，同位角相等：若a∥b，则∠1=∠2。
两直线平行，内错角相等：若a∥b，则∠3=∠2。
两直线平行，同旁内角互补：若a∥b，则∠4+∠2=180°。
3.常见辅助线
截线型：直接利用已知角关系判定。
拐点型：过拐点作已知直线的平行线，构造“三线八角”基本图形。
二、例题讲解
例题1：如图，已知∠1=∠2，∠C=∠B。求证：∠A=∠D.
分析：由∠1=∠2可得BF∥CE（内错角相等，两直线平行），进而推导∠ABF=∠AEC（两直线平行，同位角相等）。结合∠C=∠B，可得∠ABE=∠C，从而AB∥DC（内错角相等，两直线平行），最终得出∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）。
证明：∵∠1=∠2（已知）
∴BF∥CE（内错角相等，两直线平行）
∴∠AEC=∠B（两直线平行，同位角相等）
∵∠C=∠B（已知）
∴∠AEC=∠C（等量代换）
∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）
∴∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）
例题2：如图，AB∥CD，AF平分∠ABC，CE平分∠ACD。求证：AF∥CE。
分析：由AB∥CD得∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等）。结合角平分线性质，推导∠FAC=∠ECA，从而AF∥CE（内错角相等，两直线平行）。
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等）
∵AF平分∠ABC，CE平分∠ACD（已知）
∴∠FAC=∠BAC，∠ECA=∠DCA（角平分线定义）
∴∠FAC=∠ECA（等量代换）
∴AF∥CE内错角相等，两直线平行）
例题3：如图，AB∥CD，点E在AB、CD之间，连接AE、CE。求证：∠AEC=∠A+∠C
分析：过点E作EF∥AB，利用平行线传递性得EF∥CD。分别在AB∥EF和EF∥CD中，利用同旁内角互补或内错角相等，推导角度关系。
证明：过点E作EF∥AB
∵AB∥CD（已知）
∴EF∥CD（平行于同一直线的两直线平行）
∵AB∥EF
∴∠A=∠AEF（两直线平行，内错角相等）
∵EF∥CD
∴∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF
∴∠AEC=∠A+∠C（等量代换）
例题4：如图，已知MN⊥AB于点E，MN⊥CD于点F，∠1=∠2。求证：EG∥FH。
分析：由垂直定义得∠AEM=∠CFN=90°，结合∠1=∠2，推导同位角相等。
证明：∵MN⊥AB，MN⊥CD（已知）
∴∠AEM=∠CFN=90°（垂直定义）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠AEM-∠1=∠CFM-∠2（等式性质）
即∠MEG=∠MFH
∴EG∥FH（同位角相等，两直线平行）
例题5：如图，长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D落在D'处。若∠EFB=65°，求∠AED'的度数。
分析：折叠前后对应角相等，结合平行线性质求解。
解：∵AD∥BC（长方形对边平行）
∴∠DEF=∠EFB=65°（内错角相等）
由折叠性质得∠D'EF=∠DEF=65°
∴∠AED'=180°-65°-65°=50°（平角定义）
三、基础达标
1.如图,已知∠1=∠2，∠A=∠DCE。求证：AB∥CD。
2.如图，∠1=∠2，∠2=∠B，求证：AE∥BC．
3.如图，已知，AD⊥BC，EF⊥BC,∠1=∠C，求证：∠3+∠2=180°
4..如图,已知BE平分∠ABC，∠1=∠3，求证：∠ADE=∠DBC
5.如图，已知∠1+∠2=90°,CD⊥AB,交AB于点D,求证：∥b
6..如图，直线与、分别相交于点A，C，BC⊥交于点B，若∠2＝35°，∠1＝55°,求证：∥
7.如图，BE⊥ED，BE平分∠ABD，ED平分∠BDC。求证：BA∥CD。
8.如图，已知∠F=∠A,∠D=∠C．
(1)求证：∠1=∠2；
(2)如果∠D=60°，求∠DEG的度数．
9.如图，BE⊥AF,CF⊥AF,点B在AG上，CF平分∠BCD，BE平分∠ABC．求证：AB∥CD．
10.如图，将∠A=30°三角板放置在直线GF和直线HE上，已知∠GCD=∠HDA，∠2=40°，求∠1的度数。
11.如图，已知DE平分∠CDF,∠AFD＝∠A,
（1）求证：AB∥DE;
（2）若∠B=70°,∠BFD=130°,求∠C的度数.
12．如图，已知BC⊥AE,DE⊥AE,∠1=∠DBF．
(1)证明∠2+∠3=180°;
(2)若∠2=30°，BC平分∠ABD，试求∠1的度数．
参考答案
1.证明：
∵∠1=∠2（已知）
∴AD∥CE（内错角相等，两直线平行）
∴∠A=∠CEB（两直线平行,同位角相等）
∵∠A=∠DCE
∴∠CEB=∠DCE（等量代换）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
2.证明：
∵∠1=∠2,∠2=∠B（已知）
∴∠1=∠B（等量代换）
∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）
3.证明 ：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADF=∠EFC=90°（垂直的定义）
∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行）
∴∠DAE+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠1=∠C（已知）
∴ AC ∥GD（同位角相等，两直线平行 ）
∴∠2=∠DAE（两直线平行，内错角相等）
∴∠3+∠2=180°（ 两直线平行，同旁内角互补）
4. 证明：
∵BE平分∠ABC（已知）
∴∠1=∠2（角平分线的定义）
∵∠1=∠3（已知）
∴∠2=∠3（等量代换）
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）
∴∠ADE=∠DBC（两直线平行,同位角相等）
5.证明：
∵CD⊥AB（已知）
∴∠DBC+∠2=90°（直角三角形两锐角互余）
∵∠1+∠2=90°（已知）
∴∠1=∠DBC（等量代换）
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
6.证明：
∵BC⊥（已知）
∴∠CAB+∠2=90°（直角三角形两锐角互余），
∵∠1+∠2=55°+35°=90°（已知）
∴∠1=∠CAB（等量代换），
∴∥（内错角相等，两直线平行）。
7.证明：
∵BE⊥ED（已知）
∴∠1+∠2=90°（直角三角形两锐角互余），
∵BE平分∠ABD，ED平分∠BDC（已知）
∴∠1=∠ABD，∠2=∠CDB（角平分线的定义）
∵∠ABD+∠CDB=2（∠1+∠2）=2×90°=180°
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.
8. 证明：
(1)∵∠F=∠A（已知）.
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠D=∠ABH（两直线平行,内错角相等），
∵∠D=∠C（已知）
∴∠D=∠ABH（等量代换）
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），
∴∠3=∠4（两直线平行,内错角相等），
∵∠3=∠1,∠2=∠4(对顶角相等)
∴∠1=∠2，（等量代换）
(2)∵DB∥EC
∴∠D+∠DEG=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠DEG=180°-∠D=180°-60°=120°
9.证明：
∵BE⊥AF,CF⊥AF（已知）
∴∠BEF=∠CFE=90°（垂直的定义）
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）
∴∠EBC=∠FCB（两直线平行,内错角相等）
∵CF平分∠BCD，BE平分∠ABC（已知）
∴∠EBC=∠ABC，∠FCB=∠BCD（角平分线的定义）
∴∠ABC=∠BCD
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.
10.解：
∵∠A=30°,∠2=40°（已知）
∴∠ADE=180°-∠A-∠2=180°-30°-40°=110°（三角形内角和等于180°）
∴∠ADE=∠HDC=110°（对顶角相等）
∵∠GCD=∠HDA（已知）
∴GF∥HE（同位角相等，两直线平行）
∴∠HDC=∠FCD=110°（两直线平行,内错角相等）
∵BC⊥AC（已知）
∴∠BCD=90°（垂直的定义）
∴∠1=∠FCD-90°=110°-90°=20°
11.证明：
(1)∵∠AFD+∠ADF+∠A=180°（三角形内角和等于180°）
∵∠CDF+∠ADF=180°（邻补角互补）
∴∠AFD+∠A=∠CDF（等量代换）
∵DE平分∠CDF（已知）
∴∠FDE=∠CDE（角平分线的定义）
∵∠AFD＝∠A
∴∠A=∠CDE（等量代换）
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）
(2)∵∠BFD=130°（已知）
∴∠AFD=∠A=180°-130°=50°（邻补角互补）
∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和等于180°）
∴∠C=180°-∠A+∠B=180°-50°-70°=60°
12.证明：
(1)∵BC⊥AE,DE⊥AE（已知）
∴∠DEC=∠BCA=90°（垂直的定义）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠3+∠DBC=180°（两直线平行,同旁内角互补）
∵∠1=∠DBF（已知）
∴DB∥CF（同位角相等，两直线平行）
∴∠2=∠DBC（两直线平行，內错角相等）
∴∠2+∠3=180°
(2)∵BC平分∠ABD（已知）
∴∠DBF=2∠ABC（角平分线的定义）
当∠2=30°由（1）得∠DBF=2×30°=60°
∵DB∥CF ∠1=∠DBF=60°