27.2.3相似三角形应用举例导学案
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27.2.3 相似三角形应用举例
1.通过本节相似三角形应用举例，发展学生综合运用相似三角形的判定方法和性质解决问题的能力，提高学生的数学应用意识，加深对相似三角形的理解与认识.
2.在活动过程中使学生积累经验与成功体验，激发学生学习数学的热情与兴趣.
阅读教材P39-40，自学“例4”，学会运用相似三角性的判定与性质解决实际问题，学会从实际问题中建立数学模型.
自学反馈 学生独立完成后集体订正
①太阳光下，同一时刻，物体的长度与其影长成 (正比或反比).
②太阳光下，同一时刻，物体的高度、影子、光线构成的三角形相似吗？
活动1 小组讨论
例1 小刚用下面的方法来测量学校大楼AB的高度.如图，在水平地面上的一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21 m，当他与镜子的距离CE=2.5 m时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知他的眼睛距地面高度DC=1.6 m，请你帮助小刚计算出教学大楼的高度AB是多少m.(注意:根据光的反射定律，反射角等于入射角)
解:根据反射角等于入射角，则有∠DEF=∠BEF，而FE⊥AC，
∴∠DEC=∠BEA.
又∵∠DCE=∠BAE=90°,
∴△DEC∽△BEA.
∴=.
又∵DC=1.6,EC=2.5,EA=21,
∴=.
∴AB=13.44(m).
即建筑物AB的高度为13.44 m.
从实际问题的情景中，找出相似三角形是解决本类题型的关键.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.如图，小明在打网球时，击球点距球网的水平距离为8 m，已知网高为0.8 m，要使球恰好能打过网，而且落在离网4 m米的位置，则球拍球时的高度h为 m.
确定相似三角形，再根据相似三角形的性质求出线段的长.
2.一束平行的太阳光从教室窗户射入的平面示意图如图，光线与地面所成角∠AMC=30°，在教室地面的影长MN=23米，若窗户的下沿到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上沿到教室地面的距离AC为 米.
应从实际问题中建立相似的数学模型，将实际问题转化为数学问题.
阅读教材P40，自学“例5”，学会运用相似三角性的判定与性质解决实际问题，学会从实际问题中建立数学模型.
活动1 小组讨论
例2 如图，测得BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求河宽.
解:由题意,可得∠B=∠C=90°,∠ADB=∠EDC，
∴△ADB∽△EDC.
∴=.
即AB===100(m).
答:河宽AB为100 m.
证明相似三角形的方法很多，要根据实际情况，选择最简单、合适的一种.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是10 m，在这岸离开岸边16 m处看对岸，看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有1棵树，但对岸被遮住的两棵树之间有四棵树，求这段河的河宽是多少米？
先由实际问题建立相似的数学模型，可先证得△ADE∽△ACB,再根据对应线段成比例可求出河宽，即线段DC的长.
阅读教材P40-41，自学“例6”，学会从实际问题中建立数学模型，熟练解角度问题.
活动1 小组讨论
例3 如图，李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m.
（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；
（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值？若为定值，请说明理由；若不是请叙述您的探究方法.
解：(1)由已知：AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC.
∴=，
∵OP=l，AB=h，OA=a，
∴=.
∴解得AC=.
(2)∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC.
∴==，
即=，即=.
∴AC=·OA.
同理可得：DA=·O′A.
∴DA+AC=(OA+O′A) =是定值.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法:如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D，然后测出两人之间的距离CD=1.25 m，颖颖与楼之间的距离DN=30 m(C、D、N在一条直线上)，颖颖的BD=1.6 m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8 m，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？
过点A作MN的垂线段，构造相似三角形.
活动3 课堂小结
学生试述:这节课学到了些什么？
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
【预习导学1】
自学反馈
①正比
②相似
【合作探究1】
活动2 跟踪训练
1.2.4 m
2.3 m
【合作探究2】
活动2 跟踪训练
24 m
【合作探究3】
活动2 跟踪训练
20.8 m
1.通过本节相似三角形应用举例，发展学生综合运用相似三角形的判定方法和性质解决问题的能力，提高学生的数学应用意识，加深对相似三角形的理解与认识.
2.在活动过程中使学生积累经验与成功体验，激发学生学习数学的热情与兴趣.
阅读教材P39-40，自学“例4”，学会运用相似三角性的判定与性质解决实际问题，学会从实际问题中建立数学模型.
自学反馈 学生独立完成后集体订正
①太阳光下，同一时刻，物体的长度与其影长成 (正比或反比).
②太阳光下，同一时刻，物体的高度、影子、光线构成的三角形相似吗？
活动1 小组讨论
例1 小刚用下面的方法来测量学校大楼AB的高度.如图，在水平地面上的一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21 m，当他与镜子的距离CE=2.5 m时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知他的眼睛距地面高度DC=1.6 m，请你帮助小刚计算出教学大楼的高度AB是多少m.(注意:根据光的反射定律，反射角等于入射角)
解:根据反射角等于入射角，则有∠DEF=∠BEF，而FE⊥AC，
∴∠DEC=∠BEA.
又∵∠DCE=∠BAE=90°,
∴△DEC∽△BEA.
∴=.
又∵DC=1.6,EC=2.5,EA=21,
∴=.
∴AB=13.44(m).
即建筑物AB的高度为13.44 m.
从实际问题的情景中，找出相似三角形是解决本类题型的关键.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.如图，小明在打网球时，击球点距球网的水平距离为8 m，已知网高为0.8 m，要使球恰好能打过网，而且落在离网4 m米的位置，则球拍球时的高度h为 m.
确定相似三角形，再根据相似三角形的性质求出线段的长.
2.一束平行的太阳光从教室窗户射入的平面示意图如图，光线与地面所成角∠AMC=30°，在教室地面的影长MN=23米，若窗户的下沿到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上沿到教室地面的距离AC为 米.
应从实际问题中建立相似的数学模型，将实际问题转化为数学问题.
阅读教材P40，自学“例5”，学会运用相似三角性的判定与性质解决实际问题，学会从实际问题中建立数学模型.
活动1 小组讨论
例2 如图，测得BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求河宽.
解:由题意,可得∠B=∠C=90°,∠ADB=∠EDC，
∴△ADB∽△EDC.
∴=.
即AB===100(m).
答:河宽AB为100 m.
证明相似三角形的方法很多，要根据实际情况，选择最简单、合适的一种.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是10 m，在这岸离开岸边16 m处看对岸，看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有1棵树，但对岸被遮住的两棵树之间有四棵树，求这段河的河宽是多少米？
先由实际问题建立相似的数学模型，可先证得△ADE∽△ACB,再根据对应线段成比例可求出河宽，即线段DC的长.
阅读教材P40-41，自学“例6”，学会从实际问题中建立数学模型，熟练解角度问题.
活动1 小组讨论
例3 如图，李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m.
（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；
（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值？若为定值，请说明理由；若不是请叙述您的探究方法.
解：(1)由已知：AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC.
∴=，
∵OP=l，AB=h，OA=a，
∴=.
∴解得AC=.
(2)∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC.
∴==，
即=，即=.
∴AC=·OA.
同理可得：DA=·O′A.
∴DA+AC=(OA+O′A) =是定值.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法:如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D，然后测出两人之间的距离CD=1.25 m，颖颖与楼之间的距离DN=30 m(C、D、N在一条直线上)，颖颖的BD=1.6 m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8 m，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？
过点A作MN的垂线段，构造相似三角形.
活动3 课堂小结
学生试述:这节课学到了些什么？
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
【预习导学1】
自学反馈
①正比
②相似
【合作探究1】
活动2 跟踪训练
1.2.4 m
2.3 m
【合作探究2】
活动2 跟踪训练
24 m
【合作探究3】
活动2 跟踪训练
20.8 m