28.2.2与方向角、坡角有关的解直角三角形应用题(第2课时)导学案
文档属性
| 名称 | 28.2.2与方向角、坡角有关的解直角三角形应用题(第2课时)导学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 85.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-11-12 20:44:18 | ||
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文档简介
第2课时 与方向角、坡角有关的解直角三角形应用题
1.能运用解直角三角形解决航行问题.
2.能运用解直角三角形解决斜坡问题.
3.理解坡度i==tan坡角.
阅读教材P76，自学“例5”和“归纳”，掌握利用解直角三角形的知识解决方位角的实际问题.
自学反馈 独立完成后小组内交流
①利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
a.将实际问题抽象为数学问题，画出图形，转化为解 的问题；
b.根据条件的特点，适当地选用 去解直角三角形；
c.得到数学问题的答案；
d.最后得到 问题的答案.
②已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的 方向.
活动1 小组讨论
例1 如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？
解:如图,过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.
在Rt△ABD中,∵tan∠BAD=,
∴BD=AD·tan55°.
在Rt△ACD中,∵tan∠CAD=,
∴CD=AD·tan25°.
∵BD=BC+CD,
∴AD·tan55°=20+AD·tan25°.
∴AD=≈20.79>10.
∴轮船继续向东行驶,不会遇到触礁危险.
应先求出点A距BC的最近距离，若大于10则无危险，若小于或等于10则有危险
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
如图所示，A、B两城市相距100 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB).经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内，请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？(参考数据:≈1.732,≈1.414)
解这类题目时，首先弄清楚方位角的含义；其次是通过作垂线构造直角三角形，将问题转化为解直角三角形.
阅读教材P77练习2，自学关于坡度的问题，弄懂坡度与坡角的实际意义，理解铅垂高度与水平宽度的实际意义.
自学反馈 独立完成后小组内交流
①拦水大坝的横断面为梯形，其中坡度i是指 与 的比，这个值与坡角的 值相等.
②坡度i一般写成1∶m的形式，坡度i的值越大，表明坡角越 ，即坡越陡.
③已知一大坝的坡角为45°，则它的坡度i的值等于 .
通过书上的例题掌握“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的方法来解决一些实际和数学问题.
活动1 小组讨论
例2 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i′=1∶2.5，求斜坡AB的坡角α，坝底宽AD和斜坡AB的长.(精确到0.1 m)
解:如图,过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD于点F,
在Rt△ABE和Rt△CDF中,=,=,
∴AE=3BE=3×23=69(m),FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m).
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).
∵斜坡的坡度i=≈0.333 3,
∴=0.333 3,即tanα=0.333 3.
∴α≈18°26′.
∵=sinα,
∴AB=≈≈72.7(m).
答:斜坡AB的坡角α约为18°26′,坝底宽AD为132.5 m,斜坡AB的长约为72.7 m.
这类问题，首先要弄清楚坡度、坡角等名词的含义；其次，要将梯形予以分割，分割成特殊的四边形和直角三角形.
活动2 跟踪训练
如图，已知在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400 m到点D处，测得点A的仰角为60°，求出AB的高度.
第2小题，要过点D作AB和BC的垂线，构造两个直角三角形和一个矩形，将AB分成两段来求.
活动3 课堂小结
1.本节学习的数学知识:利用解直角三角形的知识解决实际问题.
2.本节学习的数学方法:数形结合的思想和数学建模的思想.
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
【预习导学1】
自学反馈
①直角三角形 锐角三角函数等 实际
②北偏东40°
【合作探究1】
活动2 跟踪训练
过点P作PD垂直AB于点D，可求得PD≈63.4 m>50 m，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.
【预习导学2】
自学反馈
①坡面的铅垂高度 它的水平宽度 正切
②大
③1
【合作探究2】
活动2 跟踪训练
AB=(200+200)m
1.能运用解直角三角形解决航行问题.
2.能运用解直角三角形解决斜坡问题.
3.理解坡度i==tan坡角.
阅读教材P76，自学“例5”和“归纳”，掌握利用解直角三角形的知识解决方位角的实际问题.
自学反馈 独立完成后小组内交流
①利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
a.将实际问题抽象为数学问题，画出图形，转化为解 的问题；
b.根据条件的特点，适当地选用 去解直角三角形；
c.得到数学问题的答案；
d.最后得到 问题的答案.
②已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的 方向.
活动1 小组讨论
例1 如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？
解:如图,过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.
在Rt△ABD中,∵tan∠BAD=,
∴BD=AD·tan55°.
在Rt△ACD中,∵tan∠CAD=,
∴CD=AD·tan25°.
∵BD=BC+CD,
∴AD·tan55°=20+AD·tan25°.
∴AD=≈20.79>10.
∴轮船继续向东行驶,不会遇到触礁危险.
应先求出点A距BC的最近距离，若大于10则无危险，若小于或等于10则有危险
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
如图所示，A、B两城市相距100 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB).经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内，请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？(参考数据:≈1.732,≈1.414)
解这类题目时，首先弄清楚方位角的含义；其次是通过作垂线构造直角三角形，将问题转化为解直角三角形.
阅读教材P77练习2，自学关于坡度的问题，弄懂坡度与坡角的实际意义，理解铅垂高度与水平宽度的实际意义.
自学反馈 独立完成后小组内交流
①拦水大坝的横断面为梯形，其中坡度i是指 与 的比，这个值与坡角的 值相等.
②坡度i一般写成1∶m的形式，坡度i的值越大，表明坡角越 ，即坡越陡.
③已知一大坝的坡角为45°，则它的坡度i的值等于 .
通过书上的例题掌握“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的方法来解决一些实际和数学问题.
活动1 小组讨论
例2 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i′=1∶2.5，求斜坡AB的坡角α，坝底宽AD和斜坡AB的长.(精确到0.1 m)
解:如图,过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD于点F,
在Rt△ABE和Rt△CDF中,=,=,
∴AE=3BE=3×23=69(m),FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m).
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).
∵斜坡的坡度i=≈0.333 3,
∴=0.333 3,即tanα=0.333 3.
∴α≈18°26′.
∵=sinα,
∴AB=≈≈72.7(m).
答:斜坡AB的坡角α约为18°26′,坝底宽AD为132.5 m,斜坡AB的长约为72.7 m.
这类问题，首先要弄清楚坡度、坡角等名词的含义；其次，要将梯形予以分割，分割成特殊的四边形和直角三角形.
活动2 跟踪训练
如图，已知在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400 m到点D处，测得点A的仰角为60°，求出AB的高度.
第2小题，要过点D作AB和BC的垂线，构造两个直角三角形和一个矩形，将AB分成两段来求.
活动3 课堂小结
1.本节学习的数学知识:利用解直角三角形的知识解决实际问题.
2.本节学习的数学方法:数形结合的思想和数学建模的思想.
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.
【预习导学1】
自学反馈
①直角三角形 锐角三角函数等 实际
②北偏东40°
【合作探究1】
活动2 跟踪训练
过点P作PD垂直AB于点D，可求得PD≈63.4 m>50 m，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.
【预习导学2】
自学反馈
①坡面的铅垂高度 它的水平宽度 正切
②大
③1
【合作探究2】
活动2 跟踪训练
AB=(200+200)m