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14第十章《二元一次方程组》核心专题一点通
（一）高频考点
高频考点一 二元一次方程(组)的定义（共6小题）
1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若关于x、y的方程xm﹣1﹣2y3+n＝5是二元一次方程，则m＝ ，n＝ ．
3．已知是二元一次方程3x﹣my＝5的一组解，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
4．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则ba＝ ．
5．已知方程3x﹣2y﹣6＝0，用含x的代数式表示y，则y＝ ．
6．如果单项式xa+2y3与xyb﹣1是同类项，那么a+b的值分别为 ．
高频考点二 解二元一次方程组（共1小题）
7．解方程组：
（1）；
（2）．
高频考点三 二元一次方程组的应用（共6小题）
应用1 和差倍分问题
8．一种蜂王精有大小两种包装，3大盒4小盒共装108瓶，2大盒3小盒共装76瓶，大盒与小盒各装多少瓶？
应用2 情景问题
9．今年5月8日母亲节那天，某班很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，根据图中的信息
（1）求每束鲜花和一个礼盒的价格；
（2）小强给妈妈买了三束鲜花和四个礼盒一共花了多少钱？
应用3 行程问题
10．从A地到B地全程290千米，前一路段为国道，其余路段为高速公路．已知汽车在国道上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，一辆客车从A地开往B地一共行驶了3.5h．求A、B两地间国道和高速公路各多少千米？
应用4 配套问题
11．某种教学仪器由1个A部件和3个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件100个或者加工B部件120个．现有工人14名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？
应用5 增长率问题
12．某学校初三（1）班的一个综合实践活动小组去A、B两个超市调查去年和今年“五 一”期间的销售情况，如图是调查后，小敏与其他两位同学进行交流的情景．根据他们的对话，请分别求出A、B两个超市今年“五 一”期间的销售额．
应用6 工程问题
13．某工程队承包了某标段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45米．
（1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米？
（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
（二）核心题型及方法
核心题型一 二元一次方程组的解（共3小题）
14．如果二元一次方程组的解是二元一次方程2x﹣3y+14＝0的一个解，那么a的值是（ ）
A． B． C． D．
15．关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝﹣1，则k的值是 ．
16．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为乙看错了方程组中的b，得到的解为则原方程组的解 ．
核心题型二 构造法（共2小题）
17．已知方程组和方程组的解相同，则a+b＝ ．
18．对于有理数x、y，定义一种新运算“※”：x※y＝ax+by+c，其中a，b，c为常数，已知3※5＝15，4※7＝28，那么2※3＝ ．
核心题型三 解二元一次方程组（共7小题）
（一）转化法
19．已知与（x﹣y+3）2互为相反数，求（x2+y）的平方根．
（二）整体法
20．若方程组的解满足x+y＝0，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．无法确定
21．已知6x﹣5y＝16，且2x+3y＝6，则4x﹣8y的值为 ．
22．不解方程组：，求7y（x﹣3y）2﹣2（3y﹣x）3的值．
（三）换元法
23．已知，且a+3b﹣2c＝9．
（1）求a、b、c的值；
（2）求a+b﹣c的值．
（四）主元法
24．由方程组，可得x：y：z是（ ）
A．1：（﹣2）：1 B．1：（﹣2）：（﹣1）
C．1：2：1 D．1：2：（﹣1）
25．如果方程组的解是方程3x﹣5y﹣28＝0的一个解，则a＝（ ）
A．2.1 B．3 C．7 D．6
核心题型四 二元一次方程组的应用（共3小题）
26．张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．
（1）做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板张 张（直接填空），需长方形纸板 张（直接填空）．
（2）若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题）
27．玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．
（1）设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程组为 ．
（2）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
（3）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由．
28．某校规划在一块长AD为18m，宽AB为13m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道（通道面积不超过总面积的），其余部分铺上草皮．
（1）如图1，若设计两条通道，一条横向，一条纵向，4块草坪为全等的长方形，每块草坪的两边之比为3：4，并且纵向通道的宽度是横向通道宽度的2倍，问横向通道的宽是多少？
（2）如图2，为设计得更美观，其中草坪①②③④为全等的正方形，草坪⑤⑥为全等的长方形（两边长BN：BM＝2：3），通道宽度都相等，问：此时通道的宽度又是多少呢？中小学教育资源及组卷应用平台
14第十章《二元一次方程组》核心专题一点通
（一）高频考点
高频考点一 二元一次方程(组)的定义（共6小题）
1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】方程组中共有两个方程，只含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是一次的方程组，叫二元一次方程组，根据以上定义逐个判断即可．
【解答】解：A、符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，故本选项错误；
B、符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，故本选项错误；
C、是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项正确；
D、符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，故本选项错误；
故选：C．
2．若关于x、y的方程xm﹣1﹣2y3+n＝5是二元一次方程，则m＝ 2 ，n＝ ﹣2 ．
【分析】根据二元一次方程的定义，含未知数项的次数为一次，求出m、n的值．
【解答】解：因为关于x、y的方程xm﹣1﹣2y3+n＝5是二元一次方程，
所以，
解得m＝2，n＝﹣2．
故答案为：2，﹣2．
3．已知是二元一次方程3x﹣my＝5的一组解，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
【分析】根据方程的解满足方程，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：由题意，得
9+2m＝5，
解得m＝﹣2，
故选：A．
4．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则ba＝ 1 ．
【分析】把x与y的值代入方程组计算即可求出a与b的值．
【解答】解：把代入方程组得：，
解得：，
则原式＝1，
故答案为：＝1
5．已知方程3x﹣2y﹣6＝0，用含x的代数式表示y，则y＝ ．
【分析】把x看作已知数求出y即可．
【解答】解：方程3x﹣2y﹣6＝0，
解得：y．
故答案为：．
6．如果单项式xa+2y3与xyb﹣1是同类项，那么a+b的值分别为 3 ．
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），可得a，b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵单项式xa+2y3与xyb﹣1是同类项，
∴a+2＝1，b﹣1＝3，
∴a＝﹣1，b＝4，
∴a+b＝﹣1+4＝3．
故答案为：3．
高频考点二 解二元一次方程组（共1小题）
7．解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接运用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先整理方程组，再运用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：（1），
②﹣①得：x＝3，
将x＝3代入①得y＝﹣2，
所以方程组的解是；
（2），
整理得：，
①+②得：4x＝﹣4，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①得y＝1，
所以方程组的解为．
高频考点三 二元一次方程组的应用（共6小题）
应用1 和差倍分问题
8．一种蜂王精有大小两种包装，3大盒4小盒共装108瓶，2大盒3小盒共装76瓶，大盒与小盒各装多少瓶？
【分析】本题中的等量关系是：3×大盒瓶数+4×小盒瓶数＝108；2×大盒瓶数+3×小盒瓶数＝76，依据两个等量关系可列方程组求解．
【解答】解：设大盒装x瓶，小盒装y瓶
则
解得
答：大盒装20瓶，小盒装12瓶．
应用2 情景问题
9．今年5月8日母亲节那天，某班很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，根据图中的信息
（1）求每束鲜花和一个礼盒的价格；
（2）小强给妈妈买了三束鲜花和四个礼盒一共花了多少钱？
【分析】（1）首先设买1束鲜花x元，买1个礼盒花y元，由图中信息可知等量关系有：买了一束花+2个礼盒，花了143元；②买了2束花+1个礼盒，花了121元，根据等量关系列出方程组，解可得1束鲜花多少元，买1个礼盒花花多少元，
（2）由（1）得再出买3束鲜花和4个礼盒的总价即可．
【解答】解：（1）设买1束鲜花x元，买1个礼盒花y元，由题意得：
，
解得：，
答：买1束鲜花33元，买1个礼盒花55元；
（2）由题意得：3×33+4×55＝319（元），
答：小强给妈妈买了三束鲜花和四个礼盒一共花了319元．
应用3 行程问题
10．从A地到B地全程290千米，前一路段为国道，其余路段为高速公路．已知汽车在国道上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，一辆客车从A地开往B地一共行驶了3.5h．求A、B两地间国道和高速公路各多少千米？
【分析】首先设A、B两地间国道和高速公路分别是x、y千米，根据题意可得等量关系：国道路程+高速路程＝290，在国道上行驶的时间+在高速公路上行驶的时间＝3.5，根据等量关系列出方程组，再解即可．
【解答】解：设A、B两地间国道和高速公路分别是x、y千米，依题意得：
，
解得，
答：A、B两地间国道和高速公路分别是90、200千米．
应用4 配套问题
11．某种教学仪器由1个A部件和3个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件100个或者加工B部件120个．现有工人14名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？
【分析】设安排x人生产A部件，安排y人生产B部件，就有x+y＝14和300x＝120y，由这两个方程构成方程组，求出其解即可．
【解答】解：设安排x人生产A部件，安排y人生产B部件，由题意，得
，
解得：，
答：安排4人生产A部件，安排10人生产B部件，才能使每天生产的A部件和B部件配套．
应用5 增长率问题
12．某学校初三（1）班的一个综合实践活动小组去A、B两个超市调查去年和今年“五 一”期间的销售情况，如图是调查后，小敏与其他两位同学进行交流的情景．根据他们的对话，请分别求出A、B两个超市今年“五 一”期间的销售额．
【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即去年A超市的销售额+去年B超市的销售额＝150，今年A超市的销售额+今年B超市的销售额＝170．
【解答】解：设A、B两个超市去年“五一”期间的销售额分别x、y万元．
由题意得：，
解得．
∴（1+15%）x＝1.15×100＝115（万元），（1+10%）y＝1.1×50＝55（万元）．
答：A、B两个超市今年“五 一”期间的销售额分别为115、55万元．
应用6 工程问题
13．某工程队承包了某标段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45米．
（1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米？
（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
【分析】（1）设甲、乙班组平均每天掘进x米，y米，根据已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45米两个关系列方程组求解．
（2）由（1）和在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3米分别求出按原来进度和现在进度的天数，即求出少用天数．
【解答】解：（1）设甲、乙班组平均每天掘进x米，y米，
得，
解得．
∴甲班组平均每天掘进4.8米，乙班组平均每天掘进4.2米．
（2）设按原来的施工进度和改进施工技术后的进度分别还需a天，b天完成任务，则
a＝（1755﹣45）÷（4.8+4.2）＝190（天）
b＝（1755﹣45）÷（4.8+0.2+4.2+0.3）＝180（天）
∴a﹣b＝10（天）
∴少用10天完成任务．
（二）核心题型及方法
核心题型一 二元一次方程组的解（共3小题）
14．如果二元一次方程组的解是二元一次方程2x﹣3y+14＝0的一个解，那么a的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据加减消元法解二元一次方程组，得到方程组的解（用含a的代数式表示），然后根据二元一次方程的解定义，将x，y的值代入方程2x﹣3y+14＝0中，得到关于a的方程，解方程即可求出a的值．
【解答】解：，
①+②得：2x＝12a，即x＝6a，
①﹣②得：2y＝﹣6a，即y＝﹣3a，
∵二元一次方程组的解是二元一次方程2x﹣3y+14＝0的一个解，
∴把x＝6a，y＝﹣3a代入方程2x﹣3y+14＝0得：12a+9a+14＝0，
解得：．
故选：D．
15．关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝﹣1，则k的值是 ﹣5 ．
【分析】将两式相加，得到2x﹣2y＝k+3，然后得到，据此即可求解．
【解答】解：，
由②+①得2x﹣2y＝k+3，
∴，
∵x﹣y＝﹣1，
∴，
解得k＝﹣5．
故答案为：﹣5．
16．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为乙看错了方程组中的b，得到的解为则原方程组的解 ．
【分析】将代入方程4x﹣by＝﹣4，代入方程ax+5y＝10，可求得a、b的值，再把a、b的值代入原方程组求解即可．
【解答】解：将代入方程4x﹣by＝﹣4，代入方程ax+5y＝10，可得，
，
解得，
∴原方程组为，
解得，
故答案为：．
核心题型二 构造法（共2小题）
17．已知方程组和方程组的解相同，则a+b＝ 0 ．
【分析】联立不含a与b的方程组成方程组求出x与y的值，代入剩下的方程求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵方程组和方程组的解相同，
联立得：，
①+②得：5x＝10，即x＝2，
把x＝2代入①得：4+5y＝﹣26，
解得：y＝﹣6，
代入得：，
解得：a＝1，b＝﹣1，
则a+b＝﹣1+1＝0，
故答案为：0．
18．对于有理数x、y，定义一种新运算“※”：x※y＝ax+by+c，其中a，b，c为常数，已知3※5＝15，4※7＝28，那么2※3＝ 2 ．
【分析】有新定义x*y＝ax+by+c，利用3*5＝15，4*7＝28，用含b的式子表示出a、c，然后再求2※3的值．
【解答】解：由3※5＝15，4※7＝28可得：
，
解得：，
则2※3＝2a+3b+c
＝2（13﹣2b）+3b+b﹣24
＝26﹣4b+3b+b﹣24
＝2，
故答案为：2．
核心题型三 解二元一次方程组（共7小题）
（一）转化法
19．已知与（x﹣y+3）2互为相反数，求（x2+y）的平方根．
【分析】根据互为相反数两数之和为0列出关系式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值．
【解答】解：∵与（x﹣y+3）2互为相反数，
∴（x﹣y+3）2＝0，
又∵0，（x﹣y+3）2≥0，
∴，解得，
∴x2+y，
∴（x2+y）的平方根为．
（二）整体法
20．若方程组的解满足x+y＝0，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．无法确定
【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入x+y＝0求出a的值即可．
【解答】解：方程组两方程相加得：4（x+y）＝2+2a，即x+y（1+a），
由x+y＝0，得到（1+a）＝0，
解得：a＝﹣1．
故选：A．
21．已知6x﹣5y＝16，且2x+3y＝6，则4x﹣8y的值为 10 ．
【分析】根据题意可得到关于x和y的二元一次方程组，观察x和y的系数，第一个方程减去第二个方程可得4x﹣8y＝10．所以4x﹣8y的值为10．
【解答】解：根据题意可得到关于x和y的二元一次方程组，
第一个方程减去第二个方程得：4x﹣8y＝10，
即4x﹣8y的值为10．
22．不解方程组：，求7y（x﹣3y）2﹣2（3y﹣x）3的值．
【分析】原式变形后提取公因式化简，将方程组变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：由原方程组，得
2x+y＝12，x﹣3y＝1，
则7y（x﹣3y）2﹣2（3y﹣x）3
＝7y（x﹣3y）2+2（x﹣3y）3
＝（x﹣3y）2（2x+y）
＝12．
（三）换元法
23．已知，且a+3b﹣2c＝9．
（1）求a、b、c的值；
（2）求a+b﹣c的值．
【分析】（1）设a＝2k，b＝3k，c＝4k，代入a+3b﹣2c＝9，即可求出k的值，进而得出a、b、c的值，
（2）再把它们的值代入所求式子计算即可．
【解答】解：（1）由题意设a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+3b﹣2c＝9，
∴2k+9k﹣8k＝9，
∴k＝3，
∴a＝6，b＝9，c＝12；
（2）∵a＝6，b＝9，c＝12，
∴a+b﹣c
＝6+9﹣12
＝3．
（四）主元法
24．由方程组，可得x：y：z是（ ）
A．1：（﹣2）：1 B．1：（﹣2）：（﹣1）
C．1：2：1 D．1：2：（﹣1）
【分析】将方程组看成二元一次方程组解出x与z，y与z的关系即可求出答案．
【解答】解：由题可知：
解得：
∴x：y：z＝1：2：1，
故选：C．
25．如果方程组的解是方程3x﹣5y﹣28＝0的一个解，则a＝（ ）
A．2.1 B．3 C．7 D．6
【分析】先解方程组，用含a的式子表示x，y的值，再代入方程3x﹣5y﹣28＝0得关于a的方程，求解即可．
【解答】解：解方程组得．
代入方程3x﹣5y﹣28＝0得10a28＝0，解得a＝2.1．
故选：A．
核心题型四 二元一次方程组的应用（共3小题）
26．张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．
（1）做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板张 5 张（直接填空），需长方形纸板 10 张（直接填空）．
（2）若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题）
【分析】（1）利用需要正方形纸板张数＝1×制作竖式纸盒个数+2×制作横式纸盒个数，可求出所需正方形纸板张数，利用需要长方形纸板张数＝4×制作竖式纸盒个数+3×制作横式纸盒个数，即可求出所需长方形纸板张数；
（2）设加工竖式纸盒x个，横式纸盒y个，根据制作的两种纸盒正好使用正方形纸板162张、长方形纸板338张，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵1×1+2×2＝5（张），4×1+3×2＝10（张），
∴做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板张5张，需长方形纸板10张．
故答案为：5，10；
（2）设加工竖式纸盒x个，横式纸盒y个，
根据题意得：，
解得：．
答：加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完．
27．玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．
（1）设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程组为 ．
（2）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
（3）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由．
【分析】（1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间列出方程即可求解；
（2）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间即可；
（3）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间即可．
【解答】解：（1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，
根据题意得，，
故答案为：．
（2）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，
根据题意得，，
解得：，
∵，
∴甲公司的效率高，所以从时间上考虑选择甲公司．
（3）解：设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元，
根据题意得：，
解得：，
∴公司共需万元，乙公司共需万元，
∵4万元＜6万元，
∴从节约开支上考虑选择乙公司．
28．某校规划在一块长AD为18m，宽AB为13m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道（通道面积不超过总面积的），其余部分铺上草皮．
（1）如图1，若设计两条通道，一条横向，一条纵向，4块草坪为全等的长方形，每块草坪的两边之比为3：4，并且纵向通道的宽度是横向通道宽度的2倍，问横向通道的宽是多少？
（2）如图2，为设计得更美观，其中草坪①②③④为全等的正方形，草坪⑤⑥为全等的长方形（两边长BN：BM＝2：3），通道宽度都相等，问：此时通道的宽度又是多少呢？
【分析】（1）设横向通道的宽度为xm，根据每块草坪的两边之比为3：4列出关于x的方程：或，再分别求解可得；
（2）设通道宽度为ym，BN＝2am，根据矩形的长宽列出方程组，解之可得．
【解答】解：（1）设横向通道的宽度为xm，
则或，
解得：x＝1或x＝6.6（此时通道面积过大，舍去），
所以横向通道的宽度为1m．
（2）设通道宽度为ym，BN＝2am，
则，
解得，
所以此时通道的宽度为1 m．
