(共11张PPT)
第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
第3课时 勾股定理的应用（2）
基础达标
能力提升
拓展探究
1.在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0),点B的坐标为(0,-3),则AB的长为( ).
A.3 B.4 C.5 D.
2.如图,在边长为1的小正方形网格中,各点均在网格线的交点处,则与点A的距离为的点是( ).
A.点B1 B.点B2
C.点B3 D.点B4
C
A
3.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,分别以四边形的四条边
为边向外作四个正方形,其面积分别记为S1,S2,S3,S4.若S1=2,S2=4,S4=11,
则BC的长为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
C
4.如图,将△ABC放在平面直角坐标系中,B,C两点在x轴上,
点A在y轴上.已知AC=BC,AB=5,点A的坐标为(0,3),则点C
的坐标为 .
5.如图,网格中的小正方形的边长均为1,小正方形的顶点叫作格点,若△ABC的三个顶点都在格点上,则AB边上的高为 .
6.在数轴上画出表示的点.
解:如图.
7.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,求高AD的长.
解:∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD=BC=6.在Rt△ABD中,根据勾股定理,AD===8.
8.如图,网格中每个小正方形的边长均为1,以A为圆心,AB为半径作弧,交CE于点D,则ED的长为( ).
A.
B.2
C.
D.无法确定
A
9.(教材改编)如图,一只蚂蚁沿着棱长为1的正方体表面从点A出发,经过3个侧面爬到点B,若它运动的路径是最短的,则路径的长为( ).
A. B. C. D.2
C
10.(教材改编)如图,在△ABC中,AB=10,AC=17,BC=21,求高AD的长.
解:设BD=x,则CD=BC-BD=21-x.在Rt△ABD中,根据勾股定理,AD2=AB2-BD2=102-x2.在Rt△ACD中,根据勾股定理,AD2=AC2-CD2=172-.∴102-x2=172-,解得x=6.∴AD==8.
11.如图,已知正方形ABCD的顶点B,C,正方形DMEN的顶点M,正方形EFGH的顶点F,G都在直线l上,若S正方形ABCD=5,
S正方形EFGH=11,求S正方形DMEN.
解:由题意,得∠DCM=∠MFE=∠DME=90°,DM=ME.
∴∠CMD+∠EMF=90°,∠FEM+∠EMF=90°.∴∠CMD=∠FEM.
∴△DMC≌△MEF.∴MC=EF.在Rt△DMC中,根据勾股定理,
DM2=CD2+MC2=CD2+EF2.又CD2=S正方形ABCD=5,EF2=S正方形EFGH=11,
∴S正方形DMEN=DM2=5+11=16. (共12张PPT)
第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第1课时 勾股定理
知识点 勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,
那么a2+b2= .
c2
知识点 勾股定理
1.(教材改编)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c.
(1)若a=3,c=5,则b= ;
(2)若c=13,b=5,则a= ;
(3)已知b=2,c=3,则a= .
4
12
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC∶AC=3∶4,若AB=10,求BC,AC的长.
解:由BC∶AC=3∶4,可设BC=3x,AC=4x.在Rt△ABC中,根据勾股定理,AB===5x.又AB=10,∴x=2.∴BC=6,AC=8.
1.在△ABC中,∠C=90°,若AC=3,AB=4,则BC的长是( ).
A.5 B. C.7 D.2
2.直角三角形的斜边长为10,一条直角边长为8,则这个三角形的面积
为 ,斜边上的高为 .
B
24
4.8
3.(教材改编)如图,图中所有的四边形都是正方形,三角形都是
直角三角形.若正方形A,B,C的面积依次为1,3,2,则正方形D的
面积为 .
6
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5,将△ABC沿直线DE折叠,使点A与点B重合,点D,E分别在边AB和AC上,则线段AE的长为( ).
A. B. C. D.
6.已知直角三角形的两条边长为5和12,则第三边长为 .
C
13或
解:(1)∵∠C=90°,∠A=30°,AB=2,∴BC=AB=1.根据勾股定理,AC===.
(2)∵∠C=90°,∠A=45°,∴∠B=90°-45°=45°.∴AC=BC.
设AC=BC=x.根据勾股定理,AB===x.
又AB=2,∴x=.∴BC=AC=.
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2.
(1)若∠A=30°,求BC,AC的长;
(2)若∠A=45°,求BC,AC的长.
7.(传统文)操作与探究
【问题情境】
数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法.某学习小组通过阅读课本学习了我国数学家赵爽证明勾股定理的方法.赵爽在注解《周髀算经》时,给出了“赵爽弦图”,通过对此图的分割、拼接,巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.
【定理探究】
(1)如图,在网格中有一个Rt△ABC,请你把它补成一个完整的“赵爽弦图”;
(2)已知“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.在Rt△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,请你利用(1)中所作的“赵爽弦图”证明勾股定理;
【实践应用】
(3)在(2)的条件下,若小正方形的面积为4,(a+b)2=36,
求大正方形的面积.
(1)解:如图.
(2)证明:由题意得,小正方形的边长为b-a,∴S小正方形=(b-a)2.
∵S大正方形=S小正方形+4=(b-a)2+4×ab=a2+b2,
又S大正方形=c2,∴a2+b2=c2.
(3)解:由(2)可知,(b-a)2=4,∵(a+b)2=36,
∴S大正方形=c2=a2+b2==20.(共12张PPT)
第二十章 勾股定理
勾股定理练习课
基础达标
能力提升
拓展探究
1.一个直角三角形的两条直角边长分别为7和24,则斜边长为( ).
A.20 B.25
C.28 D.31
2.点M(-1,2)与原点的距离是( ).
A.1 B.
C. D.
B
D
3.在△ABC中,若AC2-BC2=AB2,则( ).
A.∠A=90°
B.∠B=90°
C.∠C=90°
D.△ABC不是直角三角形
B
4.工作人员用吊车安装路灯的示意图如图所示,已知AB为吊车起重臂,长为20 m,若点B到路灯杆的水平距离BC为16 m,点B到地面的竖直距离为2 m,则此时起重臂顶端A离地面的高度为( ).
A.12 m B.14 m
C.16 m D.18 m
B
5.如图,阴影部分是一个正方形,则阴影部分的面积为( ).
A.16 B.8
C.4 D.2
6.如图,在四边形ABCD中,AB=18,BC=25,CD=7,AD=30,AB⊥BD,则
∠BDC为( ).
A.锐角
B.钝角
C.直角
D.无法确定
B
C
7.(扬州)我国清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究,提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出,不仅简了勾股数的生成过程,也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;……根据上述规律,则第⑤组勾股数为 .
11,60,61
8.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,分别以这个三角形的三边为边
长作正方形,面积分别记为S1,S2,S3.若S2+S1-S3=36,则阴影部分的面
积为 .
9.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.直角三角形的直角边长为a,b,斜边长为c.若b-a=2,
c=10,则a+b的值为 .
9
14
10.定义:如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM=1.5,MN=2.5,NB=2,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗 请说明理由;
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=24,AM=6,求NB的长.
解:(1)是.理由如下:
∵AM2+NB2=1.52+22=6.25,MN2=2.52=6.25,∴AM2+NB2=MN2.
∴以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,即点M,N是线段AB的勾股分割点.
(2)设NB=x,则MN=24-AM-NB=18-x.①当MN为最长线段时,依题意,得MN2=NB2+AM2,即(18-x)2=x2+36,解得x=8;②当NB为最长线段时,依题意,得NB2=AM2+MN2,即x2=36+(18-x)2,解得x=10.综上所述,NB=8或10.
11.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为1 cm/s,设出发的时间为t s.
(1)当点P在线段AB上时,BP= cm;(用含t的代数式表示)
(2)当t为何值时,△BCP是以BC为腰的等腰三角形
(1)(9-t)
(2)解:分以下三种情况讨论.①当点P在AC上,∠BCP为等腰三角形BCP的顶角时,则PC=BC=3,t=PC÷1=3;②当点P在AB上,∠BCP为等腰三角形BCP的顶角时,则PC=BC.如图,过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,S△ABC=AC·BC=AB·CD,
∴×4×3=×5×CD,解得CD=2.4.在Rt△BCD中,
根据勾股定理,BD==1.8.∵PC=BC,CD⊥AB,∴BP=2BD=3.6.
又BP=9-t,∴t=5.4;③当点P在AB上,∠B为等腰三角形BCP的顶角时,则BP=BC=3,
又BP=9-t,∴t=6.综上所述,t的值为3或5.4或6.(共12张PPT)
第二十章 勾股定理
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第1课时 勾股定理的逆定理
知识点一 勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形.勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据.
知识点二 勾股数
2.能够成为直角三角形三条边长的三个 ,称为勾股数.
a2+b2=c2
正整数
知识点一 勾股定理的逆定理
1.判断下列线段组成的三角形是不是直角三角形.
(1)BC=5,AC=12,AB=13;
(2)EF=13,DF=8,DE=15.
解:(1)∵52+122=169,132=169,∴52+122=132,
即 BC2+AC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.
(2)∵132+82=233,152=225,∴132+82≠152.∴△DEF不是直角三角形.
知识点二 勾股数
2.下列四组数,是勾股数的是( ).
A.4,5,6 B.0.3,0.4,0.5 C.32,42,52 D.10,24,26
3.观察下列式子:①32+42=52;②52+122=132;③72+242=252;
④92+402=412;……
猜想:设m为大于1的奇数,将m2拆分为两个连续的整数之和,即m2=n+(n+1),则m,n,n+1就构成一组勾股数.
(1)试证明上述猜想;
(2)写出当m=17时,n的值.
D
(1)证明:∵m2=n+(n+1)(m为大于1的奇数),
∴m2+n2=2n+1+n2=(n+1)2.
∴m,n,n+1可以构成一组勾股数.
(2)解:当m=17时,∵172=289=144+145,∴n=144.
1.以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( ).
A.3,8,12 B.8,15,17 C.12,15,18 D.3,17,18
2.如图,在4×4的正方形网格中(每个小正方形的边长均为1),点A,B,C均在格点上,连接AB,AC,BC,则△ABC的形状是( ).
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
B
B
3.(教材改编)若△ABC的三边长分别是a,b,c,则下列条件能判断△ABC是
直角三角形的是( ).
A.∠A=∠B=2∠C
B.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
C.a=2,b=3,c=4
D.a=1,b=,c=
D
4.(教材改编)如图,在△ABC中,AB=10,BC=12,BC边上的中线AD=8.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)AC的长为 .
(1)证明:∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD=BC=6.∵62+82=102,∴BD2+AD2=AB2.
∴△ABD是直角三角形,∠ADB=90°.∴AD⊥BC.
(2)10
5.已知△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)(c2-a2-b2)=0,则△ABC的形状是( ).
A.等腰三角形或直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
A
6.(传统文)勾股定理记载于《周髀算经》中,其中“勾三、股四、弦五”为一组勾股数.对任意正整数a(a≠1),b,当a为偶数且 =b+(b+2)时,则a,b,b+2为一组勾股数.已知一组勾股数中的a为偶数,且其中一个数为8,则b对应的数为 .
8或15
7.如图,在△ABC中,AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6.
求证:BA⊥AD.(提示:倍长中线构造三角形)
证明:如图,延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD.又∠ADC=∠EDB,AD=ED,∴△ADC≌△EDB.
∴EB=AC=13.在△ABE中,AB=5,AE=2AD=12,EB=13,
∵52+122=132,∴AB2+AE2=EB2.∴△ABE是直角三角形,∠BAE=90°.∴BA⊥AD. (共12张PPT)
第二十章 勾股定理
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
基础达标
能力提升
拓展探究
1.(教材改编)古埃及人曾经用如图所示的方法确定直角:把一根长绳的一
部分打上等距离的13个结,然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的
长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角,这样做的道理
是( ).
A.直角三角形的两个锐角互余
B.勾股定理的逆定理
C.三角形内角和等于180°
D.勾股定理
B
2.(教材改编)如图,在某次军事演习中,两艘战舰从同一港口O同时出发,一号舰沿南偏西30°方向以12 n mile/h的速度航行,二号舰以16 n mile/h的速度航行,离开港口0.5 h后它们分别到达A,B两点,且相距10 n mile,则二号舰航行的方向是( ).
A.南偏东30° B.北偏东30°
C.南偏东60° D.南偏西60°
C
3.为增长学生自然科学知识,培养学生的劳动技能与责任感,学校分给各班级一块地,让学生学习种菜.八(3)班分得一块三角形菜地,测得这块菜地的三边长分别为2.5 m,6 m,6.5 m,则这块三角形菜地的面积是( ).
A.7.5 m2 B.8.125 m2
C.15 m2 D.19.5 m2
A
4.在下列三角形中,能从几何角度直接验证<2的图形是( ).
A B C D
A
5.如图,在△ABC中,AB=5,AC=5,D为△ABC内一点,且∠BDC=90°,CD=3,BD=4.
(1)求BC的长;
(2)求证:∠ACB=90°.
(1)解:在△BCD中,根据勾股定理,
BC===5.
(2)证明:在△ABC中,AB=5,AC=5,BC=5,
∵52+52=,∴AC2+BC2=AB2.
∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
6.如图,学校在校园围墙边缘开垦了一块四边形菜地ABCD,测得AB=
9 m,BC=12 m,CD=8 m,AD=17 m,且∠ABC=90°,则这块菜地的面积
是( ).
A.48 m2
B.114 m2
C.12 m2
D.158 m2
B
7.(广东)综合与实践
主题:制作无盖正方体形纸盒.
素材:一张正方形纸板.
步骤1:如图①,将正方形纸板的边长三等分,画
出九个相同的小正方形,并剪去四个角上的小
正方形;
步骤2:如图②,把剪好的纸板折成无盖的正方体形纸盒.
猜想与证明:(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系;
(2)证明(1)中你发现的结论.
(1)解:∠ABC=∠A1B1C1.
(2)证明:连接AC.设小正方形的边长为1,则AC=BC==,
AB==,∴AC2+BC2=5+5=AB2.
∴△ABC为等腰直角三角形.
∵A1C1=B1C1=1,A1C1⊥B1C1,∴△A1B1C1为等腰直角三角形.
∴∠ABC=∠A1B1C1=45°.
8.如图,某台风中心沿东西方向AB由A向B移动,AB=500 km.已知点C为一处海港,且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为AC=300 km,BC=400 km.经测量,距离台风中心260 km及以内的地区会受到影响,台风中心的移动速度为40 km/h.
(1)求∠ACB的度数;
(2)海港C是否会受台风的影响 若受影响,请求出影响时长;若不受影响,请说明理由.
解:(1)∵AB=500 km,AC=300 km,BC=400 km,3002+4002=5002,
∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
(2)如图,过点C作CD⊥AB于点D.∵△ABC是直角三角形,
∴S△ABC=AC·BC=AB·CD.∴×300×400=×500×CD,解得CD=240.
∵距离台风中心260 km及以内的地区会受到影响,∴海港C会受台风影响.
在AB上取点E,F,使EC=FC=260 km,则台风中心在线段EF上时,海港C会受台风影响.在Rt△CDE中,DE===100(km).
∵EC=FC,CD⊥EF,∴EF=2DE=200 km.
∵台风中心的移动速度为40 km/h,∴200÷40=5(h).
答:海港C会受台风影响,影响时长为5 h.(共11张PPT)
第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
第2课时 勾股定理的应用（1）
基础达标
能力提升
拓展探究
1.如图,一件文物C(看作一点)被探明位于地面A点垂直往下36 m处.由于A点下有障碍物,考古人员不能垂直下挖,他们从距离A点15 m的B处斜着挖掘,已知障碍物不在线段BC上,则要取出文物C至少要挖( ).
A.39 m
B.3 m
C.42 m
D.51 m
A
2.如图,一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,45 n mile的A处,它沿北偏东30° 方向航行60 n mile到达B处,此时该轮船与灯塔P的距离为( ).
A.27 n mile
B.75 n mile
C.50 n mile
D.15 n mile
B
3.如图,校园内有两棵树,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,至少要飞( ).
A.8 m B.9 m C.10 m D.11 m
C
4.如图,两个书柜相对平行摆放,当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时,梯子底端与左侧书柜的距离BC为1.5 m,顶端与地面的距离AB为2 m.在保持梯子底端位置不变的情况下,将梯子倾斜靠在右侧书柜上时,顶端与地面的距离ED为2.4 m,则两个书柜之间的距离BD为( ).
A.2 m B.2.2 m C.2.4 m D.2.5 m
B
5.如图,某人持竿进门,已知门高为2 m.将竿横放则比门宽长1 m,将竿斜放则刚好与门框对角线长度相等,则竿的长度为( )
A.2.2 m
B.1.9 m
C.2.5 m
D.2 m
6.如图,一段楼梯的长为13 m,高为5 m,现计划在该段楼梯
表面铺地毯,地毯的长度至少为 m.
C
17
7.(传统文)在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,板绳离地一尺.送行二步恰竿齐,五尺板高离地.仕女佳人争蹴,终朝语笑欢戏.良工高士请言知,借问索长有几.”大意为:秋千静止时离地1尺,将它往前推送10尺(水平距离)时,秋千高为5尺(尺是古代长度单位).如图,若秋千的绳索始终为绷直状态,则绳索长( ).
A.11.5尺 B.12.5尺
C.13.5尺 D.14.5尺
D
8.如图,一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬,木板底端A处与墙角O处的距离为0.7 m.当小猫从木板底端爬到顶端时,木板底端向左滑动了1.3 m(即AC=1.3 m),木板顶端向下滑动了0.9 m(即BD=0.9 m).求木板的长度.
解:设OD=x m,则OB=OD+BD=(x+0.9)m.在Rt△AOB中,根据勾股定理,AB2=OA2+OB2=0.72+.在Rt△COD
中,OC=OA+AC=2 m,根据勾股定理,
CD2=OC2+OD2=22+x2.∵AB=CD,∴AB2=CD2.∴0.72+=22+x2,解得x=1.5.∴CD==2.5(m).
答:木板的长度为2.5 m.
9.如图,高速公路的同一侧有A,B两个城镇,它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC=2 km,BD=4 km.若CD=8 km,要在高速公路上C,D之间建一个出口P,使A,B两个城镇到P的距离之和最小,求这个最短距离.
解:如图,作点B关于直线MN的对称点B',连接AB',交直线MN于点P,此时A,B两个城镇到出口P的距离之和最小,最短距离为AB'的长.过点A作AE⊥BD于点E.根据题意,易知B'D=BD=4 km,
AE=CD=8 km,DE=AC=2 km.在Rt△AB'E中,B'E=B'D+DE=6 km,根据勾股定理,AB'===10(km).答:最短距离为10 km.
