第09讲多面体的外接球与内切球
【题型1】多面体的外接球
例题1．在矩形ABCD中，，，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图
设AC的中点为O，由矩形ABCD可知点O到四面体的每个顶点的距离都相等，为，
则点O即为四面体外接球的球心，所以四面体ABCD的外接球的半径为，
则四面体ABCD的外接球的表面积为．
例题2．高和底面圆直径均为2的圆锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设外接球的半径为，依题意可得，解得，
所以圆锥的外接球的表面积.
故选：C
例题3．已知正三棱台的高为5，，，则该正三棱台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】分别取、的中心，连接，过作，
因为，由正弦定理得，得，同理可得，
由题意，
设正三棱台的外接球球心为O，因为为上底面截面圆的圆心，为下底面截面圆的圆心，
所以由正三棱台的性质可知，其外接球的球心在直线EF上，
设外接球O的半径为R，所以，，，
即，，
当在EF的延长线上时，可得，无解；
当在线段EF上时，轴截面中由几何知识可得，解得，
所以正三棱台的外接球表面积为.
故选：D
例题4．在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（ ）
A．50 B．100 C．150 D．200
【详解】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同，
所以外接球的直径为，
所以外接球的表面积为，
故选：A.
【针对训练】
1．现有一平行四边形纸片如图，已知，将其折成一个三棱锥（不可剪开），使三棱锥的四个面刚好可以组成该平行四边形纸片，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图所示，图（1）中，过点作，
因为，可得，
按虚线折叠即可，可得该三棱锥对棱相等，且三组对棱分别为，
将该三棱锥补全到图（2）中的长方体中，
此时三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
设长方体的棱长分别为，可得，
所以，即其外接球半径，
故外接球表面积为.
故选：B．
2．在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设三棱柱外接球的球心为， 分别为和的外心，则.
由对称性可知为的中点，所以到上、下底面的距离.
设外接圆的半径为，则由正弦定理可知，所以.
由球的性质可知球的半径，
所以该三棱柱外接球的体积.
故选：B
3．如图，在四面体中，，分别为，的中点，且，，，则该四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】连接，
因为线段的中点，，则，
又为线段的中点，，，则，
则，
则该四面体的外接球球心为，半径，表面积.
故选：D．
4．已知正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，，即，，
设球心到上下底面的距离分别为，，球的半径为，
即，即，
平方可得：，解得；
所以球的表面积为.
故选：A.
5．已知一个侧棱等于底面边长的正三棱柱的外接球的表面积为，则该三棱柱的表面积为（ ）
A．3+36 B．6+36 C．3+12 D．6+12
【详解】设外接球的半径为r，则，解得，
设正三棱柱的底面边长为a，由题意知侧棱长为a，
如图所示：
设外接球的球心为O，底面的中心为，
则，
即，即，
解得，
所以该三棱柱的表面积为，
故选：B.
【课后巩固】
1．正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
【详解】如图，设为外接球球心，底面于点，设，
由正四棱锥的体积为8，即，解得，则，
又，所以，，
在中，，即，解得，
所以外接球的表面积为.
故选：C.
2．在矩形中，，，沿对角线将折起，折至，则四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为四边形为矩形，
所以折起后均为直角三角形，
所以的外接圆的圆心均为的中点，
又四面体的外接球的球心到四个顶点的距离相等，
所以球心为的中点，半径，
所以外接球的体积为.
故选：B.
3．已知正三棱柱的各棱长均为，则该正三棱柱的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【详解】设上、下两个底面的中心分别为、，连接，
因为所有棱长为的正三棱柱的六个顶点都在同一球面上，
所以正三棱柱外接球的球心为的中点，
连接，在等边中，，
在直角中，，
所以正三棱柱外接球的半径，
所以球的表面积为.
故选：C.
4．已知四面体满足，，均为等腰三角形，且，若，的夹角为，则该四面体外接球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
【详解】将四面体补成如图所示的直三棱柱，
可知，，故，
又，所以．
设四面体的外接球球心为O，
则O在平面内的射影为的外心，且，
由正弦定理得，
故外接球半径，故．
故选：B
5．已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题可知，，设棱台高为，
则，解得，
根据正四棱台的特性，正四棱台的外接球半径即为四边形外接圆半径，
又，，所以，
则，所以为直角三角形，
故为四边形外接圆直径，
正四棱台的外接球半径，体积.
故选：B.
6．已知正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设正三棱柱的外接球的球心为，三棱柱上、下底面的中心为，，，
由对称性可知为的中点，且到上、下底面的距离，即.
又、到所在面顶点的距离，
由勾股定理得该球的半径，
所以外接球的体积.
故选：C.
7．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】在三棱锥中，因为平面，且，，，
则三棱锥可补成如图所示的一个长方体，
其中三棱锥的外接球与该长方体的外接球为同一个球，
在直角中，可得，
设三棱锥的外接球的半径为，
可得，所以，
则球的体积为.
故选：B.
8．已知菱形的边长为，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】当三棱锥体积最大时，平面平面，
取的中点，连接，
因为四边形为菱形，
所以，
因为平面平面，
所以，
如图，过上靠近的三等分点作平面的垂线，
过上靠近的三等分点作平面的垂线，
两条垂线的交点即为三棱锥的外接球的球心，连接，
因为，，
所以为等边三角形，
所以，
所以，
同理可得，
所以，
所以.
故选：D.
9．如图，在三棱锥中，平面，，，则该三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图，设三棱锥外接球的球心为点，的外接圆的圆心为点，
连接，则，设的外接圆的半径为，
，可得，即，
因为平面，，
所以，
所以三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的体积为.
故选：.
10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】显然，两两垂直，其中，
故三棱锥外接球就是以为长宽高的长方体的外接球，
故外接球半径为，
故三棱锥外接球表面积为.
故选：B
11．已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______．
【详解】
在直三棱柱中，因为，，
可得，
则可把这个直三棱柱补形为长方体，
所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球，
即该球的直径为长方体的体对角线，
又，则，
则三棱柱的外接球表面积为，
故答案为：
12．已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，则球的表面积为______．
【详解】由，可知，，故，
将直三棱柱补成如图所示，
以为邻边的长方体，
故直三棱柱外接球半径等于长方体体对角线一半，即半径，
所以球的表面积为，
故答案为：.
【题型2】多面体的内切球
例题1．已知圆柱和圆锥的底面半径均为3，侧面积相等，若圆柱的高为，则圆锥内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设圆柱的底面半径为，圆锥的母线长为，内切球半径为，
则圆柱侧面积为，
所以圆锥的侧面积为，由圆锥侧面积公式可得，
故圆锥母线长，可得圆锥的高.
根据圆锥轴截面面积可知，
化简得，则圆锥内切球体积为.
故选：C
例题2．棱长为的正方体盒子中装有半径分别为1和2的两个铁球，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】当正方体内恰好装入的两个铁球刚好外切时，正方体的棱长取最小值，
设正方体为，球，的半径分别为，，
作出对角线及球心，所在的截面，如图所示，
正方体的棱长为，，
在直角中，，
，，
，，
，
，解得，
即正方体的棱长的最小值为，
所以
故选：C.
例题3．已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，如图：
设O为三棱锥的内切球的球心，则连接，
三棱锥被分成四个三棱锥，这四个三棱锥的高均为内切球的半径r，
由等体积法可得
，
，，解得
内切球体积.
故选：A.
【针对训练】
1．已知正四棱锥的底面边长为4，高为6，则该正四棱锥的内切球半径为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
；
其中，，
由于
；
则，；
2．已知某圆锥的母线长为，该圆锥内切球的球心与其外接球的球心重合，则该圆锥内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图，圆锥的轴截面为，圆锥的底面中心为，则点为中点，
设内切球的球心与其外接球的球心为，则点在圆锥的高上，连接，过作于，
设圆锥内切球半径为，外接球半径为，圆锥底面半径为，高为，母线为，
由题可得，，，，
则，
由勾股定理可得：，所以，整理得
所以，又由可得，
联立解得，
故该圆锥内切球的半径为，所以内切球的表面积为.
故选：C.
3．若一个正方体内切球的表面积为，则该正方体的棱长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【详解】设正方体棱长为，则内切球的半径为，
所以，得，
所以正方体的棱长为.
故选：D
4．四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图所示，圆为的外接圆，过作直线平面，
又平面，则，连接，与球交于点，连接，与直线的交点为球心，则，则，
在中，由正弦定理得，即，
所以该四面体的外接球的半径,
所以外接球的表面积.
故选：C.
5．将一个直角边长分别为3，4的直角三角形绕其较长直角边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题知所得圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5，
该圆锥内切球半径即为圆锥轴截面半径.
设圆锥内切球的半径为，则圆锥轴截面面积为，得．
所以，球的体积．
故选：A．
6．已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【详解】根据题意，设圆柱内切球半径为，底面半径为，高为，
又圆柱存在内切球，所以，
，
所以.
故选：C.
7．棱长为的正方体，则其内切球的体积为______．
【详解】设内切球的半径为，
所以，即，所以内切球的体积为，
故答案为：.
8．已知中，，，若将绕直线旋转一周，所得几何体的内切球半径等于，则该内切球的表面积为______.
【详解】如图：
作旋转体的轴截面，为如图筝形，设筝形的内切圆半径为，
因为中，，，
则；.
由.
又，可得.
由可得.
所以.
所以旋转体的内切球表面积为：.
故答案为：
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试卷第1页，共3页第09讲多面体的外接球与内切球
【题型1】多面体的外接球
例题1．在矩形ABCD中，，，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ）
B． C． D．
例题2．高和底面圆直径均为2的圆锥的外接球的表面积为（ ）
B． C． D．
例题3．已知正三棱台的高为5，，，则该正三棱台外接球的表面积为（ ）
B． C． D．
例题4．在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（ ）
A．50 B．100 C．150 D．200
【针对训练】
1．现有一平行四边形纸片如图，已知，将其折成一个三棱锥（不可剪开），使三棱锥的四个面刚好可以组成该平行四边形纸片，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四面体中，，分别为，的中点，且，，，则该四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知一个侧棱等于底面边长的正三棱柱的外接球的表面积为，则该三棱柱的表面积为（ ）
A．3+36 B．6+36 C．3+12 D．6+12
【课后巩固】
1．正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
2．在矩形中，，，沿对角线将折起，折至，则四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知正三棱柱的各棱长均为，则该正三棱柱的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
4．已知四面体满足，，均为等腰三角形，且，若，的夹角为，则该四面体外接球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
5．已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知菱形的边长为，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在三棱锥中，平面，，，则该三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______．
12．已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，则球的表面积为______．
【题型2】多面体的内切球
例题1．已知圆柱和圆锥的底面半径均为3，侧面积相等，若圆柱的高为，则圆锥内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例题2．棱长为的正方体盒子中装有半径分别为1和2的两个铁球，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．故选：C.
例题3．已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【针对训练】
1．已知正四棱锥的底面边长为4，高为6，则该正四棱锥的内切球半径为（ ）
A． B． C． D．
2．已知某圆锥的母线长为，该圆锥内切球的球心与其外接球的球心重合，则该圆锥内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．若一个正方体内切球的表面积为，则该正方体的棱长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
4．四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．将一个直角边长分别为3，4的直角三角形绕其较长直角边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．棱长为的正方体，则其内切球的体积为______．
8．已知中，，，若将绕直线旋转一周，所得几何体的内切球半径等于，则该内切球的表面积为______.
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