27.2.2相似三角形的性质导学案
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27.2.2 相似三角形的性质
理解并掌握相似三角形周长的比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方
阅读教材P37-38，自学“探究”、“思考”与“例3”，理解相似三角形对应的三条重要线段的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
自学反馈 学生独立完成后集体订正
如图，△ABC∽△A′B′C′相似比为k，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′.
①你能发现图中还有其他的相似三角形吗？
②△ABC与△A′B′C′中，= ,= .
③相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于 .
④相似三角形周长的比等于 .
⑤相似三角形面积的比等于 .
在运用相似三角形的性质时，要注意周长的比与面积的比之间的区别，不要混为一谈，另外面积的比等于相似比的平方，反过来相似比等于面积比的算术平方根.
活动1 小组讨论
例1 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN∶S四边形ANME的值为多少？
解:连接DC.
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC.
∴△ADE∽△ABC,△NDM∽△NBC.
∴==,=()2=,
=()2=()2=()2=.
设S△EMC=a,则S△DMC=S△EMC=a，
∴S△EDC=2S△EMC=2a.
又∵==2,
∴S△BDC=2S△EDC=4a.
∴S四边形DBCE=S△BDC+S△EDC=4a+2a=6a,
S四边形DBCM=S△BDC+S△DMC=5a.
由=,由=,得
S△ADE=2a，S△NDM=a.
∴S四边形ANME=S△ADE-S△DMN=2a-a=a.
∴S△DMN∶S四边形ANME=a∶a=1∶5.
解决本题要注意两个方面的问题:一是先求出小三角形与大三角形面积之间的关系；二是运用代数方法来解较好.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.如图，这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(图形)的示意图.已知桌面的直径为1.2 m，桌面距离地面为1 m，若灯泡距离地面3 m，则地面上阴影部分的面积为 .
运用相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键.
2.如图，在△ABC中，BC=48,高AD=16.它的内接矩形的两邻边EF∶FM=5∶9，长边MF在BC边上，求矩形EFMN的面积.
充分运用矩形边长的比来建立方程，可使问题得到解决.
活动1 小组讨论
例2 如图，已知:AO为⊙O1的直径，⊙O1与⊙O的一个交点为E，直线AO交⊙O于B、C两点，过⊙O上一点G作⊙O的切线GF，交直线AO于点D，与AE的延长线垂直相交于点F.
①求证:AE是⊙O的切线；
②若AB=2,AE=6,求△ODG的周长.
解:①证明:连接OE.
∵AO是⊙O1的直径，
∴∠AEO=90°.
∴AE⊥OE.
又∵OE是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线，且切点为E.
②设⊙O的半径为R，则AO=R+2,OE=R.
∵∠AEO=90°,
∴AE2+OE2=OA2.
∴62+R2=(R+2)2,解得R=8.
⊙O1的半径为5，由①可得OE⊥AE.
∵FG是⊙O的切线，故OG⊥FG.
又∵FG⊥AF,
∴OG∥AF.
∴∠A=∠GOD.
∴Rt△AOE∽Rt△ODG,
∴=,即=.
∵Rt△AOE的周长为AE+AO+OE=6+10+8=24,
∴C△ODC=24×=32.
圆中相似的问题一般比较复杂，需要根据题中提供的信息逐步求解，如△ODG的周长，分两个过程:一是寻求与△ODG相似的三角形；再求其周长.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD.
①求证:△ABF∽△CEB;
②若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积.
2.有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC=12 cm，高AD=8 cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍，问加式成的铁片的面积为多少cm2?
对于本题的两种情形，我们要仔细地进行体会，掌握其区别及计算方法.
活动3 课堂小结
学生试述:这节课你学到了些什么？
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
【预习导学】
自学反馈
①△ABD∽△A′B′D′ △ADC∽△A′D′C′
②kk2
③相似比 相似比
④相似比的平方 相似比的平方
⑤相似比
【合作探究1】
活动2 跟踪训练
1.0.81πm2
2.180
【合作探究2】
活动2跟踪训练
1.①略 ②24
2. cm2或18 cm2
理解并掌握相似三角形周长的比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方
阅读教材P37-38，自学“探究”、“思考”与“例3”，理解相似三角形对应的三条重要线段的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
自学反馈 学生独立完成后集体订正
如图，△ABC∽△A′B′C′相似比为k，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′.
①你能发现图中还有其他的相似三角形吗？
②△ABC与△A′B′C′中，= ,= .
③相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于 .
④相似三角形周长的比等于 .
⑤相似三角形面积的比等于 .
在运用相似三角形的性质时，要注意周长的比与面积的比之间的区别，不要混为一谈，另外面积的比等于相似比的平方，反过来相似比等于面积比的算术平方根.
活动1 小组讨论
例1 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN∶S四边形ANME的值为多少？
解:连接DC.
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC.
∴△ADE∽△ABC,△NDM∽△NBC.
∴==,=()2=,
=()2=()2=()2=.
设S△EMC=a,则S△DMC=S△EMC=a，
∴S△EDC=2S△EMC=2a.
又∵==2,
∴S△BDC=2S△EDC=4a.
∴S四边形DBCE=S△BDC+S△EDC=4a+2a=6a,
S四边形DBCM=S△BDC+S△DMC=5a.
由=,由=,得
S△ADE=2a，S△NDM=a.
∴S四边形ANME=S△ADE-S△DMN=2a-a=a.
∴S△DMN∶S四边形ANME=a∶a=1∶5.
解决本题要注意两个方面的问题:一是先求出小三角形与大三角形面积之间的关系；二是运用代数方法来解较好.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.如图，这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(图形)的示意图.已知桌面的直径为1.2 m，桌面距离地面为1 m，若灯泡距离地面3 m，则地面上阴影部分的面积为 .
运用相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键.
2.如图，在△ABC中，BC=48,高AD=16.它的内接矩形的两邻边EF∶FM=5∶9，长边MF在BC边上，求矩形EFMN的面积.
充分运用矩形边长的比来建立方程，可使问题得到解决.
活动1 小组讨论
例2 如图，已知:AO为⊙O1的直径，⊙O1与⊙O的一个交点为E，直线AO交⊙O于B、C两点，过⊙O上一点G作⊙O的切线GF，交直线AO于点D，与AE的延长线垂直相交于点F.
①求证:AE是⊙O的切线；
②若AB=2,AE=6,求△ODG的周长.
解:①证明:连接OE.
∵AO是⊙O1的直径，
∴∠AEO=90°.
∴AE⊥OE.
又∵OE是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线，且切点为E.
②设⊙O的半径为R，则AO=R+2,OE=R.
∵∠AEO=90°,
∴AE2+OE2=OA2.
∴62+R2=(R+2)2,解得R=8.
⊙O1的半径为5，由①可得OE⊥AE.
∵FG是⊙O的切线，故OG⊥FG.
又∵FG⊥AF,
∴OG∥AF.
∴∠A=∠GOD.
∴Rt△AOE∽Rt△ODG,
∴=,即=.
∵Rt△AOE的周长为AE+AO+OE=6+10+8=24,
∴C△ODC=24×=32.
圆中相似的问题一般比较复杂，需要根据题中提供的信息逐步求解，如△ODG的周长，分两个过程:一是寻求与△ODG相似的三角形；再求其周长.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD.
①求证:△ABF∽△CEB;
②若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积.
2.有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC=12 cm，高AD=8 cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍，问加式成的铁片的面积为多少cm2?
对于本题的两种情形，我们要仔细地进行体会，掌握其区别及计算方法.
活动3 课堂小结
学生试述:这节课你学到了些什么？
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
【预习导学】
自学反馈
①△ABD∽△A′B′D′ △ADC∽△A′D′C′
②kk2
③相似比 相似比
④相似比的平方 相似比的平方
⑤相似比
【合作探究1】
活动2 跟踪训练
1.0.81πm2
2.180
【合作探究2】
活动2跟踪训练
1.①略 ②24
2. cm2或18 cm2