(共13张PPT)
第二十二章 函数
22.1 函数的概念
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第2课时 函数的概念
知识点 函数的概念
一般地,在一个变过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有 的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时y=b,那么b叫作当自变量的值为a时的 .
唯一确定
函数值
知识点 函数的概念
1.治理雾霾的方法之一是将已产生的PM2.5吸纳降解,研究表明:雾霾的程度随城市绿面积的增大而减小.在这个问题中,自变量是( ).
A.雾霾程度 B.PM2.5
C.雾霾 D.城市绿面积
D
2.小康在游玩时发现一些事物的形状或轨迹如图所示,其中能表示y是x的函数的是( ).
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
C
3.观察表1和表2,下列判断正确的是( ).
A.y1是x的函数,y2不是x的函数
B.y1和y2都是x的函数
C.y1不是x的函数,y2是x的函数
D.y1和y2都不是x的函数
C
4.某镇居民生活用水实行阶梯收费,收费标准如下表所示.
(1)y是关于x的函数吗 为什么
(2)小敏家2月用水10 t,3月用水8 t,求这两个月合计应缴的水费.
解:(1)是.∵存在两个变量:月用水量x和收费标准y,对于x的每一个确定的值,都有唯一确定的y值与其对应,∴y是关于x的函数.
(2)3.5×8+(10-8)×4+3.5×8=64(元).答:这两个月合计应缴水费64元.
1.下列关系式中,y不是x的函数的是( ).
A.y=x2 B.y=2x C.|y|=2x D.y=
2.下列关于两个变量的关系,表述错误的是( ).
A.在式子S=πr2中,S是r的函数
B.匀速行驶的汽车,其行驶的路程是时间的函数
C.在式子y2=x(x≥0)中,y是x的函数
D.光线照到平面镜上,入射角为α,反射角为β,则β是α的函数
C
C
3.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.若是,写出其中的自变量与函数.
(1)直角三角形中一个锐角γ随另一个锐角θ的变而变;
(2)骆驼某日的体温T随这天时间x的变而变;
(3)一盘蚊香点燃后的长度如下表所示,蚊香长度s随燃烧时间t的变而变.
解:(1)锐角γ与锐角θ是函数关系,其中自变量是锐角θ,函数是锐角γ.
(2)骆驼某日体温T与当天时间x是函数关系,其中自变量是时间x,函数是骆驼的体温T.
(3)蚊香长度s与燃烧时间t是函数关系,其中自变量是燃烧时间t,函数是蚊香长度s.
4.游泳池应定期换水.某游泳池在一次换水前存水量为936 m3,换水时关闭进水口打开排水口,以每小时78 m3的速度将水放出.当放水时间增加时,游泳池的存水量随之减少,变情况如下表所示.
(1)在这个变过程中,自变量和函数分别是什么
(2)请将上述表格补充完整;
(3)打开排水口后,经过多长时间,游泳池的存水量是156 m3
解:(1)在这个变过程中,自变量是放水时间,函数是游泳池的存水量.
(2)624 468 390
(3)设放水时间为t h,则936-78t=156,解得t=10.答:打开排水口后,经过10 h,游泳池的存水量是156 m3.
5.已知函数f(x)= ,其中f(a)表示当x=a时所对应的函数值,如:
f(1)= =1 - ; f(2)= = - ; f(3)= = - ; …; f(a)= = - .
请根据上述规律解决下列问题.
(1) f(1) + f(2) + f(3) +…+ f(2 025)= ;
(2)猜想:f(n)+f(n+1)= .
(共12张PPT)
第二十二章 函数
22.2 函数的表示
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第1课时 函数的图象
知识点 函数的图象
1.一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的 、 坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的 .
2.用描点法画函数图象的一般步骤为: 、 、 .
横
纵
图象
列表
描点
连线
知识点 函数的图象
1.(教材改编)下列各点,在函数 y=3x+2的图象上的是( ).
A.(1,1) B.(-1,-1)
C.(1,0) D.(0,1)
2.已知点A(2,3)在函数 y=ax2-x+1的图象上,则a的值是( ).
A.-1 B.1 C.2 D.-2
B
B
3.描点法是探究函数图象变规律的重要方法.
(1)请通过列表、描点、连线在平面直角坐标系中画出函数 y=2x+2的图象;
(2)判断点A(-2.5,-7),B(1.5,5)是否在该函数图象上.
解:(1)列表.
描点并画出该函数的图象如图所示.(答案不唯一)
(2)当 x = -2.5时, y =2×(-2.5)+2= -3,∴点A(-2.5,-7)不在该函数图象上.当x=1.5时, y=2×1.5+2=5,∴点B(1.5,5)在该函数图象上.
1.小明在画函数 y= (x > 0)的图象时,首先进行列表如下.
而小明不小心算错一个y值,则这个错误的y值是( ).
A.6 B.3 C.2 D.1
D
2.下列函数的图象经过原点的是( ).
A.y= B.y=x2-1
C.y=5x2-3x D.y= -3x+7
3.已知函数y=ax2+bx的图象经过 M(2, 0),N(1,-6)两点,则a= ,
b= .
C
6
-12
4.函数y= -1的图象如图所示,则下列说法正确的是( ).
A.图象不经过第二象限
B.图象不经过第四象限
C. x > 0时, y随x的增大而减小
D. x < 0时, y随x的增大而增大
C
5.如图,已知点A(-6,a+3),B(3,a),C(4,a+1),D(6,a+3)均在同一个函数图象上,则这个函数图象可能是( ).
B
6.综合与实践
根据学习函数图象的经验,数学社团对函数 y=2-|x|的图象进行了探究.下面是他们的探究过程,请回答相应的问题.
(1)自变量x的取值范围是 ;
(2)列表如下,直接写出m= ;
任意实数
0
(3)如图,在给定的平面直角坐标系中,描出以
(2)中给出的对应值为坐标的点,并尝试画出
该函数的图象;
(4)结合函数图象,可以发现:
①函数 y 的最大值是 ;
②当 y > -1时, x 的取值范围是 ;
③结合 y 随 x 的变趋势,写出你的发现:_________________________
_________________________________________________.(写一条即可)
解:描点并画出该函数的图象如图所示.
2
-3当 x < 0时, y 随 x 的增大而增大(答案不唯一)(共16张PPT)
第二十二章 函数
22.2 函数的表示
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第3课时 函数的表示方法
知识点 函数的表示方法
1.函数的三种表示方法: 、 、 .
2.函数的三种表示方法各自的优点:
(1) 是指用解析式表示函数,明显地表示对应规律;
(2) 可以清楚地看到部分自变量所对应的函数值;
(3) 能直观形象地反映出函数随自变量的变趋势.
解析法
列表法
图象法
解析法
列表法
图象法
知识点 函数的表示方法
1.某文具店老板购进一批荧光笔,销量 x (单位:支)与销售额 y (单位:元)的关系如下表所示,则y与x的函数解析式为( ).
A.y=3x B.y=6x C.y=9x D.y=12x
A
2.淇淇对水进行加热,并记录了水的温度 T (单位: ℃)随加热时间 t (单位:min)变的大致图象.如图,下列说法错误的是( ).
A.10 min时,水的温度升至100 ℃
B.0到10 min时,水的温度随加热时间的增加而增大
C.10 min后,水的温度不再变
D.0到10 min时,水的温度平均每分钟上升10 ℃
D
3.根据下表中的数据回答问题.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据
对应的点.这些点是否在一条直线上
(2)y是否为x的函数 若是,写出一个符合表中数据的
函数解析式;
(3)当x=7时, y的值是多少
解:(1)如图所示.这些点在一条直线上.
(2) y 是 x 的函数, y = x -1是符合表中数据的一个函数解析式.
(3)当 x = 7时, y= 6.
1.莫叔叔从家去公司,先匀速步行到车站,等了几分钟后坐上了公交车,公交车匀速行驶一段时间后到达公司,则可以表示莫叔叔离家的距离s与时间t之间函数关系的大致图象是( ).
B
2.某实验小组探究不同浓度的酒精对某种水蚤心率影响的实验数据如下表所示(心率是心脏每分钟跳动的次数,因水蚤心跳太快,为减少误差,实验中计算10 s内心跳次数).根据表格,下列结论错误的是( ).
A.酒精浓度越高,水蚤心率越低
B.自变量是水蚤心率,函数是酒精浓度
C.酒精浓度达到20%时,水蚤10 s内心跳次数为0
D.酗酒对人体的心跳可能有不利影响
B
3.草莓成熟的时节,草莓园给每位入园采摘草莓的顾客配一个篮子.每位顾客采摘草莓需付总金额 y (单位:元)与采摘草莓质量 x (单位:kg)的关系如下表.
请根据表中的数据写出需付总金额 y (单位:元)与采摘草莓质量 x (单位:kg)的函数解析式: .
y=24x+3
4.某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点,在标准大气压下测量得到几组对应的数据如下:
该小组发现,液体沸腾前,随着加热时间t的变,液体温度y的值也随之
变.
(1)在这个变过程中,哪个是自变量 哪个是函数
(2)写出y与t的函数解析式;
(3)当加热1.5 min时该液体沸腾,求该液体的沸点.
解:(1)由表格可知,加热时间 t 是自变量,液体温度 y 是函数.
(2) y 与 t 的函数解析式为 y = t + 8.
(3)1.5 min=90 s,当t=90时, y = 90+8 =98.答:该液体的沸点为98 ℃.
5.如图①,在矩形ABCD中,动点P沿A→B→C→D的路径运动,设点P运动的路程为 x,△ADP的面积为 y.若 y 随 x 变的函数图象如图②所示,则当0< x ≤5时, y关于x的函数解析式是 .
y=2x
6.已知一个等腰三角形的周长为20,底边长为 y,腰长为 x.
(1) y 与 x 的函数解析式为 ,
自变量 x 的取值范围为 ;
(2)先填表,再在方格纸中建立合适的平面直角坐标系,并画出函数图象.
y=20-2x
5< x <10
8
6
4
2
函数图象如图所示.
7.如图,刘爷爷用总长为12 m的篱笆围一个矩形花圃,其一边靠墙(墙长
9 m),另外三边是篱笆,其中边BC不超过9 m.设垂直于墙的两边AB,CD的长均为 x m,矩形花圃的面积为 y m2.
(1)判断x的值能否为1,并说明理由;
(2)求y与x之间的函数解析式;
(3)根据函数解析式补充表格:
(4)观察表中数据,写出y随x变的一个特征: .
解:(1)x的值不能为1.理由如下:
由题意得,BC=12-2x,当x=1时,BC=12-2=10.
∵10>9,∴x的值不能为1.
(2)y=AB·BC=x(12-2x)=-2x2+12x.
(3)18 16
(4)y随x的增大先增大后减小(答案不唯一)
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第二十二章 函数
22.1 函数的概念
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第1课时 常量与变量
知识点 常量与变量
一般地,在一个变过程中,数值始终不变的量为 ,数值发生变的量为 .
常量
变量
知识点 常量与变量
1.嘉嘉去超市购买苹果,称重时电子秤显示屏上的数据如图所示,则其中的变量是( ).
A.金额和数量
B.金额和单价
C.数量和单价
D.单价
A
2.汽车油箱中有汽油50 L.如果不再加油,那么油箱中的油量y(单位:L)随行驶路程x(单位:km)的增加而减少,耗油量为0.1 L/km.在该变过程中,常量是( ).
A.每千米的耗油量 B.行驶路程
C.油箱中的剩余油量 D.耗油总量
A
1.一根蜡烛原长a cm,点燃后燃烧时间为t min,所剩余蜡烛的长为y cm,则在这个变过程中,下列判断正确的是( ).
A.a是常量 B.a是变量
C.t是常量 D.y是常量
A
2.(教材改编)一个矩形的面积是10 cm2,长是 a cm,宽是b cm.下列判断正确的是( ).
A.常量为10,a,变量为b
B.常量为10,变量为a,b
C.常量为10,b,变量为a
D.常量为a,b,变量为10
B
3.如图,在一个边长为30 cm的正方形的四个角上,都剪去一个
大小相同的小正方形,当小正方形的边长由小到大发生变时,
图中阴影部分的面积也随之发生变.在这个变过程中,变量
是 .
小正方形的边长,阴影部分的面积
4.指出下列问题中的常量和变量:
(1)一台机器上的轮子的转速为60转/min,记轮子旋转的转数为n转,时间为t min;
(2)小亮练习1 500 m长跑,他跑完全程所用的时间t(单位:s)与跑步的平均速度v(单位:m/s).
解:(1)轮子的转速是常量,轮子旋转的转数n和时间t是变量.
(2)全程1 500 m是常量,跑完全程所用时间t和跑步的平均速度v是变量.
5.如图,把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起,木条AB自由转动至AB'的位置.在转动过程中,常量是( ).
A.∠BAC的度数
B.AB的长度
C.BC的长度
D.△ABC的面积
B
6.某电影放映厅周六放映一部电影,当天的场次、售票量、售票收入的变情况如表所示.在该变过程中,常量是( ).
A.场次 B.售票量
C.票价 D.售票收入
C
场次 1 2 3 4
售票量/张 100 200 300 400
售票收入/元 4 800 9 600 14 400 19 200
7.某工厂有一个容积为280 m3的水池,现用3台抽水机从蓄满水的池中同时抽水,已知每台抽水机每小时抽水15 m3.
(1)抽水2 h后,池中还有多少水
(2)在这一变过程中,哪些量是变量 哪些量是常量
解:(1)280-3×15×2=190(m3).答:池中还有190 m3水.
(2)在这一变过程中,水池的容积、抽水机的台数、每台抽水机每小时抽水的体积是常量;抽水时间、水池中的水的体积是变量.
(共16张PPT)
第二十二章 函数
22.2 函数的表示
基础达标
能力提升
拓展探究
第2课时 函数图象的应用
1.如图,往容器中匀速注水,下列图象可以大致刻画容器中水的
高度与注水时间的关系的是( ).
B
2.(跨学科,青海)学实验小组查阅资料了解到:某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降,从而达到净水的目的.实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示,下列说法正确的是( ).
A.加入絮凝剂的体积越大,净水率越高
B.未加入絮凝剂时,净水率为0
C.每增加0.1 mL絮凝剂,净水率的增
加量相等
D.加入0.2 mL絮凝剂时,净水率达到
76.54%
D
3.某研发公司为了测试某新型智能机器人(如图①)的竞速跑情况,在一条笔直的跑道上设置了甲、乙、丙三个测试点.该机器人从甲处以1.5 m/s的速度跑到乙处,停留一会儿后,再以2 m/s的速度跑到丙处,停留15 s后,再从丙处匀速返回甲处.该机器人离测试点甲的距离y(单位:m)与离开测试点甲的时间x(单位:s)之间的关系如图②所示.下列说法错误的是( ).
A.该机器人从测试点甲到测试点乙用
了20 s
B.该机器人在测试点乙处停留了10 s
C.测试点乙与测试点丙之间的距离为
60 m
D.该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为2.7 m/s
D
4.某客运公司规定旅客可免费携带质量不超过40 kg的行李,超过40 kg的部分,需购买行李票,行李票的价格 y(单位:元)与行李质量 x(单位:kg)之间的函数关系如图所示.若旅客甲携带75 kg的行李,则购买的行李票需 元.
21
5.某校科技节启用无人机航拍活动,在操控无人机时可调节高度.已知无人机在上升和下降过程中速度相同,设无人机的飞行高度h(单位:m)与操控无人机的时间t(单位:min)之间的关系如图所示,根据图象回答下列问题:
(1)无人机在75 m高的上空停留的
时间是多少分钟
(2)在上升或下降过程中,无人机的
速度为多少
(3)求图中a, b的值.
解:(1)由图象可知,无人机在75 m高的上空停留的时间为12-7=5 (min).
(2)无人机的速度为 v = = 25(m/min).
(3)由(2)可知,无人机在上升或下
降过程中的速度为25 m/min,
∴25a=50,解得 a=2; =25,
解得 b=15.∴a=2, b=15.
6.(教材改编)如图,构建问题情境,使其中变量之间的函数关系可以用图中的图象来表示.
解:某商店以8元/件的售价卖出某款饰品20件,
为增加销售量,该商店决定降价促销,最终以
7元/件的售价卖出该款饰品80件.(答案不唯一)
7.如图①,在矩形ABCD中, AB=5 cm,动点H以1 cm/s的速度从点A出发沿A→B→C→D匀速运动到终点D.设点H的运动时间为t(单位:s),△HAD的面积为S(单位:cm2), S与t之间的关系如图②所示.
(1)图②中反映了两个变量之间的关
系,其中自变量是 ,
函数是 ;
(2)BC= cm, a= ;
(3)求b的值.
点H的运动时间t
△HAD的面积S
4
14
(3)解:∵动点H按A→B→C→D的路
径匀速运动,由题意可知,点H在BC
上运动时,△HAD的面积不变,
∴b= AD·AB = ×4×5=10.
8.(传统文)综合与实践
如图,某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”,在这种
杯子中加水超过一定量时,水会自动排尽,体现了“满招损,谦
受益”的寓意.该小组模仿其原理,自制了一个圆柱形简易“公
道杯”,确保向杯中注水和杯中水自动向外排出时,杯中的水位高度的变都是匀速的.向此简易“公道杯”中匀速注入清水,一段时间后停止,再等水完全排尽,再次注入……在这个过程中,对不同时间的水位高度进行了记录,部分数值如下页表:
根据以上信息,解决下列问题:
(1)完善表中的数据,并根据水位和时间的关系在图中描出反映水位高度随时间的变而变的部分大致图象;
(2)结合表格或图象,当t = s时,杯中水位第一次最高,是 cm;
1.5
4
6
(3)在开始自动向外排水前,杯中水位上升的速度为 cm/s;
当t =10 s 时,水位高度是 cm;
(4)第二次水位最高时t为 s;
(5)开始注水时,小明有事离开,则他5 min 后回来观察水位应该
是 cm,他接着观察到水位逐渐 (填“上升”或“下降”).
1.5
3
12
6
下降
9.快递员李叔叔骑电动自行车去派送快递,他行驶了一段时间后,想起要去附近的便利店取个包裹,于是又折回到刚经过的便利店,取到包裹后继续前往派送点,直到抵达派送点.他本次骑行所用的时间与距出发地距离的关系如图所示,根据图中提供的信
息回答下列问题:
(1)求出发地到派送点的距离和李叔
叔在便利店停留的时间;
(2)李叔叔出发多少分钟时,距离派送
点600 m
解:(1)由题图可知出发地到派送点的距离为1 500 m,李叔叔在便利店停留的时间为12-8=4 (min).
(2)设李叔叔出发t min时距离派送点600 m.
当0 ≤ t < 6时,速度为1 200÷6=200(m/min),1 500-200t=600,解得t = ;
当6 ≤ t < 8时,速度为(1 200-600)÷(8-6)=300(m/min),
(1 500-1 200)+300(t-6)=600,解得t = 7;当12 ≤ t < 14时,
速度为(1 500-600)÷(14-12)=450(m/min),450(t-12)=1 500-2×600,解得
t = .综上所述,李叔叔出发 min或7 min或 min时,距离派送点600 m.
(共13张PPT)
第二十二章 函数
22.1 函数的概念
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第3课时 函数的解析式
知识点 函数的解析式
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法,这种式子叫作函数的 .
解析式
知识点 函数的解析式
1.某种型号的纸杯如图①所示,若将n个这种型号的杯子按图②中的方式叠放在一起,叠在一起的杯子的总高度为H,则H与n满足的函数关系可能是( ).
A.H=0.3n B.H=
C.H=10-0.3n D.H=10+0.3n
D
2.写出下列函数中自变量的取值范围:
(1) y= 3x2 : ;
(2) y= : ;
(3) y= : .
x取任意实数
x ≠ -2
-5 ≤ x ≤5
3.某校门口人行道隔离护栏及平面示意图如图所示,假如每根立柱的底面直径为0.2 m,立柱间距为3 m.
(1)将表格补充完整;
(2)设有x根立柱,护栏总长度为y m,则y与x之间的函数解析式
是 ;
(3)护栏总长度为93 m时立柱的根数为 .
y=3.2x-3
30
6.6
13
1.(跨学科)在物理学中,导线的电阻随温度的变而变.有一段导线0 ℃时电阻为5 Ω,温度每增加1 ℃,电阻就会增加0.01 Ω,则电阻R(单位:Ω)与温度T(单位: ℃)的关系为( ).
A.R=5+0.01T
B.R=5T+0.01
C.R=0.01T
D.R=5.01T
A
2.在函数y= 中,自变量x的取值范围是 .
3.某林区计划种植360棵树苗,若每支队伍种植60棵树苗,则剩余的树苗数量y(单位:棵)关于参与种植树苗的队伍数量x(单位:支)的函数解析式为 ,自变量x 的取值范围是 .
x<1
y=360-60x
0 ≤ x ≤ 6且x为整数
4.一辆汽车由甲地驶往相距140 km的乙地,它的平均速度是100 km/h.写出汽车离乙地的距离s(单位:km)关于行驶时间t(单位:h)的函数解析式,及自变量t的取值范围.
解: s=140-100t, 0≤ t ≤ .
5.(教材改编)根据如图所示的程序计算函数y的值,若输入x的值是2,则输出y的值是1;若输入x的值是7,则输出y的值是( ).
A.1 B.-1 C.2 D.-2
B
6.一个蓄水池原有水1 000 m3,现以60 m3/h 的速度匀速放水.
(1)写出剩余水的体积Q(单位:m3)关于放水时间t(单位:h)的函数解析式;
(2)写出自变量t的取值范围;
(3)求10 h后蓄水池里还有多少水;
(4)几小时后,蓄水池里还有水520 m3
解:(1)Q=1 000-60 t.
(2)当Q=0时, t = ,∴t的取值范围是0 ≤ t ≤ .
(3) 当t =10时,Q=400.答:10 h后蓄水池里还有水400 m3.
(4)当Q=520时,1 000-60t =520,解得t =8.答:8 h后蓄水池里还有水520 m3.
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,动点P从点A出发,以
每秒2个单位长度的速度沿A→B→C移动,到点C时停止.设移动的时间
为x s,△APC的面积为y.
(1)填空:AB的长为 ;
(2)求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.
(1)5
(2)解:设点C到AB的距离为h,由S△ABC= AC·BC= AB·h,得h= = = .分两种情况讨论:当点P在边AB上时, y= AP·h= ×2x · = x(0< x ≤ );
当点P在边BC上时,CP=BC-BP=4-(2x-5)=9-2x, y= AC·CP= ×3(9-2x)=
-3x( < x < ).综上所述,当0< x ≤ 时, y= x;当 < x < 时, y= -3x.
