人教版八（下）数学第二十一章 四边形 单元测试基础卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
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阅卷人 一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2025八下·巴马期中）已知菱形的面积为64，则对角线的积为（ ）
A．32 B．64 C．128 D．无法计算
2．（2024八下·平城期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八下·连云港月考）如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025八下·义乌月考）如图，在中，点D在AC边上，，点E是CD的中点，点F是AB的中点，若，则EF的长为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2025八下·期中）如图，在中，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则（ ）
A． B．2 C．4 D．8
6．（2025八下·柳州期中）如图，过对角线的交点O，交于E，交于F，若的周长为18，，则四边形的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
7．按如下步骤作四边形ABCD：如图，①画∠EAF；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，DC，BD.若∠A＝40°，则∠BDC的度数是( )
A．64° B．66° C．68° D．70°
8．（2025八下·柳江期中）如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
9．（2025八下·广州期中）如图，在平行四边形中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点．若，，则的大小为（ ）
A．27° B．32° C．36° D．40°
10．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O，添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法中正确的有( )
①添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形；
②添加“∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形；
③添加“OA＝OC”，则四边形ABCD是菱形；
④添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
得分
11．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E.若BE＝CE，则∠BAE的度数为 °.
12．（2024八下·宝应月考）如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点，连接，若，则线段的长为 ．
13．（2025八下·深圳期末）如图，在四边形ABCD中对角线AC⊥BD，E、F分别是AB、CD的中点.AC=4cm，BD=6cm，则EF= cm.
14．（2024八下·荔湾期末）平行四边形一边长为m，对角线长分别为6和10，化简的结果为 ．
15．（2024八下·江阴月考）如图，M是的边的中点，平分于点N，且，则的周长是 ．
阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分.
得分
16．（2024八下·徐闻期中）如图，已知中，，点D、E、F分别是的边AC、BC、AB的中点，连接DE、CF；求证：．
17．（2024八下·江北期中）如图，在中，，是直线上的两点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，且，求的长．
18．（2025八下·中山期末）如题图1，在正方形ABCD中，点P在边CD上，点M在边BC上，点N在边AD上，连接AP，MN交于点O，且MN⊥AP.
（1）求证：PD+ND=MC：
（2）如图2，若AB=4，点O为线段AP的中点，OD=，求BM的长.
19．（2025八下·湘乡市期中）如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求菱形的面积．
20．（2025八下·珠海期中）如图，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，点A落在点E处．
（1）连接，四边形的形状为_______，并证明；
（2）若，求的长；
（3）在（2）的条件下求折痕的长．
21．（2025八下·杭州月考）在矩形ABCD中，，，点P在线段BC上运动，作关于直线AP的对称（点C，D的对称点分别为，）
（1）如图1，当点在AB的延长线上时，求的长.
（2）如图2，当点P与点C重合时，连结，、交AB分别于点E、F.求证：.
（3）当直线经过点B时，求CP的长.
22．（2025八下·永定期中）如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）线段 ； ； （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？
23．（2022八下·微山月考）阅读下列材料，完成相应的任务：有人说，解几何题“得辅助线者得天下”．这句话虽然有些夸张，但是学好添加辅助线是我们快速解题的重要途径．如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的．
小明在学完做辅助线的方法后，是这样解这个题目的．
如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD=6，M、N分别是AD、BC的中点，∠ABD=20°，∠BDC=140°，求MN的长．
解：取BD的中点P，连接PM、PN
∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PM AB，PM =AB，PNCD，PN =CD
∵AB=CD=6
∴PM=PN =3
∵PMAB，PNCD，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=140°，
∴∠DPN=40°，
∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=60°，
∴△MPN是等边三角形，∴MN=PM=6
请你仿照小明的解题思路，完成下列各题．
如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB=6，CD=8，∠ABD=30°，∠BDC=120°，求EF的长；
（2）若∠BDC-∠ABD=90°，求证：AB2+CD2=4EF2．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解；∵菱形的面积为64，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查菱形面积与对角线的关系，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即，将面积64代入该公式，通过变形计算可直接求出的结果。
2．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：A.
【分析】先利用角的运算求出，再利用等边对等角的性质可得，最后利用三角形的内角和求出∠AOB的度数即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
是的角平分线，
，
，
故选：．
【分析】
先由平行四边形的对边平行结合角平分线的概念可得，再由三角形内角和定理可得，再由平行四边形对角相等即可．
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
BC=AD=2
过点E作EG⊥BC交BD于点G，连接FG
∵点E是CD的中点
∴DE=CE
∴BG=DG
∴EG是△BCD的中位线
∴
∴∠EGD=∠CBE
∵点F是AB的中点
∴
∴∠FGD=∠BDC
∵∠C=90°
∴∠BDC+∠DBC=90°
∴∠FGD+∠DGE=90°
∴∠FGE=90°
∴
故答案为：B
【分析】由题意可得BC=AD=2，过点E作EG⊥BC交BD于点G，连接FG，根据三角形中位线定理可得，，则∠EGD=∠CBE，∠FGD=∠BDC，再根据角之间的关系可得∠FGE=90°，再根据勾股定理即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，点M是斜边的中点，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查正方形的面积公式和直角三角形斜边上的中线的性质，根据正方形的面积公式（为边长），由可求出边长的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，可得，代入的数值即可计算出的长度。
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵过对角线的交点O，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的周长为：，
∵的周长为18，
∴，
∴四边形的周长为：，
故答案为：B．
【分析】先利用平行四边形的性质和“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用平行四边形的周长公式及等量代换可得，最后求出四边形的周长即可.
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由尺规作图可知：AB=AD=BC=DC，
∴四边形ABCD是菱形，
故选： D.
【分析】由尺规作图可知AB=AD=BC=DC，则四边形ABCD是菱形， 根据菱形性质得AB∥CD，∠BD 再根据得 由此可得出的度数.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接，，
∵点B的坐标是，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
故选：D．
【分析】本题考查矩形的性质和平面直角坐标系中两点间的距离公式，矩形的对角线相等，因此，先根据两点间距离公式（为原点，）计算出的长度，即可得到的长度。
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
又∠DAE=20°
∴∠AED=180°-∠D-∠DAE=106°
根据折叠可得：
又∠AEF=180°-∠AED=74°
∴
故答案为B．
【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、三角形内角和定理和平角的定义。根据平行四边形对角相等的性质，由可推出；在中，利用三角形内角和定理，求出；根据折叠的性质，折叠前后的对应角相等，因此；再由平角的定义，，最后通过角的差，计算出所求角度。
10．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解： ∵AB=AD， BC=DC，
∴AC垂直平分BD，
当添加：“AB∥CD”， 则∠ABD =∠BDC，
∵∠BDC=∠DBC，
∴∠ABO=∠CBO，
又∵BO=BO， ∠BOA =∠BOC，
∴△ABO≌△CBO(ASA)，
∴BA=BC，
∴AB= BC =CD = DA，
∴四边形ABCD是菱形，故①符合题意；
当添加“∠BAD=90°”， 无法证明四边形ABCD是矩形，故②符合题意；
当添加条件“OA=OC"时，
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故③符合题意；
当添加条件“∠ABC =∠BCD =90°”时，则∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD，
由证选项A可知四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，故④符合题意；
故选： C.
【分析】根据AB=AD， BC = DC， 可以得到AC垂直平分BD，然后再根据各个选项中的条件，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题.
11．【答案】30
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解： 连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD∥BC，
∵AE⊥BC， BE=CE，
∴AB=AC， ∠AEB=90°，
∴AB=AC=BC，即△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BAE=90°-∠B=30°，
故答案为：30.
【分析】由菱形ABCD， 得AB=BC，AD∥BC，由AE⊥BC，BE=CE，根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC，即可证得△ABC是等边三角形，则可得∠B=60°， 继而求得∠BAE的度数.
12．【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，点D是的中点，
∴，
∵D、E分别是，的中点，
∴，
∴，
故答案为3．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得DF，再根据三角形中位线定理可得DE，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BC中点H，连接EH，FH
∵E，F分别是AB，CD的中线
∴
∴∠EHF=90°
∴
故答案为：
【分析】取BC中点H，连接EH，FH，根据三角形中位线定理可得，再根据勾股定理即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由平行四边形的对角线互相平分，三角形三边关系定理得：，
，
，
故答案为：．
【分析】先利用平行四边形的性质及三角形三边的关系求出，再利用二次根式的性质化简，最后利用多项式乘多项式的计算方法分析求解即可.
15．【答案】41
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长线段交于E．
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
，
又∵M是的边的中点，
∴，
∴的周长是．
故答案为：41．
【分析】延长线段交于E，根据ASA得到，即可得到BN=NE，然后根据中位线定理解答即可．
16．【答案】证明：∵，F是的边AB的中点，
∴，
∵点D、E是边AC、BC的中点，
∴DE是的中位线，
∴，
∴．
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得，再根据中位线性质得，即可得到结论.
17．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
．
．
在和中，
，
．
，．
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，，
∴由勾股定理可得：，
连接交于，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
设，
，
，
，
在△ADF中，∠ADF=90°，
由勾股定理可得：，
，
解得：（负值舍去），
的长为．
故答案为：.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，从而，则，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质得到，再结合AE=CF，即可证出四边形是平行四边形；
（2）先根据勾股定理求出的长度，再连接交于，求得，利用平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理列方程求解即可.
18．【答案】（1）证明：过点N作于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，.
，
.
∴四边形NECD为矩形，
∴NE=CD，.
.
，
.
.
又，
.
.
.
.
（2）解：连接NP，设，
则.
∵，点O为线段AP的中点，
∴.
在中，点O为线段AP的中点.
∴.
∴.
在中，.
即.
解得.
.
由（1）知.
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）过点N作于点E，然后可根据矩形的性质得出，再通过证明，得出ME=PD，进而得出结论；
（2）根据直角三角形斜边上的中线的性质可得出AP的长度，进而根据勾股定理可得出DP的长为2，设首先在直角三角形ADP中，，则：，根据中垂线的性质得出PN=AN=x， 在中， 根据勾股定理，可得出，即，解方程可求得x的值，进一步得出ND=4-x=，由（1）知：MC=PD+ND，可得出MC的长，然后用BC-MC即可得出BM的长。
19．【答案】（1）证明：∵的中点为E，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，，四边形是菱形，
∴，，，
由（1）得四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为96．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）易证四边形是平行四边形，根据菱形的性质得，即可得证结论；
（2）根据菱形的性质得，，，由（1）得四边形是矩形，，然后由矩形的性质得，利用勾股定理得，从而得，最后利用菱形的面积公式：两条对角线乘积的一半，即可求解.
（1）证明：∵的中点为E，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，对角线与相交于点O，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∴6，
∴，
∴，
∴菱形的面积为96．
20．【答案】（1）解：四边形是菱形，
证明如下；由折叠的性质可得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
故答案为：菱形.
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如图所示，连接，
在中，由勾股定理得；
由（2）可得，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由折叠的性质求出，再根据矩形的性质和菱形的判定方法求解即可；
（2）根据菱形的性质求出，再根据矩形的性质求出，最后利用勾股定理计算求解即可；
（3）利用勾股定理求出，再利用菱形的面积公式计算求解即可。
（1）解：四边形是菱形，证明如下；
由折叠的性质可得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如图所示，连接，
在中，由勾股定理得；
由（2）可得，
∵，
∴．
21．【答案】（1）解：在矩形 ABCD 中，，，
，
、 关于直线 AP 对称，
，. ，
在 中，
，
的长为
（2）证明：连结BD交AC于点O
为矩形
∵D，D1关于AC对称，∴AC垂直平分DD1，∴H为DD1的中点
∴OH为△BDD1的中位线
（3）解： (3)连接，
关于直线AP对称，
，
，
即，
当直线经过点B时，
在中，，
，
.在中，，
，
，
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)由勾股定理求出AC=5，由轴对称的性质得到AC1=AC=5，则BC1=AC1-AB=1，据此利用勾股定理求解即可；
(2)连结BD交AC于点O，可证明OH为△BDD1的中位线，得到OH//BD1，由AC⊥DD1，即可证明DD1⊥BD；
(3)连接PC1，导角证明∠BC1P=90°，当直线C1D1经过点B时，，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案.
22．【答案】（1）；；或
（2）解：，∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，
是的中点，
，
分两种情况：
①当Q运动到E和B之间，则得：，
解得：，
②当Q运动到E和C之间，则得：，
解得：，
综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上，
∴，，
∴或，
∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，
∴，
∴；
∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动，
∴，
若点Q与点E重合，则，
解得；
若点P与点D重合，则，
当时，则，
当时，则，
故答案为：；；或；
【分析】
（1），，点E是的中点，得，，则或，而，，则；若点Q与点E重合，则，求得；若点P与点D重合，则，所以当时，则，当时，则，于是得到问题的答案；
（2）由，若点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，只需，即可由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形说明，故以Q点位置分为两种情况讨论，一是当Q运动到E和B之间，则得：；二是当Q运动到E和C之间，则得：，解方程求出相应的t值即可．
（1）解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上，
∴，，
∴或，
∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，
∴，
∴；
∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动，
∴，
若点Q与点E重合，则，
解得；
若点P与点D重合，则，
当时，则，
当时，则，
故答案为：；；或；
（2）解：，
∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，
是的中点，
，
分两种情况：
①当Q运动到E和B之间，则得：，
解得：，
②当Q运动到E和C之间，则得：，
解得：，
综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
23．【答案】（1）解：取BD的中点P，连接PE、PF，
∵E、F、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PE AB，PE =AB，PF CD，PF =CD，
∵AB=6，CD=8，
∴PE=3，PF =4，
∵PEAB，PFCD，
∴∠EPD=∠ABD=30°，∠BPF=∠BDC=120°，
∴∠DPF=60°，
∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=90°，
∴△EPF是直角三角形，
∴EF=；
（2）证明：∵PEAB，
∴∠ABD+∠BPE=180°，
∵∠BDC-∠ABD=90°，
∴∠BDC-（180°-∠BPE）=90°，
∴∠BDC+∠BPE=270°，
∴∠EPF=90°，
∴PE2+PF2=EF2．
∵PE =AB，PF =CD，
∴(AB)2+(CD)2=EF2．
∴AB2+CD2=4EF2．
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）取BD的中点P，连接PE、PF，先证明△EPF是直角三角形，再利用勾股定理求出EF的长即可；
（2）先求出∠EPF=90°，可得PE2+PF2=EF2，再结合PE =AB，PF =CD，利用等量代换可得AB2+CD2=4EF2。
1 / 1人教版八（下）数学第二十一章 四边形 单元测试基础卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
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阅卷人 一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2025八下·巴马期中）已知菱形的面积为64，则对角线的积为（ ）
A．32 B．64 C．128 D．无法计算
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解；∵菱形的面积为64，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查菱形面积与对角线的关系，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即，将面积64代入该公式，通过变形计算可直接求出的结果。
2．（2024八下·平城期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：A.
【分析】先利用角的运算求出，再利用等边对等角的性质可得，最后利用三角形的内角和求出∠AOB的度数即可.
3．（2025八下·连云港月考）如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
是的角平分线，
，
，
故选：．
【分析】
先由平行四边形的对边平行结合角平分线的概念可得，再由三角形内角和定理可得，再由平行四边形对角相等即可．
4．（2025八下·义乌月考）如图，在中，点D在AC边上，，点E是CD的中点，点F是AB的中点，若，则EF的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
BC=AD=2
过点E作EG⊥BC交BD于点G，连接FG
∵点E是CD的中点
∴DE=CE
∴BG=DG
∴EG是△BCD的中位线
∴
∴∠EGD=∠CBE
∵点F是AB的中点
∴
∴∠FGD=∠BDC
∵∠C=90°
∴∠BDC+∠DBC=90°
∴∠FGD+∠DGE=90°
∴∠FGE=90°
∴
故答案为：B
【分析】由题意可得BC=AD=2，过点E作EG⊥BC交BD于点G，连接FG，根据三角形中位线定理可得，，则∠EGD=∠CBE，∠FGD=∠BDC，再根据角之间的关系可得∠FGE=90°，再根据勾股定理即可求出答案.
5．（2025八下·期中）如图，在中，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则（ ）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，点M是斜边的中点，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查正方形的面积公式和直角三角形斜边上的中线的性质，根据正方形的面积公式（为边长），由可求出边长的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，可得，代入的数值即可计算出的长度。
6．（2025八下·柳州期中）如图，过对角线的交点O，交于E，交于F，若的周长为18，，则四边形的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵过对角线的交点O，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的周长为：，
∵的周长为18，
∴，
∴四边形的周长为：，
故答案为：B．
【分析】先利用平行四边形的性质和“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用平行四边形的周长公式及等量代换可得，最后求出四边形的周长即可.
7．按如下步骤作四边形ABCD：如图，①画∠EAF；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，DC，BD.若∠A＝40°，则∠BDC的度数是( )
A．64° B．66° C．68° D．70°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由尺规作图可知：AB=AD=BC=DC，
∴四边形ABCD是菱形，
故选： D.
【分析】由尺规作图可知AB=AD=BC=DC，则四边形ABCD是菱形， 根据菱形性质得AB∥CD，∠BD 再根据得 由此可得出的度数.
8．（2025八下·柳江期中）如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接，，
∵点B的坐标是，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
故选：D．
【分析】本题考查矩形的性质和平面直角坐标系中两点间的距离公式，矩形的对角线相等，因此，先根据两点间距离公式（为原点，）计算出的长度，即可得到的长度。
9．（2025八下·广州期中）如图，在平行四边形中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点．若，，则的大小为（ ）
A．27° B．32° C．36° D．40°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
又∠DAE=20°
∴∠AED=180°-∠D-∠DAE=106°
根据折叠可得：
又∠AEF=180°-∠AED=74°
∴
故答案为B．
【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、三角形内角和定理和平角的定义。根据平行四边形对角相等的性质，由可推出；在中，利用三角形内角和定理，求出；根据折叠的性质，折叠前后的对应角相等，因此；再由平角的定义，，最后通过角的差，计算出所求角度。
10．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O，添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法中正确的有( )
①添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形；
②添加“∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形；
③添加“OA＝OC”，则四边形ABCD是菱形；
④添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解： ∵AB=AD， BC=DC，
∴AC垂直平分BD，
当添加：“AB∥CD”， 则∠ABD =∠BDC，
∵∠BDC=∠DBC，
∴∠ABO=∠CBO，
又∵BO=BO， ∠BOA =∠BOC，
∴△ABO≌△CBO(ASA)，
∴BA=BC，
∴AB= BC =CD = DA，
∴四边形ABCD是菱形，故①符合题意；
当添加“∠BAD=90°”， 无法证明四边形ABCD是矩形，故②符合题意；
当添加条件“OA=OC"时，
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故③符合题意；
当添加条件“∠ABC =∠BCD =90°”时，则∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD，
由证选项A可知四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，故④符合题意；
故选： C.
【分析】根据AB=AD， BC = DC， 可以得到AC垂直平分BD，然后再根据各个选项中的条件，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题.
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
得分
11．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E.若BE＝CE，则∠BAE的度数为 °.
【答案】30
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解： 连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD∥BC，
∵AE⊥BC， BE=CE，
∴AB=AC， ∠AEB=90°，
∴AB=AC=BC，即△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BAE=90°-∠B=30°，
故答案为：30.
【分析】由菱形ABCD， 得AB=BC，AD∥BC，由AE⊥BC，BE=CE，根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC，即可证得△ABC是等边三角形，则可得∠B=60°， 继而求得∠BAE的度数.
12．（2024八下·宝应月考）如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点，连接，若，则线段的长为 ．
【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，点D是的中点，
∴，
∵D、E分别是，的中点，
∴，
∴，
故答案为3．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得DF，再根据三角形中位线定理可得DE，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．（2025八下·深圳期末）如图，在四边形ABCD中对角线AC⊥BD，E、F分别是AB、CD的中点.AC=4cm，BD=6cm，则EF= cm.
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BC中点H，连接EH，FH
∵E，F分别是AB，CD的中线
∴
∴∠EHF=90°
∴
故答案为：
【分析】取BC中点H，连接EH，FH，根据三角形中位线定理可得，再根据勾股定理即可求出答案.
14．（2024八下·荔湾期末）平行四边形一边长为m，对角线长分别为6和10，化简的结果为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由平行四边形的对角线互相平分，三角形三边关系定理得：，
，
，
故答案为：．
【分析】先利用平行四边形的性质及三角形三边的关系求出，再利用二次根式的性质化简，最后利用多项式乘多项式的计算方法分析求解即可.
15．（2024八下·江阴月考）如图，M是的边的中点，平分于点N，且，则的周长是 ．
【答案】41
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长线段交于E．
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
，
又∵M是的边的中点，
∴，
∴的周长是．
故答案为：41．
【分析】延长线段交于E，根据ASA得到，即可得到BN=NE，然后根据中位线定理解答即可．
阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分.
得分
16．（2024八下·徐闻期中）如图，已知中，，点D、E、F分别是的边AC、BC、AB的中点，连接DE、CF；求证：．
【答案】证明：∵，F是的边AB的中点，
∴，
∵点D、E是边AC、BC的中点，
∴DE是的中位线，
∴，
∴．
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得，再根据中位线性质得，即可得到结论.
17．（2024八下·江北期中）如图，在中，，是直线上的两点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，且，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
．
．
在和中，
，
．
，．
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，，
∴由勾股定理可得：，
连接交于，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
设，
，
，
，
在△ADF中，∠ADF=90°，
由勾股定理可得：，
，
解得：（负值舍去），
的长为．
故答案为：.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，从而，则，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质得到，再结合AE=CF，即可证出四边形是平行四边形；
（2）先根据勾股定理求出的长度，再连接交于，求得，利用平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理列方程求解即可.
18．（2025八下·中山期末）如题图1，在正方形ABCD中，点P在边CD上，点M在边BC上，点N在边AD上，连接AP，MN交于点O，且MN⊥AP.
（1）求证：PD+ND=MC：
（2）如图2，若AB=4，点O为线段AP的中点，OD=，求BM的长.
【答案】（1）证明：过点N作于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，.
，
.
∴四边形NECD为矩形，
∴NE=CD，.
.
，
.
.
又，
.
.
.
.
（2）解：连接NP，设，
则.
∵，点O为线段AP的中点，
∴.
在中，点O为线段AP的中点.
∴.
∴.
在中，.
即.
解得.
.
由（1）知.
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）过点N作于点E，然后可根据矩形的性质得出，再通过证明，得出ME=PD，进而得出结论；
（2）根据直角三角形斜边上的中线的性质可得出AP的长度，进而根据勾股定理可得出DP的长为2，设首先在直角三角形ADP中，，则：，根据中垂线的性质得出PN=AN=x， 在中， 根据勾股定理，可得出，即，解方程可求得x的值，进一步得出ND=4-x=，由（1）知：MC=PD+ND，可得出MC的长，然后用BC-MC即可得出BM的长。
19．（2025八下·湘乡市期中）如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：∵的中点为E，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，，四边形是菱形，
∴，，，
由（1）得四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为96．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）易证四边形是平行四边形，根据菱形的性质得，即可得证结论；
（2）根据菱形的性质得，，，由（1）得四边形是矩形，，然后由矩形的性质得，利用勾股定理得，从而得，最后利用菱形的面积公式：两条对角线乘积的一半，即可求解.
（1）证明：∵的中点为E，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，对角线与相交于点O，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∴6，
∴，
∴，
∴菱形的面积为96．
20．（2025八下·珠海期中）如图，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，点A落在点E处．
（1）连接，四边形的形状为_______，并证明；
（2）若，求的长；
（3）在（2）的条件下求折痕的长．
【答案】（1）解：四边形是菱形，
证明如下；由折叠的性质可得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
故答案为：菱形.
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如图所示，连接，
在中，由勾股定理得；
由（2）可得，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由折叠的性质求出，再根据矩形的性质和菱形的判定方法求解即可；
（2）根据菱形的性质求出，再根据矩形的性质求出，最后利用勾股定理计算求解即可；
（3）利用勾股定理求出，再利用菱形的面积公式计算求解即可。
（1）解：四边形是菱形，证明如下；
由折叠的性质可得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如图所示，连接，
在中，由勾股定理得；
由（2）可得，
∵，
∴．
21．（2025八下·杭州月考）在矩形ABCD中，，，点P在线段BC上运动，作关于直线AP的对称（点C，D的对称点分别为，）
（1）如图1，当点在AB的延长线上时，求的长.
（2）如图2，当点P与点C重合时，连结，、交AB分别于点E、F.求证：.
（3）当直线经过点B时，求CP的长.
【答案】（1）解：在矩形 ABCD 中，，，
，
、 关于直线 AP 对称，
，. ，
在 中，
，
的长为
（2）证明：连结BD交AC于点O
为矩形
∵D，D1关于AC对称，∴AC垂直平分DD1，∴H为DD1的中点
∴OH为△BDD1的中位线
（3）解： (3)连接，
关于直线AP对称，
，
，
即，
当直线经过点B时，
在中，，
，
.在中，，
，
，
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)由勾股定理求出AC=5，由轴对称的性质得到AC1=AC=5，则BC1=AC1-AB=1，据此利用勾股定理求解即可；
(2)连结BD交AC于点O，可证明OH为△BDD1的中位线，得到OH//BD1，由AC⊥DD1，即可证明DD1⊥BD；
(3)连接PC1，导角证明∠BC1P=90°，当直线C1D1经过点B时，，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案.
22．（2025八下·永定期中）如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）线段 ； ； （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】（1）；；或
（2）解：，∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，
是的中点，
，
分两种情况：
①当Q运动到E和B之间，则得：，
解得：，
②当Q运动到E和C之间，则得：，
解得：，
综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上，
∴，，
∴或，
∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，
∴，
∴；
∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动，
∴，
若点Q与点E重合，则，
解得；
若点P与点D重合，则，
当时，则，
当时，则，
故答案为：；；或；
【分析】
（1），，点E是的中点，得，，则或，而，，则；若点Q与点E重合，则，求得；若点P与点D重合，则，所以当时，则，当时，则，于是得到问题的答案；
（2）由，若点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，只需，即可由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形说明，故以Q点位置分为两种情况讨论，一是当Q运动到E和B之间，则得：；二是当Q运动到E和C之间，则得：，解方程求出相应的t值即可．
（1）解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上，
∴，，
∴或，
∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，
∴，
∴；
∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动，
∴，
若点Q与点E重合，则，
解得；
若点P与点D重合，则，
当时，则，
当时，则，
故答案为：；；或；
（2）解：，
∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，
是的中点，
，
分两种情况：
①当Q运动到E和B之间，则得：，
解得：，
②当Q运动到E和C之间，则得：，
解得：，
综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
23．（2022八下·微山月考）阅读下列材料，完成相应的任务：有人说，解几何题“得辅助线者得天下”．这句话虽然有些夸张，但是学好添加辅助线是我们快速解题的重要途径．如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的．
小明在学完做辅助线的方法后，是这样解这个题目的．
如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD=6，M、N分别是AD、BC的中点，∠ABD=20°，∠BDC=140°，求MN的长．
解：取BD的中点P，连接PM、PN
∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PM AB，PM =AB，PNCD，PN =CD
∵AB=CD=6
∴PM=PN =3
∵PMAB，PNCD，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=140°，
∴∠DPN=40°，
∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=60°，
∴△MPN是等边三角形，∴MN=PM=6
请你仿照小明的解题思路，完成下列各题．
如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB=6，CD=8，∠ABD=30°，∠BDC=120°，求EF的长；
（2）若∠BDC-∠ABD=90°，求证：AB2+CD2=4EF2．
【答案】（1）解：取BD的中点P，连接PE、PF，
∵E、F、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PE AB，PE =AB，PF CD，PF =CD，
∵AB=6，CD=8，
∴PE=3，PF =4，
∵PEAB，PFCD，
∴∠EPD=∠ABD=30°，∠BPF=∠BDC=120°，
∴∠DPF=60°，
∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=90°，
∴△EPF是直角三角形，
∴EF=；
（2）证明：∵PEAB，
∴∠ABD+∠BPE=180°，
∵∠BDC-∠ABD=90°，
∴∠BDC-（180°-∠BPE）=90°，
∴∠BDC+∠BPE=270°，
∴∠EPF=90°，
∴PE2+PF2=EF2．
∵PE =AB，PF =CD，
∴(AB)2+(CD)2=EF2．
∴AB2+CD2=4EF2．
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）取BD的中点P，连接PE、PF，先证明△EPF是直角三角形，再利用勾股定理求出EF的长即可；
（2）先求出∠EPF=90°，可得PE2+PF2=EF2，再结合PE =AB，PF =CD，利用等量代换可得AB2+CD2=4EF2。
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