(共11张PPT)
第二十一章 四边形
21.3 特殊的平行四边形
第8课时 特殊的平行四边形练习课
基础达标
能力提升
拓展探究
1.如图,EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB,CD于点E,F,则图中阴影部分的面积是矩形ABCD面积的( ).
A. B. C. D.
B
2.如图,四边形ABCD是菱形,A,B两点的坐标分别是(2,0),(0,1),点C,D在坐标轴上,则菱形ABCD的周长等于( ).
A. B.4
C.4 D.20
3.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E在BD上,且BE=AD,则∠ACE的度数为( ).
A.22.5° B.27.5°
C.30° D.35°
C
A
4.如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=BC,连接CE.
(1)求证:BD=CE;
(2)若∠E=50°,求∠BAO的度数.
(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴CD=BC,AB∥CD.∴BE∥CD.
∵BE=BC,∴BE=CD.∴四边形BECD是平行四边形.∴BD=CE.
(2)解:由(1)知,四边形BECD是平行四边形, ∴BD∥CE.∴∠ABO=∠E=50°.∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD.∴∠BAO=90°-∠ABO=40°.
5.如图,D是Rt△ABC的斜边BC的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且BF=CE.求证:四边形AEDF是正方形.
证明:∵∠A=90°,DE⊥AC,DF⊥AB,
∴∠A=∠DFA=∠DEA=90°.
∴四边形AEDF是矩形.∵D为BC的中点,∴BD=CD.
又BF=CE,∴Rt△BFD≌Rt△CED.∴DF=DE.
∴四边形AEDF是正方形.
6.(内江)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点B的坐标为(1,0),点E在边CD上.将△ADE沿AE折叠,点D落在点F处.若点F的坐标为(0,3),则点E的坐标为 .
7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,AC=EF,连接AE,CE,CF,AF.
(1)求证:四边形AECF是正方形;
(2)若AB=,OB=3,求AE的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.
∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF.∴四边形AECF是菱形.
∵AC=EF,∴四边形AECF是正方形.
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,∴∠AOB=90°.∴在Rt△AOB中,AO==2.
∵四边形AECF是正方形,∴OE=AO=2.∴在Rt△AOE中,AE==2.
8.(连云港节选)综合与实践
【问题情境】如图,小昕在正方形纸板ABCD的边AB,BC上分别取点E,F,且AE=BF,AF交DE于点O.连接AC,过点F作FG⊥AC,垂足为G,连接GD,GE,DE交AC于点P,GE交AF于点Q.
【活动猜想】(1)GD与GE的数量关系是 ,位置关系
是 ;
【探索发现】(2)证明(1)中的结论;
【实践应用】(3)若AD=3,AE=1,求QF的长.
(1)GD=GE GD⊥GE
(2)证明:如图,过点G作GM⊥BC于点M,过点G作NT⊥GM分别交AB,CD于点T,N.易知四边形TBMG为矩形,四边形GMCN为正方形. ∴GN=GM=MC=CN=BT,∠CNT=∠BTG=90°,BM=GT.∴∠DNG=∠GTE=90°.在正方形ABCD中,DC=BC,∴DC-CN=BC-CM,即DN=BM=GT.∵FG⊥AC,∠ACB=45°, ∴∠ACB=∠CFG=45°.∴CG=FG.∴CM=MF=CF.∵AE=BF,AB=BC,∴AB-AE-BT=BC-BF-CM,即ET=MF=CM.∴ET=GN.∴△DNG≌△GTE. ∴GD=GE,∠NDG=∠TGE.又∠NDG+∠NGD=90°,∴∠TGE+∠NGD=90°. ∴∠DGE=90°.∴GD⊥GE.
(3)解:在正方形ABCD中,由AB=AD,∠DAE=∠ABF=90°,AE=BF,得△DAE≌△ABF.∴∠ADE=∠BAF,DE=AF.∴∠ADE+∠DEA=∠BAF+∠DEA=90°,即∠AOE=90°.∴AF⊥DE.在Rt△DAE中,AD=3,AE=1,∴DE==.由等面积法得AO×DE×=AE×AD×,即AO××=1×3×,解得AO=.
在Rt△OAE中,OE===.由(2)知GD=GE,GD⊥GE,∴∠GED=45°.∴△EOQ为等腰直角三角形. ∴QO=OE=.∴QF=AF-AO-QO=--=.(共11张PPT)
第二十一章 四边形
21.2 平行四边形
第6课时 平行四边形练习课
基础达标
能力提升
拓展探究
1.(贵州)如图,小红将一张长方形纸片沿AD,BC剪下后得到一个 ABCD,若∠1=70°,则∠2的度数是( ).
A.20° B.70° C.80° D.110°
B
2.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB中点,且AE+EO=5,
则 ABCD的周长为( ).
A.20
B.16
C.12
D.8
3.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D,AB=5,则CD= .
A
5
4.如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,两条对角线的和为20 cm,△OCD的周长为18 cm,则AB的长为 cm.
5.如图,在 ABCD中,AB=10,AD=6,AC⊥BC,则BD= .
8
4
6.(苏州)如图,C是线段AB的中点,∠A=∠ECB,CD∥BE.
(1)求证:△DAC≌△ECB;
(2)连接DE,若AB=16,求DE的长.
(1)证明:∵C是线段AB的中点,∴AC=BC.∵CD∥BE,∴∠DCA=∠B.在△DAC和△ECB中,∴△DAC≌△ECB.
(2)解:∵AB=16,C是线段AB的中点,∴BC=AB=8.
∵△DAC≌△ECB,∴CD=BE.
又CD∥BE,∴四边形BCDE是平行四边形.∴DE=BC=8.
7.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是BC,AD,BD,AC的中点,连接EH,HF,FG,GE.猜想四边形EHFG的形状,并说明理由.
解:四边形EHFG是平行四边形.理由如下:
∵E,G分别是边BC,BD上的中点,∴EG∥CD,EG=CD.
同理,FH∥CD,FH=CD.∴EG∥FH,EG=FH.
∴四边形EHFG是平行四边形.
8.如图,已知点D,E,F分别在△ABC的边BC,AB,AC上,且DE∥AF,DE=AF,将FD延长到点G,使DG=FD,连接AG.求证:ED与AG互相平分.
证明:如图,连接AD,EG.∵DE∥AF,DE=AF,∴四边形AEDF是平行四边形.∴AE∥FD,AE=FD.又DG=FD,∴AE=DG.∴四边形AEGD是平行四边形.∴ED与AG互相平分.
9.如图,在 ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,AF与BE相交于点G,CE与DF相交于点H.求证:四边形EGFH是平行四边形.
证明:∵四边形 ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.
∵E,F分别是AD,BC的中点,∴AE=AD,CF=BC.∴AE=FC.
又AD∥BC,∴四边形 AECF是平行四边形.∴ GF∥EH.
同理,GE∥FH.∴四边形EGFH是平行四边形.
10.如图,在 ABCD中,AB=5,BC=3,AC=2.
(1)求 ABCD的面积;
(2)求证:AD⊥BD.
(1)解:如图,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E.设BE=x,CE=h,则AE=AB+BE=5+x.在Rt△BCE中,根据勾股定理,BE2+CE2=BC2,即x2+h2=9①.在Rt△ACE中,根据勾股定理,AE2+CE2=AC2,即+h2=52②.联立①②,得x=,h=.∴ ABCD的面积为AB·h=12.
(2)证明:如图,过点D作DF⊥AB于点F.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=3,AB∥CD.又CE⊥AB,DF⊥AB,∴DF=CE=.在Rt△ADF中,根据勾股定理,AF===.∴BF=AB-AF=5-=.在Rt△BDF中,根据勾股定理,BD===4.在△ABD中,∵AD2+BD2=32+42=52=AB2,∴∠ADB=90°.∴AD⊥BD. (共12张PPT)
第二十一章 四边形
21.2 平行四边形
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第5课时 三角形的中位线
知识点 三角形的中位线
1.连接三角形两边 的线段叫作三角形的中位线.
2.三角形的中位线定理:三角形的中位线 于三角形的第三边,并且等于第三边的 .
知识点 三角形的中位线
1.如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点.
(1)若DE=3,则BC= ;
(2)若∠C=70°,则∠AED= °.
6
70
2.如图,D,E分别是△ABC边AB,AC的中点,连接BE,DE.
若∠AED=∠BEC,DE=2,则BE的长为 .
3.如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,BC上的一点,且AD=BD,AC=EC,过点C作CF平分∠ACB,交AE于点F,连接DF.求证:BE=2DF.
证明:∵AC=EC,CF平分∠ACB,∴AF=EF.
又AD=BD,∴DF=BE,即BE=2DF.
1.如图,在△ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点.若AB=12,BC=16,则四边形BDEF的周长是( ).
A.14
B.28
C.32
D.48
B
2.(湖南)如图,在△ABC中,BC=6,E是AC的中点,分别以点A,B为
圆心,以大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,直线MN
交AB于点D,连接DE,则DE的长是 .
3.如图,在四边形ABCD中,E,F,P分别是AB,CD,BD的中点,AD=BC,∠PEF=25°,则∠PFE= °.
3
25
4.如图,在 ABCD中,点E在边AD上,连接EB并延长至点F,使BF=BE,连接EC并延长至点G,使CG=CE,连接FG.若∠BAE=65°,∠DCE=30°,则∠EGF= °.
5.(无锡)在△ABC中,AB=4,BC=6,AC=8,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则△DEF的周长为 .
35
9
6.如图,在 ABCD中,P是BC边上的动点,连接AP,DP,E,F分别是AP,DP的中点.点P从点B向点C运动的过程中,EF的长度( ).
A.保持不变
B.逐渐增大
C.先增大再减小
D.先减小再增大
A
7.如图,等边三角形ABC的边长为2,D,E分别为AB,AC的中点,连接CD,过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F.
(1)求证:DE=CF;
(2)求EF的长.
(1)证明:∵D,E分别是边AB,AC上的中点,∴DE∥BC,DE=BC.
∵EF∥CD,∴四边形DCFE是平行四边形.∴DE=CF.
(2)解:∵四边形DCFE是平行四边形,∴EF=CD.∵等边三角形ABC的边长为2,D为AB的中点,∴CD⊥AB,BC=2,AD=BD=1.在Rt△BCD中,根据勾股定理,CD==.∴EF=.
8.如图,在△ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD,CE相交于点O.求证:OB=2OD.(提示:构造△BOC的中位线)
证明:如图,分别取OB,OC的中点F,G,连接DE,EF,FG,GD.
∴FG∥BC,FG=BC,OB=2OF.∵D,E分别是边AC,AB上的中点,
∴DE∥BC,DE=BC.∴DE∥FG,DE=FG.
∴四边形DEFG是平行四边形.∴OF=OD.∴OB=2OD.(共19张PPT)
第二十一章 四边形
21.2 平行四边形
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第1课时 平行四边形及其性质（1）
知识点一 平行四边形的概念
1.两组对边分别 的四边形叫作平行四边形.平行四边形用“ ”表示,如图,平行四边形ABCD记作“ ABCD”.
知识点二 平行四边形的性质
2.平行四边形的性质:
(1)平行四边形的对边 ;
(2)平行四边形的对角 ;
(3)平行四边形的对角线互相 .
知识点一 平行四边形的概念
1.如图,在 ABCD中,EF∥AD,GH∥AB,EF交GH于点O,则该图中的
平行四边形的个数为( ).
A.7
B.8
C.9
D.11
C
知识点二 平行四边形的性质
2.(教材改编)如图,在 ABCD中,
(1)若AB=2,BC=3,则AD= ,CD= ;
(2)若∠A=100°,则∠B= °,∠C= °,∠D= °;
(3)若∠A+∠C=240°,则∠A= °,∠B= °.
3
2
80
100
80
120
60
3.(教材改编)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O.
(1)若AD=5,AC=4,BD=7,则△BOC的周长是 ;
(2)若△DBC的周长比△ABC的周长长10,AC=6,求BD的长.
(1)10.5
(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD.
∵△DBC的周长C△DBC=BC+CD+BD,△ABC的周长C△ABC=BC+AB+AC,∴C△DBC-C△ABC=(BC+CD+BD)-(BC+AB+AC)=BD-AC=10.又AC=6,∴BD=16.
4.(教材改编)如图,校园内有一片草地ABCD,它的形状是平行四边形,已知OB=3 m,AB=10 m,AD⊥BD,求该草地的面积.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,OB=3 m,
∴BD=2OB=6 m.∵AD⊥BD,∴△ABD是直角三角形.∴AD===8(m).∴草地的面积S ABCD=AD·BD=8×6=48(m2).答:该草地的面积为48 m2.
5.(湖北)如图,在 ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,求证:BE=DF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD.∴∠BAE=∠DCF.又AE=CF,∴△ABE≌△CDF.∴BE=DF.
1.在 ABCD中,AB=4,BC=5,则 ABCD的周长为( ).
A.18 B.9 C.6 D.3
A
2.如图,某段楼梯及栏杆可以看作由△ABC与 ACDE构成.若∠D=59°,
则该楼梯的坡角∠BAC的度数为( ).
A.59° B.41° C.31° D.49°
C
3.如图,在 ABCD中,AB=3,AD=5,∠ABC=60°,以A为圆心,AB长为半径作弧,交BC于点E,则EC的长为( ).
A.5 B.4 C.3 D.2
4.已知一个平行四边形的一条边长为14,则它的两条对角线的长可能
是( ).
A.10与16 B.12与16 C.20与22 D.10与18
D
C
5.在 ABCD中,若∠B-∠A=30°,则∠A,∠B,∠C,∠D的度数分别
是 .
6.(新疆)如图,在 ABCD中,∠BCD的平分线交AB于点E,若AD=2,
则BE= .
75°,105°,75°,105°
2
7.如图,在 ABCD中,E,F分别是AC,CA的延长线上的点,且CE=AF.
求证:BF∥DE.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.∴∠BAC=∠ACD.∴∠FAB=∠ECD.
又AF=CE,∴△ABF≌△CDE.∴∠F=∠E.∴BF∥DE.
8.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,EF过点O,交AD于点F,交BC于点E.若AB=3,AC=4,AD=5,则图中阴影部分的面积是( ).
A.1.5 B.3
C.6 D.4
B
9.如图,在 ABCD中,∠BAD的平分线和∠CDA的平分线相交于边BC上
一点E,若AB=2,AE=3,则DE的长为( ).
B
A.5 B. C. D.2.5
10. 如图,在 ABCD中,CM⊥AD于点M,CN⊥AB于点N.
(1)若∠B=45°,求∠MCN的度数;
(2)若 ABCD的周长为15,CM=2,CN=3,则AB= ,AD= .
(1)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.
∴∠A=180°-∠B=180°-45°=135°.
∵CM⊥AD于点M,CN⊥AB于点N,∴∠AMC=∠ANC=90°.
∴∠MCN=360°-90°-90°-135°=45°.
(2)3 4.5
11.综合与实践
如图,四边形ABCD是王大爷家的一块平行四边形田地,P为水井.现要把这块田地平均分给他的两个儿子,为了方便用水,要求两个儿子分到的地都与水井相邻.请你设计一条经过点P的分割线,并证明分割成的两个图形面积相等.
解:如图,连接AC,BD相交于点O,连接OP并向两端延长,分别交BC,AD于点E,F,线段EF即为田地的分割线.证明如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,AD∥BC.∴∠OBE=∠ODF,∠OEB=∠OFD.
∴△BOE≌△DOF.∴S△DOF=S△BOE.
∴S四边形ECDF=S四边形ECDO+S△DOF=S四边形ECDO+S△BOE=S△BCD=S ABCD.
∴S四边形ECDF=S四边形ABEF.
(共11张PPT)
第二十一章 四边形
21.3 特殊的平行四边形
基础达标
能力提升
拓展探究
第3课时 矩形的性质与判定练习课
1.下列有关矩形的说法正确的是( ).
A.对角线相等的四边形是矩形
B.矩形的对角线相等且互相平分
C.对角线互相平分的四边形是矩形
D.矩形的对角线互相垂直且平分
B
2.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD.若AB=4,
∠AOB=60°,则AD的长为( ).
A.4 B.2
C.8 D.8
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,CE是AB边上的中线.若AD=3,CE=5,则CD的长为( ).
A.3 B.4
C. D.
A
C
4.如图,在矩形COED中,点D的坐标是(1,3),则CE的长是( ).
A.3
B.2
C.
D.4
5.如图,矩形ABCD中,直线MN垂直平分AC,与CD,AB分别交于点M,N.若DM=1,CM=2,则矩形的对角线AC的长为( ).
A.2 B.
C. D.4
C
A
6.如图,已知A,F,C,D四点在同一直线上,AB∥DE,AB=DE,AC=FD,
∠CEF=90°.求证:
(1)△ABF≌△DEC;
(2)四边形BCEF是矩形.
证明:(1)∵AB∥DE,∴∠A=∠D.∵AC=FD,∴AC-CF=FD-CF,即AF=DC.
又AB=DE,∴△ABF≌△DEC.
(2)∵△ABF≌△DEC,∴BF=EC,∠BFA=∠ECD.∴∠BFC=∠ECF.
∴BF∥EC.∴四边形BCEF是平行四边形.
∵∠CEF=90°,∴四边形BCEF是矩形.
7.如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O.E,F,G,H分别为边AD,
AB,BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为 .
12
8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,延长CB至点D,使得BD=CB,分别过点A,D作AE∥BD,DE∥BA,AE与DE相交于点E.下面是小红、小星的对话:
小红:“结合题目的已知条件,若连接BE,则可证明BE⊥CD.”
小星:“受你的启发,我还发现,若连接CE,交AB于点F,则可证明BF=DE.”
(1)请根据小红的说法,求证:BE⊥CD;
(2)小星的说法是否正确 请说明理由.
(1)证明:如图,连接BE.∵AE∥BD,DE∥BA,
∴四边形ABDE是平行四边形.∴AE=BD.
∵BD=CB,∴AE=CB.∵AE∥BD,即AE∥CB,
∴四边形AEBC是平行四边形.
又∠ACB=90°,∴四边形AEBC是矩形.
∴∠EBC=90°.∴BE⊥CD.
(2)解:小星的说法正确.理由如下:如图,连接CE,交AB于点F.由(1)可知,四边形AEBC是矩形,∴CF=EF.∵BD=CB,∴BF是△CDE的中位线.∴BF=DE.
9.如图,在△ABC中,D是AB上一点,AD=DC,DE平分∠ADC交AC于点E,DF平分∠BDC交BC于点F,∠DFC=90°.
(1)求证:四边形CEDF是矩形;
(2)连接BE,若∠ABC=30°,AD=2,求BE的长.
(1)证明:∵DE平分∠ADC,DF平分∠BDC,∴∠CDE=∠ADC,
∠CDF=∠BDC.∴∠CDE+∠CDF=(∠ADC+∠BDC)=×180°=90°,即∠EDF=90°.∵AD=DC,DE平分∠ADC,∴DE⊥AC.∴∠CED=90°.
又∠DFC=90°,∴四边形CEDF是矩形.
(2)解:如图,连接BE.由(1)可知,四边形CEDF是矩形,∴∠ECF=90°.
∴∠A=90°-∠B=90°-30°=60°.
∵AD=DC,∴△ACD是等边三角形.∴AC=AD=2.
∴在Rt△ABC中,AB=2AC=4,BC==2.
在等边三角形ACD中,DE⊥AC,∴CE=AC=1.
∴在Rt△BEC中,BE==.(共15张PPT)
第二十一章 四边形
21.2 平行四边形
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第4课时 平行四边形的判定（2）
知识点一 平行四边形的判定定理(2)
1.一组对边平行且 的四边形是平行四边形.
知识点二 判定平行四边形的基本思路
2.(1)若已知一组对边平行,则优先考虑证明这一组对边相等或另一组对边平行;
(2)若已知一组对边相等,则优先考虑证明这一组对边平行或另一组对边相等;
(3)若已知一组对角相等,则优先考虑证明另一组对角相等;
(4)若已知条件涉及对角线,则优先考虑证明对角线互相平分.
知识点一 平行四边形的判定定理(2)
1.根据下列四边形中所标的数据,一定能判定为平行四边形的是( ).
C
2.(教材改编)如图,在 ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,添加一个条
件: ,使四边形AECF为平行四边形.
知识点二 判定平行四边形的基本思路
3.如图,D是△ABC边AB上的一点,CE∥ AB,DE交AC于点O,且OA=OC.
求证:四边形ADCE是平行四边形.
证明:∵CE∥ AB,∴∠OAD=∠OCE.
又OA=OC,∠AOD=∠COE,
∴△AOD≌△COE.∴OD=OE.又OA=OC,
∴四边形ADCE是平行四边形.
1.下列条件一定能判定四边形是平行四边形的是( ).
A.一组对边平行,另一组对边相等
B.一组对边平行,一组对角相等
C.一组对边平行,一组邻角互补
D.一组对边相等,一组邻角相等
B
2.四边形ABCD的对角线相交于点O,且AO=CO.添加下列条件,不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( ).
A.OB=OD B.AB∥CD
C.AB=CD D.∠ADB=∠DBC
3.在四边形ABCD中,有下列条件:①AB∥CD;②AD∥BC;③AB=CD;
④AD=BC.若从这些条件中选择两个,则能使四边形ABCD为平行四
边形的选法共有( ).
A.3种 B.4种
C.5种 D.6种
C
B
4.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,点E,F在对角线AC上,且AE=CF,BE=DF.求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵AB=CD,AE=CF,BE=DF,∴△ABE≌△CDF.
∴∠EAB=∠FCD.∴AB∥CD.又AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
5.如图,在四边形ABCD中,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,且AE=CF,∠BAC=∠DCA.求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵∠BAC=∠DCA,∴AB∥CD.∴∠ABE=∠CDF.
∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEB=∠CFD=90°.
又AE=CF,∴△ABE≌△CDF.∴AB=CD.又AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
6.如图,在 ABCD中,延长AB到点E,延长CD到点F,使得BE=DF,连接EF,分别交BC,AD于点M,N,连接AM,CN.求证:
(1)△BEM≌△DFN;
(2)四边形AMCN是平行四边形.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠BAD=∠BCD,AB∥CD.∴∠BAD=∠NDF,∠MBE=∠BCD,∠E=∠F.
∴∠MBE=∠NDF.又BE=DF,∴△BEM≌△DFN.
(2)由(1)知△BEM≌△DFN,∴DN=BM. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC.∴AD-DN=BC-BM,即AN=CM.又AN∥CM,∴四边形AMCN是平行四边形.
7.如图,在△ABC中,E为边BC上一点,过点A作AD∥BC,连接DE交AC于点F.若AB=AE,∠DAF=∠CEF,求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵AB=AE,∴∠B=∠AEB.∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB.
∴∠B=∠DAE.∵∠DAF=∠CEF,∠AFD=∠EFC,
∴180°-∠DAF-∠AFD=180°-∠CEF-∠EFC,
即∠EDA=∠ACB.∴△ABC≌△EAD.∴AD=BC.
又AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
8.如图,已知AD∥BC且AD=BC,AC,BD相交于点O,AF,CE分别是△AOD,△BOC的中线.求证:四边形AECF是平行四边形.
证明:如图,连接AB,CD.∵AD∥BC,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.∴OA=OC,OB=OD.
∵AF,CE分别是△AOD,△BOC的中线,∴OE=OB,OF=OD.
∴OE=OF.又OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.
9.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=9 cm,BC=6 cm.点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动,点Q以2 cm/s 的速度由点C向点B运动.规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.经过多长时间,直线PQ能在四边形ABCD内截出一个平行四边形
解:设运动时间为t s,则AP=t cm,DP=AD-AP=(9-t)cm,CQ=2t cm,BQ=BC-CQ=(6-2t)cm.∵AD∥BC,∴当AP=BQ,即t=6-2t,t=2时,四边形ABQP为平行四边形;当DP=CQ,即9-t=2t,t=3时,四边形PQCD为平行四边形.综上所述,经过2 s或3 s时,直线PQ能在四边形ABCD内截出一个平行四边形.(共17张PPT)
第二十一章 四边形
21.3 特殊的平行四边形
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第4课时 菱形及其性质
知识点 菱形的概念与性质
1.有一组邻边 的平行四边形叫作菱形.
2.因为菱形是一种特殊的平行四边形,所以它具有平行四边形的所有性质.除此之外,菱形还具有以下性质:
(1)菱形的四条边都 ;
(2)菱形的两条对角线互相 ,并且每一条对角线 一组对角;
(3)菱形是轴对称图形,它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴.
知识点 菱形的概念与性质
1.如图,AC是菱形ABCD的一条对角线,若∠B=60°,则∠CAD=( ).
A.50° B.60°
C.70° D.80°
B
2.如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=3,BD=4,则菱形ABCD的面积是 .
12
3.(广州模拟)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在BC,CD边上,BE=DF,连接EA,FA.求证:EA=FA.
证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠B=∠D.
又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF.∴EA=FA.
1.下列关于菱形的说法错误的是( ).
A.菱形的四条边相等
B.菱形的对角线相等
C.菱形的对角线互相垂直
D.菱形是轴对称图形
B
2.剪式千斤顶是一种简单的起重设备,其原理图如图所示.它的基本形状是一个菱形,中间通过螺杆连接,转动手柄可改变∠BCD的大小(菱形的边长不变).当∠BCD=52° 时,∠BAC=( ).
A.26° B.27°
C.28° D.29°
A
3.(济宁)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,连接OE.若OE=3,则菱形的边长为( ).
A.6
B.8
C.10
D.12
4.已知菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为12 cm,16 cm,则这个菱形的周长为( ).
A.10 cm B.20 cm C.32 cm D.40 cm
A
D
5.如图,在菱形OABC中,点B在x轴上,点A的坐标为(2,3),则点C的坐标
为 .
(2,-3)
6.如图,在菱形ABCD中,E为AB上一点,延长BC至点F,使CF=BE,连接CE,DF.求证:CE=DF.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=CD,AB∥CD.∴∠B=∠DCF.
∵BE=CF,∴△BCE≌△CDF.∴CE=DF.
7.如图,在菱形ABCD中,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥AB于点F.若菱形ABCD的周长是20,面积是24,则PE+PF的值
是( ).
A.4 B.
C.6 D.
B
8.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于点H,连接OH.
(1)求证:∠DHO=∠DCO;
(2)若OC=4,BD=6,求菱形ABCD的周长和面积.
(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴OD=OB,AB∥CD,BD⊥AC.
∵DH⊥AB,∴∠DHB=∠HDC=90°.∴OH=OD.∴∠HDO=∠DHO.∵BD⊥AC,∴∠COD=90°.∴∠CDO+∠DCO=90°.
又∠HDO+∠CDO=∠HDC=90°,∴∠HDO=∠DCO.
∴∠DHO=∠DCO.
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,∴OD=OB=BD=3.在Rt△OCD中,CD==5,∴=4CD=20,= 4×S△OCD=4×·OC·OD=24.∴菱形ABCD的周长和面积分别是20,24.
9.已知在菱形ABCD中,∠B为锐角,E为AB的中点,连接DE.
【动手操作】
第一步:如图①,将菱形ABCD沿DE折叠,得到四边形MNDE,点B的对应点为M,点C的对应点为N.
第二步:如图②,连接MA,MB.
【问题解决】
(1)如图①,若∠B=50°,则∠N的度数是 ;
(2)如图②,判断△MAB的形状,并说明理由;
【拓广探索】
(3)如图②,若AD=4,∠MAE=30°,在线段ED上存在点P,使△AEP是以∠EAP为顶角的等腰三角形,求DP的长.
(1)130°
解:(2)△MAB为直角三角形.理由如下:由题易知BE=ME,∵E是AB的中点,∴AE=BE=ME.∴∠AME=∠MAE,∠BME=∠MBE.∵∠AME+∠MAE+∠BME+∠MBE=180°,∴∠AME+∠BME=∠AMB=90°.∴△MAB为直角三角形.
(3)由题易知DE垂直平分BM,由(2)可知,AM⊥BM,∴DE∥AM.∴∠AED=∠MAE=30°.
∵四边形ABCD为菱形,∴AB=AD=4.∵E为AB的中点,∴AE=AB=2.
如图,作AF⊥DE,垂足为F,则AF=AE=1,在Rt△AEF中,EF==.∵△AEP是以∠EAP为顶角的等腰三角形,∴AE=AP.∴PF=EF=.在Rt△AFD中,DF==,∴DP=DF-FP=-.
(共17张PPT)
第二十一章 四边形
21.3 特殊的平行四边形
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第5课时 菱形的判定
知识点 菱形的判定定理
1.定义法:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线 的平行四边形是菱形.
3.四条边 的四边形是菱形.
知识点 菱形的判定定理
1.下列平行四边形中,根据图中所标出的数据,不一定是菱形的是( ).
C
2.(黑龙江)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条
件: ,使 ABCD为菱形.
3.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD,若AC=4,则四边形CODE的周长为 .
答案不唯一,如:AC⊥BD
8
4.如图,△ABC与△ADC关于直线AC对称,∠BAD=∠BCD.求证:四边形ABCD是菱形.
证明:∵△ABC与△ADC关于直线AC对称,
∴AB=AD,CB=CD,∠BAC=∠BAD,∠BCA=∠BCD.
∵∠BAD=∠BCD,∴∠BAC=∠BCA.∴AB=CB.
∴AB=AD=CB=CD.∴四边形ABCD是菱形.
1.如图,在 ABCD中,添加下列条件仍不能判定 ABCD是菱形的
是( ).
A.AC⊥BD B.AB=BC
C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC
C
2.下列条件,能判定一个四边形是菱形的是( ).
A.对角线相等且互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等且两组对角分别相等
D.对角线互相垂直平分
D
3.如图,四边形ABCD为平行四边形,对角线相交于点O.小颖利用尺规按如下步骤操作:以点C为圆心,OC长为半径作弧;以点D为圆心,OD长为半径作弧;两弧交于点E,分别连接CE,DE.小颖认为:若AC=BD,则四边形OCED是菱形.她判定四边形OCED为菱形的依据是( ).
A.两组对边平行
B.四条边相等
C.对角线互相垂直且平分
D.两组对边相等
B
4.(长春)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=5,OA=4,OB=3.求证: ABCD是菱形.
证明:∵AB=5,OA=4,OB=3,∴OB2+OA2=32+42=25,AB2=52=25.
∴OB2+OA2=AB2.∴∠AOB=90°,即AC⊥BD.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴ ABCD是菱形.
5.如图,已知矩形ABCD,B是CE的中点,EF∥AC,交AB的延长线于点F.求证:四边形ACFE是菱形.
证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB⊥BC.
∴∠FBE=∠ABC=90°.
∵B是CE的中点,∴BE=BC.∵EF∥AC,∴∠FEB=∠ACB.
∴△FEB≌△ACB.∴BF=BA.
∴四边形ACFE是平行四边形.
∵AB⊥BC,即AF⊥EC,∴四边形ACFE是菱形.
6.(教材改编)如图,两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起,交叉形成的锐角为60°,则重合部分构成的四边形ABCD的面积为 cm2.
6
7.如图,将 ABCD折叠,使顶点D恰好落在AB边上的点M处,折痕为AN,则四边形AMND是菱形吗 请说明理由.
解:四边形AMND是菱形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ DN∥AM.∴∠DNA=∠MAN. 由折叠的性质,得AM=AD,MN=DN,∠DNA=∠MNA, ∴∠MAN=∠MNA.∴MN=AM. ∴AM=MN=DN=AD.∴四边形AMND是菱形.
8.(遂宁)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E,F在对角线BD上,BE=EF=FD,且AF⊥AB,CE⊥CD,垂足分别为A,C.
(1)求证:△ABF≌△CDE;
(2)连接AE,CF,若∠ABD=30°,请判断四边形AECF的形状,并说明理由.
(1)证明:∵AF⊥AB,CE⊥CD,∴∠BAF=∠DCE=90°.
∵AB∥CD,∴∠ABF=∠CDE.∵BE=EF=FD,
∴BE+EF=FD+EF,即BF=DE.∴△ABF≌△CDE.
(2)解:四边形AECF是菱形.理由如下:
如图,连接AE,CF.∵△ABF≌△CDE,
∴AF=CE,∠AFB=∠CED.∴AF∥CE.
∴四边形AECF是平行四边形.
在Rt△ABF中,∠ABD=30°,BE=EF,∴AF=BF,AE=BF.
∴AF=AE.∴四边形AECF是菱形.
9.如图①,在 ABCD中,∠BAD的平分线AE交边BC于点E,EF∥AB,交边AD于点F,连接BF,交AE于点O.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(2)如图②,若AB=AE=BE=4,G为BE的中点,K为BF上一动点,连接GK,EK,求△EKG周长的最小值.
① ②
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠FAE=∠AEB,AF∥BE.
∵EF∥AB,∴四边形ABEF是平行四边形.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠FAE.
∴∠BAE=∠AEB.∴AB=BE.∴四边形ABEF是菱形.
(2)解:如图,连接AK.∵四边形ABEF是菱形,∴BF垂直平分AE.∴AK=EK.∴△EKG的周长C△EKG=EG+GK+EK=EG+GK+AK.连接AG,当且仅当A,K,G三点共线时,C△EKG有最小值,最小值为AG+EG.∵AB=AE=BE=4,∴△ABE为等边三角形.∵G为BE的中点,∴EG=BE=2,AG⊥BE.在Rt△AGE中,AG==2.
∴AG+EG=2+2.∴△EKG周长的最小值为2+2.
(共16张PPT)
第二十一章 四边形
21.3 特殊的平行四边形
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第1课时 矩形及其性质
知识点一 矩形的概念与性质
1.有一个角是 的平行四边形叫作矩形,矩形也就是长方形.
2.因为矩形是一种特殊的平行四边形,所以它具有平行四边形的所有性质.除此之外,矩形还有以下性质:
(1)矩形的四个角都是 ;
(2)矩形的对角线 ;
(3)矩形是轴对称图形,它每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴.
知识点二 直角三角形斜边中线的性质
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .
知识点一 矩形的概念与性质
1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若AO=2,则BD的长
为( ).
A.2 B.4 C.6 D.8
B
2.某办公桌摆件的轴截面示意图如图所示.已知四边形ABCD是矩形,
AB=15 cm,BC=8 cm.若对角线AC⊥EO,垂足是E,且AE=25 cm,则CE
的长为( ).
A.6 cm B.7 cm
C.8 cm D.9 cm
3.如图,四边形ABDE,CBFG都是矩形,且DE=FG,∠BAC=65°,则∠DBF的度数为( ).
A.100° B.115°
C.125° D.130°
C
D
知识点二 直角三角形斜边中线的性质
4.如图,用刻度尺测量某三角形部件的尺寸,已知∠ACB=90°,D为边AB的中点,点A,B对应的刻度分别为1,6,则CD的长为( ).
A.3.5 cm
B.3 cm
C.2.5 cm
D.2 cm
C
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点.若∠A=55°,求∠BCD的度数.
解:∵CD是Rt△ABC斜边上的中线,
∴CD=AB=AD.∴∠ACD=∠A=55°.
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=35°.
1.某种型号拉杆箱的实物图及其平面示意图如图所示,拉杆箱的正面可近似看成一个矩形ABCD.若AC=70 cm,则下列说法正确的是( ).
A.BD<70 cm
B.BD=70 cm
C.BD>70 cm
D.无法确定BD的长
B
2.下列性质,矩形不一定具有的是( ).
A.对角线相等 B.四个角都相等
C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直
3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O.若∠ADO=75°,则∠AOD 的度数是( ).
A.30° B.55° C.60° D.75°
D
A
4.(东营)如图,四边形ABCD是矩形,直线EF分别交AD,BC,BD于点E,F,O.添加下列条件,不能证明△BOF≌△DOE的是( ).
A.EO=FO
B.AE=CF
C.EF⊥BD
D.O为矩形ABCD两条对角线的交点
5.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BF是AC边上的中线,
DE是△ABC的中位线.若DE=6,则BF的长为 .
C
6
6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BE⊥AC于点E,CF⊥BD于点F.求证:BE=CF.
证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OC.
∵BE⊥AC,CF⊥BD,∴∠BEO=∠CFO=90°.
又∠BOE=∠COF,∴△BOE≌△COF.
∴BE=CF.
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,P为AB边上的一点(不与
点A,B重合),过点P分别作PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,则线段EF的
最小值是 .
2.4
8.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=10,折叠矩形,使点D落在BC边上的点F处,折痕为AE.求EC的长.
解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=90°,AD=BC=10,CD=AB=8.由折叠的性质,得AF=AD=10,EF=DE.
在Rt△ABF中,BF==6,∴CF=BC-BF=4.
在Rt△CEF中,EF2-EC2=CF2,即(8-EC)2-EC2=16,∴EC=3.
9.如图,在矩形ABCD中,延长DC至点E,使CE=CD,连接BE,M,N分别为BE,CD的中点,连接MN,AE,AE交BC于点O,交MN于点H.
(1)求证:AO=EO;
(2)若∠DAE=75°,求∠EHN的度数.
(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,AB∥CD.
∵CE=CD,∴AB=CE.
又AB∥CE,∴∠ABC=∠ECB,∠OAB=∠OEC.
∴△OAB≌△OEC.∴AO=EO.
(2)解:如图,延长CD至点F,使DF=CE,连接BF,∴CF=DE.
∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD,BC∥AD,∠BCD=∠ADC=90°.
∴△ADE≌△BCF.∴∠AED=∠BFC.∵N为CD的中点,∴NC=DN.
又CE=DF,∴N为FE的中点.
∵M为BE的中点,∴MN为△BFE的中位线.
∴MN∥BF.∴∠MNC=∠BFC.∴∠AED=∠MNC.
∵∠DAE=75°,∠ADC=90°,
∴∠AED=90°-∠DAE=15°.
∴∠MNC=∠AED=15°.
∴∠EHN=180°-∠AED-∠MNC=150°.
(共17张PPT)
第二十一章 四边形
21.3 特殊的平行四边形
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第2课时 矩形的判定
知识点 矩形的判定定理
1.定义法:有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.对角线 的平行四边形是矩形.
3.有三个角是 的四边形是矩形.
知识点 矩形的判定定理
1.如图,要使 ABCD成为矩形,需要添加的条件是( ).
A.∠A+∠B=180°
B.∠B+∠C=180°
C.∠A=∠B
D.∠B=∠D
C
2.诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形的鼠标垫,为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形,他想出了以下几种方案,其中合理的是( ).
A.测量一组对边是否平行且相等
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量其中的三个角是否都为直角
D.测量对角线是否相等
3.在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD.下列条件,能够判定四边形ABCD是矩形的是( ).
A.AB=AC B.AB=AD C.OA=OB D.AC⊥BD
C
C
4.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,DF∥AB,DE∥AC,则当∠B= °时,四边形AEDF是矩形.
45
5.如图,A是直线MN上一点,AP,AQ分别是∠NAC和∠MAC的平分线,CB⊥AQ于点B,CD⊥AP于点D.求证:四边形ADCB是矩形.
证明:∵CB⊥AQ,CD⊥AP,∴∠ABC=∠ADC=90°.
∵AP,AQ分别是∠NAC和∠MAC的平分线,
∴∠PAC=∠NAC,∠CAQ=∠MAC.
∴∠BAD=∠PAC+∠CAQ=(∠NAC+∠MAC)=×180°=90°.
∴四边形ADCB是矩形.
1.(泸州)已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定 ABCD为矩形的是( ).
A.∠A=90° B.∠B=∠C C.AC=BD D.AC⊥BD
D
2.(教材改编)工人师傅在制作矩形窗框时,为了确保四边形窗框是矩形,除了要测量窗框的边长,还要测量窗框的对角线是否相等,其原理是( ).
A.对角线相等的四边形是矩形
B.两点之间,线段最短
C.对角线相等的平行四边形是矩形
D.两点确定一条直线
C
3.陈师傅制作了4个长为4 cm、宽为3 cm的矩形零件,并分别对它们进行了如下检测,则不一定合格的零件是( ).
C
4.(清远一模)如图,用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直,只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了.在下列定理中:①两组对边分别相等的四边形是平行四边形;②对角线相等的平行四边形是矩形;③矩形的四个角都是直角;④有三个角是直角的四边形是矩形.这种检测方法用到的数学根据是( ).
A.①② B.③④
C.①④ D.②③
D
5.如图,AC,BD是 ABCD的对角线,对角线交点为O,E,F是BD上两点,且BE=DF,连接AE,CE,AF,CF,添加一个条件: ,使四边形AECF是矩形.
答案不唯一,如:∠EAF=90°
6.(长春)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,O是边AB的中点,
∠AOD=∠BOC,求证:四边形ABCD是矩形.
证明:∵O是AB的中点,∴OA=OB.
在△AOD和△BOC中,
∴△AOD≌△BOC.∴DA=CB.∵∠A=∠B=90°,∴∠A+∠B=180°.∴DA∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形.又∠A=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
7.数学课上老师要求作图,已知P,Q分别为 ABCD的边AB,CD的中点,O为PQ与AC的交点,在对角线AC上作点M,N,使以M,Q,N,P为顶点的四边形是矩形.
嘉嘉:如图①,以点O为圆心,OP的长为半径作弧,交AC于点M,N.
玲玲:如图②,分别过点P,Q作PM⊥AC于点M,QN⊥AC于点N.
下列说法正确的是( ).
A.只有嘉嘉正确 B.只有玲玲正确
C.两人都正确 D.两人都不正确
A
① ②
8.如图,在 ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长,交DC的延长线于点F.
(1)求证:△ABE≌△FCE;
(2)连接AC,BF,若∠AEC=2∠ABC,求证:四边形ABFC是矩形.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,即AB∥DF.
∴∠BAE=∠CFE.∵E是BC的中点,∴BE=CE.
又∠BEA=∠CEF,∴△ABE≌△FCE.
(2)∵△ABE≌△FCE,∴AB=FC,AE=FE.∵AB∥FC,
∴四边形ABFC是平行四边形.
∵∠AEC=2∠ABC,∠AEC=∠ABC+∠BAE,∴∠ABC=∠BAE.
∴AE=BE.∴AE=BE=FE=CE.∴AF=BC. ∴四边形ABFC是矩形.
9.如图,在△ABC中,O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.连接AE,AF.
(1)求证:EO=FO;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形 证明你的结论.
(2)解:当点O运动到AC的中点处时,四边形AECF是矩形.
证明如下:∵EO=FO,O是AC的中点,∴四边形AECF是平行四边形.
∵CF平分∠ACD,∴∠4=∠5.又∠1+∠2+∠4+∠5=180°,
∴∠2+∠4=×180°=90°,即∠ECF=90°.∴四边形AECF是矩形.
(1)证明:如图,∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2.
∵MN∥BC,∴∠3=∠1.∴∠2=∠3.
∴EO=CO.同理,FO=CO.∴EO=FO.(共12张PPT)
第二十一章 四边形
21.3 特殊的平行四边形
第6课时 菱形的性质与判定练习课
基础达标
能力提升
拓展探究
1.下列说法正确的是( ).
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.对角线互相平分的四边形是菱形
C.菱形的对角线相等且互相平分
D.菱形的对角线互相垂直平分
2.如图,在菱形ABCD中,AB=BD,则∠A的度数为( ).
A.30° B.45°
C.60° D.90°
D
C
3.如图,按以下步骤作四边形ABCD:①作∠MAN;②以点A为圆心,
1个单位长度为半径作弧,分别交AM,AN于点B,D;③分别以点B,D
为圆心,1个单位长度为半径作弧,两弧交于点C;④连接BC,CD,BD.
若∠ABD=68°,则∠C的度数是( ).
A.56° B.50° C.44° D.34°
C
4.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC
于点F.若AF=6,则四边形AEDF的周长是( ).
A.24 B.28
C.32 D.36
A
5.“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会,也象征着对海洋的保护与呼吁.如图,李老师用一段矩形绸缎制作了一条宽为6 cm的蓝丝带,若∠BAD=45°,则重叠部分图形的面积是( ).
A.18 cm2 B.36 cm2
C.36 cm2 D.72 cm2
C
6.(传统文)中国结寓意团圆美满,其以独特的东方神韵,体现了我国人民的智慧和深厚的文底蕴.小凯家有一个中国结装饰,中间部分可近似看成一个菱形ABCD,如图,现测得AB=5 cm,AC=6 cm,则该菱形的面积
为 cm2.
24
7.(凉山州)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,E是边CD的中点,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G.若AC=12,BD=16,则FG的长
为 .
5
8.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点C作CE∥BD,过点D作DE∥AC,CE与DE相交于点E.
(1)求证:四边形CODE是矩形;
(2)连接OE,若AB=10,求OE的长.
(1)证明:∵CE∥BD,DE∥AC,∴四边形CODE是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.∴∠DOC=90°.
∴四边形CODE是矩形.
(2)解:如图,连接OE.∵四边形ABCD为菱形,
∴DC=AB=10.由(1)得四边形CODE是矩形,∴OE=DC=10.
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC的垂直平分线分别交AB,AC于点E,
D,连接CE,过点B作BF∥CE交DE的延长线于点F.
(1)求证:四边形BCEF是平行四边形;
(2)当∠A满足什么条件时,四边形BCEF是菱形 证明你的结论.
(1)证明:∵DF⊥AC,∴∠FDA=90°.∵∠ACB=90°,∴∠FDA=∠ACB.
∴DF∥BC.又BF∥CE,∴四边形 BCEF是平行四边形.
(2)解:当∠A=30° 时,四边形BCEF是菱形.证明如下:∵DF垂直平分AC,∴EA=EC.∴∠ACE=∠A=30°.∵∠ACB=90°,∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=60°,∠ABC=90°-∠A=60°.∴△BCE是等边三角形.∴BC=EC.由(1)得四边形 BCEF是平行四边形,∴四边形 BCEF是菱形.
10.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BD=12 cm,AC=6 cm,点E在线段BO上,从点B出发以1 cm/s 的速度向点O运动;点F在线段OD上,从点O出发以2 cm/s的速度向点D运动.若E,F两点同时开始运动,当其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t s.
(1)当t为多少时,四边形AECF是平行四边形
(2)在(1)的条件下,当AB为何值时,四边形AECF是菱形
(3)求(2)中菱形AECF的面积.
解:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AO=OC,BO=OD=BD=6 cm.
∴EO=6-t,OF=2t.∵AO=OC,∴当EO=OF时,四边形AECF是平行四边形.∴6-t=2t,解得 t=2.∴当 t=2时,四边形AECF是平行四边形.
(2)由(1)知,四边形AECF是平行四边形,∴当AC⊥BD,即∠AOB=90°时, AECF是菱形.∵AO=AC=3 cm,BO=6 cm,∴AB==
3 cm.∴当AB=3 cm时,四边形AECF是菱形.
(3)由(1)得t=2,
则EO=4 cm,∴S菱形AECF=4×EO·AO=4××4×3=24(cm2).(共18张PPT)
第二十一章 四边形
21.2 平行四边形
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第2课时 平行四边形及其性质（2）
知识点一 两条平行线之间的距离
1.如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
2.两条平行线中,一条直线上 到另一条直线的距离,叫作这两条平行线之间的距离.
知识点二 平行四边形的性质综合
3.如图,在 ABCD中,
(1)AB= ,AD= ;
(2)∠ABC= ,∠BCD= ;
(3)OA= ,OB= .
知识点一 两条平行线之间的距离
1.如图,直线l1∥l2,则△ABC与△DBC面积的大小关系是( ).
A.S△ABC>S△DBC B.S△ABCC.S△ABC=S△DBC D.无法确定
C
2.(教材改编)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AD=2,AB=BC=5,E为边BC上一点且AB∥DE.AD,BC之间的距离为 .
4
知识点二 平行四边形的性质综合
3.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E在BD的延长线上,且△EAC是等边三角形.若AC=8,AB=5, 求ED的长.
解:∵△EAC为等边三角形,∴AE=AC=CE=8.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC=4,OB=OD.∴EB⊥AC.
在Rt△AOB中,OB===3.
在Rt△AOE中,OE===4.
∴ED=OE-OD=OE-OB=4-3.
1.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论不一定成立的是( ).
A.AB∥CD B.OA=OC
C.OB=OD D.AB=BO
D
2.(教材改编)如图, ABCD的对角线相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,连接BE.若△ABE的周长为8,则 ABCD的周长为( ).
A.12 B.14
C.16 D.20
3.如图,在 ABCD中,已知点A(-1,2),C(2,-1),D(3,2),则点B的坐标为( ).
A.(-3,-2) B.(-2,-2)
C.(-3,-1) D.(-2,-1)
C
D
4.如图,在 ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD'E处,AD'与CE交于点F.若∠B=50°,∠DAE=20°,则∠FED'=( ).
A.40°
B.35°
C.30°
D.50°
A
5.如图,在 ABCD中,点E在边AB上,点F在线段CE上,且CE=DC,∠DFC=∠B.
(1)求证:△BCE≌△FDC;
(2)若AB=8,AD=5,CE平分∠BCD,求AE的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥ CD.∴∠CEB=∠DCF.
又∠B=∠DFC,CE=DC,∴△BCE≌△FDC.
(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=5.∵CE平分∠BCD,∴∠BCE=∠DCF.由(1)知∠CEB=∠DCF,∴∠BCE=∠CEB.
∴BE=BC=5.∴AE=AB-BE=8-5=3.
6.如图,在 ABCD中,点E在边AB上,点F,G在边CD上,若AF,AG分别与DE相交于点M,N,则下列说法正确的是( ).
A.S△AEF>S△AEG,S△AMD>S△NEG
B.S△AEFC.S△AEF=S△AEG,S△AMD>S△NEG
D.S△AEF=S△AEG,S△AMDD
7.如图,在 ABCD中,分别以边BC,CD作等腰三角形BCF和等腰三角形CDE,使BC=BF,CD=DE,∠CBF=∠CDE,连接AF,AE.
(1)求证:△ABF≌△EDA;
(2)若AF⊥AE,求证:BF⊥BC.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BA=CD,DA=BC,∠ABC=∠ADC.
又CD=DE,BC=BF,∴BA=DE,BF=DA.
∵∠ABF+∠ABC+∠CBF=360°,
∠EDA+∠ADC+∠CDE=360°,∠CBF=∠CDE,
∴∠ABF=∠EDA.∴△ABF≌△EDA.
(2)如图,延长FB交AD于点H.∵AE⊥AF,∴∠EAF=90°,即∠EAD+∠FAH=90°.∵△ABF≌△EDA,∴∠EAD=∠AFB.
∴∠AFB+∠FAH=90°.∴∠AHF=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥ BC.
∴∠HBC=∠AHF=90°.∴BF⊥BC.
8.综合与实践
小欣在学习勾股定理和平行四边形的相关知识后,对其进行深入探索:
Rt△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,
其中∠ACB=90°,点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
M为线段AB的中点.
发现一:点C的坐标为(x1,y2),AC=,BC=,根据勾股定理,AB==.
发现二:点M的坐标为 (,) .
如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠C=90°,BC∥x轴,点A的坐标为(-2,4),点B的坐标为(2,1).
(1)【问题解决】直接写出点C的坐标: ;
(2)【知识迁移】根据“发现一”的信息,求线段AB的长;
(3)【拓展延伸】D为平面内一点,当以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形时,求BD的长.
(1)(-2,1)
解:(2)∵点A的坐标为(-2,4),点B的坐标为(2,1),
∴AB==5.
(3)分以下三种情况讨论:Ⅰ.如图①,当AB为对角线时,∵四边形ACBD为平行四边形,∴BD=AC=4-1=3.Ⅱ.如图②,当BC为对角线时,∵四边形ACDB为平行四边形,∴BD=AC=4-1=3.Ⅲ.如图③,当AC为对角线时,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC=2-(-2)=2+2=4.
∵A(-2,4),∴D(-6,4).∴BD==.综上所述,BD=3或BD=.
(共16张PPT)
第二十一章 四边形
21.1 四边形及多边形
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第1课时 四边形及其内角和
知识点一 四边形的概念
1.在平面内,由不在同一直线上的四条线段 相接组成的图形叫作四边形,组成四边形的各条线段叫作四边形的边,每相邻两条线段的 叫作四边形的顶点.四边形用表示它的各个顶点的字母表示.
2.连接四边形 的两个顶点的线段,叫作四边形的对角线.
公共端点
不相邻
知识点二 四边形的内角与外角
3.四边形 两边组成的角叫作四边形的内角,简称四边形的角.
4.四边形的角的一边与另一边的 组成的角叫作四边形的外角.
5.四边形的内角和等于 .
6.四边形的外角和等于 .
知识点三 四边形的不稳定性
7.四边形不具有稳定性.
延长线
360°
360°
知识点一 四边形的概念
1.下面的图中有 个四边形.
9
2.如图,A,B,C分别是△DFE三条边上的点,
图中共有 个四边形,其中以点E为顶点的四边形
是 ,以CF为边的四边形
是 ,AB是四边形 的对角线.
6
四边形EBCA,四边形EBCF,四边形EDCA
四边形CFAB,四边形EBCF
EBCA
知识点二 四边形的内角与外角
3.如果一个四边形四个内角的度数之比为1∶1∶0.6∶1,那么该四边形最小的内角的度数为( ).
A.75° B.70° C.65° D.60°
4.已知一个四边形四个外角的度数比为1∶2∶3∶4,则该四边形各外角的度数分别是 .
D
36°,72°,108°,144°
知识点三 四边形的不稳定性
5.如图,伸缩门可自由伸缩,开关方便,它突显了四边形的( ).
A.稳定性 B.不稳定性
C.对称性 D.美观性
B
1.下列图形不具有稳定性的是( ).
2.四边形的四个内角可以都是( ).
A.锐角 B.直角
C.钝角 D.以上答案都不对
B
B
3.四边形不具有稳定性,当它的形状发生改变时,发生变的是
它的( ).
A.外角和 B.边长
C.周长 D.某些角的大小
4.如图,已知△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪
去∠C,则∠1+∠2等于( ).
A.90° B.135°
C.270° D.315°
D
C
5.如图,已知∠1,∠2,∠3,∠4是四边形ABCD的外角,且∠1=120°,∠2=110°,∠4=60°,则∠3= °.
70
6.(教材改编)求出下列图形中x的值.
(2)
(1)
(3)
解:(1)由题意得90+60+x+(x+10)=360,解得x=100.
(2)由题意得x+(x+20)+(x+40)+2x=360,解得x=60.
(3)由题意得90+73+82+(180-x)=360,解得x=65.
7.如图,把△ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,∠A与∠1,∠2之间的数量关系是( ).
A.∠A=∠1+∠2
B.2∠A=∠1+∠2
C.3∠A=2∠1+∠2
D.3∠A=2(∠1+∠2)
B
8.如图,在△ABC中,∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5,BD,CE分别是AC,AB边上的高,BD,CE相交于点H,求∠BHC的度数.
解:设∠A=3x°,∠ABC=4x°,∠ACB=5x°,
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴3x+4x+5x=180.
∴x=15.∴∠A=45°.∵CE⊥AB,BD⊥AC,
∴∠AEH=90°,∠ADH=90°.∵四边形AEHD的内角和等于360°,
∴∠A+∠AEH+∠ADH+∠EHD=360°.
∴45°+90°+90°+∠EHD=360°.
∴∠EHD=135°.∴∠BHC=∠EHD=135°.
9.如图,四边形ABCD的内角∠BAD,∠CDA的平分线相交于点E,∠ABC,∠BCD的平分线相交于点F.
(1)若∠F=70°,则∠ABC+∠BCD= °,∠E= °;
(2)探索∠E与∠F有怎样的数量关系,并说明理由;
(3)给四边形ABCD添加一个条件,使得∠E=∠F,所添加的条件可以是 .(写出一个即可)
(1)220 110
(2)解:∠E+∠F=180°.理由如下:∵AE平分∠BAD,DE平分∠CDA,BF平分∠ABC,CF平分∠BCD,∴∠DAE=∠BAD,∠ADE=∠CDA,∠CBF=∠ABC,∠BCF=∠BCD.
∵∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=360°,
∴∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=180°,
即∠DAE+∠ADE+∠CBF+∠BCF=180°.
∵∠DAE+∠ADE+∠E=180°,∠CBF+∠BCF+∠F=180°,
∴∠DAE+∠ADE+∠E+∠CBF+∠BCF+∠F=360°.∴∠E+∠F=180°.
(3)AB∥CD(答案不唯一)(共16张PPT)
第二十一章 四边形
21.2 平行四边形
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第3课时 平行四边形的判定（1）
知识点 平行四边形的判定定理(1)
1.定义法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.两组对边分别 的四边形是平行四边形.
3.两组对角分别 的四边形是平行四边形.
4.对角线互相 的四边形是平行四边形.
知识点 平行四边形的判定定理(1)
1.在四边形ABCD中,AD∥ BC,要判定四边形ABCD是平行四边形,那么还需满足( ).
A.∠B+∠C=180°
B.∠B+∠D=180°
C.∠A+∠B=180°
D.∠A+∠C=180°
A
2.如图,等边三角形ABC与等边三角形DBC的一边BC重合.求证:四边形ABDC是平行四边形.
证明:∵等边三角形ABC与等边三角形DBC的一边BC重合,
∴AB=AC=BC,DB=DC=BC.∴AB=CD,AC=BD.
∴四边形ABDC是平行四边形.
3.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C,AB∥ DC.求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵AB∥ DC,∴∠A+∠D=180°,∠B+∠C=180°.
又∠A=∠C,∴∠B=∠D.∴四边形ABCD是平行四边形.
4.如图,已知O是 ABCD对角线AC的中点,过点O的直线EF分别交AB,CD于点E,F,连接AF,CE.求证:四边形AECF是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥ CD.
∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC.
∵O是AC的中点,∴OA=OC.∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.又OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.
1.如图,在四边形ABCD中,E是AB延长线上一点,已知∠CBE=42°.甲认为∠DAB=∠DCB=42°时,四边形ABCD是平行四边形;乙认为∠ADC=138°时,四边形ABCD为平行四边形.下列说法正确的是( ).
A.乙对,甲不对 B.两人都对
C.甲对,乙不对 D.两人都不对
C
2.如图,已知△ABC,分别以点C,A为圆心,AB,BC的长为半径作弧,
两弧相交于点D,连接AD,CD,则判定四边形ABCD是平行四边形的
依据是 .
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.如图,在四边形ABCD中,BC=CD,AB⊥BD,E是BD的中点,且BC∥ AE,连接CE.求证:AB=CE.
证明:∵BC=CD,E是BD的中点,∴CE⊥BD.
又AB⊥BD,∴AB∥ CE.又BC∥ AE,
∴四边形ABCE是平行四边形.∴AB=CE.
4.一个四边形的边长依次是a,b,c,d,且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,请判断该四边形的形状,并说明理由.
解:该四边形是平行四边形.理由如下:
由题意,得a2-2ac+c2+b2-2bd+d2=0,∴(a-c)2+(b-d)2=0.
∴a-c=0,b-d=0.∴a=c,b=d.∴该四边形是平行四边形.
5.如图,在 ABCD中,E,F分别是BC,AD上的点,∠1=∠2.求证:四边形AECF是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D,∠BAD=∠BCD.
又∠1=∠2,∴∠B+∠1=∠D+∠2,∠BAD-∠1=∠BCD-∠2,
即∠AEC=∠AFC,∠EAF=∠ECF.∴四边形AECF是平行四边形.
6.如图,在 ABCD中,点E,F在对角线BD上,连接AE,EC,CF,FA.
(1)请你添加一个条件: ,使四边形AECF是平行四边形;
(2)根据(1)中你所添加的条件,求证:四边形AECF是平行四边形.
(1)BE=DF(答案不唯一)
(2)证明:如图,连接AC,交BD于点O.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.又BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF.又OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.
7.如图,在 ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA上的点,且AE=CG,BF=DH.求证:四边形EFGH是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AD=BC.
又BF=DH,∴AD-DH=BC-BF,即AH=CF.
又AE=CG,∴△AEH≌△CGF.∴EH=GF.
同理,EF=GH.∴四边形EFGH是平行四边形.
8.如图,在△ABC中,分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD、等边三角形ACE、等边三角形BCF.求证:四边形DAEF是平行四边形.
证明:∵△ABD,△BCF,△ACE都是等边三角形,∴DB=AB,BF=BC,AE=AC,∠ABD=∠FBC=60°.
∴∠ABD-∠FBA=∠FBC-∠FBA,即∠DBF=∠ABC.∴△DBF≌△ABC.∴DF=AC.
∴DF=AE.同理,EF=AD.∴四边形DAEF是平行四边形.(共17张PPT)
第二十一章 四边形
21.1 四边形及多边形
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第2课时 多边形及其内角和
知识点一 多边形的概念
1.如图,在平面内,由n(n≥3)条线段A1A2,A2A3,…,An-1An,
AnA1 相接,组成的图形叫作多边形.多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的概念与四边形相应的概念类似.多边形有几条边就叫作几边形.多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示.
2.像正方形这样,各个角都 、各条边都 的多边形叫作正多边形.
3.n边形共有n个顶点,从每一个顶点出发,都能引出(n-3)条对角线,但每条对角线对应着两个顶点,所以对角线的总数为条.
知识点二 多边形的内角和与外角和
4.n边形的内角和等于 .
5.多边形的外角和等于 .
相等
(n-2)×180°
360°
知识点一 多边形的概念
1.在下列图形中,属于多边形的有( ).
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B
2.(清远期末)过七边形的一个顶点可以画n条对角线,将它分成m个三角形,则m+n的值是( ).
A.7 B.8
C.9 D.10
C
3.在学习完多边形后,小凯将一个五边形沿如图所示的直线l剪掉一个角后,得到一个新多边形,下列说法正确的是( ).
A.这个新多边形有五条边
B.从这个新多边形的顶点A出发,最多可以画4条对角线
C.从顶点A出发的所有对角线将这个新多边形分成4个三角形
D.以上说法都不正确
4.过n边形的一个顶点可以作5条对角线,则这个n边形共有 条对角线.
C
20
知识点二 多边形的内角和与外角和
5.一个多边形的内角和可能是( ).
A.270° B.630°
C.1 920° D.720°
6.为了增强对称美感,许多喷水池或花坛的台基会被设计为正八边形轮廓.正八边形的内角和为( ).
A.720° B.900°
C.1 080° D.1 440°
D
C
7.(韶关一模)如果一个多边形的每一个外角都是30°,那么这个多边形的边数为 .
8.(长春)图①是一个正十二面体,它的每个面都是正五边形,图②是其展开图,则∠α为 °.
12
36
1.正六边形的一个内角的度数为( ).
A.150° B.120°
C.90° D.60°
2.如果一个多边形的每个内角都相等,且内角和为1 440°,那么这个多边形的一个外角等于( ).
A.30° B.36°
C.40° D.45°
B
B
3.一个多边形的内角和与外角和的比是5∶2,则它是( ).
A.五边形 B.六边形
C.七边形 D.八边形
4.如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的4个外角.若∠EAB=120°,则∠1+∠2+∠3+∠4= °.
C
300
5.一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°,求这个多边形对角线的条数.
解:设这个多边形的边数是n,由题意,得(n-2)×180=360×2+180,解得n=7.故这个多边形对角线的条数是==14.
6.已知一个多边形的内角和与外角和的和为2 160°,则这个多边形的对角线共有( ).
A.54条 B.65条 C.60条 D.55条
7.如图,正五边形ABCDE的对角线恰好围成一个五角星(图中阴影部分),则∠CAD的度数是 .
A
36°
8.图①为传统建筑中的一种窗格,图②为其窗框的示意图.
已知多边形ABCDEFGH为正八边形,连接AC,BD,AC与BD
交于点M,∠AMB= °.
45
9.【阅读理解】如图①,像这样用一种或几种形状、大小完全相同的平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,叫作平面图形的镶嵌.
我们经常见到如图②所示的地面,它们分别是全用正方形或全用正六边形材料铺成的,这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面.
【解决问题】(1)用图②的方式铺地面,能否全用正五边形的材料 为什么
(2)现有四种地砖,它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形,且它们的边长都相等,同时选择其中两种地砖密铺成平整、无空隙的地面,选择的方式共有 种;
【理解应用】(3)用三块正多边形木板铺地面,它们拼在一起且相交于
一点的各边完全吻合,若其中有两块木板是正五边形,则第三块木板是正几边形
解:(1)不能全用正五边形的材料铺地面.理由如下:由于正五边形的每个内角的度数为(5-2)×180°÷5=108°,要铺成平整、无空隙的地面,必须使若干个正五边形的内角拼成一个周角(360°),但找不到符合条件的正整数n,使得n×108°=360°.故不能全用正五边形的材料铺地面.
(2)3
(3)由(1)可知,正五边形每个内角的度数为108°,
∴第三块木板每个内角的度数为360°-2×108°=144°.
设第三块木板的边数是x,则(x-2)×180=144x,解得x=10.
∴第三块木板是正十边形.(共22张PPT)
第二十一章 四边形
21.3 特殊的平行四边形
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第7课时 正方形
知识点一 正方形的概念与性质
1.对于一个平行四边形,如果它不仅有一组邻边 ,而且有一个角
是 ,那么它就是正方形.
2.正方形既是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形、菱形,因此它具有这些图形的所有性质:
(1)正方形的四个角都是 ;
(2)正方形的四条边都 ;
(3)正方形的两条对角线 ,并且互相 ,每条对角线 一组对角;
(4)正方形是轴对称图形,有 条对称轴.
知识点二 正方形的判定定理
3.定义法:有一组邻边 ,且有一个角是 的平行四边形是正方形.
4.有一组邻边 的矩形是正方形.
5.有一个角是 的菱形是正方形.
6.对角线 的四边形是正方形.
知识点一 正方形的概念与性质
1.正方形有而菱形没有的性质是( ).
A.对角线互相平分
B.对角线相等
C.内角和为360°
D.每一条对角线平分一组对角
2.如图,在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE,
则∠EAD的度数为 .
B
15°
3.(徐州)如图,四边形ABCD为正方形,点E在BD的延长线上,连接EA,EC.
(1)求证:△EAB≌△ECB;
(2)若∠AEC=45°,求证:DC=DE.
证明:(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AB=BC,∠ABE=∠CBE=45°.
在△EAB和△ECB中,∴△EAB≌△ECB.
(2)∵四边形ABCD为正方形,∴∠BDC=45°.∵△EAB≌△ECB,∠AEC=45°,
∴∠CED=∠AED=∠AEC=22.5°.∴∠DCE=∠BDC-∠CED=22.5°.
∴∠CED=∠DCE.∴DC=DE.
知识点二 正方形的判定定理
4.如图,一个四边形顺次添加下列条件中的三个便得到正方形:a.两组对边分别相等;b.一组对边平行且相等;c.一组邻边相等;d.一个角是直角.
顺次添加的条件:
①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c.
其中正确的是( ).
A.仅① B.仅③
C.①② D.②③
C
5.(教材改编)我们知道,在图形从一般向特殊变的过程中,它的组成元素及相关元素之间的关系也越来越特殊.下面是小颖从“对角线”的角度对平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的梳理,图中“▲”处应填写的内容是 .
对角线互相垂直且相等
1.如图,小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出了一幅转换图,(1)(2)(3)(4)处需要添加条件,则下列条件添加错误的是( ).
A.(1)处可填∠A=90°
B.(2)处可填AD=AB
C.(3)处可填AD=CB
D.(4)处可填∠A=90°
C
2.如图,已知四边形ABCD的对角线相交于点O,则下列条件能判定它是正方形的是( ).
A.AO=CO,BO=DO,AC⊥BD
B.AB=BC=CD=DA
C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
D.AB=BC,CD⊥DA
C
3.如图,四边形ABCD是正方形,F为AB边上一点,连接CF,交对角线BD于点E,连接AE.若∠BCF=20°,则∠AEF的度数为( ).
A.35° B.40°
C.45° D.50°
D
4.如图①,乳钉纹方鼎是商代的青铜鼎,其口部可近似看成一个
边长为60 cm的正方形ABCD,如图②,O为该正方形对角线的交点,
则AO= cm.
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5.(浙江)综合与实践
【问题背景】如图,某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分),点E在对角线BD上.
【数学理解】(1)该机翼状纸板由两个全等三角形组成,求证:△ABE≌△CBE;
(2)若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼角”∠BAE的度数.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABD=∠CBD.
又BE=BE,∴△ABE≌△CBE.
(2)解:∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,∠ADB=45°.
∵DE=DA,∠DAE+∠DEA+∠ADB=180°,∴∠DAE=∠DEA=67.5°.
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°.
6.如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,CF⊥AD于点F,AE=CE.求证:四边形AECF是正方形.
证明:∵CF⊥AD,AE⊥BC,∴∠AFC=∠AEC=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.
∴∠EAF=180°-∠AEC=90°.∴∠EAF=∠AFC=∠AEC=90°.
∴四边形AECF是矩形.
∵AE=CE,∴四边形AECF是正方形.
7.(重庆)如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是BC上一点,F是CD延长线
上一点,连接AE,AF,AM平分∠EAF交CD于点M.若BE=DF=1,则DM的长
为( ).
A.2 B. C. D.
D
8.(广州)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在边BC上,且BE=1,F为对角线BD上一动点,连接CF,EF,则CF+EF的最小值为 .
9.(教材改编)数学探究课上,小浩把两个全等的正方形按如图所示的方式放置,点O是正方形ABCD的中心.他告诉小宇,正方形ABCD的边长为6,小宇快速地说出了阴影部分的面积,答案是 .
10.下面是博学小组研究性学习报告的部分内容.请认真阅读,并回答问题.
关于“矩形内折正方形的方法”的研究报告
研究人员:博学小组
操作:Ⅰ.如图①,将矩形纸片ABCD对折,折痕为EH.
Ⅱ.如图②,先展平纸片,再将矩形纸片ABCD沿折痕EG,EF折叠,使A,B两点落在EH上,这时发现点A,B的落点A',B' 重合.
Ⅲ.如图③,将△EGF沿折痕FG折叠,使点E落在点E' 处,则四边形EFE'G为正方形.……
你能说明为什么四边形EFE'G是正方形吗
①
②
③
解:由折叠的性质,得∠AEG=∠B'EG,∠BEF=∠B'EF,AE=BE,E'G=EG,E'F=EF.
∵∠AEG+∠B'EG+∠BEF+∠B'EF=180°,∴∠B'EG+∠B'EF=90°,即∠GEF=90°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=90°.易知,四边形AEB'G,BFB'E是矩形,∴AG=EB'=BF.∴△AEG≌△BEF.
∴EG=EF.∴EG=E'G=EF=E'F.∴四边形EFE'G是菱形.又∠GEF=90°,
∴四边形EFE'G是正方形.
11.如图①,在矩形纸片ABCD中,CD=4,连接AC,∠CAD=30°,沿对角线AC剪开,将△ABC沿射线AD方向平移得到△A'B'C'(如图②),直线A'B'与AC交于点E,直线C'A'与CD交于点F.设AA'=x.
(1)在图①中,∠ACB的度数为 ,边AD的长为 ;
(2)若点A'在线段AD上,则四边形A'B'CD的形状是 ;
(3)若点A'在射线AD上,当x为何值时,以A',B',C,D为顶点的四边形是正方形
(1)30° 4
(2)矩形
(3)解:当点A'在线段AD上时,∵AA'=x,∴DA'=4-x.∵四边形A'B'CD是正方形,∴DA'=CD,即4-x=4,解得x=4-4;当点A'在线段AD的延长线上时,∵AA'=x,∴DA'=x-4.∵四边形A'B'CD是正方形,∴DA'=CD,
即x-4=4,解得x=4+4.综上所述,当x为4+4或4-4时,以A',B',C,D为顶点的四边形是正方形.
