第10讲空间点直线和平面的位置关系
【题型1】点（线）确定的平面数量问题
例题1．经过不在一条直线上的三个点的平面（ ）
A．有且仅有一个 B．有且仅有三个 C．有无数个 D．不存在
【详解】由公理：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，故A项正确.
故选：A.
【针对训练】
1．给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（ ）
①三个不同的点确定一个平面； ②一条直线和一个点确定一个平面；
③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④两条平行直线确定一个平面.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】由三个不在同一直线不同的点确定一个平面，故①错误；
一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误；
空间两两相交的三条不能交于同一点的直线确定一个平面，故③错误；
两条平行直线确定一个平面，故④正确.
故选：C
2．下列命题错误的是（ ）
A．直线及直线外一点，确定一个平面
B．两条平行直线，确定一个平面
C．两条相交直线，确定一个平面
D．三条相交直线两两相交，确定一个平面
【详解】由基本事实二知直线及直线外一点，确定一个平面，故A正确；
由基本事实三知两条平行直线，确定一个平面，故B正确；
由基本事实三知两条相交直线，确定一个平面，故C正确；
三条相交直线两两相交，确定一个或三个平面，故D错误．
故选：D．
3．下列正确的是（ ）
A．一个多面体至少有4个面
B．过空间中任意三点有且仅有一个平面
C．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥
D．通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积
【详解】A：一个多面体至少有4个面，A选项正确；
B：过空间中不共线的三点有且仅有一个平面，若三点共线则有无数个平面，错误；
对于C：根据正棱锥的定义：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．
所以底面是正多边形且侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥，符合定义，是正棱锥，故C正确．
D：通过圆锥两母线的截面中，若轴截面顶角为直角或锐角，要使截面面积最大，即母线夹角最大，此时截面为轴截面，
若轴截面顶角为钝角，则顶角为直角的截面面积最大，即面积最大的截面不一定是轴截面，错误；
故选：AC.
4．三条直线两两相交可以确定________个平面．
【详解】（1）三条直线共面时，则确定1个平面；
（2）三条直线不共面时，则三条直线必交于一点，此时每两条直线确定1个平面，共确定3个平面.
则三条直线两两相交可以确定1个或3个平面.
故答案为：1或3
【题型2】空间中点线共面问题
例题1．已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【详解】如图所示，空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，
且三点共线，但直线不共面，
所以“三点共线”是“直线共面”的不充分条件；
若直线共面，设其为，则均在平面内，也在平面内，
则在平面与的交线上，所以三点共线，
所以“三点共线”是“直线共面”的必要条件；
所以“三点共线”是“直线共面”的必要不充分条件.
故选：B.
【针对训练】
1．如图，在四棱锥中，点G在正方形ABCD内，点F在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是（ ）
A．点G在AC上 B．
C． D．直线EB，GD交于点B
【详解】因为DF与EG相交，
所以平面平面,
所以直线EB，GD交于点B，故D正确.
而由题意，可为上任意一点，故ABC错误.
故选：D
2．如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则（ ）
A．A，C，，四点共面 B．D，E，G，F四点共面
C．A，E，F，四点共面 D．G，E，，四点共面
【详解】对于A：因为正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，，分别为四边形，的中心，
所以是的中点，所以在平面内，故A正确；
对于B:因为E，G，F在平面内，D不在平面内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误；
对于C：因为分别为的中点，所以∥
因为∥，所以∥，所以A，E，F，四点共面，故C正确；
对于D：连接并延长，交于H，则H为的中点，连接，则∥，
因为分别为的中点，所以∥，
因为∥，所以∥，所以G，E，，四点共面，故D正确．
故选：ACD.
3．以下四个命题正确的是（ ）
A．三个平面最多可以把空间分成八部分
B．若直线平面，直线平面，则“与相交”与“与相交”等价
C．若，直线平面，直线平面，且，则
D．若空间中三个平面两两相交，则他们的交线互相平行
【详解】对于A：三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，如图1；
三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图2；
三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成6部分，如图3；
三个平面两两相交于三条直线，且三条直线互相平行时，可以把空间分成7部分，如图4；
三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分，如图5，
所以空间中的三个平面最多能把空间分成部分，故A正确；
对于B：因为直线平面，直线平面，由与相交一定可以得到与相交，
但是由与相交，则与可以相交、平行或异面，故B错误；
对于C：因为，直线平面，则且，
又直线平面，所以，
又，所以，故C正确；
对于D：若空间中三个平面两两相交，则他们的交线可以互相垂直，
如图正方体中：平面平面，
平面平面，平面平面，
由正方体的性质可知、、两两互相垂直，故D错误.
故选：AC
.
【题型3】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状
例题1．已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【详解】
延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点，
连接，交于，连接，交于，
连接，.
则五边形即为过与该正方体的截面.
故选：C.
【针对训练】
1．在长方体中，，现有一个动平面，且，当平面截此长方体所得截面边数最多时，截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图，截面，由于，
则，
设，则，
，，
则，
则周长为，
故选：A.
2．已知正方体棱长为1，过点的平面截正方体所得截面为菱形时，该截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】取的中点，的中点，连接，，，，
取的中点，连接，取的中点，连接，
分别是，，，的中点，是正方形，
且，且，
且，为平行四边形，且，
而且，则，为平行四边形，
，四点共面，又，为菱形，
平面，
过点的平面截正方体所得截面为菱形的截面是菱形，
，，则，
故菱形的面积为.
故选：A
3．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，过作正方体的截面，则截面图形的周长为__________．
【详解】如图：取棱的中点，连接，则多边形为截面图形.
因为且，所以四边形为平行四边形，所以.
又因为分别是的中点，由中位线定理得，再由，
所以，即四点共面，而平面是过的截面，且三点不共线，
所以四边形为截面图形，且截面为等腰梯形，由棱长为2，
所以，所以截面的周长为.
故答案为：.
4．已知正方体的棱长为3，点 分别在棱 ， ，则过 ， ， 三点的平面截正方体所得多边形的面积为_____
【详解】如图所示：
分别在棱上取点，且，
易得，，
故，
同理可得，
故，
同理可求得，，
故过三点的平面截正方体所得的多边形为六边形，其面积等于两个等腰梯形与的面积之和，
由条件可得，，，
从而可得梯形的高为，
梯形的高为，
故梯形的面积为，
梯形的面积为，
六边形的面积为．
故答案为：．
5．在棱长为3的正方体中，是棱的中点，为棱的三等分点（靠近点），过三点作正方体的截面，则以为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为__________．
【详解】
如图，因为为的中点，为棱的三等分点（靠近点），
所以取为棱的六等分点（靠近点），则，即四点共面，
所以过三点的截面为平行四边形
则，
又因为，所以
故答案为：3．
【题型4】空间直线平面的位置关系
例题1．已知正方体中，、分别为和的中点，则直线和的位置关系为（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．垂直
【详解】如下图所示，连接，
由、分别为、的中点，得，，
在正方体中，，，故四边形为平行四边形，
所以，，故，，
所以四边形为梯形，故直线、相交，
故选：C.
【针对训练】
1．已知，，则与的位置关系为（ ）
A．平行或异面 B．相交 C．重合 D．以上都有可能
【详解】如图所示，，，
则与的位置关系可能是平行、相交、异面、重合.
故选：D.
2．已知点直线，又平面，则直线与平面的位置关系是（ ）
A． B． C． D．或
【详解】直线，又平面，故直线和平面至少有一个交点，故或.
故选：D
3．如果直线平面，直线平面，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】∵，
∴，同理，.
又，则.
故选：A.
4．若直线与平面有两个公共点，则与的位置关系是（ ）
A． B． C．与相交 D．
【详解】若直线与平面有两个公共点，
则直线在平面内，即.
故选：A
5．已知两直线m，n，两平面，，若，，，则m与n的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面
【详解】解：，与没有公共点，
又，，与没有公共点，
则与的关系为平行或异面．
故选：．
6．已知平面平面，，点，则下列结论正确的是（ ）
A．过和垂直的直线在内 B．过和垂直的直线在内
C．过和垂直的直线必与垂直 D．过和垂直的平面必与垂直
【详解】对于A，过点与垂直的直线，若在平面内，则不在平面内，故A错误；
对于B，根据面面垂直的性质定理，过点作平面的垂线必在平面内，故B正确；
对于C，过点与垂直的直线，若在平面内，则该直线不与垂直，故C错误；
对于D，平面过点且垂直于平面，但，所以平面与直线不垂直，故D错误.
故选：B.
7．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（ ）
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直
【详解】如图，在平行六面体中，记棱所在直线分别为，
显然满足 ，且平面，平面，此时平面平面；
又平面，平面，而平面与平面相交，
故这两个平面可以平行或相交.
故选：C.
8．已知和是两个不同的平面，是一条直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【详解】对于A选项，若，则或，故错误；
对于B选项，若，则与关系可以是平行、相交或在平面内，不一定满足，故错误；
对于C选项，若，则或，故错误；
对于D选项，若，则，正确.
故选：D
9．已知直线与平面，则下列选项可使得的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】对于A，若，则不成立，如图所示，故A错误；
对于B，由面面平行的性质可知，成立，故B正确；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，若，则可能存在，如图所示，故D错误.
故选：B
10．已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，则
【详解】因为，，所以，A正确；
若，，则或，B不正确；
因为，，，所以，
因为，，，根据线面平行的性质定理，所以，又，所以，C正确；
因为，，所以，D正确.
故选：B
11．已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【详解】A选项，当时，不成立，故A错误；
B选项，当时，可以符合，而不符合，故B错误；
C选项，当时，不成立，故C错误；
D选项，设，；
在内过上一点P作直线，
又因为，且，
则，又因为，所以；
再作直线，同理可得；
由于与相交于，，故D正确；
故选：D
12．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【详解】选项A，若，，，
则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故A选项不正确；
选项B，若，，，
则平面与平面可能平行，可能相交；故B选项不正确；
选项C，若，，，则，故C选项正确；
选项D，，，，
则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故D选项不正确；
故选：C.
【题型5】点线共面问题的证明
例题1．在正方体中，E，F分别为，的中点，，，如图．
(1)求证：D，B，E，F四点共面；
(2)作出直线与平面的交点R的位置．
【详解】（1）由于和在同一个平面内且不平行，故必相交．
如图，设交点为O，因为F为的中点，所以且，即是的中位线，则．
同理直线与也相交，设交点为，则，故与O重合．
由此可证得，故D，B，F，E四点共面．
（2）设平面为．由于，
所以，A，C，四点共面（设为）．
因为，，所以．
又，，所以，
所以．
同理可证得，从而有．
连接，交于点R，因为，
所以与平面的交点就是与的交点．
所以与的交点R就是所求的交点．
例题2．如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，.
证明：四点共面.
【详解】在中，，
在平行六面体中：且
又因为，，所以，
则有，即四点共面.
【针对训练】
1．如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点.线段上是否存在一点，使得点共面？存在请证明，不存在请说明理由.
【详解】存在，当为的中点，点D，C，E，G共面.
证明如下：
取的中点，连接，
又∵点是的中点，∴，
在底面直角梯形中，，则，
所以线段上存在一点（的中点），使得点共面.
2．如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线．
【详解】由题意得平面，
又，平面，
所以平面，
由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上，
所以三点共线．
3．如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且．
(1)求证：四点共面；
(2)设与交于点，求证：三点共线．
【详解】（1）证明：在中，∵为的中点，
∴．
在中，∵，
∴，∴，
∴四点共面．
（2）∵，，，
∴平面，平面，
又平面平面，
∴直线．∴三点共线．
4．如图，已知：，，，，，求证：．
【详解】 ，与确定一个平面．
直线，点．，，．
又，与重合，．
5．如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证：
(1)、、、四点共面；
(2)、必相交且交点在直线上．
【详解】（1）
连接、，，
由，分别为，中点，则，
又，，则，
，
、、、四点共面.
（2）
由，，
易知，
又，分别为，中点，即，
，
结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线、不平行，
设它们交点为，平面，同理平面，
又平面平面，因此，
即、必相交且交点在直线上．
6．如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)证明，，相交于一点．
【详解】（1）证明：连接，，如图所示，
因为为正四棱台，所以，
又E，F，G，H分别为棱，，，的中点，所以，，
则，所以E，F，G，H四点共面，因为，所以，
所以为梯形，则与必相交．
（2）因为为梯形，则与必相交．
设，因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面，
又平面平面，
所以，则，，交于一点．
7．已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：直线、、三线共点．
【详解】（1）
（2）由于且，故直线相交，设交于，
则，
同理可得直线相交于点，则，
故与重合，故直线三线相交于点O，
故直线三线交于一点．
8．如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点；
【详解】在正方体中，连接，
由，得四边形是平行四边形，则，
由分别是的中点，得，则，即四点共面，
而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面，
同理平面，而平面平面
则，即点在直线上，所以直线交于同一点.
9．如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．
(1)证明：B，D，E，G四点共面.
(2)证明：三条直线交于一点.
【详解】（1）
如图，取的中点分别为S,T，连接，则,
因为四边形和四边形均为正方形，，且，，
所以四边形均为平行四边形，即，，
所以四边形为平行四边形，所以，所以，
所以B，D，E，G四点共面.
（2）
延长，设它们交于一点S，
因为，且，
所以，则，
同理，延长，设它们交于一点Q，
因为四边形和四边形均为正方形，，
则，又，
所以，则，
因此S和Q是同一个点，
所以三条直线交于一点.
10．如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：直线交于一点.
【详解】（1）连接，到平面的距离为，
因为，故.
故，故.
（2）在平面中，不平行，设，
则且，故平面 且平面，
故平面平面，
所以三线共点.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页第10讲空间点直线和平面的位置关系
【题型1】点（线）确定的平面数量问题
例题1．经过不在一条直线上的三个点的平面（ ）
A．有且仅有一个 B．有且仅有三个 C．有无数个 D．不存在
【针对训练】
1．给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（ ）
①三个不同的点确定一个平面； ②一条直线和一个点确定一个平面；
③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④两条平行直线确定一个平面.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列命题错误的是（ ）
A．直线及直线外一点，确定一个平面
B．两条平行直线，确定一个平面
C．两条相交直线，确定一个平面
D．三条相交直线两两相交，确定一个平面
3．下列正确的是（ ）
A．一个多面体至少有4个面
B．过空间中任意三点有且仅有一个平面
C．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥
D．通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积
4．三条直线两两相交可以确定________个平面．
【题型2】空间中点线共面问题
例题1．已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【针对训练】
1．如图，在四棱锥中，点G在正方形ABCD内，点F在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是（ ）
A．点G在AC上 B．
C． D．直线EB，GD交于点B
2．如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则（ ）
A．A，C，，四点共面 B．D，E，G，F四点共面
C．A，E，F，四点共面 D．G，E，，四点共面
3．以下四个命题正确的是（ ）
A．三个平面最多可以把空间分成八部分
B．若直线平面，直线平面，则“与相交”与“与相交”等价
C．若，直线平面，直线平面，且，则
D．若空间中三个平面两两相交，则他们的交线互相平行
【题型3】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状
例题1．已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【针对训练】
1．在长方体中，，现有一个动平面，且，当平面截此长方体所得截面边数最多时，截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．已知正方体棱长为1，过点的平面截正方体所得截面为菱形时，该截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，过作正方体的截面，则截面图形的周长为__________．
4．已知正方体的棱长为3，点 分别在棱 ， ，则过 ， ， 三点的平面截正方体所得多边形的面积为_____
5．在棱长为3的正方体中，是棱的中点，为棱的三等分点（靠近点），过三点作正方体的截面，则以为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为__________．
【题型4】空间直线平面的位置关系
例题1．已知正方体中，、分别为和的中点，则直线和的位置关系为（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．垂直
【针对训练】
1．已知，，则与的位置关系为（ ）
A．平行或异面 B．相交 C．重合 D．以上都有可能
2．已知点直线，又平面，则直线与平面的位置关系是（ ）
A． B． C． D．或
3．如果直线平面，直线平面，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若直线与平面有两个公共点，则与的位置关系是（ ）
A． B． C．与相交 D．
5．已知两直线m，n，两平面，，若，，，则m与n的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面
6．已知平面平面，，点，则下列结论正确的是（ ）
A．过和垂直的直线在内 B．过和垂直的直线在内
C．过和垂直的直线必与垂直 D．过和垂直的平面必与垂直
7．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（ ）
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直
8．已知和是两个不同的平面，是一条直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
9．已知直线与平面，则下列选项可使得的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，则
11．已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
12．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【题型5】点线共面问题的证明
例题1．在正方体中，E，F分别为，的中点，，，如图．
(1)求证：D，B，E，F四点共面；
(2)作出直线与平面的交点R的位置．
例题2．如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，.
证明：四点共面.
【针对训练】
1．如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点.线段上是否存在一点，使得点共面？存在请证明，不存在请说明理由.
2．如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线．
3．如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且．
(1)求证：四点共面；
(2)设与交于点，求证：三点共线．
4．如图，已知：，，，，，求证：．
5．如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证：
(1)、、、四点共面；
(2)、必相交且交点在直线上．
6．如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)证明，，相交于一点．
7．已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：直线、、三线共点．
8．如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点；
9．如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．
(1)证明：B，D，E，G四点共面.
(2)证明：三条直线交于一点.
10．如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：直线交于一点.
试卷第1页，共3页
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