人教版物理必修第二册
第六章 | 圆周运动
第1节 圆周运动
核心素养点击
物理观念 (1)认识圆周运动、匀速圆周运动的特点。 (2)理解线速度的物理意义，知道匀速圆周运动中线速度的方向。 (3)理解角速度的物理意义。 (4)了解转速和周期的意义。
科学思维 (1)掌握线速度和角速度的关系。 (2)能在具体的情境中确定线速度和角速度。 (3)理解线速度、角速度、周期、转速等各量的相互关系。
科学态度与责任 会用描述匀速圆周运动的物理量分析有关问题。
1．填一填
(1)圆周运动：运动轨迹为 或一段 的机械运动。
(2)线速度
①定义式：v＝。
②方向：物体做圆周运动时该点的 方向。线速度是矢量。
③物理意义：表示物体在某点时运动的 。
(3)匀速圆周运动：线速度的 处处相等的圆周运动。因线速度的方向在时刻变化，故匀速圆周运动是一种 运动。
2．判断
(1)做圆周运动的物体，其速度一定是变化的。( )
(2)圆周运动线速度定义式v＝中的Δs表示位移。( )
(3)做匀速圆周运动的物体，绕圆周运动一周，平均速度为0，线速度也为0。( )
(4)匀速圆周运动是线速度不变的运动。( )
1．填一填
(1)物理意义：描述做圆周运动的物体绕圆心 的快慢。
(2)定义：半径在某段时间内转过的 与所用时间Δt之比。
(3)定义式：ω＝。
(4)单位：在国际单位制中，角速度的单位是弧度每秒，符号： ，也可以写成 。
(5)角速度是矢量，但是中学阶段不研究其方向。
(6)匀速圆周运动角速度特点：角速度 。
2．判断
(1)角速度是标量，它没有方向。( )
(2)物体做匀速圆周运动时在相等的时间内转过的角度相等。( )
(3)做匀速圆周运动的物体，转过的角度越大，其角速度就越大。( )
1．填一填
物理量 周期 转速 频率
定义 做圆周运动的物体，运动 所用的时间 物体转动的 与所用时间之比 做圆周运动的物体单位时间内转过的圈数
符号 T n f
单位 秒(s) 转每秒(r/s)、转每分(r/min) 赫兹(Hz)
2．判断
(1)做圆周运动的物体转动的周期越短，其转动得就越快。( )
(2)物体做圆周运动时的转速越大，说明其转动得越快。( )
(3)钟表分针的转速为 r/s。( )
1．填一填
(1)推导：由v＝，ω＝，Δθ＝，可得v＝ωr。
(2)关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度的大小与半径的乘积。
2．判断
(1)当半径一定时，线速度与角速度成正比。( )
(2)角速度一定时，线速度与半径成正比。( )
(3)线速度越大，角速度也越大。( )
描述圆周运动的各物理量间的关系
【重难释解】
1．描述圆周运动的各物理量之间的关系
2．v、ω及r间的关系
由v＝ωr知，当v、ω、r中有一个不变时，其他两个物理量间的变化关系：
(1)当r一定时，v ∝ω，如图甲所示。
(2)当ω一定时，v ∝r，如图乙所示。
(3)当v一定时，ω∝，如图丙或丁所示。
某同学以自行车的齿轮传动作为探究学习的课题。该同学通过观察发现，自行车的大齿轮与小齿轮通过链条相连，后轮与小齿轮绕共同的轴转动，如图所示。测得大齿轮的半径为r1、小齿轮的半径为r2、自行车后轮的半径为R。若测得在时间t内大齿轮转动的圈数为N，求：
(1)大齿轮转动角速度ω的大小；
(2)自行车后轮线速度v的大小。
【素养训练】
1.如图所示是广东沿海的风力发电机，A、B是同一台发电机叶片上的两点。发电机工作时A、B两点的角速度大小分别为ωA、ωB，线速度大小分别为vA、vB，则( )
A．ωA＞ωB B．ωA＜ωB
C．vA＞vB D．vA＜vB
2．甲、乙两个质点做圆周运动，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，下列说法中正确的是( )
A．它们的半径之比为2∶9
B．它们的半径之比为1∶2
C．它们的周期之比为2∶3
D．它们的周期之比为3∶1
3．(2025·河北高考)某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片记录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图所示。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是 s，圆弧对应的圆心角约为30°，则该同学每分钟跳绳的圈数约为( )
A．90 B．120
C．150 D．180
【重难释解】
1．传动问题的两个重要结论
(1)皮带传动(不打滑)时，与皮带接触的轮子边缘上各点的线速度大小相等。
(2)同轴传动时，物体上各点的角速度相等。
2．三类传动装置对比
传动类型 同轴传动 皮带传动(不打滑) 齿轮传动
装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点 角速度、周期相同 线速度大小相同 线速度大小相同
转动方向 相同 相同 相反
规律 线速度与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝
如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB。若皮带不打滑，求A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的线速度之比和角速度之比。
【素养训练】
4．图甲是一款感应垃圾桶。物体靠近其感应区，桶盖会自动绕O点水平打开，如图乙所示。桶盖打开过程中，桶盖上的A、B两点的角速度大小分别为ωA、ωB，线速度大小分别为vA、vB，则( )
A．ωA＞ωB B．ωA＜ωB C．vA＞vB D．vA＜vB
5．(2025·广东佛山模拟)如图所示是《天工开物》中牛力齿轮的图画及其原理简化图。牛拉动横杆驱动半径为R1的大齿轮匀速率转动，大齿轮与半径为R2的中齿轮垂直咬合，中齿轮通过横轴与半径为R3的小齿轮相连，小齿轮驱动抽水桶抽水。已知牛拉横杆转一圈需要时间为t，则抽水桶的运动速率约为( )
A. B. C. D.
6.如图所示，P、Q为固定在自行车后轮上的两个转动齿轮，与车后轮同角速度转动，通过链条与脚踏轮M连接，P轮的半径比Q轮的大。保持M以恒定角速度转动，将链条由Q轮换到P轮，则车后轮转动的( )
A．角速度不变 B．角速度变小
C．周期不变 D．周期变小
【重难释解】
1．匀速圆周运动的周期性和多解性
匀速圆周运动具有周期性，前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动的物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去，一般t＝nT(T为运动周期，n为运动圈数)，因此可能产生多解问题。
2．匀速圆周运动的多解问题的解题思路
(1)明确两个物体参与的匀速圆周运动的性质和求解的问题；两个物体参与的两个匀速圆周运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移相等，抓住两匀速圆周运动的联系点是解题关键。
(2)注意匀速圆周运动的周期性造成的多解。分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定。
如图所示，半径为R的圆板做匀速转动，当半径OB转到某一方向时，在圆板中心正上方高h处，以平行于OB方向水平抛出一小球。要使小球与圆板只碰撞一次，且落点为B，求小球水平抛出时的速度v0及圆板转动的角速度ω。
[迁移·发散]
要求小球刚好落在OB的中点，求小球水平抛出时的速度v0及圆盘转动的最大周期。
【素养训练】
7．如图所示，一位同学玩飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘为L，该同学对准圆盘上边缘的A点水平抛出飞镖，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系式正确的是( )
A．dv02＝L2g
B．ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0,1,2,3，…)
C．v0＝ω
D．dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0,1,2,3，…)
8.如图所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平恒力F的作用下由静止开始运动，B物体质量为m，同时A物体在竖直面内由M点开始逆时针做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动。求力F为多大时可使A、B两物体在某些时刻的速度相同。
9．如图所示，用薄纸做成的圆筒，直径为D，竖直放置，圆筒绕轴线OO′以角速度ω0逆时针匀速运动。一玩具手枪发出的子弹，沿水平方向匀速飞来(不计子弹重力影响)，沿圆筒的直径方向击穿圆筒后飞出(设薄纸对子弹的运动速度无影响且认为纸筒没有发生形变)，结果在圆筒上只留下子弹的一个洞痕，求子弹的速度。
一、培养创新意识和创新思维
炎炎的夏夜，你在日光灯下打开电风扇，你会发现随着电风扇转速的变化，电风扇叶片有时仿佛静止不动，有时倒转，有时正转。这是怎么回事呢？
二、注重学以致用和思维建模
1．在机床、汽车等机器或设备中通常会使用一种叫作蜗杆传动的装置，如图所示。这种装置由蜗杆和蜗轮组成，从外形上看，蜗杆类似螺栓，蜗轮则很像斜齿圆柱齿轮。工作时，一般以蜗杆为主动件，当蜗杆旋转时，会带动蜗轮轮齿沿着蜗杆的螺旋面转动，蜗杆每旋转一圈，蜗轮轮齿会转动一格，若螺距为d＝1.6π mm的蜗杆以每秒20圈的转速旋转，则半径为r＝32 mm的蜗轮将获得的转速是( )
A．30 r/min B．120 r/min
C．1 200 r/min D．48 000 r/min
2.如图所示，普通轮椅一般由轮椅架、车轮、刹车装置等组成。车轮分为大车轮和小车轮，大车轮上固定有手轮圈，手轮圈由患者直接推动。已知大车轮、手轮圈、小车轮的半径之比为9∶8∶1，假设轮椅在地面上做直线运动，手和手轮圈之间、车轮和地面之间都不打滑，当手推手轮圈的角速度为ω时，小车轮的角速度为( )
A．ω B.ω
C.ω D．9ω
3.(多选)在汽车变速器中，存在如图所示的装置，A是与B同轴相连的齿轮，C是与D同轴相连的齿轮，A、C、M为相互啮合的齿轮。已知齿轮A、C规格相同，半径为R，齿轮B、D规格也相同，半径为1.5R，齿轮M的半径为0.9R。当齿轮M如图示方向转动时，下列说法正确的是( )
A．齿轮D和齿轮B的转动方向相同
B．齿轮M和齿轮C的角速度大小之比为9∶10
C．齿轮D和齿轮A的转动周期之比为1∶1
D．齿轮M和齿轮B边缘某点的线速度大小之比为2∶3
[课时跟踪检测]
组—重基础·体现综合
1．关于匀速圆周运动的物理量，下列说法正确的是( )
A．半径一定时，线速度与角速度成正比
B．周期一定时，线速度与角速度成正比
C．线速度一定时，角速度与半径成正比
D．角速度一定时，线速度与半径成反比
2．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A．根据T＝，线速度越大，周期越小
B．根据T＝，角速度越大，周期越小
C．角速度越大，速度的方向变化越快
D．线速度越大，速度的方向变化越快
3.如图所示，当用扳手拧螺母时，扳手上的P、Q两点的角速度分别为ωP和ωQ，线速度大小分别为vP和vQ，则( )
A．ωP<ωQ，vPC．ωP<ωQ，vP＝vQ D．ωP＝ωQ，vP>vQ
4.(多选)如图所示是中国古代玩具饮水鸟的示意图，它的神奇之处是，在鸟的面前放上一杯水，鸟就会俯下身去，把嘴浸到水里，“喝”了一口水后，鸟将绕着O点不停摆动，一会儿它又会俯下身去，再“喝”一口水。P、Q是饮水鸟上两点，且rPO＞rQO，则在摆动过程中( )
A．P点的线速度小于Q点的线速度
B．P、Q两点的角速度大小相等
C．相同时间内P、Q两点通过的弧长相等
D．P、Q两点的线速度方向相反
5.如图为某小天体的“哑铃”状照片示意图，该小天体绕固定轴匀速自转，其上有到转轴距离不等的A、B两点(LA＞LB)，关于这两点运动的描述，下列说法正确的是( )
A．A、B两点线速度大小相等
B．A点的线速度恒定
C．A、B两点角速度相等
D．相同时间内A、B两点通过的弧长相等
6.如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3。若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为( )
A. B.
C. D.
7.“修正带”是深受同学们欢迎的一种学习用品，某种“修正带”内部结构如图所示。经测量两个齿轮的半径分别为2.0 cm和0.8 cm，其中a点和c点分别位于大、小齿轮边缘，b点位于大齿轮某半径的中点，当齿轮匀速转动时( )
A．大齿轮上的a点与大齿轮上b点的周期之比为2∶5
B．大齿轮上的a点与小齿轮上c点的角速度之比为5∶2
C．大齿轮上的b点与小齿轮上c点的线速度之比为1∶1
D．大齿轮上的b点与小齿轮上c点的角速度之比为2∶5
8．(2025·广东潮州模拟)如图甲所示，陀螺是深受小朋友喜爱的玩具之一。玩耍时，由细绳的一端开始将细绳紧紧缠绕在陀螺侧面，将陀螺竖直放置在地面上，用力水平拉动细绳另一端，使陀螺由静止开始加速转动，俯视图如图乙所示。若陀螺的半径为R，在地面上稳定转动时，其角速度至少要达到ω，缠绕在陀螺上的细绳长为l，拉动细绳时，细绳在陀螺侧面不打滑。将细绳的运动视为匀加速直线运动，为使陀螺稳定转动，细绳的加速度至少为( )
A. B.
C. D.
9.如图所示，直径为0.5 m的地球仪匀速转动，已知地球仪上B点的线速度为 m/s，求：
(1) 地球仪转动的角速度和周期；
(2) 地球仪上A点的线速度。
组—重应用·体现创新
10．(多选)如图甲所示是中学物理实验室常用的感应起电机，它是利用两个大小相等、直径约为30 cm的感应玻璃盘起电的，其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮连接，如图乙所示。现玻璃盘以100 r/min的转速旋转，已知主动轮的半径约为8 cm，从动轮的半径约为2 cm，P和Q是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑，下列说法正确的是( )
A．P、Q的线速度相同
B．玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反
C．P点的线速度大小约为1.6 m/s
D．摇把的转速约为400 r/min
11．现在许多汽车都应用了自动挡无级变速装置，可不用离合就能连续变换速度，如图为截锥式无级变速模型示意图，两个锥轮之间有一个滚动轮，主动轮、滚动轮、从动轮之间靠彼此之间的摩擦力带动，当位于主动轮和从动轮之间的滚动轮从左向右移动时，从动轮转速降低；滚动轮从右向左移动时，从动轮转速增加。现在滚动轮处于主动轮直径D1，从动轮直径D2的位置，则主动轮转速n1与从动轮转速n2的关系是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
12．冲关节目是一种户外娱乐健康游戏，如图所示为参赛者遇到的一个关卡。一个半径为R的圆盘浮在水面上，圆盘表面保持水平且与水平跑道的高度差h＝1.25 m，M为圆盘边缘上一点。
某时刻，参赛者从跑道上P点水平向右跳出，初速度的方向与圆盘半径OM在同一竖直平面内。已知圆盘的圆心与P点之间的水平距离为x0＝4 m，圆盘半径R＝2 m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。
(1)求参赛者从P点跳出至落至圆盘经历的时间t；
(2)参赛者要能落在圆盘上，求v0的最小值；
(3)若参赛者从P点跳出的同时，圆盘绕过其圆心O的竖直轴以角速度ω匀速转动，要使参赛者落到M点，求圆盘转动的角速度ω。
7 / 7第六章 | 圆周运动
第1节 圆周运动
核心素养点击
物理观念 (1)认识圆周运动、匀速圆周运动的特点。 (2)理解线速度的物理意义，知道匀速圆周运动中线速度的方向。 (3)理解角速度的物理意义。 (4)了解转速和周期的意义。
科学思维 (1)掌握线速度和角速度的关系。 (2)能在具体的情境中确定线速度和角速度。 (3)理解线速度、角速度、周期、转速等各量的相互关系。
科学态度与责任 会用描述匀速圆周运动的物理量分析有关问题。
1．填一填
(1)圆周运动：运动轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动。
(2)线速度
①定义式：v＝。
②方向：物体做圆周运动时该点的切线方向。线速度是矢量。
③物理意义：表示物体在某点时运动的快慢。
(3)匀速圆周运动：线速度的大小处处相等的圆周运动。因线速度的方向在时刻变化，故匀速圆周运动是一种变速运动。
2．判断
(1)做圆周运动的物体，其速度一定是变化的。(√)
(2)圆周运动线速度定义式v＝中的Δs表示位移。(×)
(3)做匀速圆周运动的物体，绕圆周运动一周，平均速度为0，线速度也为0。(×)
(4)匀速圆周运动是线速度不变的运动。(×)
1．填一填
(1)物理意义：描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢。
(2)定义：半径在某段时间内转过的角Δθ与所用时间Δt之比。
(3)定义式：ω＝。
(4)单位：在国际单位制中，角速度的单位是弧度每秒，符号：rad/s，也可以写成s－1。
(5)角速度是矢量，但是中学阶段不研究其方向。
(6)匀速圆周运动角速度特点：角速度不变。
2．判断
(1)角速度是标量，它没有方向。(×)
(2)物体做匀速圆周运动时在相等的时间内转过的角度相等。(√)
(3)做匀速圆周运动的物体，转过的角度越大，其角速度就越大。(×)
1．填一填
物理量 周期 转速 频率
定义 做圆周运动的物体，运动一周所用的时间 物体转动的圈数与所用时间之比 做圆周运动的物体单位时间内转过的圈数
符号 T n f
单位 秒(s) 转每秒(r/s)、转每分(r/min) 赫兹(Hz)
2．判断
(1)做圆周运动的物体转动的周期越短，其转动得就越快。(√)
(2)物体做圆周运动时的转速越大，说明其转动得越快。(√)
(3)钟表分针的转速为 r/s。(×)
1．填一填
(1)推导：由v＝，ω＝，Δθ＝，可得v＝ωr。
(2)关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度的大小与半径的乘积。
2．判断
(1)当半径一定时，线速度与角速度成正比。(√)
(2)角速度一定时，线速度与半径成正比。(√)
(3)线速度越大，角速度也越大。(×)
描述圆周运动的各物理量间的关系
【重难释解】
1．描述圆周运动的各物理量之间的关系
2．v、ω及r间的关系
由v＝ωr知，当v、ω、r中有一个不变时，其他两个物理量间的变化关系：
(1)当r一定时，v ∝ω，如图甲所示。
(2)当ω一定时，v ∝r，如图乙所示。
(3)当v一定时，ω∝，如图丙或丁所示。
某同学以自行车的齿轮传动作为探究学习的课题。该同学通过观察发现，自行车的大齿轮与小齿轮通过链条相连，后轮与小齿轮绕共同的轴转动，如图所示。测得大齿轮的半径为r1、小齿轮的半径为r2、自行车后轮的半径为R。若测得在时间t内大齿轮转动的圈数为N，求：
(1)大齿轮转动角速度ω的大小；
(2)自行车后轮线速度v的大小。
解题指导
(1)根据在时间t内大齿轮转动的圈数N，可以求出大齿轮的转动周期T，再结合角速度与周期的关系，从而求出大齿轮的角速度ω。
(2)大齿轮与小齿轮通过链条相连，两齿轮边缘线速度的大小相等。后轮与小齿轮同轴转动，两者角速度的大小相等。根据线速度与角速度的关系，从而求出后轮线速度的大小v。
[解析] (1)大齿轮的周期T＝，
则大齿轮转动角速度ω＝＝。
(2)大齿轮和小齿轮边缘线速度的大小相等，
有r1ω＝r2ω′，
解得小齿轮角速度ω′＝，
小齿轮角速度与后轮角速度的大小相等，则后轮线速度的大小v＝Rω′＝Rω＝·。
[答案] (1) (2)·
圆周运动中各物理量间关系的应用技巧
(1)分析线速度和角速度的关系，应用公式v＝ωr。
(2)分析转速和角速度的关系，应用公式ω＝2πn。
【素养训练】
1.如图所示是广东沿海的风力发电机，A、B是同一台发电机叶片上的两点。发电机工作时A、B两点的角速度大小分别为ωA、ωB，线速度大小分别为vA、vB，则( )
A．ωA＞ωB B．ωA＜ωB
C．vA＞vB D．vA＜vB
解析：选C A、B两点的角速度相同，A点的半径大于B点的半径，根据v＝ωr可得，A点的线速度大于B点的线速度，A、B、D错误，C正确。
2．甲、乙两个质点做圆周运动，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，下列说法中正确的是( )
A．它们的半径之比为2∶9
B．它们的半径之比为1∶2
C．它们的周期之比为2∶3
D．它们的周期之比为3∶1
解析：选A 因为v＝ωr，所以r＝，r甲∶r乙＝∶＝2∶9，故A正确，B错误；T＝，因此T甲∶T乙＝∶＝1∶3，故C、D错误。
3．(2025·河北高考)某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片记录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图所示。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是 s，圆弧对应的圆心角约为30°，则该同学每分钟跳绳的圈数约为( )
A．90 B．120
C．150 D．180
解析：选C 根据题意可知跳绳转动的角速度约为ω＝＝ rad/s＝5π rad/s，故该同学每分钟跳绳的圈数约为n＝＝150，故选C。
【重难释解】
1．传动问题的两个重要结论
(1)皮带传动(不打滑)时，与皮带接触的轮子边缘上各点的线速度大小相等。
(2)同轴传动时，物体上各点的角速度相等。
2．三类传动装置对比
传动类型 同轴传动 皮带传动(不打滑) 齿轮传动
装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点 角速度、周期相同 线速度大小相同 线速度大小相同
转动方向 相同 相同 相反
规律 线速度与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝
如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB。若皮带不打滑，求A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的线速度之比和角速度之比。
[解析] a、b两点由皮带相连，线速度大小相等，va＝vb；
b、c两点绕同一轮轴转动，角速度相等，ωb＝ωc，
由v＝ωr，比较b、c两点的线速度，
vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2；
因此va∶vb∶vc＝1∶1∶2。
由v＝ωr比较a、b两点的角速度，
ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2；
因此ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2。
[答案] 1∶1∶2 1∶2∶2
传动问题的分析技巧
(1)分析是哪种传动装置。
(2)皮带(或链条)传动和齿轮传动，与轮子边缘接触的各点或齿轮边缘的各点线速度大小一定相同。
(3)同轴转动，各点的角速度一定相同。
(4)利用v＝ωr分析有关问题。
【素养训练】
4．图甲是一款感应垃圾桶。物体靠近其感应区，桶盖会自动绕O点水平打开，如图乙所示。桶盖打开过程中，桶盖上的A、B两点的角速度大小分别为ωA、ωB，线速度大小分别为vA、vB，则( )
A．ωA＞ωB B．ωA＜ωB C．vA＞vB D．vA＜vB
解析：选D 桶盖上的A、B两点同时绕着O点转动，则角速度大小相等，即ωA＝ωB；根据v＝ωr，又有rB>rA，则vB>vA，故A、B、C错误，D正确。
5．(2025·广东佛山模拟)如图所示是《天工开物》中牛力齿轮的图画及其原理简化图。牛拉动横杆驱动半径为R1的大齿轮匀速率转动，大齿轮与半径为R2的中齿轮垂直咬合，中齿轮通过横轴与半径为R3的小齿轮相连，小齿轮驱动抽水桶抽水。已知牛拉横杆转一圈需要时间为t，则抽水桶的运动速率约为( )
A. B. C. D.
解析：选A 大齿轮的线速度大小为v1＝，由题意可知，大齿轮和中齿轮的线速度大小相等，即v2＝v1＝，中齿轮和小齿轮是同轴传动，具有相同的角速度，根据ω＝，可知＝，解得v3＝，故选A。
6.如图所示，P、Q为固定在自行车后轮上的两个转动齿轮，与车后轮同角速度转动，通过链条与脚踏轮M连接，P轮的半径比Q轮的大。保持M以恒定角速度转动，将链条由Q轮换到P轮，则车后轮转动的( )
A．角速度不变 B．角速度变小
C．周期不变 D．周期变小
解析：选B 根据题意可知，保持脚踏轮M以恒定角速度转动，则脚踏轮M边缘的线速度大小不变，开始时，通过链条使Q轮与脚踏轮M连接，则Q轮边缘的线速度大小等于脚踏轮M边缘的线速度大小，设脚踏轮M边缘的线速度大小为v，由公式v＝ωr可得，后轮的角速度为ω＝，同理可知，改为通过链条使P轮与脚踏轮M连接，后轮的角速度为ω′＝，由于rQω′，即后轮角速度变小，由公式T＝可知，后轮的周期变大。故选B。
【重难释解】
1．匀速圆周运动的周期性和多解性
匀速圆周运动具有周期性，前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动的物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去，一般t＝nT(T为运动周期，n为运动圈数)，因此可能产生多解问题。
2．匀速圆周运动的多解问题的解题思路
(1)明确两个物体参与的匀速圆周运动的性质和求解的问题；两个物体参与的两个匀速圆周运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移相等，抓住两匀速圆周运动的联系点是解题关键。
(2)注意匀速圆周运动的周期性造成的多解。分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定。
如图所示，半径为R的圆板做匀速转动，当半径OB转到某一方向时，在圆板中心正上方高h处，以平行于OB方向水平抛出一小球。要使小球与圆板只碰撞一次，且落点为B，求小球水平抛出时的速度v0及圆板转动的角速度ω。
[解析] 小球从高h处抛出后，做平抛运动的下落时间t＝ 。小球在水平方向运动的距离R＝v0t，
得v0＝＝，
圆盘在时间t内应转动n转，
因此ω＝＝ (n＝1,2,3，…)。
[答案] (n＝1,2,3，…)
[迁移·发散]
要求小球刚好落在OB的中点，求小球水平抛出时的速度v0及圆盘转动的最大周期。
解析：小球刚好落在OB的中点，则有R＝v0t，
解得v0＝，
圆盘转动的最大周期Tmax＝ 。
答案：
【素养训练】
7．如图所示，一位同学玩飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘为L，该同学对准圆盘上边缘的A点水平抛出飞镖，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系式正确的是( )
A．dv02＝L2g
B．ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0,1,2,3，…)
C．v0＝ω
D．dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0,1,2,3，…)
解析：选B 依题意，飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，飞镖恰好击中A点，说明A正好在最低点被击中，则A点转动的时间t＝(n＝0,1,2，3，…)，平抛运动的时间t＝，则有＝(n＝0,1,2,3，…)，故B正确，C错误；平抛运动的竖直位移为d，则d＝gt2，联立有dω2＝gπ2(2n＋1)2(n＝0,1,2,3，…)，故A、D错误。
8.如图所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平恒力F的作用下由静止开始运动，B物体质量为m，同时A物体在竖直面内由M点开始逆时针做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动。求力F为多大时可使A、B两物体在某些时刻的速度相同。
解析：因为物体B在力F的作用下沿水平地面向右做匀加速直线运动，速度方向水平向右，所以要使A与B速度相同，只有当A运动到圆轨道的最低点时，才有可能。
设A、B运动时间t后速度相同(大小相等，方向相同)。
对A物体有t＝T＋nT＝(n＝0,1，2，…)，vA＝rω，
对B物体有F＝ma，a＝，
vB＝at＝t，
由vB＝vA，得＝ωr，
解得F＝(n＝0,1,2，…)。
答案：(n＝0,1,2，…)
9．如图所示，用薄纸做成的圆筒，直径为D，竖直放置，圆筒绕轴线OO′以角速度ω0逆时针匀速运动。一玩具手枪发出的子弹，沿水平方向匀速飞来(不计子弹重力影响)，沿圆筒的直径方向击穿圆筒后飞出(设薄纸对子弹的运动速度无影响且认为纸筒没有发生形变)，结果在圆筒上只留下子弹的一个洞痕，求子弹的速度。
解析：由于子弹在圆筒上只留下了一个洞痕，考虑匀速圆周运动的周期性，
故有π＋2nπ＝ω0t (n＝0,1,2,3，…)，
解得t＝ (n＝0,1,2,3，…)，
因此v＝＝ (n＝0,1,2,3，…)。
答案： (n＝0,1,2,3，…)
一、培养创新意识和创新思维
炎炎的夏夜，你在日光灯下打开电风扇，你会发现随着电风扇转速的变化，电风扇叶片有时仿佛静止不动，有时倒转，有时正转。这是怎么回事呢？
解析：日光灯并不是连续发光，而是随着交流电的频率不停地闪烁，断断续续将物体照亮。目前，我国使用的交流电频率是50 Hz，日光灯发光的频率是其两倍，即每秒有100次闪烁。
由于人眼的视觉暂留性，通常情况下感觉不到这种闪烁，但对于高速转动的物体就不同了。日光灯每秒钟100次照亮物体，因此，当电风扇的转速达到100 r/s的整数倍时，电风扇的叶片总是在同一位置上。这样人就觉得电风扇叶片是“静止”不动的了。
实际上，电风扇一般有三个叶片，因此：(1)当转速为 r/s的整数倍时，就看到了电风扇叶片“静止”；(2)当转速略低时，就看到电风扇叶片缓慢的“倒转”；(3)当转速略高时，就看到电风扇叶片缓慢的“正转”。由于这种现象是光源以一定频率闪烁造成的，因此叫作频闪现象。
答案：见解析
二、注重学以致用和思维建模
1．在机床、汽车等机器或设备中通常会使用一种叫作蜗杆传动的装置，如图所示。这种装置由蜗杆和蜗轮组成，从外形上看，蜗杆类似螺栓，蜗轮则很像斜齿圆柱齿轮。工作时，一般以蜗杆为主动件，当蜗杆旋转时，会带动蜗轮轮齿沿着蜗杆的螺旋面转动，蜗杆每旋转一圈，蜗轮轮齿会转动一格，若螺距为d＝1.6π mm的蜗杆以每秒20圈的转速旋转，则半径为r＝32 mm的蜗轮将获得的转速是( )
A．30 r/min B．120 r/min
C．1 200 r/min D．48 000 r/min
解析：选A 设蜗轮的转速大小为n，则由题意可知20d＝2πrn，解得n＝0.5 r/s＝30 r/min，故选A。
2.如图所示，普通轮椅一般由轮椅架、车轮、刹车装置等组成。车轮分为大车轮和小车轮，大车轮上固定有手轮圈，手轮圈由患者直接推动。已知大车轮、手轮圈、小车轮的半径之比为9∶8∶1，假设轮椅在地面上做直线运动，手和手轮圈之间、车轮和地面之间都不打滑，当手推手轮圈的角速度为ω时，小车轮的角速度为( )
A．ω B.ω
C.ω D．9ω
解析：选D 手轮圈和大车轮的转动角速度相等，都等于ω，大车轮、小车轮和地面之间不打滑，则大车轮与小车轮的线速度相等，若小车轮的半径是r，则有v＝ω·9r＝ω′·r，小车轮的角速度为ω′＝9ω，选项D正确。
3.(多选)在汽车变速器中，存在如图所示的装置，A是与B同轴相连的齿轮，C是与D同轴相连的齿轮，A、C、M为相互啮合的齿轮。已知齿轮A、C规格相同，半径为R，齿轮B、D规格也相同，半径为1.5R，齿轮M的半径为0.9R。当齿轮M如图示方向转动时，下列说法正确的是( )
A．齿轮D和齿轮B的转动方向相同
B．齿轮M和齿轮C的角速度大小之比为9∶10
C．齿轮D和齿轮A的转动周期之比为1∶1
D．齿轮M和齿轮B边缘某点的线速度大小之比为2∶3
解析：选ACD 因为M顺时针转动，A逆时针转动，C逆时针转动，又A、B同轴转动，C、D同轴转动，所以齿轮D和齿轮B的转动方向相同，故A正确；A、M、C三个紧密啮合的齿轮边缘线速度大小相同，根据v＝ωr，得＝＝＝，故B错误；齿轮A、C规格相同，半径为R，根据v＝ωr，得A、C转动的角速度相同，A、B同轴转动，角速度相同，C、D同轴转动，角速度相同，且齿轮B、D规格也相同，因此齿轮D和齿轮A的转动角速度相同，周期相同，故C正确；根据v＝ωr，得＝＝＝，A与B同轴相连，ωA＝ωB，＝＝，根据v＝ωr，得＝＝×＝，故D正确。
[课时跟踪检测]
组—重基础·体现综合
1．关于匀速圆周运动的物理量，下列说法正确的是( )
A．半径一定时，线速度与角速度成正比
B．周期一定时，线速度与角速度成正比
C．线速度一定时，角速度与半径成正比
D．角速度一定时，线速度与半径成反比
解析：选A 根据公式v＝ωr，当半径一定时，角速度与线速度成正比，周期一定时，由ω＝知，角速度一定，故A正确，B错误；根据公式v＝ωr，线速度一定，角速度与半径成反比，故C错误；根据公式v＝ωr，角速度一定，线速度与半径成正比，故D错误。
2．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A．根据T＝，线速度越大，周期越小
B．根据T＝，角速度越大，周期越小
C．角速度越大，速度的方向变化越快
D．线速度越大，速度的方向变化越快
解析：选BC 根据T＝，当轨道半径一定时，才有线速度越大，周期越小，故A错误；根据T＝，角速度越大，周期越小，故B正确；单位时间内质点与圆心的连线(圆半径)转过的角度越大，速度的方向变化越快，故C正确，D错误。
3.如图所示，当用扳手拧螺母时，扳手上的P、Q两点的角速度分别为ωP和ωQ，线速度大小分别为vP和vQ，则( )
A．ωP<ωQ，vPC．ωP<ωQ，vP＝vQ D．ωP＝ωQ，vP>vQ
解析：选B P、Q两点是同轴转动，故角速度相等，即ωP＝ωQ；根据v＝ωr，因rQ>rP，所以vP4.(多选)如图所示是中国古代玩具饮水鸟的示意图，它的神奇之处是，在鸟的面前放上一杯水，鸟就会俯下身去，把嘴浸到水里，“喝”了一口水后，鸟将绕着O点不停摆动，一会儿它又会俯下身去，再“喝”一口水。P、Q是饮水鸟上两点，且rPO＞rQO，则在摆动过程中( )
A．P点的线速度小于Q点的线速度
B．P、Q两点的角速度大小相等
C．相同时间内P、Q两点通过的弧长相等
D．P、Q两点的线速度方向相反
解析：选BD 鸟将绕着O点不停摆动，P、Q是饮水鸟上两点，属于同轴转动。P点离O点更远，绕O点转动的半径大。根据同轴转动角速度相等知P、Q两点的角速度大小相等，故B正确；P、Q两点的角速度大小相等，P点绕O点转动的半径大，根据v＝ωr知，P点的线速度较大，故A错误；P、Q两点的线速度大小不同，故相同时间内通过的弧长不相等，故C错误；P、Q在O点两端，两点的线速度方向均与杆垂直，故两点的线速度方向相反，D正确。
5.如图为某小天体的“哑铃”状照片示意图，该小天体绕固定轴匀速自转，其上有到转轴距离不等的A、B两点(LA＞LB)，关于这两点运动的描述，下列说法正确的是( )
A．A、B两点线速度大小相等
B．A点的线速度恒定
C．A、B两点角速度相等
D．相同时间内A、B两点通过的弧长相等
解析：选C A、B两点同轴转动，故A、B两点的角速度相等，LA＞LB，根据v＝rω得，A、B两点线速度大小不相等，故A错误，C正确；A、B两点的线速度方向时刻改变，故B错误；A、B两点的线速度不相等，因此相同时间内A、B两点通过的弧长不相等，故D错误。
6.如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3。若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为甲、乙、丙三个轮子靠摩擦传动，相互之间不打滑，故三个轮子边缘上的线速度相等，即r1ω1＝r2ω2＝r3ω3，所以ω3＝，故A正确。
7.“修正带”是深受同学们欢迎的一种学习用品，某种“修正带”内部结构如图所示。经测量两个齿轮的半径分别为2.0 cm和0.8 cm，其中a点和c点分别位于大、小齿轮边缘，b点位于大齿轮某半径的中点，当齿轮匀速转动时( )
A．大齿轮上的a点与大齿轮上b点的周期之比为2∶5
B．大齿轮上的a点与小齿轮上c点的角速度之比为5∶2
C．大齿轮上的b点与小齿轮上c点的线速度之比为1∶1
D．大齿轮上的b点与小齿轮上c点的角速度之比为2∶5
解析：选D a、b共轴转动，角速度相等，故ωa＝ωb，由T＝知大齿轮上的a点与大齿轮上b点的周期之比为1∶1，故A错误；两齿轮边缘点的线速度大小相等，故va＝vc，根据v＝ωr，角速度与半径成反比，则ωa∶ωc＝rc∶ra＝2∶5，故B错误；根据题意有ra∶rb∶rc＝10∶5∶4，根据v＝ωr，ωa＝ωb，va∶vb＝ra∶rb＝2∶1，则va∶vb∶vc＝2∶1∶2，故C错误；由以上分析知ωa＝ωb，ωa∶ωc＝2∶5，大齿轮上的b点与小齿轮上c点的角速度之比为2∶5，故D正确。
8．(2025·广东潮州模拟)如图甲所示，陀螺是深受小朋友喜爱的玩具之一。玩耍时，由细绳的一端开始将细绳紧紧缠绕在陀螺侧面，将陀螺竖直放置在地面上，用力水平拉动细绳另一端，使陀螺由静止开始加速转动，俯视图如图乙所示。若陀螺的半径为R，在地面上稳定转动时，其角速度至少要达到ω，缠绕在陀螺上的细绳长为l，拉动细绳时，细绳在陀螺侧面不打滑。将细绳的运动视为匀加速直线运动，为使陀螺稳定转动，细绳的加速度至少为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 根据v2＝2al，v＝ωR，联立解得a＝，故选B。
9.如图所示，直径为0.5 m的地球仪匀速转动，已知地球仪上B点的线速度为 m/s，求：
(1) 地球仪转动的角速度和周期；
(2) 地球仪上A点的线速度。
解析：(1) B点做圆周运动的半径为
RB＝R·cos 60°＝0.125 m，
且vB＝ω·RB，得出角速度ω＝π rad/s。
又由ω＝ ，得出圆环转动的周期T＝2 s。
(2)A点的线速度为vA＝ω·RA，得出vA＝ m/s。
答案：(1)π rad/s 2 s (2) m/s
组—重应用·体现创新
10．(多选)如图甲所示是中学物理实验室常用的感应起电机，它是利用两个大小相等、直径约为30 cm的感应玻璃盘起电的，其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮连接，如图乙所示。现玻璃盘以100 r/min的转速旋转，已知主动轮的半径约为8 cm，从动轮的半径约为2 cm，P和Q是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑，下列说法正确的是( )
A．P、Q的线速度相同
B．玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反
C．P点的线速度大小约为1.6 m/s
D．摇把的转速约为400 r/min
解析：选BC 线速度的方向沿曲线的切线方向，由题图可知，P、Q两点的线速度的方向一定不同，故A错误；若主动轮做顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力被带动转动，则从动轮做逆时针转动，所以玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反，故B正确；玻璃盘的直径是30 cm，转速是100 r/min，线速度v＝ωr＝2nπr＝2××π× m/s＝0.5π m/s≈1.6 m/s，故C正确；从动轮边缘的线速度vc＝ω·rc＝2××π×0.02 m/s＝π m/s，因为主动轮的边缘各点的线速度与从动轮边缘各点的线速度的大小相等，即vz＝vc，所以主动轮的转速nz＝＝＝ r/s＝25 r/min，故D错误。
11．现在许多汽车都应用了自动挡无级变速装置，可不用离合就能连续变换速度，如图为截锥式无级变速模型示意图，两个锥轮之间有一个滚动轮，主动轮、滚动轮、从动轮之间靠彼此之间的摩擦力带动，当位于主动轮和从动轮之间的滚动轮从左向右移动时，从动轮转速降低；滚动轮从右向左移动时，从动轮转速增加。现在滚动轮处于主动轮直径D1，从动轮直径D2的位置，则主动轮转速n1与从动轮转速n2的关系是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：选B 角速度ω＝2πn，主动轮的线速度v1＝ω1＝πD1n1，从动轮的线速度v2＝ω2＝πD2n2。因为主动轮和从动轮的线速度相等，πD1n1＝πD2n2，所以＝，故B正确，A、C、D错误。
12．冲关节目是一种户外娱乐健康游戏，如图所示为参赛者遇到的一个关卡。一个半径为R的圆盘浮在水面上，圆盘表面保持水平且与水平跑道的高度差h＝1.25 m，M为圆盘边缘上一点。
某时刻，参赛者从跑道上P点水平向右跳出，初速度的方向与圆盘半径OM在同一竖直平面内。已知圆盘的圆心与P点之间的水平距离为x0＝4 m，圆盘半径R＝2 m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。
(1)求参赛者从P点跳出至落至圆盘经历的时间t；
(2)参赛者要能落在圆盘上，求v0的最小值；
(3)若参赛者从P点跳出的同时，圆盘绕过其圆心O的竖直轴以角速度ω匀速转动，要使参赛者落到M点，求圆盘转动的角速度ω。
解析：(1)根据h＝gt2。
解得t＝0.5 s。
(2)根据x0－R＝v0t，
解得v0＝4 m/s。
(3)根据题意得ωt＝nπ(n＝1,2,3，…)，
解得ω＝2nπ rad/s(n＝1,2,3，…)。
答案：(1)0.5 s (2)4 m/s
(3)2nπ rad/s(n＝1,2,3，…)
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