人教版八（下）数学第二十一章 四边形 单元测试提升卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2024八下·荣成期中）如图，在正方形内作等边三角形，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八下·惠城期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是（ ）
A．13 B．18 C．15 D．16
3．（2025八下·临海月考） 如图，两对全等的直角三角形拼成矩形ABCD，中空的部分是矩形EFGH，连结DE，若点M是GF的中点，，，，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025八下·东莞期中）如图，在矩形中，与交于，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，，则的值为（ ）
A．2.4 B．4.8 C．5 D．10
5．（2023八下·青云谱期中）如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP于点E．连接EC，若，则△CDE的面积是（ ）
A．18 B． C． D．14.4
6．（2025八下·中江月考）在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为(4，0)，点P为边AB上一点，∠CPB=60°，沿CP折叠正方形后，点B落在平面内点B'处，则B'点坐标为( )
A． B． C． D．
7．（2025八下·衢州期末） 如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，点D、E分别是边AB、AC与网格对角线的交点，连结DE，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025八下·金华月考） 如图，已知菱形ABCD的边长为，，延长BC至点E，射线CF在的内部且满足，过点D作交CF于点G，过点G作交CE于点H. 若，则线段BD的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025八下·广州期中）如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
10．（2025八下·东莞期中）如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，，连接，有下列结论：①；②与全等的三角形共有5个；③；④由点，，，构成的四边形是菱形．其中一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
得分
11．（2024八下·沂水期中）如图，在正方形中，点E是边的中点，分别交，边于点F，G．若，则的长为 ．
12．（2025八下·杭州月考）如图，在△ABC中，AC=BC，AB=4，D，E分别是AB，AC边上的中点，点F在BC的延长线上，CF=BC，若CF=3，则EF的长为 .
13．（2025八下·巴马期中）如图，在正方形中，O是对角线，的交点，过点O作分别交，于E，F两点，，，则的面积为 ．
14．（2024八下·湛江期中）正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是 ．
15．（2025八下·越城期末）如图，正方形纸片的边长是，三角板中，，，.将三角板的顶点E固定在纸片的边AD上，边FG与纸片的边BC交于点H，则HG的最大值是 cm.
阅卷人 三、解答题：本大题共7小题，共72分.
得分
16．（2025八下·嘉兴月考）如图，在中，，，点是的中点，点是边上的任意一点，点在边上，且满足，作于点．
（1）证明：；
（2）记，猜想当点在上运动时，的值是否会发生改变？若不变，求出的值；若改变，请说明理由．
17．（2024八下·东兴期中）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点M、N、P分别是CD、AB及BD的中点
（1）求证：
（2）如图，分别将延长，与的延长线交于点与的延长线交于点，求证：
18．（2024八下·罗湖期末）在平行四边形中，于E，于F，H为上一动点，连接，交于G，且．
（1）如图1，若，求、的长；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）如图3，若，点H是直线上任一点，将线段绕C点逆时针旋转，得到线段，请直接写出的最小值______．
19．（2024八下·海曙期中）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的数量关系是 ；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，线段AE、CF、 OE是否存在一定的数量关系，若存在请说明理由．
20．（2025八下·玉环期末） 在直角三角形中，，平分交于点P．
（1）如图1，过点P作于点E，于点F，求证：四边形为正方形；
（2）若，以点P为顶点作正方形，其点Q在射线上，点H在射线上．
如图2，当时，求证：点A为中点；
如图3，当点N在射线上，且时，求的长度．
21．（2024八下·惠阳期中）综合与实践
问题情境：
如图1，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C始终重合，连，取的中点M，的中点N，连接、．
特例感知：
（1）若直角三角板和正方形如图1摆放，点E、F分别在正方形的边、上，请判断与之间的数量关系，并加以证明；
深入探究：
（2）若直角三角板和正方形如图2摆放，点E、F分别在、的延长线．其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）若，，连接，在摆放的过程中，的面积存在最大值和最小值，请直接写出和的值．
22．（2024八下·五莲期中）【问题提出】
（1）如图①，正方形的对角线与相交于点E，连接，若，则正方形的边长为________；
【问题探究】
（2）如图②，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接，试判断的形状，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，四边形是某果园的平面示意图，该果园共有A、B、C、D、E五个出口，其中出口E在边上，已知．米，米，米，，、为果园内两条小路，现在的中点F处修建一个临时库房，沿修一条运输通道．
①判断的形状，并说明理由；
②试求该运输通道的长度．
23．（2025八下·遵义期中）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的最小值（其中，点在线段上），进而得的最小值为线段的长度．
先仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解答下面问题：
（1）直接写出代数式的最小值；
（2）若，均为正数，且，求的最小值；
（3）若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵在正方形内作等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，从而根据角的构成可求出的度数，然后利用等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，最后根据再根据角的构成，由∠EBC=∠ABC-∠ABE可算出答案.
2．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
3．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据题意，，.
∵是的中点，
∴.
∴是的中位线.
∴.
∵ ，
∴.
∴.
∴.
故答案为：B.
【分析】首先判断出是的中位线，利用中位线性质能得到长. 然后利用勾股定理计算出、，从而得到长，最后继续利用勾股定理即可计算出.
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，过点A作于G，
，，
∴由勾股定理可得：，
，即，
解得：，
在矩形中，
，，
，
故，
故选：B．
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理和三角形面积公式的综合应用，首先利用勾股定理求出矩形对角线BD的长度，再通过的面积等积法求出边BD上的高AG；结合矩形对角线互相平分且相等的性质，连接OP后将的面积拆分为和的面积和，利用面积公式推导得出，进而求出结果。
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：作CF⊥ED于点F，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠CDA＝90°，
∴∠ADE+∠FDC＝90°，
∵CF⊥DE，CD＝CE，
∴EF＝DF＝DE，∠CFD＝90°，
∴∠FDC+∠DCF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴DE＝CF，
∴DF＝CF，
∵∠CFD＝90°，CD＝6，
∴DF2+CF2＝CD2，
即DF2+（2DF）2＝62，
解得DF2＝7.2，
∴S△CDE＝ ＝2DF2＝2×7.2＝14.4，
故答案为：D．
【分析】 作CF⊥ED于点F ，由正方形性质得AD＝DC，∠CDA＝90°，由等腰三角形三线合一得EF＝DF＝DE，∠CFD＝90°， 由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等推出 ∠ADE＝∠DCF， 从而利用“AAS”判断出△ADE≌△DCF，由全等三角形的对应边相等得DE＝CF， 则DF＝CF，在Rt△CDF中，利用勾股定理表示出DF2的值，最后根据三角形面积公式可求出△CDE的面积.
6．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点B'作B'D⊥OC于点D，
∵A（4，0），
∴OA=4，
∵四边形OABC为正方形，
∴OA=OC=4，∠BCO=∠B=90°，
∵∠BPC=60°，
∴∠BCP=30°，
由折叠得B'C=BC=4，∠B'CP=∠BCP=30°，
∴∠B'CD=90°-∠BCP-∠B'CP=30°，
∴，
∴，
∴，
∴点B'的坐标为
故答案为：B．
【分析】过点B'作B'D⊥OC于点D，由点A的坐标得出OA=4，根据正方形的性质得出OA=OC=4，∠BCO=∠B=90°，由直角三角形两锐角互余求出∠BCP=30°， 由折叠得B'C=BC=4，∠B'CP=∠BCP=30°，根据角的构成推出∠B'CD=90°-∠BCP-∠B'CP=30°，由含30°角直角三角形的性质求出B'D=B'C=2，然后利用勾股定理算出CD的长，进而根据OD=OC-CD算出OD的长，从而即可求出点B'的坐标.
7．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵由作图知D为AB的中点，E为AC的中点，
∴DE为AB的中点
∴DE=BC
∵BC=
∴DE=
故答案为：D .
【分析】由图形特点知DE为中位线，由中位线定理可得DE的长.
8．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AO，交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=80°，
∴BO=DO，AC⊥BD，∠BCD=100°，∠BDC=40°，
∵∠DCF=50°
∴∠GCH=30°，
∵GH⊥CE，
∴CG=2GH=2，
∵DG⊥CF，∠DCF=50°
∴∠CDG=40°=∠BDC
∴OD平分∠BDG，
又∵AC⊥BD，DG⊥CG，
∴OC=CG=2，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】由菱形的性质可得BO=DO，AC⊥BD，∠BCD=100°，∠BDC=40°，由直角三角形的性质可得CG=2GH=2，由角平分线的性质可得OC=CG=2，由勾股定理可求OD的长，即可求解.
9．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
∴由勾股定理得，
、分别为、的中点，
，
当时，有最小值，即有最小值，
当点与点重合时，的最小值为，
的最小值为，
故选：D．
【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质和垂线段最短的原理。首先连接AG，根据三角形中位线定理，E、F分别为AH、GH的中点，因此，求EF的最小值即可转化为求AG的最小值；根据垂线段最短的性质，当AG垂直于BC时，AG取得最小值；由平行四边形的邻角互补，可推出，在Rt△ABN中，利用直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，得，再由勾股定理求出，即AG的最小值为，进而求出的最小值为。
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，，故①正确；
连接，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴、是等边三角形，
∴，，
∴，四边形为菱形，故④正确；
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故②错误；
∵是的中位线，
∴，，
∴，故③正确；
综上所述，正确的有①③④，
故选：C．
【分析】本题考查菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及三角形中位线定理的综合应用，首先根据菱形的性质得到边和角的关系，证明得出AG=DG，结合O为AC中点判定OG为的中位线，验证结论①；连接AE，利用菱形和等边三角形的性质证明四边形ABDE为菱形，验证结论④；通过全等三角形的判定找出与全等的三角形，判断结论②的真假；利用三角形面积的倍数关系推导菱形与的面积关系，验证结论③。
11．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：过点B作交于点N，如图所示：
∵四边形是正方形，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】过点B作交于点N，根据正方形性质可得，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据线段中点可得DE，再根据勾股定理即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DE、CD，
∵D，E分别是AB，AC边上的中点，AB=4，
∴DE是△ABC的中位线，BD=2，
∴，DE//BC，
∵，CF=3，
∴DE=CF，BC=6，
∴四边形DCFE为平行四边形，
∴EF=CD，
∵CA=CB，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】连接DE、CD，根据三角形中位线定理得到，DE//BC，根据平行四边形的性质得到CD=EF，根据等腰三角形的性质得到CD⊥AB，根据勾股定理求出CD，进而求出EF.
13．【答案】10
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∴在中，，
∴，
∴，
故答案为：10．
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的综合应用，先根据正方形的性质得到、、，结合推出，进而证明，得到、，再求出，在中用勾股定理求出，进而求出和的长度，最后用三角形面积公式计算的面积。
14．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠ACD=∠GCF=45°
，，∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°
∴在Rt△ACF中，，
∵H是AF的中点，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了正方形的性质、勾股定理和直角三角形的性质，根据直角三角形的性质构造辅助线是解题关键.根据正方形性质：四边相等，对角线平分对角可知：AB=BC=1，CE=EF=3，∠ACD=∠GCF=45°再根据勾股定理可求出AC、CF，再根据角的和差运算可知：∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°，然后利用勾股定理：在Rt△ACF中，，最后根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知：，由此即可得出答案.
15．【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，，， ，
∴EG=2EF=4，
∴，
连接EH，则，
∴当EH最小时，FH最小，GH最大，
即当EH⊥BC时，EH最小，这时EH=4，FH=2，GH最大为6-2=4，
故答案为：4 .
【分析】根据勾股定理和30°的直角三角形的性质得到GF长，连接EH，即可得到，当EH最小时，FH最小，GH最大，然后根据勾股定理计算解答即可.
16．【答案】（1）证明：，
∴△ABC是等腰直角三角形
又∵点是的中点，
，（直角三角形斜边中线等于斜边一半）
，
又，
，，
，
∵
∴，
，
；
（2）不会发生变化，，
解：的值不变，理由如下：
∵由（1）可知，
∴，
∵，，
∴△CDE是等腰直角三角形
∴，
∴，
由（1）得，
，
又∵OB2=BP2-OP2，
AB2=OB2+OA2
（定值）．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角的性质等边对等角，证明，，根据全等三角形判定定理AAS证明，再根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据（1）中的信息证明，结合，等量代换可得，根据勾股定理再进一步求解即可.
（1）解：，点是的中点，
，
，
又，
，，
，
又，
，
；
（2）解：的值不变，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（1）得，
，
（定值）．
17．【答案】（1）证明：∵M、N、P分别是CD、AB、BD的中点，
∴，，
∴AD=BC，
∴MP=PN，
即△MNP为等腰三角形，
∴ ∠PMN=∠PNM.
（2）证明：∵M、N、P分别是CD、AB、BD的中点，
∴PN∥BC，PM∥AD，
∴∠PMN=∠F，∠PNM=∠AEM，
∵∠PNM=∠PMN，
∴∠AEM=∠F.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线等于第三边的一半可得，，结合题意可得MP=PN，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的两底角相等即可证明；
（2）根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边可得PN∥BC，PM∥AD，根据两直线平行，内错角相等，同位角相等可得∠PMN=∠F，∠PNM=∠AEM，结合（1）中结论即可证明.
18．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，，
，
，
∴在中：，
∵，
，，
，
在中，，
∵，
，，
，
；
（2）证明：如图，过点作于点，连接，
，，
垂直平分，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）如图，在取点，使得，连接并延长交于，连接，
四边形是平行四边形， ，
，
是等边三角形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
设与的交点为，
点在直线上运动，
当点运动到点处时，有最小值，
，，
，
由（1）可知，，
，
，
在中，，
，，
即的最小值为．
故答案为：.
【分析】
（1）根据平行四边形的性质，可得，再利用含30度角的直角三角形的性质可得DF=2，CF=2；同理在中含30度角的直角三角形的性质及勾股定理可求解AD，利用线段的和差运算即可得AF的值；
（2）过点作于点，连接，由垂直平分线的性质和等边对等角的性质，得到，结合平行线的性质即可由AAS证明，得到，，进而得出，再利用HL证明，得到，即可得出结论；
（3）在取点，使得，连接并延长交于，连接，则是等边三角形，结合旋转的性质，可证，得出，进而推出，设与的交点为，点在直线上运动，则当点运动到点处时，有最小值，由（1）可知，，从而得出，再利用勾股定理，求出的长，即为的最小值．
（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
；
（2）证明：如图，过点作于点，连接，
，，
垂直平分，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：如图，在取点，使得，连接并延长交于，连接，
四边形是平行四边形，
，
是等边三角形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
设与的交点为，
点在直线上运动，
当点运动到点处时，有最小值，
，，
，
由（1）可知，，
，
，
在中，，
，，
即的最小值为．
19．【答案】（1）OE＝OF
（2）解：补全图形如图所示，结论仍然成立，理由如下：
如图 2，延长 EO 交 CF 于点 G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠GCO，
∵点 O 为 AC 的中点，
∴AO＝CO，
又∵∠AOE＝∠COG，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴OE＝OG，
∵∠GFE＝90°，
∴OE＝OF；
（3）解：OE = CF +AE
点 P 在线段 OA 的延长线上运动时，如图 3，延长 EO 交 FC 的延长线于点 H，
由（2）可知△AOE≌△COH，
∴AE＝CH，OE＝OH，
又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°，
∴HF＝ EH＝OE，
∴OE＝CF+CH= CF +AE 即 OE = CF +AE
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∵∠AEO=∠CFO=90°，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
故答案为：OE=OF.
【分析】（1）证明△AOE≌△COF（AAS），可得OE=OF；
（2）根据题意先补图，延长 EO 交 CF 于点 G，证明△AOE≌△COG（ASA）， 可得OE＝OG，再利用直角三角形斜边中线的性质即可求解；
（3）OE = CF +AE，理由：延长 EO 交 FC 的延长线于点 H，同（2）可证△AOE≌△COH， 可得AE＝CH，OE＝OH， 再根据∠OEF＝30°，∠HFE＝90°， 可得HF＝ EH＝OE， 再利用线段的和差即可求解.
20．【答案】（1）证明：∵PE⊥BC，PF⊥AC
∴∠PEC=∠PFC=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴CP是∠ACB的平分线，PE⊥BC，PF⊥AC，
∴PE=PF，
∴四边形PECF为正方形
（2）解：①证明：过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，
由(1)可知四边形PECF为正方形.
∴CE=CF=PE=PF，
∵四边形PQNH是正方形，
∴PQ=PH，
∵PB=PQ，
∴PB=PH，
在Rt△BEP和Rt△HFP中，
∴Rt△BEP≌Rt△HFP(HL)，
∴BE=HF，
∴BC=CH=2AC，
∴点A为CH中点.
②如图，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，
由(1)可知四边形PECF为正方形，
同理由
可证Rt△PEO≌Rt△PFH(HL)
∵BC=2AC=6，
∴PE=2.
过点N作NG⊥BQ交BO延长线于点G，
∴，
∵∠POE=90°-∠NOG=∠ONG，
在△PEQ和△OGN中，
∴△PEO≌△OGN(AAS)，
∴PE=QG，GN=QE，
∵PE=EC，
∴CG=GN=BC=6，
∴BG=2BC=12，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)先根据作图方法由三个角是直角得出四边形PECF为矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明结论；
(2)①结合(1)的结论可证明Rt△BEP≌Rt△HFP(HL)得到BE=HF，进而BC=CH，从而证明CH=2CA；
②先结合(1)得出Rt△PEO≌Rt△PFH(AAS)，然后再证明Rt△BEP≌Rt△HFP(HL)得到PE=QG和GN=QE，从而推出CG=GN=BC，最后在Rt△BGN中求解BN的长.
21．【答案】（1），
证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
为的中位线，
，
；
（2）仍然成立，
证明：如图，连接，
四边形是正方形，
，
即，
，
为的中点，
，
；
（3）答案为：，．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（3）如图3，连接，
设交于，交于，
，
，
，
，
，
，
，
∵四边形是正方形，，
，
，
由题意可知，，
即，
当时，
最小值
当时，
最大值
，．
故答案为：，．
【分析】（1）利用SAS证明出，得，再根据直角三角形斜边上中线的性质和三角形中位线定理可得答案；
（2）连接，然后利用（1）题的两个全等三角形可以进一步证明结论；
（3）首先证明是等腰直角三角形，可得，再根据三角形三边关系知，从而解决问题．
22．【答案】（1）6；
（2）是等腰直角三角形．
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）①过点A作于点G，如图③．
∵，
∴四边形是矩形．
∵，
∴四边形是正方形，
∴，米，
∴40米，
在和中，
，
∴，
∴，，
即，
∴是等腰直角三角形．
②连接、，取的中点M，连接，如图③．
∵F为的中点，和都是直角三角形，
．
在和中，
，
∴，
∴．
∵点F、M分别为、的中点，
∴为的中位线，
米，，
，
即为等腰直角三角形，
米，
即该运输通道的长度为米．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：∵四边形为正方形，
∴点为中点，
∵点F为边的中点，
∴，
∴，
即正方形边长为6；
故答案为：6.
【分析】（1）根据正方形的性质求出点为中点，再根据三角形的中位线求出，最后计算求解即可；
（2）根据正方形的判定方法求出四边形是正方形，再利用SAS证明，最后证明求解即可；
（3）利用SSS证明，再根据三角形的中位线求出为的中位线，最后计算求解即可.
23．【答案】（1）5
（2）解：由题意，构造如下图形：（其中，点在线段上），
则，，
∴可将问题转化为求线段的最小值，
∴的最小值为线段的长度，
过点作，交延长线于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
所以代数式的最小值为10．
（3）解：由题意，构造如下图形：
其中，，，，于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
所以的值为．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：如图，过点作，交延长线于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
所以代数式的最小值为5．
【分析】（1）过点作，交延长线于点，则四边形是矩形，根据矩形性质可得，，根据边之间的关系可得DF，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据题意构造图形，根据勾股定理可得CE，DE，则可将问题转化为求线段的最小值，即的最小值为线段的长度，过点作，交延长线于点，则四边形是矩形，根据矩形性质可得，，根据边之间的关系可得DF，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）根据题意构造图形，其中，，，，于点，根据勾股定理可得BD，CD，则，根据勾股定理逆定理可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：如图，过点作，交延长线于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
所以代数式的最小值为5．
（2）解：由题意，构造如下图形：（其中，点在线段上），
则，，
∴可将问题转化为求线段的最小值，
∴的最小值为线段的长度，
过点作，交延长线于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
所以代数式的最小值为10．
（3）解：由题意，构造如下图形：
其中，，，，于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
所以的值为．
1 / 1人教版八（下）数学第二十一章 四边形 单元测试提升卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2024八下·荣成期中）如图，在正方形内作等边三角形，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵在正方形内作等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，从而根据角的构成可求出的度数，然后利用等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，最后根据再根据角的构成，由∠EBC=∠ABC-∠ABE可算出答案.
2．（2025八下·惠城期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是（ ）
A．13 B．18 C．15 D．16
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
3．（2025八下·临海月考） 如图，两对全等的直角三角形拼成矩形ABCD，中空的部分是矩形EFGH，连结DE，若点M是GF的中点，，，，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据题意，，.
∵是的中点，
∴.
∴是的中位线.
∴.
∵ ，
∴.
∴.
∴.
故答案为：B.
【分析】首先判断出是的中位线，利用中位线性质能得到长. 然后利用勾股定理计算出、，从而得到长，最后继续利用勾股定理即可计算出.
4．（2025八下·东莞期中）如图，在矩形中，与交于，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，，则的值为（ ）
A．2.4 B．4.8 C．5 D．10
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，过点A作于G，
，，
∴由勾股定理可得：，
，即，
解得：，
在矩形中，
，，
，
故，
故选：B．
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理和三角形面积公式的综合应用，首先利用勾股定理求出矩形对角线BD的长度，再通过的面积等积法求出边BD上的高AG；结合矩形对角线互相平分且相等的性质，连接OP后将的面积拆分为和的面积和，利用面积公式推导得出，进而求出结果。
5．（2023八下·青云谱期中）如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP于点E．连接EC，若，则△CDE的面积是（ ）
A．18 B． C． D．14.4
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：作CF⊥ED于点F，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠CDA＝90°，
∴∠ADE+∠FDC＝90°，
∵CF⊥DE，CD＝CE，
∴EF＝DF＝DE，∠CFD＝90°，
∴∠FDC+∠DCF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴DE＝CF，
∴DF＝CF，
∵∠CFD＝90°，CD＝6，
∴DF2+CF2＝CD2，
即DF2+（2DF）2＝62，
解得DF2＝7.2，
∴S△CDE＝ ＝2DF2＝2×7.2＝14.4，
故答案为：D．
【分析】 作CF⊥ED于点F ，由正方形性质得AD＝DC，∠CDA＝90°，由等腰三角形三线合一得EF＝DF＝DE，∠CFD＝90°， 由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等推出 ∠ADE＝∠DCF， 从而利用“AAS”判断出△ADE≌△DCF，由全等三角形的对应边相等得DE＝CF， 则DF＝CF，在Rt△CDF中，利用勾股定理表示出DF2的值，最后根据三角形面积公式可求出△CDE的面积.
6．（2025八下·中江月考）在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为(4，0)，点P为边AB上一点，∠CPB=60°，沿CP折叠正方形后，点B落在平面内点B'处，则B'点坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点B'作B'D⊥OC于点D，
∵A（4，0），
∴OA=4，
∵四边形OABC为正方形，
∴OA=OC=4，∠BCO=∠B=90°，
∵∠BPC=60°，
∴∠BCP=30°，
由折叠得B'C=BC=4，∠B'CP=∠BCP=30°，
∴∠B'CD=90°-∠BCP-∠B'CP=30°，
∴，
∴，
∴，
∴点B'的坐标为
故答案为：B．
【分析】过点B'作B'D⊥OC于点D，由点A的坐标得出OA=4，根据正方形的性质得出OA=OC=4，∠BCO=∠B=90°，由直角三角形两锐角互余求出∠BCP=30°， 由折叠得B'C=BC=4，∠B'CP=∠BCP=30°，根据角的构成推出∠B'CD=90°-∠BCP-∠B'CP=30°，由含30°角直角三角形的性质求出B'D=B'C=2，然后利用勾股定理算出CD的长，进而根据OD=OC-CD算出OD的长，从而即可求出点B'的坐标.
7．（2025八下·衢州期末） 如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，点D、E分别是边AB、AC与网格对角线的交点，连结DE，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵由作图知D为AB的中点，E为AC的中点，
∴DE为AB的中点
∴DE=BC
∵BC=
∴DE=
故答案为：D .
【分析】由图形特点知DE为中位线，由中位线定理可得DE的长.
8．（2025八下·金华月考） 如图，已知菱形ABCD的边长为，，延长BC至点E，射线CF在的内部且满足，过点D作交CF于点G，过点G作交CE于点H. 若，则线段BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AO，交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=80°，
∴BO=DO，AC⊥BD，∠BCD=100°，∠BDC=40°，
∵∠DCF=50°
∴∠GCH=30°，
∵GH⊥CE，
∴CG=2GH=2，
∵DG⊥CF，∠DCF=50°
∴∠CDG=40°=∠BDC
∴OD平分∠BDG，
又∵AC⊥BD，DG⊥CG，
∴OC=CG=2，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】由菱形的性质可得BO=DO，AC⊥BD，∠BCD=100°，∠BDC=40°，由直角三角形的性质可得CG=2GH=2，由角平分线的性质可得OC=CG=2，由勾股定理可求OD的长，即可求解.
9．（2025八下·广州期中）如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
∴由勾股定理得，
、分别为、的中点，
，
当时，有最小值，即有最小值，
当点与点重合时，的最小值为，
的最小值为，
故选：D．
【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质和垂线段最短的原理。首先连接AG，根据三角形中位线定理，E、F分别为AH、GH的中点，因此，求EF的最小值即可转化为求AG的最小值；根据垂线段最短的性质，当AG垂直于BC时，AG取得最小值；由平行四边形的邻角互补，可推出，在Rt△ABN中，利用直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，得，再由勾股定理求出，即AG的最小值为，进而求出的最小值为。
10．（2025八下·东莞期中）如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，，连接，有下列结论：①；②与全等的三角形共有5个；③；④由点，，，构成的四边形是菱形．其中一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，，故①正确；
连接，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴、是等边三角形，
∴，，
∴，四边形为菱形，故④正确；
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故②错误；
∵是的中位线，
∴，，
∴，故③正确；
综上所述，正确的有①③④，
故选：C．
【分析】本题考查菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及三角形中位线定理的综合应用，首先根据菱形的性质得到边和角的关系，证明得出AG=DG，结合O为AC中点判定OG为的中位线，验证结论①；连接AE，利用菱形和等边三角形的性质证明四边形ABDE为菱形，验证结论④；通过全等三角形的判定找出与全等的三角形，判断结论②的真假；利用三角形面积的倍数关系推导菱形与的面积关系，验证结论③。
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
得分
11．（2024八下·沂水期中）如图，在正方形中，点E是边的中点，分别交，边于点F，G．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：过点B作交于点N，如图所示：
∵四边形是正方形，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】过点B作交于点N，根据正方形性质可得，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据线段中点可得DE，再根据勾股定理即可求出答案.
12．（2025八下·杭州月考）如图，在△ABC中，AC=BC，AB=4，D，E分别是AB，AC边上的中点，点F在BC的延长线上，CF=BC，若CF=3，则EF的长为 .
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DE、CD，
∵D，E分别是AB，AC边上的中点，AB=4，
∴DE是△ABC的中位线，BD=2，
∴，DE//BC，
∵，CF=3，
∴DE=CF，BC=6，
∴四边形DCFE为平行四边形，
∴EF=CD，
∵CA=CB，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】连接DE、CD，根据三角形中位线定理得到，DE//BC，根据平行四边形的性质得到CD=EF，根据等腰三角形的性质得到CD⊥AB，根据勾股定理求出CD，进而求出EF.
13．（2025八下·巴马期中）如图，在正方形中，O是对角线，的交点，过点O作分别交，于E，F两点，，，则的面积为 ．
【答案】10
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∴在中，，
∴，
∴，
故答案为：10．
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的综合应用，先根据正方形的性质得到、、，结合推出，进而证明，得到、，再求出，在中用勾股定理求出，进而求出和的长度，最后用三角形面积公式计算的面积。
14．（2024八下·湛江期中）正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠ACD=∠GCF=45°
，，∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°
∴在Rt△ACF中，，
∵H是AF的中点，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了正方形的性质、勾股定理和直角三角形的性质，根据直角三角形的性质构造辅助线是解题关键.根据正方形性质：四边相等，对角线平分对角可知：AB=BC=1，CE=EF=3，∠ACD=∠GCF=45°再根据勾股定理可求出AC、CF，再根据角的和差运算可知：∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°，然后利用勾股定理：在Rt△ACF中，，最后根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知：，由此即可得出答案.
15．（2025八下·越城期末）如图，正方形纸片的边长是，三角板中，，，.将三角板的顶点E固定在纸片的边AD上，边FG与纸片的边BC交于点H，则HG的最大值是 cm.
【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，，， ，
∴EG=2EF=4，
∴，
连接EH，则，
∴当EH最小时，FH最小，GH最大，
即当EH⊥BC时，EH最小，这时EH=4，FH=2，GH最大为6-2=4，
故答案为：4 .
【分析】根据勾股定理和30°的直角三角形的性质得到GF长，连接EH，即可得到，当EH最小时，FH最小，GH最大，然后根据勾股定理计算解答即可.
阅卷人 三、解答题：本大题共7小题，共72分.
得分
16．（2025八下·嘉兴月考）如图，在中，，，点是的中点，点是边上的任意一点，点在边上，且满足，作于点．
（1）证明：；
（2）记，猜想当点在上运动时，的值是否会发生改变？若不变，求出的值；若改变，请说明理由．
【答案】（1）证明：，
∴△ABC是等腰直角三角形
又∵点是的中点，
，（直角三角形斜边中线等于斜边一半）
，
又，
，，
，
∵
∴，
，
；
（2）不会发生变化，，
解：的值不变，理由如下：
∵由（1）可知，
∴，
∵，，
∴△CDE是等腰直角三角形
∴，
∴，
由（1）得，
，
又∵OB2=BP2-OP2，
AB2=OB2+OA2
（定值）．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角的性质等边对等角，证明，，根据全等三角形判定定理AAS证明，再根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据（1）中的信息证明，结合，等量代换可得，根据勾股定理再进一步求解即可.
（1）解：，点是的中点，
，
，
又，
，，
，
又，
，
；
（2）解：的值不变，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（1）得，
，
（定值）．
17．（2024八下·东兴期中）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点M、N、P分别是CD、AB及BD的中点
（1）求证：
（2）如图，分别将延长，与的延长线交于点与的延长线交于点，求证：
【答案】（1）证明：∵M、N、P分别是CD、AB、BD的中点，
∴，，
∴AD=BC，
∴MP=PN，
即△MNP为等腰三角形，
∴ ∠PMN=∠PNM.
（2）证明：∵M、N、P分别是CD、AB、BD的中点，
∴PN∥BC，PM∥AD，
∴∠PMN=∠F，∠PNM=∠AEM，
∵∠PNM=∠PMN，
∴∠AEM=∠F.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线等于第三边的一半可得，，结合题意可得MP=PN，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的两底角相等即可证明；
（2）根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边可得PN∥BC，PM∥AD，根据两直线平行，内错角相等，同位角相等可得∠PMN=∠F，∠PNM=∠AEM，结合（1）中结论即可证明.
18．（2024八下·罗湖期末）在平行四边形中，于E，于F，H为上一动点，连接，交于G，且．
（1）如图1，若，求、的长；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）如图3，若，点H是直线上任一点，将线段绕C点逆时针旋转，得到线段，请直接写出的最小值______．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，，
，
，
∴在中：，
∵，
，，
，
在中，，
∵，
，，
，
；
（2）证明：如图，过点作于点，连接，
，，
垂直平分，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）如图，在取点，使得，连接并延长交于，连接，
四边形是平行四边形， ，
，
是等边三角形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
设与的交点为，
点在直线上运动，
当点运动到点处时，有最小值，
，，
，
由（1）可知，，
，
，
在中，，
，，
即的最小值为．
故答案为：.
【分析】
（1）根据平行四边形的性质，可得，再利用含30度角的直角三角形的性质可得DF=2，CF=2；同理在中含30度角的直角三角形的性质及勾股定理可求解AD，利用线段的和差运算即可得AF的值；
（2）过点作于点，连接，由垂直平分线的性质和等边对等角的性质，得到，结合平行线的性质即可由AAS证明，得到，，进而得出，再利用HL证明，得到，即可得出结论；
（3）在取点，使得，连接并延长交于，连接，则是等边三角形，结合旋转的性质，可证，得出，进而推出，设与的交点为，点在直线上运动，则当点运动到点处时，有最小值，由（1）可知，，从而得出，再利用勾股定理，求出的长，即为的最小值．
（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
；
（2）证明：如图，过点作于点，连接，
，，
垂直平分，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：如图，在取点，使得，连接并延长交于，连接，
四边形是平行四边形，
，
是等边三角形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
设与的交点为，
点在直线上运动，
当点运动到点处时，有最小值，
，，
，
由（1）可知，，
，
，
在中，，
，，
即的最小值为．
19．（2024八下·海曙期中）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的数量关系是 ；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，线段AE、CF、 OE是否存在一定的数量关系，若存在请说明理由．
【答案】（1）OE＝OF
（2）解：补全图形如图所示，结论仍然成立，理由如下：
如图 2，延长 EO 交 CF 于点 G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠GCO，
∵点 O 为 AC 的中点，
∴AO＝CO，
又∵∠AOE＝∠COG，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴OE＝OG，
∵∠GFE＝90°，
∴OE＝OF；
（3）解：OE = CF +AE
点 P 在线段 OA 的延长线上运动时，如图 3，延长 EO 交 FC 的延长线于点 H，
由（2）可知△AOE≌△COH，
∴AE＝CH，OE＝OH，
又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°，
∴HF＝ EH＝OE，
∴OE＝CF+CH= CF +AE 即 OE = CF +AE
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∵∠AEO=∠CFO=90°，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
故答案为：OE=OF.
【分析】（1）证明△AOE≌△COF（AAS），可得OE=OF；
（2）根据题意先补图，延长 EO 交 CF 于点 G，证明△AOE≌△COG（ASA）， 可得OE＝OG，再利用直角三角形斜边中线的性质即可求解；
（3）OE = CF +AE，理由：延长 EO 交 FC 的延长线于点 H，同（2）可证△AOE≌△COH， 可得AE＝CH，OE＝OH， 再根据∠OEF＝30°，∠HFE＝90°， 可得HF＝ EH＝OE， 再利用线段的和差即可求解.
20．（2025八下·玉环期末） 在直角三角形中，，平分交于点P．
（1）如图1，过点P作于点E，于点F，求证：四边形为正方形；
（2）若，以点P为顶点作正方形，其点Q在射线上，点H在射线上．
如图2，当时，求证：点A为中点；
如图3，当点N在射线上，且时，求的长度．
【答案】（1）证明：∵PE⊥BC，PF⊥AC
∴∠PEC=∠PFC=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴CP是∠ACB的平分线，PE⊥BC，PF⊥AC，
∴PE=PF，
∴四边形PECF为正方形
（2）解：①证明：过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，
由(1)可知四边形PECF为正方形.
∴CE=CF=PE=PF，
∵四边形PQNH是正方形，
∴PQ=PH，
∵PB=PQ，
∴PB=PH，
在Rt△BEP和Rt△HFP中，
∴Rt△BEP≌Rt△HFP(HL)，
∴BE=HF，
∴BC=CH=2AC，
∴点A为CH中点.
②如图，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，
由(1)可知四边形PECF为正方形，
同理由
可证Rt△PEO≌Rt△PFH(HL)
∵BC=2AC=6，
∴PE=2.
过点N作NG⊥BQ交BO延长线于点G，
∴，
∵∠POE=90°-∠NOG=∠ONG，
在△PEQ和△OGN中，
∴△PEO≌△OGN(AAS)，
∴PE=QG，GN=QE，
∵PE=EC，
∴CG=GN=BC=6，
∴BG=2BC=12，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)先根据作图方法由三个角是直角得出四边形PECF为矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明结论；
(2)①结合(1)的结论可证明Rt△BEP≌Rt△HFP(HL)得到BE=HF，进而BC=CH，从而证明CH=2CA；
②先结合(1)得出Rt△PEO≌Rt△PFH(AAS)，然后再证明Rt△BEP≌Rt△HFP(HL)得到PE=QG和GN=QE，从而推出CG=GN=BC，最后在Rt△BGN中求解BN的长.
21．（2024八下·惠阳期中）综合与实践
问题情境：
如图1，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C始终重合，连，取的中点M，的中点N，连接、．
特例感知：
（1）若直角三角板和正方形如图1摆放，点E、F分别在正方形的边、上，请判断与之间的数量关系，并加以证明；
深入探究：
（2）若直角三角板和正方形如图2摆放，点E、F分别在、的延长线．其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）若，，连接，在摆放的过程中，的面积存在最大值和最小值，请直接写出和的值．
【答案】（1），
证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
为的中位线，
，
；
（2）仍然成立，
证明：如图，连接，
四边形是正方形，
，
即，
，
为的中点，
，
；
（3）答案为：，．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（3）如图3，连接，
设交于，交于，
，
，
，
，
，
，
，
∵四边形是正方形，，
，
，
由题意可知，，
即，
当时，
最小值
当时，
最大值
，．
故答案为：，．
【分析】（1）利用SAS证明出，得，再根据直角三角形斜边上中线的性质和三角形中位线定理可得答案；
（2）连接，然后利用（1）题的两个全等三角形可以进一步证明结论；
（3）首先证明是等腰直角三角形，可得，再根据三角形三边关系知，从而解决问题．
22．（2024八下·五莲期中）【问题提出】
（1）如图①，正方形的对角线与相交于点E，连接，若，则正方形的边长为________；
【问题探究】
（2）如图②，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接，试判断的形状，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，四边形是某果园的平面示意图，该果园共有A、B、C、D、E五个出口，其中出口E在边上，已知．米，米，米，，、为果园内两条小路，现在的中点F处修建一个临时库房，沿修一条运输通道．
①判断的形状，并说明理由；
②试求该运输通道的长度．
【答案】（1）6；
（2）是等腰直角三角形．
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）①过点A作于点G，如图③．
∵，
∴四边形是矩形．
∵，
∴四边形是正方形，
∴，米，
∴40米，
在和中，
，
∴，
∴，，
即，
∴是等腰直角三角形．
②连接、，取的中点M，连接，如图③．
∵F为的中点，和都是直角三角形，
．
在和中，
，
∴，
∴．
∵点F、M分别为、的中点，
∴为的中位线，
米，，
，
即为等腰直角三角形，
米，
即该运输通道的长度为米．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：∵四边形为正方形，
∴点为中点，
∵点F为边的中点，
∴，
∴，
即正方形边长为6；
故答案为：6.
【分析】（1）根据正方形的性质求出点为中点，再根据三角形的中位线求出，最后计算求解即可；
（2）根据正方形的判定方法求出四边形是正方形，再利用SAS证明，最后证明求解即可；
（3）利用SSS证明，再根据三角形的中位线求出为的中位线，最后计算求解即可.
23．（2025八下·遵义期中）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的最小值（其中，点在线段上），进而得的最小值为线段的长度．
先仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解答下面问题：
（1）直接写出代数式的最小值；
（2）若，均为正数，且，求的最小值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）5
（2）解：由题意，构造如下图形：（其中，点在线段上），
则，，
∴可将问题转化为求线段的最小值，
∴的最小值为线段的长度，
过点作，交延长线于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
所以代数式的最小值为10．
（3）解：由题意，构造如下图形：
其中，，，，于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
所以的值为．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：如图，过点作，交延长线于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
所以代数式的最小值为5．
【分析】（1）过点作，交延长线于点，则四边形是矩形，根据矩形性质可得，，根据边之间的关系可得DF，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据题意构造图形，根据勾股定理可得CE，DE，则可将问题转化为求线段的最小值，即的最小值为线段的长度，过点作，交延长线于点，则四边形是矩形，根据矩形性质可得，，根据边之间的关系可得DF，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）根据题意构造图形，其中，，，，于点，根据勾股定理可得BD，CD，则，根据勾股定理逆定理可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：如图，过点作，交延长线于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
所以代数式的最小值为5．
（2）解：由题意，构造如下图形：（其中，点在线段上），
则，，
∴可将问题转化为求线段的最小值，
∴的最小值为线段的长度，
过点作，交延长线于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
所以代数式的最小值为10．
（3）解：由题意，构造如下图形：
其中，，，，于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
所以的值为．
1 / 1
