第六章 | 圆周运动
第2节 向心力
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物理观念 (1)知道向心力的概念，知道向心力是根据力的效果命名的。 (2)掌握向心力的表达式。 (3)知道匀速圆周运动的向心力特点。 (4)知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点。
科学思维 (1)会分析向心力的来源。 (2)能够计算简单情境中的向心力。 (3)能够处理匀速圆周运动的动力学问题。
科学探究 通过实验探究影响向心力大小的因素之间的关系。
1．填一填
(1)定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心。这个指向圆心的力就叫作向心力。
(2)作用效果：对于做匀速圆周运动的物体，物体的速度大小不发生改变，因此，所受合力只改变速度的方向。
(3)来源：向心力是根据力的作用效果命名的，向心力是由某个力或者几个力的合力提供的。
2．判断
(1)对于做匀速圆周运动的物体，其所受的向心力既可以改变物体速度的大小，也可以改变物体速度的方向。(×)
(2)向心力和重力、弹力一样，是性质力。(×)
(3)向心力的方向总是指向圆心，是恒力。(×)
1．填一填
(1)感受向心力的大小：如图所示，在绳子的一端拴一个小沙袋，另一端握在手中。将手举过头顶，使沙袋在水平面内做圆周运动。换不同质量的沙袋，并改变沙袋转动的速度和绳的长度，感受向心力的变化。
(2)探究向心力的大小：
①器材：向心力演示器。
②探究方法：控制变量法。
③探究目的：探究向心力大小与物体的质量、速度和轨道半径的关系。
(3)向心力大小的表达式：Fn＝mω2r或Fn＝m。
2．判断
(1)线速度越大，向心力一定越大。(×)
(2)角速度越大，向心力一定越大。(×)
(3)半径越大，向心力一定越小。(×)
(4)当角速度一定时，半径越大，质量越大，向心力越大。(√)
3．选一选
用如图所示的装置做探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关的实验。本实验采用的科学方法是( )
A．控制变量法 B．累积法
C．微元法 D．放大法
解析：选A 本实验要探究向心力大小与物体的质量、速度和轨道半径多个量的关系，故采用控制变量法，故A正确。
三、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
1．填一填
(1)变速圆周运动的受力特点
做变速圆周运动的物体所受的合力一般不指向圆心，根据合力F产生的效果，可以把合力F分解为两个相互垂直的分力，如图所示：
①跟圆周相切的分力Ft，此分力只改变物体速度的大小；
②指向圆心的分力Fn，此分力提供物体做圆周运动所需的向心力，只改变物体速度的方向。
(2)一般曲线运动的处理方法
把一般曲线分割成许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，如图所示。这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。
2．判断
(1)做变速圆周运动的物体的向心力不指向圆心。(×)
(2)做变速圆周运动的物体的合外力的切线方向的分力只改变速度的大小。(√)
(3)做变速圆周运动的物体的合外力指向圆心的分力提供向心力。(√)
(4)一般曲线运动不能用圆周运动的分析方法。(×)
【重难释解】
1．向心力的方向
做匀速圆周运动的物体受到的向心力的方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直。
2．向心力的作用效果
由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变物体线速度的大小，只改变物体线速度的方向。
3．向心力的来源
做匀速圆周运动的物体，向心力等于物体所受的合力，常等效为三种情况：合力充当向心力；某一个力充当向心力；某个力的分力充当向心力。
4．向心力的大小
Fn＝m＝mω2r＝mωv。
对于做匀速圆周运动的物体，其所受向心力的大小始终不变，但对于做非匀速圆周运动(如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动)的物体，其所受向心力的大小随速率v的变化而变化，公式表述的只是瞬时值。
(多选)下列关于向心力的叙述中，正确的是( )
A．向心力的方向始终指向圆心，因此向心力是一个变力
B．做匀速圆周运动的物体，除受到别的物体对它的作用力外，还一定受到一个向心力的作用
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是这些力中某几个力的合力，或者是某一个力的分力
D．向心力既改变物体速度的方向，也改变物体速度的大小
[解析] 向心力时刻指向圆心，其方向时刻改变，因此向心力是一个变力，故A正确；向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以是物体受到的合力，也可以是某一个力的分力，因此，在进行受力分析时，不能再分析向心力，故B错误，C正确；向心力与线速度方向垂直，因此向心力只改变线速度方向，不改变线速度大小，故D错误。
[答案] AC
(1)“匀速圆周运动”中“匀速”的含义仅指线速度大小不变，而线速度的方向时刻变化，因此做匀速圆周运动的物体处于非平衡状态。
(2)向心力的方向时刻指向圆心，方向时刻在变，因此是个变力。
【素养训练】
1．下列关于向心力的说法中正确的是( )
A．做匀速圆周运动的物体除了受到重力、弹力等力外还受到向心力的作用
B．向心力和重力、弹力一样，是性质力
C．做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合力
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
解析：选C 向心力是一个效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力，或是某个力的分力，故A、B错误；做匀速圆周运动的物体所受合外力指向圆心，完全提供向心力，非匀速圆周运动中是物体所受合外力指向圆心的分力提供向心力，故C正确，D错误。
2.如图所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是( )
A．木块A受重力、支持力和向心力
B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反
C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同
解析：选C 由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡。而木块在水平面内做匀速圆周运动，由于没有发生相对滑动，所以其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O。C正确。
3．我国自主研制的大型客运飞机C919空中转弯时，在t时间内以恒定的速率沿圆弧路径飞行的路程为L，客机相对圆弧圆心转过的角度为θ(以弧度为单位)，客机的质量为m，下列对客机转弯过程的分析，正确的是( )
A．转弯半径为L
B．转弯半径为
C．客机所受向心力大小为
D．客机所受向心力大小为
解析：选D 转弯半径为r＝，A、B错误；客机所受向心力大小为F＝mω2r ，又ω＝，解得F＝，C错误，D正确。
【重难释解】
1．实验仪器
2．实验原理及探究方法
(1)实验原理
匀速转动手柄，可以使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。挡板对小球的压力提供了小球做匀速圆周运动的向心力。小球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺。根据标尺上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。
(2)探究方法——控制变量法
控制变量 探究内容
m、r相同，改变ω 探究向心力F与角速度ω的关系
m、ω相同，改变r 探究向心力F与半径r的关系
ω、r相同，改变m 探究向心力F与质量m的关系
3.实验步骤
(1)把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同。调整变速塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不同。探究向心力的大小与角速度的关系。
(2)保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径。调整变速塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同。探究向心力的大小与轨道半径的关系。
(3)换成质量不同的小球，使两小球的转动半径相同。调整变速塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同。探究向心力的大小与质量的关系。
(4)重复几次以上实验。
4．数据处理
(1)m、r一定
序号 1 2 3 4 5 6
F向
ω
ω2
(2)m、ω一定
序号 1 2 3 4 5 6
F向
r
(3)r、ω一定
序号 1 2 3 4 5 6
F向
m
(4)分别作出F向 ω2、F向 r、F向 m的图像。
5．实验结论
(1)在质量和轨道半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比。
(2)在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与轨道半径成正比。
(3)在轨道半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比。
用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关。
(1)图示情景正在探究的是________。
A．向心力的大小与半径的关系
B．向心力的大小与线速度大小的关系
C．向心力的大小与角速度的关系
D．向心力的大小与物体质量的关系
(2)通过本实验可以得到的结果是________。
A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
[解析] (1)控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力的大小与质量之间的关系，故D正确。
(2)通过控制变量法，得到的结果为在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比，故C正确。
[答案] (1)D (2)C
【素养训练】
4．如图所示，图甲为“用向心力演示器探究向心力公式”的实验示意图，图乙为俯视图。图中A、B槽分别与C、D轮同轴固定，且C、D轮半径相同。C、D两轮在皮带的带动下匀速转动。
(1)两槽转动的角速度ωA__________ωB。(填“>”“＝”或“<”)。
(2)现有两质量相同的钢球，①球放在A槽的边缘，②球放在B槽的边缘，它们到各自转轴的距离之比为2∶1。钢球①、②的线速度之比为__________；受到的向心力之比为__________。
解析：(1)因两轮C、D转动的角速度相同，而两槽的角速度与两轮角速度相同，所以两槽转动的角速度相等，即ωA＝ωB。
(2)钢球①、②的角速度相同，运动轨道半径之比为2∶1，根据v＝ωr可知，线速度之比为2∶1；
根据F＝mω2r可知，受到的向心力之比为2∶1。
答案：(1)＝ (2)2∶1 2∶1
5．如图所示的装置可以用来探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力大小与哪些因素有关。两个变速塔轮通过皮带连接，半径分别为Ra和Rb，选变速塔轮上不同的轮可以改变 Ra、Rb的大小。长槽和短槽分别与塔轮a、塔轮b同轴固定，长槽上两个挡板与转轴相距分别为r0和2r0，短槽上挡板与转轴相距r0，质量分别为m1、m2的钢球1、2放在槽中。实验中，匀速转动手柄带动塔轮a和塔轮b转动，钢球随之做匀速圆周运动，最后从标尺上读出两个钢球所需向心力F1、F2的比值。
(1)本实验采用的科学方法是________(填选项前的字母)。
A．控制变量法 B．极限法
C．微元法 D．等效替代法
(2)某次实验中钢球的质量相同，要探究向心力大小与半径的关系，则钢球1应放在长槽挡板距转轴_________(选填“r0”或“2r0”)处，并且调节皮带连接的两个塔轮的半径之比Ra∶Rb＝_________。
(3)若实验时钢球的质量相同，均放在距转轴r0处，调节两个塔轮的半径之比Ra∶Rb＝2∶1，实验读出两个钢球所需向心力之比F1∶F2＝1∶4，则根据实验结果可以推出的结论是__________(填选项前的字母)。
A．在质量和运动半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B．在质量和运动半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比
解析：(1)本实验采用的科学方法是控制变量法。故选A。
(2)本实验要探究向心力大小与半径的关系，小球2放在短槽上挡板与转轴相距r0处，则小球1应放在长槽上挡板与转轴相距2r0处。同时控制两小球转动的角速度相同，由于皮带连接的两个塔轮边缘的线速度大小相等，根据v＝ωR，则调节皮带连接的两个塔轮的半径之比应为Ra∶Rb＝1∶1。
(3)根据上一问分析可知＝＝，实验结果结合数学关系可以推出的结论是质量和运动半径一定时，＝＝，可知向心力大小与角速度的平方成正比。故选B。
答案：(1)A (2)2r0 1∶1 (3)B
【重难释解】
1．匀速圆周运动的解题策略
在解决匀速圆周运动相关问题的过程中，要注意以下几个方面：
(1)知道物体做圆周运动的轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题的一个关键环节。
(2)分析清楚向心力的来源，明确向心力是由什么力提供的，确定F合＝F向。
(3)根据线速度、角速度的特点，选择合适的向心力表达式。
(4)根据F向＝m＝mω2r＝mωv建立方程，求解有关问题。
2．几种常见的匀速圆周运动实例分析
实例 示意图 向心力
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动 线的拉力提供向心力，F向＝FT
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止 转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝Ff
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动 重力和细线的拉力的合力提供向心力， F向＝F合
木块随圆桶绕轴线做圆周运动 圆桶侧壁对木块的弹力提供向心力，F向＝FN
飞机在水平面内做匀速圆周运动 重力和空气的作用力的合力提供向心力，F向＝F合
图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 37°＝0.6, cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
(1)绳子拉力的大小；
(2)转盘角速度的大小。
[解析] (1)如图所示，对人和座椅进行受力分析，图中F为绳子的拉力，在竖直方向：
Fcos 37°－mg＝0，
解得F＝＝750 N。
(2)人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有
mgtan 37°＝mω2R，
R＝d＋lsin 37°，
联立解得ω＝ ＝ rad/s。
[答案] (1)750 N (2) rad/s
[迁移·发散]
在典例3中，若转盘角速度变大，则绳子拉力如何变化？绳子与竖直方向的夹角如何变化？
提示：若角速度增大，则绳子与竖直方向的夹角变大，拉力变大。
【素养训练】
6.如图所示，静止在圆盘上的小物块随圆盘在水平面内一起做匀速转动。则物块所受摩擦力( )
A．大小与转速无关
B．大小与其距转轴的距离无关
C．大小等于物块所需的向心力
D．方向沿圆盘半径向外
解析：选C 物块所受的摩擦力提供小物块做圆周运动的向心力，方向指向圆心，根据向心力公式F＝mω2r＝m(2πn)2r，其中n是转速，r是距转轴的距离；可知摩擦力的大小与转速的平方成正比，与距转轴的距离成正比。故选C。
7.(多选)如图所示，一轻绳穿过水平桌面上的小圆孔，上端拴物体M，下端拴物体N(物体M、N可视为质点)。若物体M在桌面上做半径为r的匀速圆周运动时，角速度为ω，线速度大小为v，物体N处于静止状态，则(不计摩擦)( )
A．M所需向心力大小等于N所受重力的大小
B．M所需向心力大小大于N所受重力的大小
C．v2与r成正比
D．ω2与r成正比
解析：选AC 物体N静止不动，绳子拉力与物体N的重力相等，物体M做匀速圆周运动，绳子拉力完全提供向心力，即T＝mNg＝F向，因此M所需向心力大小等于N所受重力的大小，故A正确，B错误；根据向心加速度公式和牛顿第二定律得F向＝mNg＝m，则v2与r成正比，故C正确；根据向心加速度公式和牛顿第二定律得F向＝mNg＝mω2r，则ω2与r成反比，故D错误。
8.长为L的细线，一端拴一质量为m的小球(可看作质点)，另一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，当细线与竖直方向的夹角为α时，重力加速度为g，求：
(1)细线的拉力F；
(2)小球运动的线速度大小；
(3)小球运动的角速度及周期。
解析：(1)因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力沿水平方向且指向圆心O′，合力提供小球做匀速圆周运动的向心力。由平行四边形定则得小球受到的合力大小为mgtan α，细线对小球的拉力大小为F＝。
(2)小球在水平面内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得mgtan α＝m，
由几何关系得r＝Lsin α，
因此小球运动的线速度大小为
v＝。
(3)小球运动的角速度
ω＝＝＝ ，
小球运动的周期T＝＝2π 。
答案：(1) (2)
(3) 2π
【重难释解】
匀速圆周运动与变速圆周运动的比较
运动类型 匀速圆周运动 变速圆周运动
线速度特点 线速度的方向不断改变、大小不变 线速度的大小、方向都不断改变
受力特点 合力方向一定指向圆心，充当向心力 合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力，指向圆心的分力充当向心力
周期性 有 不一定有
性质 均是非匀变速曲线运动
公式 Fn＝m＝mω2r都适用
[特别提醒]
变速圆周运动的合力方向一般不指向圆心，但是在某些位置的合力方向可能指向圆心。
一根长为0.8 m的绳子，当其受到7.84 N的拉力时被拉断。若在此绳的一端拴一个质量为0.4 kg的物体，使物体以绳子的另一端为圆心在竖直面内做圆周运动，则物体运动到最低点时绳子恰好断裂。求物体运动至最低点时的角速度和线速度大小(g＝9.8 m/s2)。
[解析] 当物体运动到最低点时，物体受重力mg、绳子拉力FT，根据牛顿第二定律得
FT－mg＝mω2r，
又由牛顿第三定律可知，绳子受到的拉力和绳子拉物体的力大小相等，绳子被拉断时受到的拉力为
FT′＝7.84 N，
故FT＝7.84 N。
因此，绳子被拉断时物体的角速度为
ω＝ ＝ rad/s＝3.5 rad/s，
物体的线速度为v＝ωr＝3.5×0.8 m/s＝2.8 m/s。
[答案] 3.5 rad/s 2.8 m/s
(1)物体做非匀速圆周运动时，在任何位置均是由沿半径方向指向圆心的合力提供向心力。
(2)物体做一般曲线运动时，在每段小圆弧处仍可按圆周运动规律进行处理。
【素养训练】
9.如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，且始终与转盘相对静止，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是( )
A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为b方向
B．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为c方向
C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a方向
D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为d方向
解析：选D 做匀速圆周运动的物体，在切向方向受力为0，合力指向圆心，而物块P的向心力是由摩擦力提供的，因此当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为c方向，故A错误。当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有沿a方向的切向力，使线速度大小增大，二力的合力为摩擦力，方向可能为b方向，故B、C错误。当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有沿a相反方向的切向力，使线速度大小减小，二力的合力为摩擦力，方向可能为d方向，故D正确。
10.如图所示，一物体从固定的光滑圆弧轨道上端由静止下滑，当物体滑到轨道最低点时，下列说法正确的是( )
A．物体处于超重状态
B．物体处于平衡状态
C．物体对轨道的压力等于物体的重力
D．物体对轨道的压力大于轨道对物体的支持力
解析：选A 设物体滑到轨道最低点时速度为v，圆弧轨道半径为R，此时由FN－mg＝可得此时轨道对物体的支持力大于物体重力，物体处于超重状态，A正确，B错误；物体对轨道的压力与轨道对物体的支持力为一对相互作用力，大小相等；结合前面分析可得物体对轨道的压力大于物体的重力，C、D错误。
11.如图所示，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为( )
A．200 N B．400 N
C．600 N D．800 N
解析：选B 取该同学与踏板为研究对象，该同学身高相对于秋千的绳长可忽略不计，可以把该同学与踏板看成质点。当该同学荡到秋千支架的正下方时，由牛顿第二定律有2F－mg＝m，代入数据解得F＝410 N，最接近选项B，故B正确。
一、培养创新意识和创新思维
人工重力
人工重力可以防止人类因长期处于失重环境中引起的健康问题，对长期载人太空活动尤其重要。
甲 乙
产生人工重力的常用方法是通过太空船整体或局部的旋转，使得太空船的乘员感受到离心运动的趋势，从而模拟重力的效果。但当前的人工“重力” 技术尚未达到实际应用的水平。
【针对训练】
在未来的星际航行中，航天员可能会长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示。当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，航天员站在旋转舱内的圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。为达到上述目的，下列说法正确的是( )
A．旋转舱的半径越大，其转动的角速度就应越大
B．旋转舱的半径越大，其转动的角速度就应越小
C．航天员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D．航天员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
解析：选B 航天员站在地球表面时有FN＝mg，要使航天员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，受到与他站在地球表面时相同大小的支持力，则FN＝mrω2，解得ω＝，因此旋转舱的半径越大，转动的角速度应越小，并且与航天员的质量无关，故B正确，A、C、D错误。
二、注重学以致用和思维建模
1.如图为中国运动员在短道速滑比赛中的精彩瞬间。假定此时他正沿圆弧形弯道匀速率滑行，则他( )
A．所受的合力为0，做匀速运动
B．所受的合力恒定，做匀加速运动
C．所受的合力恒定，做变加速运动
D．所受的合力变化，做变加速运动
解析：选D 运动员做匀速圆周运动，所受合力时刻变化，加速度时刻变化，故D正确。
2．荡秋千是人们平时喜爱的一项休闲娱乐活动，如图所示，某同学正在荡秋千，A和B分别为其运动过程中的最低点和最高点，若忽略空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．在A位置时，该同学处于失重状态
B．在B位置时，该同学受到的合力为0
C．在A位置时，该同学对秋千板的压力大于秋千板对该同学的支持力，处于超重状态
D．由A到B过程中，该同学的向心力逐渐减小
解析：选D 在A位置时，该同学的加速度方向向上，处于超重状态，故A错误；在B位置时，该同学的速度为0，向心力为0，即沿绳子方向的合力为0，其合力等于重力沿圆弧切向分力，不为0，故B错误；根据牛顿第三定律知，在A位置时，该同学对秋千板的压力等于秋千板对该同学的支持力，故C错误；由A到B过程中，该同学的速度逐渐减小，由Fn＝m分析知，向心力逐渐减小，故D正确。
3.无动力风帽又叫球形通风器，是屋顶常见的一种通风设备。一风帽如图所示，它会在自然风的推动下绕其竖直中心轴旋转。在其边缘某处粘有一块质量为m的橡皮泥，橡皮泥到中心轴的距离为l。某段时间内，风帽做匀速圆周运动，在时间t内发现风帽旋转了n圈。重力加速度大小为g，橡皮泥可视为质点。求：
(1)橡皮泥线速度的大小；
(2)风帽对橡皮泥作用力的大小。
解析：(1)由题意可知，橡皮泥随风帽一起做匀速圆周运动时的角速度为ω＝
橡皮泥的线速度大小为v＝ωl＝。
(2)橡皮泥做匀速圆周运动时受到的向心力大小为F向＝mω2l＝
对橡皮泥受力分析可知，风帽对橡皮泥的作用力的大小为F＝＝m。
答案：(1) (2)m
[课时跟踪检测]
组—重基础·体现综合
1．对做圆周运动的物体所受的向心力说法正确的是( )
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．向心力是物体所受的合外力
D．向心力的方向总是不变的
解析：选B 做匀速圆周运动的物体所受的向心力大小恒定，方向总是指向圆心，是一个变力，故A错误；向心力只改变线速度方向不改变线速度大小，故B正确；只有做匀速圆周运动的物体其向心力是由物体所受合外力提供，故C错误；向心力的方向总是指向圆心，是时刻变化的，故D错误。
2．(多选)上海磁悬浮列车线路的最大转弯处半径达到8 000 m，如图所示，近距离用肉眼看几乎是一条直线，而转弯处最小半径也达到1 300 m，一个质量为50 kg的乘客坐在以360 km/h的不变速率行驶的车厢里，随车厢驶过半径为2 500 m的弯道，下列说法正确的是( )
A．乘客受到的向心力大小约为200 N
B．乘客受到的向心力大小约为539 N
C．乘客受到的向心力大小约为300 N
D．弯道半径设计特别大可以使乘客在转弯时更舒适
解析：选AD 由Fn＝m，可得Fn＝200 N，故A正确，B、C错误。设计弯道半径越大，转弯时乘客所需要的向心力越小，转弯时就越舒适，故D正确。
3．如图甲所示为某游乐场中有一种叫作“快乐飞机”的游乐项目，模型如图乙所示，模型飞机固定在旋臂上，旋臂与竖直方向夹角为θ，当模型飞机以恒定的角速度ω绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，下列说法正确的是( )
A．模型飞机受重力、旋臂的作用力和向心力
B．旋臂对模型飞机的作用力方向一定与旋臂垂直
C．增大θ，模型飞机线速度大小不变
D．增大θ，旋臂对模型飞机的作用力变大
解析：选D 向心力属于效果力，不是模型飞机实际受到的力，模型飞机所受的向心力是由重力和旋臂对其的作用力的合力提供的，故A错误；旋臂对模型飞机的作用力方向可以与旋臂不垂直，但其必须有水平方向和竖直方向的分力，且竖直方向的分力大小等于重力的大小，故B错误；增大θ，模型飞机的圆周半径r＝Lsin θ增大，根据v＝ωr可知模型飞机的线速度增大，故C错误；根据旋臂对模型飞机的作用力大小的表达式F＝可知，若增大θ，则旋臂对模型飞机的作用力变大，故D正确。
4.如图所示，在探究向心力公式的实验中，质量相同的钢球①、②分别放在转盘A、B上，它们到所在转盘转轴的距离之比为2∶1。a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮。a、b的轮半径之比为1∶2，用皮带连接a、b两轮转动时，钢球①、②所受的向心力之比为( )
A．8∶1 B．4∶1
C．2∶1 D．1∶2
解析：选A 钢球受到的向心力大小分别为Fn①＝mωa2r①，Fn②＝mωb2r②，a、b两轮由皮带连接，线速度相等，可得ωara＝ωbrb，以上各式联立求得Fn①∶Fn②＝8∶1，故A正确。
5.如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度ω增大以后，下列说法正确的是( )
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了
C．物体所受弹力和摩擦力都减小了
D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
解析：选D 物体在竖直方向上受重力与摩擦力，且始终受力平衡，所以摩擦力不变。物体所受弹力提供向心力，由于物体随圆筒转动的角速度增大，向心力增大，所以弹力增大，故D正确。
6.某同学为感受向心力的大小与哪些因素有关，做了一个小实验：绳的一端拴一小球，手牵着在空中甩动，使小球在水平面内做圆周运动(如图所示)，则下列说法中正确的是( )
A．保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将不变
B．保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将增大
C．保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D．保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将减小
解析：选B 由向心力的表达式Fn＝mω2r可知，保持绳长不变，增大角速度，向心力增大，绳对手的拉力增大，故A错误，B正确；保持角速度不变，增大绳长，向心力增大，绳对手的拉力增大，故C、D错误。
7.如图所示，轻杆的一端拴一小球，另一端与竖直杆用铰链连接。当竖直杆以角速度ω匀速转动时，轻杆与竖直杆之间的张角为θ。下列图像中能正确表示角速度ω与张角θ关系的是( )
解析：选D 小球受到重力mg和轻杆的拉力FT的共同作用，将拉力进行分解，由圆周运动规律可知小球在水平方向上，有FTsin θ＝mω2lsin θ，式中l为杆的长度，在竖直方向上，有FTcos θ＝mg，联立解得ω＝，当θ＝0时，ω＞0，故选D。
8．(多选)如图所示，在光滑水平面上，钉有两个钉子A和B，一根长细绳的一端系一个小球，另一端固定在钉子A上，开始时小球与钉子A、B均在一条直线上(图示位置)，且细绳的一大部分沿俯视顺时针方向缠绕在两钉子上，现使小球以初速度v0在水平面上沿俯视逆时针方向做匀速圆周运动，使两钉子之间缠绕的绳子逐渐释放，在绳子完全被释放后与释放前相比，下列说法正确的是( )
A．小球的速度变大 B．小球的角速度变小
C．小球的向心力变小 D．细绳对小球的拉力变大
解析：选BC 在绳子完全被释放后与释放前相比，小球所受的拉力与速度垂直，不改变速度大小，故A错误；由v＝ωr，v不变，r变大，则角速度ω变小，故B正确；小球的向心力F＝m，v不变，m不变，r变大，则向心力变小，故C正确；细绳对小球的拉力F＝m，v不变，m不变，r变大，则F变小，故D错误。
9．如图甲所示为DIS向心力实验器探究影响向心力大小的因素。
实验中可以用力传感器测出砝码做圆周运动所需要的向心力大小，用光电门传感器辅助测量砝码转动的角速度。
甲
(1)电脑通过光电门传感器测量挡光杆通过光电门的时间，并由挡光杆的宽度d、挡光杆通过光电门传感器的时间Δt、挡光杆做圆周运动的半径r，自动计算出砝码做圆周运动的角速度，则其计算角速度的表达式为_______________________________________________。
(2)图乙中①②两条曲线为相同半径、不同质量下向心力与角速度的关系图线，由图可知，曲线①对应的砝码质量________(填“大于”或“小于”)曲线②对应的砝码质量。
乙
解析：(1)物体转动的线速度v＝，
根据ω＝，计算得出ω＝。
(2)由向心力和角速度的关系图线可知，同样的角速度和圆周运动半径，曲线②对应的向心力偏大些，因此，曲线②对应的砝码的质量大于曲线①对应的砝码的质量。
答案：(1)ω＝ (2)小于
组—重应用·体现创新
10.如图所示，光滑固定的水平圆盘中心有一个光滑的小孔，用一细绳穿过小孔连接质量分别为m1、m2的小球A和B，让B球悬挂，A球在光滑的圆盘面上绕圆盘中心做匀速圆周运动，角速度为ω，半径为r，则关于r和ω关系的图像正确的是( )
解析：选B 根据m2g＝m1rω2，得r＝·，可知r与成正比，与ω2成反比，故A错误，B正确。因为＝ω2，所以与ω2成正比，故C、D错误。
11．(多选)一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直水平面，圆锥筒固定，有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则( )
A．A球的角速度必小于B球的角速度
B．A球的线速度必小于B球的线速度
C．A球的运动周期必大于B球的运动周期
D．A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力
解析：选AC 两个小球均受到重力mg和筒壁对它的弹力FN的作用，其合力必定在水平面内时刻指向圆心。由图可知，筒壁对球的弹力FN＝，向心力Fn＝mgcot θ，其中θ为圆锥顶角的一半。因为A、B两球质量相等，θ角也相等，所以A、B两小球受到筒壁的弹力大小相等，A、B两小球对筒壁的压力大小相等，故D错误；由牛顿第二定律知，mgcot θ＝＝mω2r＝m。因此，小球的线速度v＝，角速度ω＝ ，周期T＝2π 。由此可见，小球A的线速度必定大于小球B的线速度，故B错误；小球A的角速度必小于小球B的角速度，小球A的周期必大于小球B的周期，故A、C正确。
12．如图所示，装置BOO′可绕竖直轴OO′转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球的质量m＝1 kg，细线AC长L＝1 m，B点距C点的水平和竖直距离相等。(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)当装置匀速转动的角速度为ω1＝3 rad/s时，细线AC与竖直方向的夹角仍为37°，求细线AB和AC上的拉力大小；
(2)当装置匀速转动的角速度为ω2＝ rad/s时，求细线AB和AC的拉力大小。
解析：(1)对小球进行受力分析，如图甲所示。
AB和AC的拉力为F1、F2，
F2cos 37°＝mg，
F2sin 37°－F1＝mω12Lsin 37°，
解得F1＝2.1 N，F2＝12.5 N。
(2)当细线AB上的张力刚好为0时，小球的重力和细线AC张力的合力提供小球做圆周运动的向心力，如图乙所示。
mgtan 37°＝mω02Lsin 37°，
解得ω0＝ rad/s，
当ω2＝ rad/s时，小球向左上方摆起，若AB拉力为0，设AC与竖直方向的夹角为θ′，
mgtan θ′＝mω22Lsin θ′，
解得cos θ′＝，θ′＝53°，
由于B点距C点的水平和竖直距离相等，此时细线AB恰好竖直，F1″＝0，
F2″＝＝ N。
答案：(1)2.1 N 12.5 N (2)0 N
7 / 7人教版物理必修第二册
第六章 | 圆周运动
第2节 向心力
核心素养点击
物理观念 (1)知道向心力的概念，知道向心力是根据力的效果命名的。 (2)掌握向心力的表达式。 (3)知道匀速圆周运动的向心力特点。 (4)知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点。
科学思维 (1)会分析向心力的来源。 (2)能够计算简单情境中的向心力。 (3)能够处理匀速圆周运动的动力学问题。
科学探究 通过实验探究影响向心力大小的因素之间的关系。
1．填一填
(1)定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向 。这个指向 的力就叫作向心力。
(2)作用效果：对于做匀速圆周运动的物体，物体的速度 不发生改变，因此，所受合力只改变速度的 。
(3)来源：向心力是根据力的作用效果命名的，向心力是由 或者几个力的 提供的。
2．判断
(1)对于做匀速圆周运动的物体，其所受的向心力既可以改变物体速度的大小，也可以改变物体速度的方向。( )
(2)向心力和重力、弹力一样，是性质力。( )
(3)向心力的方向总是指向圆心，是恒力。( )
1．填一填
(1)感受向心力的大小：如图所示，在绳子的一端拴一个小沙袋，另一端握在手中。将手举过头顶，使沙袋在水平面内做圆周运动。换不同质量的沙袋，并改变沙袋转动的速度和绳的长度，感受向心力的变化。
(2)探究向心力的大小：
①器材： 演示器。
②探究方法： 法。
③探究目的：探究向心力大小与物体的 、 和 的关系。
(3)向心力大小的表达式：Fn＝ 或Fn＝m。
2．判断
(1)线速度越大，向心力一定越大。( )
(2)角速度越大，向心力一定越大。( )
(3)半径越大，向心力一定越小。( )
(4)当角速度一定时，半径越大，质量越大，向心力越大。( )
3．选一选
用如图所示的装置做探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关的实验。本实验采用的科学方法是( )
A．控制变量法 B．累积法
C．微元法 D．放大法
解析：选A 本实验要探究向心力大小与物体的质量、速度和轨道半径多个量的关系，故采用控制变量法，故A正确。
三、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
1．填一填
(1)变速圆周运动的受力特点
做变速圆周运动的物体所受的合力一般不指向 ，根据合力F产生的效果，可以把合力F分解为两个相互垂直的分力，如图所示：
①跟圆周 的分力Ft，此分力只改变物体速度的 ；
②指向 的分力Fn，此分力提供物体做圆周运动所需的 ，只改变物体速度的 。
(2)一般曲线运动的处理方法
把一般曲线分割成许多 的小段，质点在每小段的运动都可以看作 运动的一部分，如图所示。这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用 运动的分析方法来处理了。
2．判断
(1)做变速圆周运动的物体的向心力不指向圆心。( )
(2)做变速圆周运动的物体的合外力的切线方向的分力只改变速度的大小。( )
(3)做变速圆周运动的物体的合外力指向圆心的分力提供向心力。( )
(4)一般曲线运动不能用圆周运动的分析方法。( )
【重难释解】
1．向心力的方向
做匀速圆周运动的物体受到的向心力的方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直。
2．向心力的作用效果
由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变物体线速度的大小，只改变物体线速度的方向。
3．向心力的来源
做匀速圆周运动的物体，向心力等于物体所受的合力，常等效为三种情况：合力充当向心力；某一个力充当向心力；某个力的分力充当向心力。
4．向心力的大小
Fn＝m＝mω2r＝mωv。
对于做匀速圆周运动的物体，其所受向心力的大小始终不变，但对于做非匀速圆周运动(如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动)的物体，其所受向心力的大小随速率v的变化而变化，公式表述的只是瞬时值。
(多选)下列关于向心力的叙述中，正确的是( )
A．向心力的方向始终指向圆心，因此向心力是一个变力
B．做匀速圆周运动的物体，除受到别的物体对它的作用力外，还一定受到一个向心力的作用
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是这些力中某几个力的合力，或者是某一个力的分力
D．向心力既改变物体速度的方向，也改变物体速度的大小
【素养训练】
1．下列关于向心力的说法中正确的是( )
A．做匀速圆周运动的物体除了受到重力、弹力等力外还受到向心力的作用
B．向心力和重力、弹力一样，是性质力
C．做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合力
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
2.如图所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是( )
A．木块A受重力、支持力和向心力
B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反
C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同
3．我国自主研制的大型客运飞机C919空中转弯时，在t时间内以恒定的速率沿圆弧路径飞行的路程为L，客机相对圆弧圆心转过的角度为θ(以弧度为单位)，客机的质量为m，下列对客机转弯过程的分析，正确的是( )
A．转弯半径为L
B．转弯半径为
C．客机所受向心力大小为
D．客机所受向心力大小为
【重难释解】
1．实验仪器
2．实验原理及探究方法
(1)实验原理
匀速转动手柄，可以使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。挡板对小球的压力提供了小球做匀速圆周运动的向心力。小球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺。根据标尺上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。
(2)探究方法——控制变量法
控制变量 探究内容
m、r相同，改变ω 探究向心力F与角速度ω的关系
m、ω相同，改变r 探究向心力F与半径r的关系
ω、r相同，改变m 探究向心力F与质量m的关系
3.实验步骤
(1)把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同。调整变速塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不同。探究向心力的大小与角速度的关系。
(2)保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径。调整变速塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同。探究向心力的大小与轨道半径的关系。
(3)换成质量不同的小球，使两小球的转动半径相同。调整变速塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同。探究向心力的大小与质量的关系。
(4)重复几次以上实验。
4．数据处理
(1)m、r一定
序号 1 2 3 4 5 6
F向
ω
ω2
(2)m、ω一定
序号 1 2 3 4 5 6
F向
r
(3)r、ω一定
序号 1 2 3 4 5 6
F向
m
(4)分别作出F向 ω2、F向 r、F向 m的图像。
5．实验结论
(1)在质量和轨道半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比。
(2)在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与轨道半径成正比。
(3)在轨道半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比。
用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关。
(1)图示情景正在探究的是________。
A．向心力的大小与半径的关系
B．向心力的大小与线速度大小的关系
C．向心力的大小与角速度的关系
D．向心力的大小与物体质量的关系
(2)通过本实验可以得到的结果是________。
A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
【素养训练】
4．如图所示，图甲为“用向心力演示器探究向心力公式”的实验示意图，图乙为俯视图。图中A、B槽分别与C、D轮同轴固定，且C、D轮半径相同。C、D两轮在皮带的带动下匀速转动。
(1)两槽转动的角速度ωA__________ωB。(填“>”“＝”或“<”)。
(2)现有两质量相同的钢球，①球放在A槽的边缘，②球放在B槽的边缘，它们到各自转轴的距离之比为2∶1。钢球①、②的线速度之比为__________；受到的向心力之比为__________。
5．如图所示的装置可以用来探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力大小与哪些因素有关。两个变速塔轮通过皮带连接，半径分别为Ra和Rb，选变速塔轮上不同的轮可以改变 Ra、Rb的大小。长槽和短槽分别与塔轮a、塔轮b同轴固定，长槽上两个挡板与转轴相距分别为r0和2r0，短槽上挡板与转轴相距r0，质量分别为m1、m2的钢球1、2放在槽中。实验中，匀速转动手柄带动塔轮a和塔轮b转动，钢球随之做匀速圆周运动，最后从标尺上读出两个钢球所需向心力F1、F2的比值。
(1)本实验采用的科学方法是________(填选项前的字母)。
A．控制变量法 B．极限法
C．微元法 D．等效替代法
(2)某次实验中钢球的质量相同，要探究向心力大小与半径的关系，则钢球1应放在长槽挡板距转轴_________(选填“r0”或“2r0”)处，并且调节皮带连接的两个塔轮的半径之比Ra∶Rb＝_________。
(3)若实验时钢球的质量相同，均放在距转轴r0处，调节两个塔轮的半径之比Ra∶Rb＝2∶1，实验读出两个钢球所需向心力之比F1∶F2＝1∶4，则根据实验结果可以推出的结论是__________(填选项前的字母)。
A．在质量和运动半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B．在质量和运动半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比
【重难释解】
1．匀速圆周运动的解题策略
在解决匀速圆周运动相关问题的过程中，要注意以下几个方面：
(1)知道物体做圆周运动的轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题的一个关键环节。
(2)分析清楚向心力的来源，明确向心力是由什么力提供的，确定F合＝F向。
(3)根据线速度、角速度的特点，选择合适的向心力表达式。
(4)根据F向＝m＝mω2r＝mωv建立方程，求解有关问题。
2．几种常见的匀速圆周运动实例分析
实例 示意图 向心力
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动 线的拉力提供向心力，F向＝FT
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止 转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝Ff
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动 重力和细线的拉力的合力提供向心力， F向＝F合
木块随圆桶绕轴线做圆周运动 圆桶侧壁对木块的弹力提供向心力，F向＝FN
飞机在水平面内做匀速圆周运动 重力和空气的作用力的合力提供向心力，F向＝F合
图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 37°＝0.6, cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
(1)绳子拉力的大小；
(2)转盘角速度的大小。
[迁移·发散]
在典例3中，若转盘角速度变大，则绳子拉力如何变化？绳子与竖直方向的夹角如何变化？
提示：若角速度增大，则绳子与竖直方向的夹角变大，拉力变大。
【素养训练】
6.如图所示，静止在圆盘上的小物块随圆盘在水平面内一起做匀速转动。则物块所受摩擦力( )
A．大小与转速无关
B．大小与其距转轴的距离无关
C．大小等于物块所需的向心力
D．方向沿圆盘半径向外
7.(多选)如图所示，一轻绳穿过水平桌面上的小圆孔，上端拴物体M，下端拴物体N(物体M、N可视为质点)。若物体M在桌面上做半径为r的匀速圆周运动时，角速度为ω，线速度大小为v，物体N处于静止状态，则(不计摩擦)( )
A．M所需向心力大小等于N所受重力的大小
B．M所需向心力大小大于N所受重力的大小
C．v2与r成正比
D．ω2与r成正比
8.长为L的细线，一端拴一质量为m的小球(可看作质点)，另一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，当细线与竖直方向的夹角为α时，重力加速度为g，求：
(1)细线的拉力F；
(2)小球运动的线速度大小；
(3)小球运动的角速度及周期。
【重难释解】
匀速圆周运动与变速圆周运动的比较
运动类型 匀速圆周运动 变速圆周运动
线速度特点 线速度的方向不断改变、大小不变 线速度的大小、方向都不断改变
受力特点 合力方向一定指向圆心，充当向心力 合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力，指向圆心的分力充当向心力
周期性 有 不一定有
性质 均是非匀变速曲线运动
公式 Fn＝m＝mω2r都适用
[特别提醒]
变速圆周运动的合力方向一般不指向圆心，但是在某些位置的合力方向可能指向圆心。
一根长为0.8 m的绳子，当其受到7.84 N的拉力时被拉断。若在此绳的一端拴一个质量为0.4 kg的物体，使物体以绳子的另一端为圆心在竖直面内做圆周运动，则物体运动到最低点时绳子恰好断裂。求物体运动至最低点时的角速度和线速度大小(g＝9.8 m/s2)。
(1)物体做非匀速圆周运动时，在任何位置均是由沿半径方向指向圆心的合力提供向心力。
(2)物体做一般曲线运动时，在每段小圆弧处仍可按圆周运动规律进行处理。
【素养训练】
9.如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，且始终与转盘相对静止，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是( )
A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为b方向
B．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为c方向
C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a方向
D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为d方向
10.如图所示，一物体从固定的光滑圆弧轨道上端由静止下滑，当物体滑到轨道最低点时，下列说法正确的是( )
A．物体处于超重状态
B．物体处于平衡状态
C．物体对轨道的压力等于物体的重力
D．物体对轨道的压力大于轨道对物体的支持力
11.如图所示，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为( )
A．200 N B．400 N
C．600 N D．800 N
一、培养创新意识和创新思维
人工重力
人工重力可以防止人类因长期处于失重环境中引起的健康问题，对长期载人太空活动尤其重要。
甲 乙
产生人工重力的常用方法是通过太空船整体或局部的旋转，使得太空船的乘员感受到离心运动的趋势，从而模拟重力的效果。但当前的人工“重力” 技术尚未达到实际应用的水平。
【针对训练】
在未来的星际航行中，航天员可能会长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示。当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，航天员站在旋转舱内的圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。为达到上述目的，下列说法正确的是( )
A．旋转舱的半径越大，其转动的角速度就应越大
B．旋转舱的半径越大，其转动的角速度就应越小
C．航天员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D．航天员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
二、注重学以致用和思维建模
1.如图为中国运动员在短道速滑比赛中的精彩瞬间。假定此时他正沿圆弧形弯道匀速率滑行，则他( )
A．所受的合力为0，做匀速运动
B．所受的合力恒定，做匀加速运动
C．所受的合力恒定，做变加速运动
D．所受的合力变化，做变加速运动
2．荡秋千是人们平时喜爱的一项休闲娱乐活动，如图所示，某同学正在荡秋千，A和B分别为其运动过程中的最低点和最高点，若忽略空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．在A位置时，该同学处于失重状态
B．在B位置时，该同学受到的合力为0
C．在A位置时，该同学对秋千板的压力大于秋千板对该同学的支持力，处于超重状态
D．由A到B过程中，该同学的向心力逐渐减小
3.无动力风帽又叫球形通风器，是屋顶常见的一种通风设备。一风帽如图所示，它会在自然风的推动下绕其竖直中心轴旋转。在其边缘某处粘有一块质量为m的橡皮泥，橡皮泥到中心轴的距离为l。某段时间内，风帽做匀速圆周运动，在时间t内发现风帽旋转了n圈。重力加速度大小为g，橡皮泥可视为质点。求：
(1)橡皮泥线速度的大小；
(2)风帽对橡皮泥作用力的大小。
[课时跟踪检测]
组—重基础·体现综合
1．对做圆周运动的物体所受的向心力说法正确的是( )
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．向心力是物体所受的合外力
D．向心力的方向总是不变的
2．(多选)上海磁悬浮列车线路的最大转弯处半径达到8 000 m，如图所示，近距离用肉眼看几乎是一条直线，而转弯处最小半径也达到1 300 m，一个质量为50 kg的乘客坐在以360 km/h的不变速率行驶的车厢里，随车厢驶过半径为2 500 m的弯道，下列说法正确的是( )
A．乘客受到的向心力大小约为200 N
B．乘客受到的向心力大小约为539 N
C．乘客受到的向心力大小约为300 N
D．弯道半径设计特别大可以使乘客在转弯时更舒适
3．如图甲所示为某游乐场中有一种叫作“快乐飞机”的游乐项目，模型如图乙所示，模型飞机固定在旋臂上，旋臂与竖直方向夹角为θ，当模型飞机以恒定的角速度ω绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，下列说法正确的是( )
A．模型飞机受重力、旋臂的作用力和向心力
B．旋臂对模型飞机的作用力方向一定与旋臂垂直
C．增大θ，模型飞机线速度大小不变
D．增大θ，旋臂对模型飞机的作用力变大
4.如图所示，在探究向心力公式的实验中，质量相同的钢球①、②分别放在转盘A、B上，它们到所在转盘转轴的距离之比为2∶1。a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮。a、b的轮半径之比为1∶2，用皮带连接a、b两轮转动时，钢球①、②所受的向心力之比为( )
A．8∶1 B．4∶1
C．2∶1 D．1∶2
5.如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度ω增大以后，下列说法正确的是( )
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了
C．物体所受弹力和摩擦力都减小了
D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
6.某同学为感受向心力的大小与哪些因素有关，做了一个小实验：绳的一端拴一小球，手牵着在空中甩动，使小球在水平面内做圆周运动(如图所示)，则下列说法中正确的是( )
A．保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将不变
B．保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将增大
C．保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D．保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将减小
7.如图所示，轻杆的一端拴一小球，另一端与竖直杆用铰链连接。当竖直杆以角速度ω匀速转动时，轻杆与竖直杆之间的张角为θ。下列图像中能正确表示角速度ω与张角θ关系的是( )
8．(多选)如图所示，在光滑水平面上，钉有两个钉子A和B，一根长细绳的一端系一个小球，另一端固定在钉子A上，开始时小球与钉子A、B均在一条直线上(图示位置)，且细绳的一大部分沿俯视顺时针方向缠绕在两钉子上，现使小球以初速度v0在水平面上沿俯视逆时针方向做匀速圆周运动，使两钉子之间缠绕的绳子逐渐释放，在绳子完全被释放后与释放前相比，下列说法正确的是( )
A．小球的速度变大 B．小球的角速度变小
C．小球的向心力变小 D．细绳对小球的拉力变大
9．如图甲所示为DIS向心力实验器探究影响向心力大小的因素。
实验中可以用力传感器测出砝码做圆周运动所需要的向心力大小，用光电门传感器辅助测量砝码转动的角速度。
甲
(1)电脑通过光电门传感器测量挡光杆通过光电门的时间，并由挡光杆的宽度d、挡光杆通过光电门传感器的时间Δt、挡光杆做圆周运动的半径r，自动计算出砝码做圆周运动的角速度，则其计算角速度的表达式为_______________________________________________。
(2)图乙中①②两条曲线为相同半径、不同质量下向心力与角速度的关系图线，由图可知，曲线①对应的砝码质量________(填“大于”或“小于”)曲线②对应的砝码质量。
乙
组—重应用·体现创新
10.如图所示，光滑固定的水平圆盘中心有一个光滑的小孔，用一细绳穿过小孔连接质量分别为m1、m2的小球A和B，让B球悬挂，A球在光滑的圆盘面上绕圆盘中心做匀速圆周运动，角速度为ω，半径为r，则关于r和ω关系的图像正确的是( )
11．(多选)一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直水平面，圆锥筒固定，有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则( )
A．A球的角速度必小于B球的角速度
B．A球的线速度必小于B球的线速度
C．A球的运动周期必大于B球的运动周期
D．A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力
12．如图所示，装置BOO′可绕竖直轴OO′转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球的质量m＝1 kg，细线AC长L＝1 m，B点距C点的水平和竖直距离相等。(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)当装置匀速转动的角速度为ω1＝3 rad/s时，细线AC与竖直方向的夹角仍为37°，求细线AB和AC上的拉力大小；
(2)当装置匀速转动的角速度为ω2＝ rad/s时，求细线AB和AC的拉力大小。
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