第11讲空间直线平面的平行
【题型1】线面平行的证明
例题1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，四棱锥的底面是菱形，平面，为的中点.
证明：平面；
【详解】（1）如图，连接AC，交BD于点O，则O为AC的中点．连接OE，
因为是的中点，所以 ，
又平面，平面，
所以平面，
例题2．（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，在长方体中，证明：直线平面.
【详解】在长方体中，且，且，
得且，
得四边形为平行四边形，得，
而平面，平面，
得直线平面.
【针对训练】
1．（2025高三·北京·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成的角.
【详解】（1）连接交于，连接.如图：
因为底面是菱形，所以为的中点，又为的中点，
则，又平面，平面，则平面.
（2）如图：
作，因平面，平面，
则，又平面，，则平面.
连接，则为与平面所成的角.
由题可得，，，则.
2．（24-25高一下·河北·期末）如图，直三棱柱中，为线段的中点.
(1)证明：平面；
【详解】（1）如图：
连接交于点，连接，
则为的中点，又为线段的中点，则，
因为平面平面，
所以直线平面.
3．（24-25高一下·河北石家庄·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，，直线与所成的角的大小为．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积；
【详解】（1）连接，设与相交于点，连接．
四边形是菱形，为的中点．
是棱的中点，．
又平面，平面，
平面．
（2）直线与所成的角为，且，
就是直线与所成的角或其补角．
，，，，
在中，由正弦定理得，，
即，解得．
，即，从而．
四边形是菱形，且，
，
是等边三角形，从而．
又，，
．
，从而．
又，平面，平面，
平面．
取的中点为，连接
点为中点，
平面．
又且
求三棱锥的体积为．
4．（24-25高一下·海南海口·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，是的中点，，，．
(1)求证：∥平面；
(2)求三棱锥的体积．
【详解】（1）连接交于，且连接，则为的中点．
因为是的中点，所以为的中位线，所以，
又因为面，面，所以面
（2）因为，为的中点，所以，
又因为，所以，
因为，面，，所以面，
菱形中，，，所以，所以，
因为为的中点，所以点到面的距离为
又
所以
所以三棱锥的体积为．
5．（24-25高一下·河南三门峡·期末）如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，、为底面圆的两条直径，且，，P为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求圆锥的表面积．
【详解】（1）证明：连结.如下图示：
根据题意可知：、O分别为、的中点，
.
又平面，平面，
平面．
（2），P为的中点，
．
又S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，
根据圆锥的性质可得：平面，又平面，
所以，
，
圆锥的表面积．
6．（24-25高一下·甘肃天水·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
【详解】（1）证明：取中点，连接、.
因为中点，为中点，故为中位线，得且.
又底面是正方形，为中点，故且.
所以且，所以四边形为平行四边形，故.
又平面平面，故平面.
（2）取的中点，连接为的中位线，所以.
故异面直线与所成角等于与所成角，即.
在正方形中，且底面，故为直角三角形，
为中点，得.
由（1）知.为的斜边，，
故，所以.
又，所以.
在中，，由余弦定理得
所以异面直线与所成角的余弦值为.
7．（24-25高一下·四川绵阳·期末）如图，在棱长为2的正方体．中，点E，F，M分别为，，的中点．
(1)求证：平面；
【详解】（1）连接，取的中点，连接，
因为点E，F分别为，，的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
因为点M为的中点，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以且，
又且，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为N，F分别为，的中点，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面；
8．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，分别为，的中点．
(1)求证：平面；
(2)若平面，求多面体的体积．
【详解】（1）如图，取的中点，连接，
分别为，的中点，，
，则，
，，则，
四边形是平行四边形，则有，
又平面，平面，
平面.
（2）如图，过点作于点，
在等腰梯形，，，
所以，则，
所以，梯形的面积，.
因为平面，且为的中点，
所以四棱锥的高为，三棱锥的高为，
多面体的体积.
【题型2】证明面面平行
例题1．（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，如图E、F、G、H、M、N分别是相应棱的中点．求证：平面平面．
【详解】 连接、可知，，，且，平面，
平面，又平面，
．
同理，，平面，
平面．
同理平面
∴平面平面．
【针对训练】
1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知四棱柱的底面为菱形．
(1)求证：平面∥平面；
【详解】（1）由四棱柱的性质知，∥，
平面，平面，∥平面．
同理∥平面，
，平面，且，
∴平面∥平面．
2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，其中，且．，四边形是菱形，为的中点．求证：平面．
【详解】如图，取的中点，连接，．
在中，，，所以．
因为平面，平面，
所以平面，
在直角梯形中，，且，
所以四边形是平行四边形，所以．
因为平面，平面，
所以平面，
因为，平面，
所以平面平面．
又平面，所以平面．
3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，，，分别是棱，，的中点．求证：平面平面．
【详解】，分别是棱，的中点，
是的中位线，．
平面，平面，
平面．
同理可得平面．
又，平面，平面，
∴平面平面．
4．（24-25高一·全国·假期作业）如图所示，四边形为菱形，平面，平面.求证：平面平面；
【详解】由题意平面，平面，则，
又因为平面，平面，所以平面.
因为四边形为菱形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，，所以平面平面.
【课后综合】
1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，．
(1)求证：平面．
(2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由．
【详解】（1）因，，则，故，
在三棱柱中，，则，
因平面，平面，则平面.
（2）
如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下：
因，则，则，因平面， 平面，故平面，
由（1），因平面， 平面，故平面，
又平面，故平面平面.
2．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
【详解】（1）
法一：取中点，连接，，，
易知为中位线，故，且，
因为四边形是平行四边形，所以，，
故，又因为是的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
法二：连接，交于，连接，如下图：
因为四边形是平行四边形，所以为中点，
又因为为中点，所以为的中位线，
所以，
又因为平面，平面，所以平面，
因为四边形是平行四边形，所以为中点，
又因为是的中点，所以为的中位线，
所以，又因为平面，平面，
所以平面，又因为，
平面，平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面.
（2）连接，交于，连接，如下图：
因为四边形是平行四边形，所以是的中点，
又因为是的中点，所以为的中位线，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以.
3．（2026高三·全国·专题练习）如图，在六面体中，侧面是直角梯形，，，底面是矩形，且.设，二面角的大小为，六面体的体积为.求证：平面.
【详解】
因为底面是矩形，所以，
因为平面，平面，故平面，
在直角梯形中，，
因为平面，平面，故平面，
又因为，平面，
故平面平面，
又因为平面，故平面.
4．（2026高三·全国·专题练习）已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点.求证：平面.
【详解】取的中点，连接、，
因为点为棱的中点，且，所以且，
，平面，平面，
所以平面，同理可得平面.
因为平面，平面，且，
所以平面平面.
因为平面，所以平面.
5．（2023高一·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则；
【详解】
如图，延长交的延长线于，
连接交于，
则所在的直线即为平面与平面的交线.
证明：∵平面平面，平面平面，
平面平面，
∴.
又∵平面平面，平面平面，平面平面，
∴，∴.
6．（2022高三·河北·专题练习）如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求：
(1)正四棱锥的表面积；
(2)侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
【详解】（1）正四棱锥中，，，
侧面的高，
正四棱锥的表面积．
（2）
在侧棱上存在一点，使平面，满足．
理由如下：
取中点为，因为，则，
过作的平行线交于，连接，．
在中，有，
平面，平面，平面，
由于，．
又由于，
平面，平面，平面，
，平面平面，得平面，
7．（24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点．
(1)求证：平面.；
(2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
【详解】（1）证明：取中点，连和，可得且，
因为且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，且平面，所以平面.
（2）解：取中点，连接和，
因为和分别为和的中点，所以，
又因为平面，且平面，所以平面，
又由（1）可得∥平面，且，平面，
所以平面平面，
因为是上的动点，且平面，所以平面，
所以，当为中点时，平面．
8．（24-25高一下·浙江杭州·期中）四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F．
(1)求证：平面．
(2)求证：F是中点．
【详解】（1）由底面是平行四边形，所以，
又平面平面，
所以平面；
（2）由（1）有平面，
又平面，平面平面，
所以，
又E是中点，
所以F是中点.
9．（25-26高一下·全国·单元测试）在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，．
(1)求异面直线和所成角的大小；
(2)若点E为棱上一点，且平面，求的值．
【详解】（1）因为，所以异面直线和所成角为和所成角，即．
因为是正三角形，，
所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以是等腰直角三角形，
所以，
即异面直线和所成角为．
（2）因为平面，平面，
平面平面，所以，所以，
因为，，所以，
所以．
10．（22-23高一下·吉林通化·月考）如图所示，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形．
(1)求证：平面
(2)若且，为其所在棱的中点，求四边形面积.
【详解】（1）证明：因为截面是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，，
因为平面，且平面平面，所以，
又因为平面，EH在面EFGH内，所以平面.
（2）解：因为分别为的中点，且，
可得且，且，
因为，可得，所以四边形为矩形，
所以四边形的面积为.
11．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，
(1)求证：//平面；
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
【详解】（1）
连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且，
由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//，
又平面，平面，于是//平面.
（2）过作，垂足为，过作，垂足为,连接.
由面，面，故，又，，平面，则平面.
由平面，故，又，，平面，于是平面，
由平面，故.于是平面与平面所成角即.
又，，则，故，在中，，则，
于是
（3）[方法一：几何法]
过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为.
由题干数据可得，，，根据勾股定理，，
由平面，平面，则，又，，平面，于是平面.
又平面，则，又，，平面，故平面.
在中，，
又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍，
即点到平面的距离是.
[方法二：等体积法]
辅助线同方法一.
设点到平面的距离为.
，
.
由，即.
12．（2020·北京·高考真题）如图，在正方体中， E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【知识点】判断线面平行、由平面的基本性质作截面图形、线面角的向量求法、求线面角
【分析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；
（Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解 .
【详解】（Ⅰ）[方法一]：几何法
如下图所示：
在正方体中，且，且，
且，所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面；
13．（2010·浙江·高考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°．E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面A’DE；
（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值．
【详解】(1)证明:如图所示,取A′D的中点G,连接GF,GE,
由条件易知FG∥CD,FG=CD,BE∥CD,BE=CD,
所以FG∥BE,FG=BE,
故四边形BEGF为平行四边形,所以BF∥EG.
因为EG 平面A′DE,BF 平面A′DE,
所以BF∥平面A′DE.
(2)解:在平行四边形ABCD中,设BC=a,
则AB=CD=2a,AD=AE=EB=a.
连接CE,因为∠ABC=120°,
在△BCE中,可得CE=a.
在△ADE中,可得DE=a.
在△CDE中,因为CD2=CE2+DE2,所以CE⊥DE.
在正三角形A′DE中,M为DE的中点,所以A′M⊥DE.
由平面A′DE⊥平面BCD,
可知A′M⊥平面BCD,
所以A′M⊥CE.
取A′E的中点N,连接NM,NF,
则NF∥CE.则NF⊥DE,NF⊥A′M.
因为DE交A′M于点M,所以NF⊥平面A′DE,
则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角.
在Rt△FMN中,NF=a,MN=a,FM=a,
则cos∠FMN=,
所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为.
14．（2013·陕西·高考真题）如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
（1）证明: A1BD // 平面CD1B1;
（2）求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.
【详解】试题分析：（1）要证明⊥平面，只要证明垂直于平面内的两条相交直线即可，由已知可证出⊥BD，取的中点为，通过证明四边形为正方形可证⊥．由线面垂直的判定定理问题得证；（2）由已知是三棱柱ABD﹣A1B1D1的高，由此能求出三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积
试题解析：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=，由棱柱的性质可得BB1和DD1平行且相等，故四边形BB1D1D为平行四边形，故有BD和B1D1平行且相等．而BD不在平面CB1D1内，而B1D1在平面CB1D1内，∴BD∥平面CB1D1．同理可证，A1BCD1为平行四边形，A1B∥平面CB1D1．而BD和A1B是平面A1BD内的两条相交直线，故有平面A1BD∥平面CD1B1 ．
（Ⅱ）由题意可得A1O为三棱柱ABD﹣A1B1D1的高．三角形A1AO中，由勾股定理可得A1O===1，
∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积V=S△ABD A1O= A1O=×1=1．
考点：1．棱柱、棱锥、棱台的体积；2．直线与平面垂直的判定
15．（2012·浙江·高考真题）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝ ，M，N分别为PB，PD的中点．
(1)证明：MN∥平面ABCD；
(2) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．
【解析】(1)证明:连接BD,因为M、N分别是PB、PD的中点,所以MN是△PBD的中位线,所以MN∥BD.
又因为MN 平面ABCD,BD 平面ABCD,
所以MN∥平面ABCD.
(2)解: 在菱形ABCD中,∠BAD=120°,
得AC=AB=BC=CD=DA,
BD=AB.
又因为PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥AB,PA⊥AC,
PA⊥AD.
所以PB=PC=PD.
所以△PBC≌△PDC.
而M、N分别是PB、PD的中点,
所以MQ=NQ,
且AM=PB=PD=AN.
取线段MN的中点E,连接AE,EQ,
则AE⊥MN,QE⊥MN,
所以∠AEQ为二面角AMNQ的平面角.
由AB=2,PA=2,故在△AMN中,AM=AN=3,MN=BD=3,得AE=.
在直角△PAC中,AQ⊥PC,得AQ=2,QC=2,PQ=4,
在△PBC中,cos∠BPC==,
得MQ==.
在等腰△MQN中,MQ=NQ=,MN=3,
得QE==.
在△AEQ中,AE=,QE=,AQ=2,
得cos∠AEQ==.
所以二面角AMNQ的平面角的余弦值为.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页第11讲空间直线平面的平行
【题型1】线面平行的证明
例题1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，四棱锥的底面是菱形，平面，为的中点.
证明：平面；
例题2．（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，在长方体中，证明：直线平面.
【针对训练】
1．（2025高三·北京·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成的角.
2．（24-25高一下·河北·期末）如图，直三棱柱中，为线段的中点.
(1)证明：平面；
3．（24-25高一下·河北石家庄·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，，直线与所成的角的大小为．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积；
4．（24-25高一下·海南海口·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，是的中点，，，．
(1)求证：∥平面；
(2)求三棱锥的体积．
5．（24-25高一下·河南三门峡·期末）如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，、为底面圆的两条直径，且，，P为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求圆锥的表面积．
6．（24-25高一下·甘肃天水·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
7．（24-25高一下·四川绵阳·期末）如图，在棱长为2的正方体．中，点E，F，M分别为，，的中点．
(1)求证：平面；
8．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，分别为，的中点．
(1)求证：平面；
(2)若平面，求多面体的体积．
【题型2】证明面面平行
例题1．（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，如图E、F、G、H、M、N分别是相应棱的中点．求证：平面平面．
【针对训练】
1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知四棱柱的底面为菱形．
(1)求证：平面∥平面；
2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，其中，且．，四边形是菱形，为的中点．求证：平面．
3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，，，分别是棱，，的中点．求证：平面平面．
4．（24-25高一·全国·假期作业）如图所示，四边形为菱形，平面，平面.求证：平面平面；
【课后综合】
1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，．
(1)求证：平面．
(2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由．
2．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
3．（2026高三·全国·专题练习）如图，在六面体中，侧面是直角梯形，，，底面是矩形，且.设，二面角的大小为，六面体的体积为.求证：平面.
4．（2026高三·全国·专题练习）已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点.求证：平面.
5．（2023高一·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则；
6．（2022高三·河北·专题练习）如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求：
(1)正四棱锥的表面积；
(2)侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
7．（24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点．
(1)求证：平面.；
(2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
8．（24-25高一下·浙江杭州·期中）四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F．
(1)求证：平面．
(2)求证：F是中点．
9．（25-26高一下·全国·单元测试）在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，．
(1)求异面直线和所成角的大小；
(2)若点E为棱上一点，且平面，求的值．
10．（22-23高一下·吉林通化·月考）如图所示，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形．
(1)求证：平面
(2)若且，为其所在棱的中点，求四边形面积.
11．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，
(1)求证：//平面；
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
12．（2020·北京·高考真题）如图，在正方体中， E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
13．（2010·浙江·高考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°．E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面A’DE；
（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值．
14．（2013·陕西·高考真题）如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
（1）证明: A1BD // 平面CD1B1;
（2）求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.
15．（2012·浙江·高考真题）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝ ，M，N分别为PB，PD的中点．
(1)证明：MN∥平面ABCD；
(2) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
