参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. A
2. D
3. C
4. B
5. C
6. D
7. A
8. C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. BCD
10. ABD
11. BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 4.
13. .
14. .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）由题知，又，A单位圆上，
，则，，
；
（2），
由，得，
则，
，得，
.
16. （1）由函数的部分图象可知，
函数的最小正周期满足，于是，所以，
所以函数，
又，则，所以，
解得，由可得，所以.
令，解得，
故单调递增区间为.
（2）由得，
可得，解得，
故的解集为.
（3）当时，则，因为、，则、，
由于，所以，
所以，所以，
因为，所以，
则，
因此.
17. （1）因为函数为幂函数，
所以，解得或.
当时，，在上单调递减，不符合题意；
当时，，在上单调递增，符合题意；
所以，，
所以时，.
因为函数是定义在R上的奇函数，所以，，
当时，，则.
故.
∴.
（2）由（1）中的解析式易证在上是增函数.
，
，
，即
当时，原不等式可化为，即，所以，
所以此时不等式的解集为.
当时，的两根为，.
当时，，此时不等式的解集为；
当时，，此时不等式的解集为；
当时，，此时不等式的解集为；
当时，，此时不等式的解集为.
18. （1）依题意得，
，
所以为定值.
（2）令函数，
则定义域为，
，
则，为奇函数，
所以关于对称，即，
所以（），
且中间项，
故所求式子的值为.
（3）由（1）得，
所以函数，
在定义域R上是单调递增，区间上.
令，，，
在区间内恰有一个零点等价于函数在区间内恰有一个零点.
①当时，只有一个零点，符合题意.
②当时，对于函数，，
（ⅰ）若，即时，有唯一零点，符合题意，
（ⅱ）若，即时，要使在区间内恰有一个零点，则需
①令，解得且，
②令，解得，则，
令解得另一个零点为，符合题意，
③令，解得，则，
令解得另一个零点为，符合题意，
综上所述，实数k的取值范围是.
19. （1）因为在R上为增函数，
所以的值域为，
因为的值域为
当时，，而，
所以不是的“2重覆盖函数”.
（2）当时，为增函数，所以，
当时，为减函数，所以，
所以，时，，
当时，，由二次函数性质得，，
所以，对于，，
使得，
因为当时，，
对于，不存在，使得，
所以要使为的“3重覆盖函数”，
只需，在上有唯一解，
因为，，
所以，即，
解得，
所以m取值范围是.
（3）因为，
因为，所以，
所以，，
所以，
设，，则，令，，
因为为的“2026重覆盖函数”，
所以为的“2026重覆盖函数”，
即，在有2026个根，
作出函数的大致图象（部分），如下图，
要使得在有2026个根，
则，解得
所以正实数a的取值范围是.株洲市二中2026年上学期高一开学考试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
5. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么要消除的污染物大约需要（参考数据：，）（ ）
A. B. C. D.
6. 已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论不正确的是：（ ）
A.
B.
C.
D. 的最小值为
7. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
8. 已知函数，的零点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，且，则下列结论正确的有（ ）
A. ab的最小值是 B. 的最小值为8
C. 的最小值为2 D. 此方程有且仅有3组整数解
10. 已知函数是定义在上的奇函数，且，如图，以点为圆心，为半径的扇形，弧线为函数在上的图象（其中点，），则下列说法正确的有（ ）
A. 扇形面积为
B. 函数的最小正周期
C. 函数在上单调递减
D. 若，则的最小值为2
11. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 的取值范围为
B. 的取值范围为
C. 若方程有个不同的实根，则
D. 若方程有个不同的实根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量在向量方向上的投影向量为，则______
13. 若，，并且，，且，则的值为______.
14. ，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，已知在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点两点，.
（1）若，求及的值；
（2）若，求.
16. 函数的部分图象如图所示.
（1）求解析式与单调递增区间；
（2）求的解集；
（3）关于的方程在区间上有两个解、且，求.
17. 已知幂函数在区间上单调递增，函数是定义域为的奇函数，且满足时，.
（1）求的解析式；
（2）解关于不等式.
18. 已知函数，.
（1）证明：定值；
（2）已知函数，求的值；
（3）若函数在区间内恰有一个零点，求实数k的取值范围.
19. 给出如下定义：设函数的定义域为，函数的定义域为，若对于任意的，恰好存在n个不同的实数，，，…，，使得，，其中，则称为的“n重覆盖函数”.
（1）已知函数，，判断是否为的“2重覆盖函数”，并说明理由；
（2）已知函数，，若是的“3重覆盖函数”，求m的取值范围；
（3）定义表示不超过x的最大整数，如，，，记函数，，，若为的“2026重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.
