第13讲空间角与距离
【题型1】求异面直线所成的角
例题1．如图，分别是空间四边形中的中点，，求异面直线与所成角的大小.
【详解】如图，取中点，连接，又分别是的中点，
所以，则异面直线与所成角为或其补角，
由，则，
又异面直线所成角范围为，则异面直线与所成角为.
【针对训练】
1．如图，在四面体中，，， 分别为 的中点
(1)求证：直线和为异面直线.
(2)求直线和所成角的大小.
【详解】（1）由平面，故平面，而平面，，
又平面，故平面，故直线和为异面直线；
（2）取中点，连接、，由于、分别为、的中点，
所以，且，
故直线和所成角，即或其补角，
因为，故，因为，故，故，
所以直线和所成角为.
2．如图，在正三棱柱中，，为棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【详解】（1）连接交于，连接，易得为中点．
在正三棱柱中，因为、分别为、中点，所以
又因为平面，平面，所以平面
（2）取中点，连接．
在正三棱柱中，设，因为、分别为、中点，
可得，且，所以四边形是平行四边形
所以，或其补角即为异面直线与所成的角．
在中，，
满足，
则是直角三角形，
所以．
即异面直线与所成角的余弦值为．
3．如图，在三棱锥中，底面，若二面角的大小为30°，，，，是上靠近点的三等分点，是上的一点，且.
(1)求直线与直线所成角的余弦值；
(2)求三棱锥P－MNC的体积.
【详解】（1）由底面，且底面，所以，
又由，，且平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
所以即为二面角的平面角，所以，
在直角中，由，可得，
在直角中，由，可得，
在直角中，由，可得，
则，
设异面直线与所成的角为，
则.
（2）因为，可得点到平面的距离等于点到平面的距离的，
过点作，
因为底面，且底面，所以，
因为，且平面，所以平面，
即为点到平面的距离，
在直角中，可得，所以，
又由是上靠近点的三等分点，可得，
所以三棱锥的体积为.
4．如图，在正方体中，是的中点．
(1)求异面直线和所成角的大小；
(2)求证：平面；
(3)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．
【详解】（1）连接，在正方体中，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以或其补角即为异面直线和所成角，
又为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为；
（2）连接，设直线交直线于点，连接，
因为在正方体中，底面是正方形，所以为中点，
又因为为的中点，所以，
又因为平面平面，所以直线平面．
（3）.因为正方体的棱长为1，所以.
所以，
故三棱锥的体积为
5．如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长．
【详解】因为分别是三棱锥的棱的中点，
所以为的中位线，故且，
同理GH为的中位线，故且，
所以，所以四边形是平行四边形且．
同理且．
因为与所成的角为，所以或，
当时，为等边三角形，故；
当时，为等腰三角形，故．
6．在四棱柱中，侧面都是矩形，底面是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求.
【详解】解：连接、，
在四棱柱中，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
所以，异面直线和所成的角为，
因为四边形、均为矩形，则，，
在菱形中，，，
由余弦定理可得，
设，则，
因为，由勾股定理可得，即，解得.
【题型2】求线面角
例题1．如图.已知正方体.
(1)求与底面所成的角；
(2)设正方体的棱长为a，求与底面所成的角的余弦值.
【详解】（1）因为底面，所以是与底面所成的角.
因为侧面是正方形，所以.
即与底面所成的角为.
（2）如图，连接，则.
因为底面，
所以是与底面所成的角，同时.
在中，，，，
所以，即与底面所成角余弦值为.
【针对训练】
1．如图，在正四面体中，是棱的中点，求直线与底面所成的角的正弦值．
【详解】解：设正四面体的棱长为1．
如图，作平面，垂足为，
则是的重心，故.
过点作，，
则平面．连接，
于是就是直线与底面所成的角．
在Rt中，，
．
∴直线与底面所成的角的正弦值为．
2．如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面.
又平面，所以.
（2）连接.
因为是等边三角形，点为棱的中点，所以，.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
所以即为直线与平面所成的角.
在中，.
在中，.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
3．如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证：
(1)平面；
(2)若平面与平面的交线，求与平面所成的角.
【详解】（1）连接 ，交于点，
可知四边形是平行四边形，可得为 中点，
又是的中点，则，又平面，平面，
所以平面．
（2）
延长交于，连接，则平面，平面，
又平面，平面，
则直线即为直线．由，且，则，
又且，所以且，
则四边形为平行四边形，故，
所以与平面所成的角与与平面所成的角相等，
因为，又平面，平面，
故，又，平面，
所以平面，
故为与平面所成的角．
因为，所以．
即与平面所成的角为．
4．如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
又四边形为直角梯形，且，，
则，所以，
因为，所以，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，即，
因为，，平面，所以平面.
（2）取的中点，连接，
因为为的中点，所以，由（1）知平面，则平面，
所以为直线与平面所成的角.
又平面，所以，
因为，，
又，
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【题型3】求二面角的大小
例题1．如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，点是延长线上一点，且．求二面角的大小．
【详解】如图，过点作于，连接，
在正三棱柱中，平面，所以是在平面内的射影，
结合，可得，所以是二面角的平面角，
因为，所以是的中点，所以是的中位线，
所以，在中，，
所以，即二面角的大小为60°．
【针对训练】
1．如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连.
(1)证明：；
(2)求平面与底面所成角的余弦值.
【详解】（1）已知底面，底面，所以，
又，平面，
故平面.
又平面，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，则，
又，平面,
平面，
又平面，，
（2）如图，设点在底面的投影分别是，
由题意知分别在上，
由（1）知平面，平面，则，
由于，故是的中点，则是的中点，
在中，，，
，
，
故，
由于，，
则，故，
在中，，，
，
记平面与底面所成角为，.
2．如图，正四棱锥中，，．点在上，．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值；
【详解】（1）因为四棱锥是正四棱锥，且，
则底面，则，
又，所以，
所以，
又因为点在上，，所以，
在中，，
在中，，
所以，所以，
同理， 平面，
所以平面；
（2）因为，，
所以二面角的平面角为，
又由（1）知，，
所以在中，，
所以二面角的余弦值.
3．如图，在三棱锥中，平面平面，点是BC边的中点，连接.
(1)求证：平面；
(2)求平面ABD与平面ADE夹角的正弦值.
【详解】（1）由题知，平面平面，
又平面平面，平面，又，
根据面面垂直的性质定理，平面，
又平面，则，
又，平面，，
根据线面垂直的判定定理，平面
（2）
分别取中点，连接，
由中位线性质可知，，又，则；
由于平面，平面，则，
又，且点是边的中点，
则分别为直角三角形斜边上的中线，
则，
又，则，
则是平面与平面夹角.
又，
可求得，，
由中位线可知，则，则，
故二面角的正弦值为
4．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面，M是PD的中点．
(1)求证：平面PCD；
(2)求侧面PBC与底面夹角的正切值．
【详解】（1）在正方形中，易知，
又侧面底面，侧面底面，平面ABCD，
所以平面，
又平面，所以，
又是正三角形，是的中点，可得，
又，且平面PCD，
所以平面PCD．
（2）取的中点分别为，连接，如下图所示：
则，
又是正三角形，，
显然，且平面，所以平面，
在正方形中，，故平面，
即是侧面与底面的夹角的平面角，
又因为平面，，平面，
又平面，可得，
设正方形ABCD的边长为，则，
则，
故侧面与底面夹角的正切值为.
5．如图，在正三棱柱中，为棱的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值.
【详解】（1）因为为等边三角形，为中点，所以.
又三棱柱为正三棱柱，所以平面，
又平面，所以.
因为平面，，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）过作，垂足为，连接.如图：
因为，所以，所以，
.
所以，，
设二面角，则，
所以，
所以.
6．如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，是的中点.
(1)求证：平面平面
(2)求二面角的余弦值.
(3)点在直线上，且平面，求出的长.
【详解】（1）四边形是直角梯形，，
，，
平面，平面，
，又，，平面，
平面，又平面，
平面平面
（2）由可知平面，
，平面，，，
为二面角的平面角，
，，
，
二面角的余弦值为
（3）连接交于O，过O作交于，连接，
由平面，平面，得平面
，，
又，，
7．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面为线段的中点，.
(1)证明：无论取何值，均有平面平面；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
【详解】（1）因为为线段的中点，所以，
又因为底面，底面，
所以，又因为平面，
所以平面，又因为平面，所以，
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
即无论取何值，均有平面平面；
（2）因为平面，平面，
所以即二面角的平面角就是，
若平面与平面夹角的余弦值为，则，
因为平面，又因为平面，所以，
即，因为，
所以，根据勾股定理可得：，
又因为，，所以.
8．在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，，为的中点，分别是的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的大小．
【详解】（1）如下图所示，连接，
因为分别是的中点，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）
如图所示，过点作于点，过点作于点，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，设，
因为，中，，则，所以，
因为，中，，所以，
因为为的中点，所以，
，，则，
故二面角的大小为．
9．如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，D、E分别是棱AB和棱的中点．
(1)求三棱柱的体积与表面积；
(2)求证：平面平面；
(3)求二面角的余弦值的大小．
【详解】（1）由题，
；
三棱柱表面积为：；
（2）因D为中点，结合题意，可得，
又平面，平面，则.
因平面，，则平面.
又平面，则平面平面；
（3）由（2）可得平面，因平面，
则，从而为二面角的平面角.
如图，连接，由题可得，
，由余弦定理，.
【题型4】求点到平面的距离
例题1．如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为．
(1)求证：平面；
(2)求点A到平面的距离．
【详解】（1）证明：平面，平面，
．
是圆O的直径，C为圆上一点，．
又，且平面
平面．
（2）如图所示，过点A作于点D，
平面，平面，
，
又平面
平面．
即为点A到平面的距离．
∴依题意知为与平面所成角，
即，，，
可得．
，
即点A到平面的距离为．
【针对训练】
1．如图所示，已知为外一点，，，两两垂直，，求点到平面的距离．
【详解】如图所示，过作平面于点，
连接，，，
，，
，
，
，为的外心．
又，，两两垂直，，
为正三角形，．
∴点到平面的距离为．
2．如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离．
【详解】（1）连接，
∵是正方形，，分别是棱，的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵是的中点，∴，
∵平面，平面，
∴平面，平面，
∵，直线平面，
∴平面平面，∵平面，
∴平面．
（2）设点到平面的距离为，
因为分别是的中点，
所以，
因为底面，
所以底面，因为底面，
所以，
因为底面为正方形，，分别是的中点
所以，，
因为，
所以，
.
3．如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)求点B到平面PCF的距离.
【详解】（1）证明：取中点，连接、，
由于是的中点，则，，
由于，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
由于，平面，
所以平面.
（2）设点到平面的距离为，
因为平面，平面，所以，
由于，，所以四边形是平行四边形，
由于，所以，
由于平面，
所以平面，
又平面，所以，
在中，，所以，又.
由得，
即，
所以，即点B到平面的距离为.
4．如图，在四棱锥中，平面，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求点到平面的距离.
【详解】（1）证明：取中点，连接，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，即，
∵平面，平面，
∴平面
（2）证明：∵平面平面，
∴
∵，，，
∴，
∴，即
∵，平面，平面，
∴平面，
（3）解：设点到平面的距离为，
∵，平面，平面，
∴平面，
∴
∵∵平面平面，
∴
∵，，平面，平面，
∴平面，
∵，，
∴，
∴，即点到平面的距离为
5．如图，在梯形中，，平面，且.
(1)求直线到平面的距离；
(2)求点到直线的距离；
(3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为.
【详解】（1）作于，由平面，得，
，，平面，则，
又，平面，即的长为点到平面的距离，
也即直线到平面的距离，在等腰直角三角形中，，
直线到平面的距离为；
（2）
作于，则的长即为点到的距离，
在中，，，，
，
即点到直线的距离为；
（3）
在线段上存在一点，满足，使点到平面的距离为.
证明如下:
假设在线段上存在一点，使点到平面的距离为，
设，
过于，在中，，
可得，，则，
由（2）知，，若存在满足题意的，则只需平面即可，
，，在中，由余弦定理可得，
若，在中，
即，解得，
即在上存在一点，当时，，
又，，平面，得，
又，，平面，
即点到平面的距离为，满足条件.
故在线段上存在一点，满足，使点到平面的距离为.
【题型5】求线面距离
例题1．如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线到平面的距离．
【详解】（1）在直三棱柱中，连接，交于点N，连接，如图：
则N为的中点，而M为的中点，则，又平面，平面，
所以平面．
（2）连接，由，得，又平面，平面，
则，又平面，因此平面，
又平面，则，又，则是等腰直角三角形，
，，，
，设点A到平面的距离为d，
由，得，解得，
由平面，得直线到平面的距离即为点A到平面的距离，
所以直线到平面的距离为．
例题2．如图，已知三棱锥中，平面为中点，为中点，为中点.
(1)证明:平面平面
(2)求直线到平面的距离.
【详解】（1）因为为中点，为中点，为中点.
所以，平面，平面，
所以平面，同理可证平面，
因为，平面
所以平面平面
（2）平面平面，
平面平面
所以，因为平面，
所以平面，由（1）可知平面
所以为直线到平面的距离，
因为为中点，则，
直线到平面的距离为.
【针对训练】
1．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)求直线到平面的距离.
【详解】（1）连接，并交于点，
因为四边形为正方形，则为的中点，
又因为为的中点，所以，
因为平面，平面，因此平面.
（2）因为平面，直线到平面的距离即点到平面的距离，
取的中点，连接，如下图所示：
因为、分别为、的中点，所以，，
，
因为平面，所以平面，
所以.
因为平面，平面，所以，
因为四边形为正方形，则，
因为，、平面，故平面，
因为平面，所以，
因为，为的中点，所以，
因为，、平面，故平面，
因为平面，所以，
因为平面，平面，所以，
所以，，
因为平面，平面，所以，
故，
所以，
设点到平面的距离为，则，解得，
因此，直线与平面的距离为.
3．四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点，
(1)证明：平面；
(2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离．
【详解】（1）证明：连接交于点，连接
因为四边形是正方形，所以是的中点
因为是的中点，所以
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为在底面上的投影为底面中心，所以平面
因为平面，所以，
由（1）知，平面，
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离
因为为正方形，所以
因为平面，平面，，
所以平面，
所以点到平面的距离即线段的长度
在正方形中，，
所以，所以直线到平面的距离为
4．已知三棱锥中，与底面所成角相等，，为中点，点在上且截面.
(1)求证：平面；
(2)求直线到平面的距离.
【详解】（1）与底面成相等的角，设点在平面上射影为，
则有，
∴
且，
∴是的外心.
是直角三角形，且是斜边的中点，
∴点和点重合，
∴平面.
（2）法一：由（1）平面，平面，则，
又，，平面，
∴平面，又平面，则①.
且，又，
也是等腰直角三角形，，，
截面，过的平面与平面交于，
，则②，
由①②，都在面内，则平面，
∴点到平面的距离即，
，且由知是中点，
∴.点到平面的距离为.
∴平面，
∴到平面的距离即为点到面的距离，即为.
法二：截面，过的平面与平面交于，
∴，是中点，则是中点，故，
由（1）平面，又平面，
∴，又，，平面，
∴平面，平面，
，且，
，
∵，
因为是中点，平面，
所以点到平面的距离为，
设点到面的距离为，
，
∴，故，
∵平面，
∴到平面的距离即为C点到面的距离，即为.
【题型6】求面面距离
例题1．如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且ED⊥平面，点G是CD的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面的距离．
【详解】（1）∵，是的中点，，即，
∴四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，平面，∴平面，
∵直角梯形与梯形全等，，，
∴四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，平面，
∴平面，∵平面，
∴平面平面；
（2）设点到平面的距离为，
平面，平面，故,
知，
由于直角梯形与梯形全等，故，
由，得，
即，
∵平面平面，∴平面与平面间的距离等于点到平面的距离，
故平面与平面间的距离为．
【针对训练】
1．如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的距离．
【详解】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面，
又，平面平面，平面，
平面，
又平面，
，
，
在和中，，
，即，
又，平面
平面．
（2）解：由题意知，
在中，，
又，，
平面，平面，
平面，
、分别为、的中点，
，又，
，
平面，平面，
平面，
平面，平面，，
平面平面．
平面，平面平面，
平面，
为平行平面与之间的距离，
，
即平面与之间的距离为．
2．如图，正方体中，.
（1）求证：平面平面；
（2）求两平面与之间的距离.
【详解】(1)正方体中，且不在平面内，
所以平面
同理可得，平面
又
平面平面 ；
（2）如图，设，连接，
，
平面，，
又正方体中，平面，
，又，
平面，根据（1），平面平面
平面，
图中线段EF为两平面的公垂线段，线段EF的长即为两平面间的距离，
平行四边形中，分别是的中点，
是线段的三等分点，
，
两平面与之间的距离为.
3．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，，的中点，点在棱上，且，，.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求平面与平面的距离.
【详解】（1）证明：在直三棱柱中，
为的中点，，，
故，
因为，
所以，
又平面，平面，
所以，
又因，，
所以平面，
又平面，所以，
又，
所以平面；
（2）证明：取的中点，连接，
则为的中点，
因为，，分别为，，的中点，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为，所以，
又平面，平面，
所以平面，
又因，平面，平面，
所以平面平面；
（3）设，
因为平面，平面平面，所以平面，
所以即为平面与平面的距离，
因为平面，所以，
，
所以，
即平面与平面的距离为.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页第13讲空间角与距离
【题型1】求异面直线所成的角
例题1．如图，分别是空间四边形中的中点，，求异面直线与所成角的大小.
【针对训练】
1．如图，在四面体中，，， 分别为 的中点
(1)求证：直线和为异面直线.
(2)求直线和所成角的大小.
2．如图，在正三棱柱中，，为棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
3．如图，在三棱锥中，底面，若二面角的大小为30°，，，，是上靠近点的三等分点，是上的一点，且.
(1)求直线与直线所成角的余弦值；
(2)求三棱锥P－MNC的体积.
4．如图，在正方体中，是的中点．
(1)求异面直线和所成角的大小；
(2)求证：平面；
(3)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．
5．如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长．
6．在四棱柱中，侧面都是矩形，底面是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求.
【题型2】求线面角
例题1．如图.已知正方体.
(1)求与底面所成的角；
(2)设正方体的棱长为a，求与底面所成的角的余弦值.
【针对训练】
1．如图，在正四面体中，是棱的中点，求直线与底面所成的角的正弦值．
2．如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
3．如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证：
(1)平面；
(2)若平面与平面的交线，求与平面所成的角.
4．如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【题型3】求二面角的大小
例题1．如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，点是延长线上一点，且．求二面角的大小．
【针对训练】
1．如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连.
(1)证明：；
(2)求平面与底面所成角的余弦值.
2．如图，正四棱锥中，，．点在上，．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值；
3．如图，在三棱锥中，平面平面，点是BC边的中点，连接.
(1)求证：平面；
(2)求平面ABD与平面ADE夹角的正弦值.
4．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面，M是PD的中点．
(1)求证：平面PCD；
(2)求侧面PBC与底面夹角的正切值．
5．如图，在正三棱柱中，为棱的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值.
6．如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，是的中点.
(1)求证：平面平面
(2)求二面角的余弦值.
(3)点在直线上，且平面，求出的长.
7．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面为线段的中点，.
(1)证明：无论取何值，均有平面平面；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
8．在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，，为的中点，分别是的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的大小．
9．如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，D、E分别是棱AB和棱的中点．
(1)求三棱柱的体积与表面积；
(2)求证：平面平面；
(3)求二面角的余弦值的大小．
【题型4】求点到平面的距离
例题1．如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为．
(1)求证：平面；
(2)求点A到平面的距离．
【针对训练】
1．如图所示，已知为外一点，，，两两垂直，，求点到平面的距离．
2．如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离．
3．如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)求点B到平面PCF的距离.
4．如图，在四棱锥中，平面，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求点到平面的距离.
5．如图，在梯形中，，平面，且.
(1)求直线到平面的距离；
(2)求点到直线的距离；
(3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为.
【题型5】求线面距离
例题1．如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线到平面的距离．
例题2．如图，已知三棱锥中，平面为中点，为中点，为中点.
(1)证明:平面平面
(2)求直线到平面的距离.
【针对训练】
1．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)求直线到平面的距离.
3．四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点，
(1)证明：平面；
(2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离．
4．已知三棱锥中，与底面所成角相等，，为中点，点在上且截面.
(1)求证：平面；
(2)求直线到平面的距离.
【题型6】求面面距离
例题1．如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且ED⊥平面，点G是CD的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面的距离．
【针对训练】
1．如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的距离．
2．如图，正方体中，.
（1）求证：平面平面；
（2）求两平面与之间的距离.
3．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，，的中点，点在棱上，且，，.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求平面与平面的距离.
试卷第1页，共3页
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