第12讲空间直线平面的垂直
【题型1】线线垂直的证明
例题1．如图所示，在正方体中，.证明：
(1)；
(2)与是异面直线.
【详解】（1）如图所示，连接，
为正方体，
，
平面为平行四边形，
.
为正方形，
，
.
（2）由面，面，且面面，
又与不平行，与是异面直线.
例题2．如图，已知正方体.
（1）求与所成角的大小；
（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：.
【详解】解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以，
从而与所成的角为与所成的角，
由，可知.
故与所成的角为.
（2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以，
因为为的中位线，
所以.
又，
所以，
所以.
【针对训练】
1．已知正方体.
（1）求与所成的角.
（2）求证：.
【详解】（1）如图，连接，.因为是正方体，所以
所以四边形为平行四边形，所以.
因为都是正方形的对角线，
所以，即是正三角形，所以.
因为是锐角，所以是异面直线与所成的角，
所以与所成的角为60°.
（2）如图，取的中点E，设与交于点O，
连接因为O为的中点，所以.
因为，，所以，所以.
在等腰三角形中，O是的中点，
所以，所以.
因为是异面直线与所成的角，
所以与所成的角为90°，所以.
2．如图，已知在底面为菱形的直四棱柱中，，，若，求证：.
【详解】如图所示：连接.∵四边形为菱形，.
又为直角三角形
∴四边形为正方形.
连接交于点O.
（或其补角）为异面直线与所成的角.
∵四边形为正方形.
3．如图，在正方体中，分别是棱的中点，求证：.
【详解】如图所示：过点M作交于，连接
则为异面直线与所成的角或其补角.
设正方体棱长为a，计算得到，，，
所以，所以，即.
【题型2】线面垂直的证明
例题1．如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为．
(1)求证：平面；
(2)求点A到平面的距离．
【详解】（1）证明：平面，平面，
．
是圆O的直径，C为圆上一点，．
又，且平面
平面．
（2）如图所示，过点A作于点D，
平面，平面，
，
又平面
平面．
即为点A到平面的距离．
∴依题意知为与平面所成角，
即，，，
可得．
，
即点A到平面的距离为．
例题2．如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面．
【详解】连接，取的中点，连接，，如图所示，
因为，为的中点，所以，
同理，，为的中点，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，且，平面平面，
所以平面．
【针对训练】
1．如图，四棱柱中，底面四边形为菱形，，，，点E在线段上．
(1)证明：平面；
(2)当为何值时，平面，并求出此时三棱锥的体积．
【详解】（1）∵底面是菱形，，
．
，，，，
．
同理，．
又平面，平面，，
平面．
（2）连接交于点O，则是的中点.
连接，则平面平面.
因为平面，平面，所以．
所以点E为的中点，所以.
即当时，平面．
证明：当时，点E为的中点.
连接交于点O，则是的中点.
连接，则．
又平面，平面，
所以平面.
又由（1）知平面，
所以三棱锥的体积．
所以三棱锥的体积．
2．四棱锥中，底面是边长为1的正方形，且平面交于点．
(1)求证：直线平面；
(2)当三棱锥的体积取到最大值时，求四棱锥的表面积．
【详解】（1）连接，，平面，
平面，而平面，，
又，平面，
平面．
（2）
设与交于点，连接．设，，
则，等号成立时．
由面得
此时，
于是，
所以四棱锥的表面积为．
3．如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.求证：平面；
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
又四边形为直角梯形，且，，，
则，且，则，
在中，由余弦定理可得，
所以，即，
因为，，平面，所以平面.
【题型3】面面垂直的证明
例题1．如图，在三棱柱中，平面平面
（1）证明：平面平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
【详解】（1）由题知，四边形为菱形，则，
又平面平面，且AC为交线，，
则平面，又平面，
则，又，
则平面，又平面，
则平面平面；
（2）设，由（1）知，平面，
则即为与平面所成角，，
由，结合（1）中结论有，，
则，，三角形为正三角形，在菱形中，
，，，
由（1）知，平面，则，
延长，作于F点，则，
平面，从而
则即为二面角的平面角，
则，则
即二面角的余弦值为
例题2．如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点．
(1)求证：平面；平面平面；
(2)若二面角为，求四棱锥的体积．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
因为、分别为、中点，可得，
又因为平面，平面，所以平面，
因为平面，且平面，所以，
在正方形中，，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）解：取中点，连接，
因为为中点，为的中位线，所以，
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为是正方形，，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，所以，
在直角中，，
所以，所以，
即四棱锥的高为，
所以四棱锥的体积为.
【针对训练】
1．如图所示，在三棱锥中，平面，．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求二面角的正弦值．
【详解】（1）证明：平面，平面，
，又且．
平面．又平面平面平面．
（2）由（1）知为二面角的平面角．
在Rt中，，，．
即二面角的正弦值为．
2．如图所示，在空间四边形中，，，，，分别是，，的中点．求证：平面平面．
【详解】连接，．，，分别是，，的中点，且，
，且，
∴四边形为菱形，，
又，，，
又，．又，，平面，
平面，又平面，
∴平面平面．
3．如图，在四棱锥中，平面，，是以为斜边的等腰直角三角形．证明：平面平面．
【详解】由是以为斜边的等腰直角三角形，得，
由平面，平面，得，
而平面，
则平面，又平面，
所以平面平面．
4．如图，四棱锥中，，，．求证：平面平面；
【详解】因为在四棱锥中，，
所以四边形为等腰梯形，，因为，所以，所以，
则由余弦定理得，
在中，，于是，
因此，又，即，
而平面，
则平面，又平面，所以平面平面．
【课后巩固】
1．如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
【详解】（1）在正方体中，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为，所以，
因为，，平面，平面．
所以平面．
（2）因为平面，平面，
所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
同理可证，
又，平面，平面．
所以平面．
又平面，所以．
2．如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证：
【详解】图1中，在四边形中，，，所以四边形为平行四边形，
又因为，所以四边形为菱形，所以，，
所以在图2中，，，又平面，所以平面，
因为平面，所以，
又在四边形中，，，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以；
3．在三棱锥中，为等边三角形，平面ABC，将三角形PAC绕PA逆时针旋转至PAD位置（如图），且二面角的大小为90°．证明：A，B，C，D四点共面，且；
【详解】证明：平面，且平面，平面，
，，平面ACD，又，
平面，假设四点不共面，
平面，平面，
平面平面，与平面平面矛盾，故四点共面；
又，所以为二面角的平面角，
，即，又，且平面PAB，
平面，又平面，
.
4．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上，，求证：直线平面；
【详解】因底面是边长为2的菱形，且，
则是等边三角形，
又因是的中点，
则，
因，则，
因平面平面，
平面平面，平面，
故直线平面．
5．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面；
【详解】因为底面为正方形，所以，
又，且，平面，所以平面，
又平面，所以，
连接，易知，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又平面，则，
又因为，平面，所以平面．
6．如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点． 证明：；
【详解】连接，交于点，连接．
因为四边形是菱形，则，，
因为为的中点，则，
又，且，故得，
故四边形是平行四边形，则．
又平面平面，平面平面，
，平面，
则平面，又平面，
则，故．
7．如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：；
(3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面.
【详解】（1）在菱形中，, 为的中点，
所以，又平面⊥平面，平面∩平面，平面，所以平面.
（2）如图，连接
因为为正三角形, 为线段的中点，
所以，由（1）知，又，平面，
所以平面，因为平面，所以.
（3）如图，连接，，，
在中，，在菱形中，，
而平面，平面，，平面，
平面，，所以平面平面，
因为平面平面，平面平面，
因为平面，，所以平面，
又平面，
所以平面平面，所以平面平面.
8．如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）因为为中点，，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
（2）在直角三角形中，
∵，∴，∴．
又三角形的面积
由（1）知，平面，
所以三棱锥的高为．
所以.
（3）过点作交于点，则；
过点作交于点，连接，则；如下图所示：
因为平面，平面，
所以平面．
又因为，平面，平面，
所以平面．
因为，平面，平面，
所以平面平面．
因为平面，所以平面．
所以在上存在点，使得平面，且．
9．如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点. 证明：平面.
【详解】因为四边形是菱形，，且，则可得.
在直四棱柱中，平面平面，
且平面平面，平面，故平面.
又因平面，所以.
因为四边形是矩形，，，，分别为，的中点，
所以，所以，
因为，所以，故，即，
因为，且平面，所以平面.
10．如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面；
【详解】在等腰梯形中，，，
则四边形是平行四边形，则，
因为，所以为等边三角形，则
因为为中点，所以，
在等腰梯形中，可得
连接，在中，
由余弦定理可得：，
则，所以，则．
因为、分别是、中点，所以，所以，
从而可得，，
因为，、平面，所以平面.
11．如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点.
(1)求四棱锥的体积；
(2)证明：；
【详解】（1）因为侧面是边长为2的正三角形，为的中点，
所以，，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，即为棱锥的高，
因为底面为正方形，
所以四棱锥的体积为；
（2）因为平面，平面，所以，
在正方形中，易知与全等，
所以，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以.
12．如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC；
【详解】连接，延长交于点，由为底面圆的直径，得，
由，得，，
又，则平分，，
又，则为正三角形，是其中心，
于是是中点，，
而平面，平面，则，
又,且,平面，所以平面.
13．如图，在中，．将沿AD翻折至．求证：平面；
【详解】，∴，，
由余弦定理得，
故，
，即，翻折后，
又平面，
所以平面.
14．如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连.
(1)证明：；
(2)求平面与底面所成角的余弦值.
【详解】（1）已知底面，底面，所以，
又，平面，
故平面.
又平面，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，则，
又，平面,
平面，
又平面，，
（2）如图，设点在底面的投影分别是，
由题意知分别在上，
由（1）知平面，平面，则，
由于，故是的中点，则是的中点，
在中，，，
，
，
故，
由于，，
则，故，
在中，，，
，
记平面与底面所成角为，.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页第12讲空间直线平面的垂直
【题型1】线线垂直的证明
例题1．如图所示，在正方体中，.
证明：(1)；
(2)与是异面直线.
例题2．如图，已知正方体.
（1）求与所成角的大小；
（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：.
【针对训练】
1．已知正方体.
（1）求与所成的角.
（2）求证：.
2．如图，已知在底面为菱形的直四棱柱中，，，若，求证：.
3．如图，在正方体中，分别是棱的中点，求证：.
【题型2】线面垂直的证明
例题1．如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为．
(1)求证：平面；
(2)求点A到平面的距离．
例题2．如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面．
【针对训练】
1．如图，四棱柱中，底面四边形为菱形，，，，点E在线段上．
(1)证明：平面；
(2)当为何值时，平面，并求出此时三棱锥的体积．
2．四棱锥中，底面是边长为1的正方形，且平面交于点．
(1)求证：直线平面；
(2)当三棱锥的体积取到最大值时，求四棱锥的表面积．
3．如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.求证：平面；
【题型3】面面垂直的证明
例题1．如图，在三棱柱中，平面平面
（1）证明：平面平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
例题2．如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点．
(1)求证：平面；平面平面；
(2)若二面角为，求四棱锥的体积．
【针对训练】
1．如图所示，在三棱锥中，平面，．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求二面角的正弦值．
2．如图所示，在空间四边形中，，，，，分别是，，的中点．求证：平面平面．
3．如图，在四棱锥中，平面，，是以为斜边的等腰直角三角形．证明：平面平面．
4．如图，四棱锥中，，，．求证：平面平面；
【课后巩固】
1．如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
2．如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证：
3．在三棱锥中，为等边三角形，平面ABC，将三角形PAC绕PA逆时针旋转至PAD位置（如图），且二面角的大小为90°．证明：A，B，C，D四点共面，且；
4．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上，，求证：直线平面；
5．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面；
6．如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点． 证明：；
7．如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：；
(3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面.
8．如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
9．如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点. 证明：平面.
10．如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面；
11．如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点.
(1)求四棱锥的体积；
(2)证明：；
12．如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC；
13．如图，在中，．将沿AD翻折至．求证：平面；
14．如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连.
(1)证明：；
(2)求平面与底面所成角的余弦值.
试卷第1页，共3页
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