16.1 二次根式的概念 课件(共30张PPT) 沪科版（新教材）八年级下册

(共30张PPT)
二次根式的概念
16.1 二次根式及其性质
学习目标及重难点
1.理解二次根式的概念.（重点）
2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
登高可以望远.
已知观察者观察高度（单位：m）与可见水平距离
（单位：km）之间存在近似关系.观察者从
观察高度为 m的山腰登上观察高度为 m的山顶，
此时的可见水平距离是原来的多少倍？
登高可以望远.
已知观察者观察高度（单位：m）与可见水平距离（单位：km）之间存在近似关系.观察者从观察高度为 m的山腰登上观察高度为 m的山顶，此时的可见水平距离是原来的多少倍？
你能将这个式子化简吗？
化简这个式子需要二次根式的有关知识，本章我们将学习二次根式的概念、性质和运算等.
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平方根
算术平方根
问题1：计算下列各数的平方根和算术平方根，并据此回忆平方根与算术平方根的相关知识.
探索1：二次根式的概念及有意义的条件
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平方根
算术平方根
±
±
无意义
无意义
开方
平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数叫作的平方根，表示为.
算术平方根：正数的正的平方根，叫作的算术平方根，表示为.
0的平方根和算术平方根都为0；负数没有平方根.
平方
问题2：用带有根号的式子填空.
(1)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 （单位：s）与开始落下的高度（单位：m）满足关系 ，如果用含有 的式子表示 ，那么 为_____．
(2)如图为圆形花坛，花坛的面积为(单位：m ) ，若用含的式子表示半径，则应该表示为　 m.
思考：(1)这些式子分别表示什么意义？
上面问题中得到的式子：
， ，
(2)这些式子有什么共同特征？
被开方数均为非负数.
都含有“ ”；
1
2
分别表示 ，，， ， 的算术平方根.
我们把形如 () 的式子叫作二次根式. 符号“”叫作二次根号.
被开方数
二次根号
读作“根号 ”
我们把形如 () 的式子叫作二次根式. 符号“”叫作二次根号.
注意：1.在实数范围内，时， 没有意义，只有当时,
才有意义.
2. 可以是数，也可以是式.
3.两个必备特征
① 外貌特征：含有“ ”
② 内在特征：被开方数(式)
例1：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） （2）6
（3） （4）
（5） (异号) （6）
（7）
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中属于“非负数+正数”的形式一定大于零.（2)(3)(5)(7)均不是二次根式.
分析
形如
二次根式的识别方法：
判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：
(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；
(2)被开方数(式)为非负数．
注意: 二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结果上判断，如 是二次根式.像+1（）这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式.
例2：实数为何值时，下列式子有意义？
（1） （2）
解 :(1)要使 有意义，则，
解这个不等式，得
所以当 时， 有意义.
(2)因为 为任何实数都有 ，
所以当 为一切实数时， 有意义.
例3：实数为何值时，下列式子有意义？
（1） （2 （3）
解 :(1)要使 + 有意义，则 ，
解这个不等式组，得
所以当 时， + 有意义.
例3：实数为何值时，下列式子有意义？
（1） （2） （3）
解 :(2)要使 有意义，则 ，
解这个不等式，得
所以当 时， 有意义.
例3：实数为何值时，下列式子有意义？
（1） （2） （3）
解 :(3)要使 有意义，则 ，
解这个不等式组，得 且
所以当 且 时， 有意义.
解：(1)无论 为何实数，
当 时， 在实数范围内有意义.
(2)无论 为何实数，
无论 为何实数， 在实数范围内都无意义.
归纳：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
变式：当是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) (2)
(1)单个二次根式如 有意义的条件：；
(2)多个二次根式相加如 有意义的条件：
(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：；
(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：且
求含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法:
归纳总结
，且
随堂小练习
为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
（1）
（2）
（3）
（4）
探索2：二次根式的双重非负性
思考：二次根式有哪些基本性质？
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1） 为被开方数，为保证其有意义，可知 ；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
例4：若，求的值.
解：
由题意可知
解得
归纳：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
例5：已知,求的算术平方根.
解：由题意得
的算术平方根为，
的算术平方根为．
解：由题意得
当为腰长时，三角形的周长为
当为腰长时，三角形的周长为．
归纳：若 ，则根据被开方数大于等于0，可得
变式：已知为等腰三角形的两条边长，且满足
++,求此三角形的周长.
已知和互为相反数，求的平方根．
解：由题意得+=0
且．
解得 ．
的平方根为.
随堂小练习
习题1
2. 式子有意义的条件是（ ）
A. B. C. D.
3. 当 ____时，二次根式 取最小值，其最小值为______．
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
C
A
0
(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围．
解：由题意得且
解得且，
(2)无论取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围．
解：由题意得，
即.
则，即
习题2
习题3
若是实数，且 ,求 的值.
解：根据题意得
.
先阅读，后回答问题：
当x为何值时，有意义？
解：由题意得
由乘法法则得 或
解得 或
即当 或时，有意义.
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， 有意义？
习题4
解：由题意得
则 或
解得 或
即当 或 时， 有意义．
习题4
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， 有意义？
定义
二次根式
在有意义条件下求字母的取值范围
二次根式 中,且
带有二次根号
被开方数为非负数
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
二次根式的双重非负性