人教版物理必修第二册
第七章｜ 万有引力与宇宙航行
第1节 行星的运动
核心素养点击
物理观念 (1)了解人类对行星运动规律的认识历程，知道地心说和日心说。 (2)知道开普勒定律，掌握行星运行的轨道特点和运动规律。
科学思维 理解并能应用开普勒定律解答有关问题。
科学态度与责任 (1)认识到科学研究一般从最基本的观念开始，科学家凭借对现象的观测、模型的构建以及模型与事实之间的偏差，不断修正原有的观念和模型，使其逐步接近真实，并获得物理规律。
(2)知道科学包含大胆的想象和创新，尊重客观事实、坚持实事求是科学研究的基本态度和社会责任。
一、地心说与日心说
1．填一填
内容 局限性
地心说 是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月球以及其他星体都绕 运动 都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的 运动
日心说 是宇宙的中心，是静止不动的，地球和其他行星都绕 运动
2．判断
(1)地心说认为地球是宇宙的中心。( )
(2)日心说认为太阳是静止不动的。( )
(3)地心说是错误的而日心说是正确的。( )
(4)太阳每天东升西落，说明太阳围着地球转。( )
3．选一选
日心说能被人们所接受的原因是( )
A．以地球为中心来研究天体的运动，符合人们的日常观感
B．以太阳为中心，许多问题都可以解决，行星运动的描述也变得简单了
C．地球是围绕太阳运转的
D．太阳总是从东面升起从西面落下
解析：选B 日心说被人们所接受的原因是，以太阳为中心，许多问题都可以解决，行星运动的描述也变得简单了，故B正确。
1．填一填
(1)开普勒定律
定律 内容 图示
开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是 ，太阳处在椭圆的一个 上
开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的 在相等的时间内扫过的 相等
开普勒第三定律 所有行星轨道的 跟它的 的比都相等 表达式：＝k 注意：比值k是一个对太阳系所有行星都 的常量
(2)行星运动的近似处理
定律 近似处理：把椭圆轨道近似为圆轨道
开普勒第一定律 行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在
开普勒第二定律 对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的 (或 )大小不变，即行星做
开普勒第三定律 所有行星 的三次方跟它的 的二次方的比值都相等，即＝k
2.判断
(1)宇宙的中心是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动。( )
(2)围绕太阳运动的行星的速率是一成不变的。( )
(3)行星运动的轨道半长轴越长，行星的周期越长。( )
【重难释解】
1．对开普勒第一定律的理解——确定行星运动的轨道
(1)行星绕太阳运动的轨道严格来说不是圆而是椭圆，不同行星的轨道是不同的。
(2)太阳不在椭圆的中心，而是在其中的一个焦点上，太阳的位置是所有行星轨道的一个共同焦点。
(3)行星与太阳间的距离是不断变化的。
2．对开普勒第二定律的理解——确定行星运动的快慢
(1)行星离太阳越近时速度越大，在近日点速度最大；行星靠近太阳时速度增大。
(2)行星离太阳越远时速度越小，在远日点速度最小；行星远离太阳时速度减小。
(3)“行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等”是对同一颗行星来说的，不同的行星之间则无法比较。
3．对开普勒第三定律的理解——确定行星运动的周期
(1)公式：＝k，k是一个对所有行星都相同的物理量，由中心天体太阳决定，与行星无关。
(2)椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，则公转周期越短。
[特别提醒]
(1)开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于其他星系天体的运动。
(2)对于不同的星系，由于中心天体不同，公式＝k中的k不同。
(多选)关于卫星绕地球的运动，根据开普勒定律，我们可以推出的正确结论是( )
A．人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球在椭圆的一个焦点上
B．卫星绕地球运动的过程中，其速率与卫星到地心的距离有关，距离小时速率小
C．卫星离地球越远，周期越大
D．同一卫星绕不同的行星运动，的值都相同
【素养训练】
1．(多选)如图所示，对开普勒第一定律的理解，下列说法中正确的是( )
A．在行星绕太阳运动一周的时间内，它离太阳的距离是不变的
B．在行星绕太阳运动一周的时间内，它离太阳的距离是变化的
C．某个行星绕太阳运动的轨道一定是在某一固定的平面内
D．某个行星绕太阳运动的轨道一定不在一个固定的平面内
2．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
3．理论和实践证明，开普勒行星运动定律不仅适用于太阳系中的天体运动，而且对一切天体(包括卫星绕行星的运动)都适用。对于开普勒第三定律的公式＝k，下列说法正确的是( )
A．公式只适用于轨道是椭圆的运动
B．公式中的T为天体的自转周期
C．公式中的k值，只与中心天体有关，与绕中心天体公转的行星(或卫星)无关
D．若已知月球与地球之间的距离，则根据开普勒第三定律公式可求出地球与太阳之间的距离
【重难释解】
1．天体的运动可近似看成匀速圆周运动：天体虽做椭圆运动，但它们的轨道一般接近圆。中学阶段我们在处理天体运动问题时，为简化运算，一般把天体的运动当作圆周运动来研究，并且把它们视为做匀速圆周运动，椭圆的半长轴即为圆半径。
2．如果将天体运动视为圆周运动时，那么开普勒第三定律表述为，天体轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值为常数，即＝k。据此可知，绕同一天体运动的多个天体，轨道半径r越大的天体，其周期越长。
3．天体的运动遵循牛顿运动定律及匀速圆周运动规律，与一般物体的运动在应用这两个规律上没有区别。
4．公式＝k，对于同一中心天体的不同行星k的数值相同，对于不同的中心天体的行星k的数值不同。
飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T。若飞船要返回地面，则可在轨道上某点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图所示。如果地球图半径为R0，求飞船由A点运动到B点所需要的时间。
【素养训练】
4．如图是行星绕太阳运行的示意图，下列说法正确的是( )
A．速率最大点是B点
B．速率最小点是C点
C．行星从A点运动到B点做减速运动
D．行星从A点运动到B点做加速运动
5．为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
6．长期以来“卡戎星”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19 600 km，公转周期T1＝6.39天。2006年，天文学家发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转半径r2＝48 000 km，则它的公转周期T2最接近于( )
A．15天 B．25天
C．35天 D．45天
一、培养创新意识和创新思维
火星冲日是指火星位于日、地连线上，并且和地球位于太阳的同一侧，火星冲日一般每两年零两个月左右发生一次，此时火星与地球的距离比平时近，因此探测火星的宇宙飞船每两年多才发射一次，以节省燃料和节约时间。如图所示是火星冲日的年份示意图(2012～2025年)。
结合上述情景，回答下列问题：
(1)已知地球的公转周期是一年，由此计算火星的公转周期还需要知道哪些数据？
(2)如果将地球、火星的轨道近似看成圆轨道，它们的公转周期分别为T1、T2，请写出相邻两次火星冲日的时间t的表达式？
二、注重学以致用和思维建模
1．二十四节气中的“春分”与“秋分”时，太阳均直射赤道，“春分”为太阳直射点从南回归线回到赤道，“秋分”则为太阳直射点从北回归线回到赤道。某年3月20日为“春分”，9月23日为“秋分”，可以推算从“春分”到“秋分”为187天，而从“秋分”到“春分”则为179天。设以上两个时间段内地球公转的轨迹长度相等，如图所示，关于上述自然现象，下列说法正确的是( )
A．从“春分”到“秋分”，地球离太阳远
B．从“秋分”到“春分”，地球离太阳远
C．夏天地球离太阳近
D．冬天地球离太阳远
2．著名科学家钱学森同志是我国发展“两弹一星”的元勋。1980年10月14日，中国科学院紫金山天文台发现了一颗绕太阳运行的小行星，2001年12月21日，经国际小行星中心和国际小行星命名委员会批准，这颗小行星被命名为“钱学森星”。若将地球和“钱学森星”绕太阳的运动都看成匀速圆周运动，它们的运行轨道如图所示。已知“钱学森星”绕太阳运行一周的时间约为3.4年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R，则“钱学森星”绕太阳运行的轨道半径约为( )
A.R B.R
C.R D.R
3.曾经有人用木星的直径作为量度单位，测量了木星卫星的轨道半径。如图所示，他发现木卫一的周期是1.8天，距离木星中心4.2个木星单位，而木卫四的周期是16.7天。请预测木卫四距离木星中心的距离。
[课时跟踪检测]
组—重基础·体现综合
1．下列关于丹麦天文学家第谷对行星运动进行观测所记录的数据的说法中正确的是( )
A．这些数据在测量记录时误差相当大
B．这些数据说明太阳绕地球运动
C．这些数据与以行星绕太阳做匀速圆周运动为模型得到的结果相吻合
D．这些数据与以行星绕太阳做椭圆运动为模型得到的结果相吻合
2．下列关于行星绕太阳运动的说法中，正确的是( )
A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B．行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处
C．离太阳越近的行星运动周期越长
D．所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
3．关于开普勒第二定律，下列说法正确的是( )
A．行星绕太阳运动时，一定做匀速圆周运动
B．行星绕太阳运动时，一定做匀变速曲线运动
C．行星绕太阳运动时，由于角速度相等，故在近日点处的线速度小于它在远日点处的线速度
D．行星绕太阳运动时，由于它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故它在近日点的线速度大于它在远日点的线速度
4．一恒星系统中，行星a绕恒星做椭圆运动的公转周期是0.6年，行星b绕恒星做椭圆运动的公转周期是1.9年，根据所学知识比较两行星到恒星的最大距离的关系( )
A．行星a到恒星的最大距离较大
B．行星b到恒星的最大距离较大
C．行星a和行星b到恒星的最大距离一样
D．条件不足，无法比较
5．行星绕恒星的运动轨道如果是圆形，那么轨道半径r的三次方与运行周期T的平方的比为常量，设＝k，则常量k的大小( )
A．只与恒星的质量有关
B．与恒星的质量及行星的质量有关
C．只与行星的质量有关
D．与恒星的质量及行星的速度有关
6．太阳系有八大行星，八大行星离太阳的远近不同，绕太阳运转的周期也不相同。下列反映周期与轨道半径关系的图像中正确的是( )
7．墨子号是由中国自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，标志着中国量子通信技术方面走在了世界前列；其运行轨道为如图所示的绕地球运动的椭圆轨道，地球位于椭圆的一个焦点上。轨道上标记了墨子号卫星经过相等时间间隔的位置。则下列说法正确的是( )
A．面积S1>S2
B．卫星在轨道A点的速度小于B点的速度
C．T2＝Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴
D．T2＝C′b3，其中C′为常数，b为椭圆半短轴
8．某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时的速率为( )
A．vb＝va B．vb＝va
C．vb＝va D．vb＝va
9．天文学家观察哈雷彗星的周期约为76年，离太阳最近的距离为8.9 1010 m，试根据开普勒第三定律计算哈雷彗星离太阳最远的距离。太阳系的开普勒常量k可取3.354 1018 m3/s2。
组—重应用·体现创新
10.(多选)关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是( )
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
B．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点运行的速率相等
C．表达式＝k，k与中心天体有关
D．表达式＝k，T代表行星运动的公转周期
11．(2025·云南高考)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳公转的轨道半径如下表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于( )
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．金星与地球的公转轨道之间
B．地球与火星的公转轨道之间
C．火星与木星的公转轨道之间
D．天王星与海王星的公转轨道之间
12．地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球轨道半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现，哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律即＝k，其中T为行星绕太阳公转的周期，r为轨道的半长轴估算。它下次飞近地球是哪一年？
7 / 7第七章｜ 万有引力与宇宙航行
第1节 行星的运动
核心素养点击
物理观念 (1)了解人类对行星运动规律的认识历程，知道地心说和日心说。 (2)知道开普勒定律，掌握行星运行的轨道特点和运动规律。
科学思维 理解并能应用开普勒定律解答有关问题。
科学态度与责任 (1)认识到科学研究一般从最基本的观念开始，科学家凭借对现象的观测、模型的构建以及模型与事实之间的偏差，不断修正原有的观念和模型，使其逐步接近真实，并获得物理规律。
(2)知道科学包含大胆的想象和创新，尊重客观事实、坚持实事求是科学研究的基本态度和社会责任。
一、地心说与日心说
1．填一填
内容 局限性
地心说 地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月球以及其他星体都绕地球运动 都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动
日心说 太阳是宇宙的中心，是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动
2．判断
(1)地心说认为地球是宇宙的中心。(√)
(2)日心说认为太阳是静止不动的。(√)
(3)地心说是错误的而日心说是正确的。(×)
(4)太阳每天东升西落，说明太阳围着地球转。(×)
3．选一选
日心说能被人们所接受的原因是( )
A．以地球为中心来研究天体的运动，符合人们的日常观感
B．以太阳为中心，许多问题都可以解决，行星运动的描述也变得简单了
C．地球是围绕太阳运转的
D．太阳总是从东面升起从西面落下
解析：选B 日心说被人们所接受的原因是，以太阳为中心，许多问题都可以解决，行星运动的描述也变得简单了，故B正确。
1．填一填
(1)开普勒定律
定律 内容 图示
开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 表达式：＝k 注意：比值k是一个对太阳系所有行星都相同的常量
(2)行星运动的近似处理
定律 近似处理：把椭圆轨道近似为圆轨道
开普勒第一定律 行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心
开普勒第二定律 对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做匀速圆周运动
开普勒第三定律 所有行星轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即＝k
2.判断
(1)宇宙的中心是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动。(×)
(2)围绕太阳运动的行星的速率是一成不变的。(×)
(3)行星运动的轨道半长轴越长，行星的周期越长。(√)
【重难释解】
1．对开普勒第一定律的理解——确定行星运动的轨道
(1)行星绕太阳运动的轨道严格来说不是圆而是椭圆，不同行星的轨道是不同的。
(2)太阳不在椭圆的中心，而是在其中的一个焦点上，太阳的位置是所有行星轨道的一个共同焦点。
(3)行星与太阳间的距离是不断变化的。
2．对开普勒第二定律的理解——确定行星运动的快慢
(1)行星离太阳越近时速度越大，在近日点速度最大；行星靠近太阳时速度增大。
(2)行星离太阳越远时速度越小，在远日点速度最小；行星远离太阳时速度减小。
(3)“行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等”是对同一颗行星来说的，不同的行星之间则无法比较。
3．对开普勒第三定律的理解——确定行星运动的周期
(1)公式：＝k，k是一个对所有行星都相同的物理量，由中心天体太阳决定，与行星无关。
(2)椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，则公转周期越短。
[特别提醒]
(1)开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于其他星系天体的运动。
(2)对于不同的星系，由于中心天体不同，公式＝k中的k不同。
(多选)关于卫星绕地球的运动，根据开普勒定律，我们可以推出的正确结论是( )
A．人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球在椭圆的一个焦点上
B．卫星绕地球运动的过程中，其速率与卫星到地心的距离有关，距离小时速率小
C．卫星离地球越远，周期越大
D．同一卫星绕不同的行星运动，的值都相同
[解析] 由开普勒第一定律知：所有地球卫星的轨道都是椭圆，且地球位于所有椭圆的一个公共焦点上，A正确；由开普勒第二定律知：卫星离地心的距离越小，速率越大，B错误；由开普勒第三定律知：卫星离地球越远，周期越大，C正确；开普勒第三定律成立的条件是对同一行星的不同卫星有＝k，对于绕不同行星运动的卫星，常数k不同，D错误。
[答案] AC
(1)开普勒行星运动定律是对行星绕太阳运动规律的总结，它也适用于其他天体的运动。
(2)要注意开普勒第二定律描述的是同一行星离中心天体的距离不同时的运动快慢规律，开普勒第三定律描述的是不同行星绕同一中心天体运动快慢的规律。
【素养训练】
1．(多选)如图所示，对开普勒第一定律的理解，下列说法中正确的是( )
A．在行星绕太阳运动一周的时间内，它离太阳的距离是不变的
B．在行星绕太阳运动一周的时间内，它离太阳的距离是变化的
C．某个行星绕太阳运动的轨道一定是在某一固定的平面内
D．某个行星绕太阳运动的轨道一定不在一个固定的平面内
解析：选BC 根据开普勒第一定律的内容可以判定：行星绕太阳运动的轨道是椭圆，有时远离太阳，有时靠近太阳，因此它离太阳的距离是变化的，故A错误，
B正确；行星围绕着太阳运动，运动的轨道都是椭圆，因此某个行星绕太阳运动的轨道一定是在某一固定的平面内，故C正确，D错误。
2．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
解析：选C 火星和木星在椭圆轨道上运行，太阳位于椭圆轨道的一个共同焦点上，故A错误；火星和木星在不同的轨道上运行，且是椭圆轨道，速度大小发生变化，火星和木星的运行速度大小不一定相等，故B错误；由开普勒第三定律可知，＝＝k，即＝，故C正确；火星和木星在不同的轨道上，因此它们与太阳的连线在相同的时间内扫过的面积不相等，故D错误。
3．理论和实践证明，开普勒行星运动定律不仅适用于太阳系中的天体运动，而且对一切天体(包括卫星绕行星的运动)都适用。对于开普勒第三定律的公式＝k，下列说法正确的是( )
A．公式只适用于轨道是椭圆的运动
B．公式中的T为天体的自转周期
C．公式中的k值，只与中心天体有关，与绕中心天体公转的行星(或卫星)无关
D．若已知月球与地球之间的距离，则根据开普勒第三定律公式可求出地球与太阳之间的距离
解析：选C 开普勒第三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动，因此也适用于轨道是圆的运动，故A错误；公式中的T是行星(或卫星)的公转周期，故B错误；公式中的k与中心天体有关，与绕中心天体公转的行星(或卫星)无关，故C正确；月球绕地球运动，地球绕太阳运动，不是同一个中心天体，公式中的k与中心天体有关，已知月球与地球之间的距离，无法求出地球与太阳之间的距离，故D错误。
【重难释解】
1．天体的运动可近似看成匀速圆周运动：天体虽做椭圆运动，但它们的轨道一般接近圆。中学阶段我们在处理天体运动问题时，为简化运算，一般把天体的运动当作圆周运动来研究，并且把它们视为做匀速圆周运动，椭圆的半长轴即为圆半径。
2．如果将天体运动视为圆周运动时，那么开普勒第三定律表述为，天体轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值为常数，即＝k。据此可知，绕同一天体运动的多个天体，轨道半径r越大的天体，其周期越长。
3．天体的运动遵循牛顿运动定律及匀速圆周运动规律，与一般物体的运动在应用这两个规律上没有区别。
4．公式＝k，对于同一中心天体的不同行星k的数值相同，对于不同的中心天体的行星k的数值不同。
飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T。若飞船要返回地面，则可在轨道上某点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图所示。如果地球图半径为R0，求飞船由A点运动到B点所需要的时间。
[解析] 飞船沿椭圆轨道返回地面，由题图可知，飞船由A点到B点所需要的时间刚好是沿图中整个椭圆运动周期的一半，椭圆轨道的半长轴为，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T′。
根据开普勒第三定律有＝。
解得T′＝T＝ 。
因此飞船由A点到B点所需要的时间为
t＝＝ 。
[答案]
开普勒第三定律的应用
应用开普勒第三定律可分析行星的周期、半径，应用时可按以下步骤分析：
(1)首先判断两个行星的中心天体是否相同，只有对同一个中心天体开普勒第三定律才成立。
(2)明确题中给出的周期关系或半径关系。
(3)根据开普勒第三定律列式求解。
【素养训练】
4．如图是行星绕太阳运行的示意图，下列说法正确的是( )
A．速率最大点是B点
B．速率最小点是C点
C．行星从A点运动到B点做减速运动
D．行星从A点运动到B点做加速运动
解析：选C 由开普勒第二定律知行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，A点为近日点，速率最大，B点为远日点，速率最小，故A、B错误；行星由A点到B点的过程中，离太阳的距离越来越远，因此行星的速率越来越小，故C正确，D错误。
5．为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
解析：选C 由开普勒第三定律知，＝k，则两卫星＝。因为rP∶rQ＝4∶1，故TP∶TQ＝8∶1。
6．长期以来“卡戎星”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19 600 km，公转周期T1＝6.39天。2006年，天文学家发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转半径r2＝48 000 km，则它的公转周期T2最接近于( )
A．15天 B．25天
C．35天 D．45天
解析：选B 据开普勒第三定律得：＝，
T2＝天≈24.5天。
一、培养创新意识和创新思维
火星冲日是指火星位于日、地连线上，并且和地球位于太阳的同一侧，火星冲日一般每两年零两个月左右发生一次，此时火星与地球的距离比平时近，因此探测火星的宇宙飞船每两年多才发射一次，以节省燃料和节约时间。如图所示是火星冲日的年份示意图(2012～2025年)。
结合上述情景，回答下列问题：
(1)已知地球的公转周期是一年，由此计算火星的公转周期还需要知道哪些数据？
(2)如果将地球、火星的轨道近似看成圆轨道，它们的公转周期分别为T1、T2，请写出相邻两次火星冲日的时间t的表达式？
解析：(1)由开普勒第三定律＝k知，已知地球的公转周期是一年，要计算火星的公转周期还需要知道地球、火星各自轨道的半长轴。
(2)由开普勒第三定律知地球、火星的公转周期T1＜T2。则它们的角速度ω1>ω2，相邻两次火星冲日的时间t应满足：ω1t－ω2t＝2π，又有
ω1＝，ω2＝，解得t＝。
答案：(1)见解析 (2)t＝
二、注重学以致用和思维建模
1．二十四节气中的“春分”与“秋分”时，太阳均直射赤道，“春分”为太阳直射点从南回归线回到赤道，“秋分”则为太阳直射点从北回归线回到赤道。某年3月20日为“春分”，9月23日为“秋分”，可以推算从“春分”到“秋分”为187天，而从“秋分”到“春分”则为179天。设以上两个时间段内地球公转的轨迹长度相等，如图所示，关于上述自然现象，下列说法正确的是( )
A．从“春分”到“秋分”，地球离太阳远
B．从“秋分”到“春分”，地球离太阳远
C．夏天地球离太阳近
D．冬天地球离太阳远
解析：选A 两个时间段内地球公转的轨迹长度相等，由v＝可知，时间长，说明速率小，依据开普勒第二定律，速率小就说明离太阳远，故A正确，B错误；我国是北半球，我国的冬季时候地球离太阳近，而夏季时候离太阳远，故C、D错误。
2．著名科学家钱学森同志是我国发展“两弹一星”的元勋。1980年10月14日，中国科学院紫金山天文台发现了一颗绕太阳运行的小行星，2001年12月21日，经国际小行星中心和国际小行星命名委员会批准，这颗小行星被命名为“钱学森星”。若将地球和“钱学森星”绕太阳的运动都看成匀速圆周运动，它们的运行轨道如图所示。已知“钱学森星”绕太阳运行一周的时间约为3.4年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R，则“钱学森星”绕太阳运行的轨道半径约为( )
A.R B.R
C.R D.R
解析：选C 根据开普勒第三定律，有＝，解得R钱＝ R＝R，故C正确。
3.曾经有人用木星的直径作为量度单位，测量了木星卫星的轨道半径。如图所示，他发现木卫一的周期是1.8天，距离木星中心4.2个木星单位，而木卫四的周期是16.7天。请预测木卫四距离木星中心的距离。
解析：木卫一和木卫四都是木星的卫星，由开普勒第三定律可知，＝，代入数据得＝，解得r4≈18.5。
答案：18.5个木星单位
[课时跟踪检测]
组—重基础·体现综合
1．下列关于丹麦天文学家第谷对行星运动进行观测所记录的数据的说法中正确的是( )
A．这些数据在测量记录时误差相当大
B．这些数据说明太阳绕地球运动
C．这些数据与以行星绕太阳做匀速圆周运动为模型得到的结果相吻合
D．这些数据与以行星绕太阳做椭圆运动为模型得到的结果相吻合
解析：选D 开普勒根据第谷的观测数据整理得出行星运动定律，说明数据误差很小，这些数据说明地球绕太阳运动，且与以行星绕太阳做椭圆运动为模型得到的结果相吻合，故选D。
2．下列关于行星绕太阳运动的说法中，正确的是( )
A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B．行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处
C．离太阳越近的行星运动周期越长
D．所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
解析：选D 由开普勒行星运动定律可知所有行星轨道都是椭圆，太阳位于一个焦点上，行星在椭圆轨道上运动的周期T和半长轴a满足＝k(常量)，对于同一中心天体，k不变，故A、B、C错误，D正确。
3．关于开普勒第二定律，下列说法正确的是( )
A．行星绕太阳运动时，一定做匀速圆周运动
B．行星绕太阳运动时，一定做匀变速曲线运动
C．行星绕太阳运动时，由于角速度相等，故在近日点处的线速度小于它在远日点处的线速度
D．行星绕太阳运动时，由于它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故它在近日点的线速度大于它在远日点的线速度
解析：选D 行星绕太阳运动的轨道是椭圆，故行星做变速曲线运动，但不是匀变速曲线运动，故A、B错误；根据开普勒第二定律可知，行星在近日点时的线速度大于在远日点时的线速度，故C错误，D正确。
4．一恒星系统中，行星a绕恒星做椭圆运动的公转周期是0.6年，行星b绕恒星做椭圆运动的公转周期是1.9年，根据所学知识比较两行星到恒星的最大距离的关系( )
A．行星a到恒星的最大距离较大
B．行星b到恒星的最大距离较大
C．行星a和行星b到恒星的最大距离一样
D．条件不足，无法比较
解析：选B 要比较两行星到恒星的最大距离，可比较其椭圆轨道的半长轴的大小，根据开普勒第三定律＝，可知ra＜rb，因此b到恒星的最大距离较大，故选B。
5．行星绕恒星的运动轨道如果是圆形，那么轨道半径r的三次方与运行周期T的平方的比为常量，设＝k，则常量k的大小( )
A．只与恒星的质量有关
B．与恒星的质量及行星的质量有关
C．只与行星的质量有关
D．与恒星的质量及行星的速度有关
解析：选A ＝k，比值k是一个与行星无关的常量，只由恒星自身决定，故A正确。
6．太阳系有八大行星，八大行星离太阳的远近不同，绕太阳运转的周期也不相同。下列反映周期与轨道半径关系的图像中正确的是( )
解析：选D 由开普勒第三定律知＝k，R3＝kT2，故D正确。
7．墨子号是由中国自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，标志着中国量子通信技术方面走在了世界前列；其运行轨道为如图所示的绕地球运动的椭圆轨道，地球位于椭圆的一个焦点上。轨道上标记了墨子号卫星经过相等时间间隔的位置。则下列说法正确的是( )
A．面积S1>S2
B．卫星在轨道A点的速度小于B点的速度
C．T2＝Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴
D．T2＝C′b3，其中C′为常数，b为椭圆半短轴
解析：选C 根据开普勒第二定律可知，卫星与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等，面积S1＝S2，故A错误；根据开普勒第二定律可知，卫星在轨道A点的速度大于在B点的速度，故B错误；根据开普勒第三定律可知＝C，故C正确，D错误。
8．某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时的速率为( )
A．vb＝va B．vb＝va
C．vb＝va D．vb＝va
解析：选C 如图所示，A、B分别为远日点和近日点，由开普勒第二定律，太阳和行星的连线在相等的时间里扫过的面积相等，取足够短的时间Δt，则有va·Δt·a＝vb·Δt·b，所以vb＝va。
9．天文学家观察哈雷彗星的周期约为76年，离太阳最近的距离为8.9×1010 m，试根据开普勒第三定律计算哈雷彗星离太阳最远的距离。太阳系的开普勒常量k可取3.354×1018 m3/s2。
解析：哈雷彗星离太阳的最近距离和最远距离之和等于轨道半长轴的2倍，因此，只要求出轨道半长轴即可。由开普勒第三定律知＝k，
a＝＝ m
≈2.68×1012 m。
哈雷彗星离太阳最远的距离为2a－8.9×1010 m
＝(2×2.68×1012－8.9×1010)m＝5.271×1012 m。
答案：5.271×1012 m
组—重应用·体现创新
10.(多选)关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是( )
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
B．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点运行的速率相等
C．表达式＝k，k与中心天体有关
D．表达式＝k，T代表行星运动的公转周期
解析：选ACD 根据开普勒第一定律可知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A正确；根据开普勒第二定律可知，当地球离太阳较近时，运行速率较大，离太阳较远时，运行速率较小，故B错误；根据开普勒第三定律可知＝k，k与中心天体有关，T代表行星运动的公转周期，故C、D正确。
11．(2025·云南高考)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳公转的轨道半径如下表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于( )
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．金星与地球的公转轨道之间
B．地球与火星的公转轨道之间
C．火星与木星的公转轨道之间
D．天王星与海王星的公转轨道之间
解析：选C 根据开普勒第三定律可知＝，其中r地＝1 AU，T地＝1年，T行＝5.8年，解得r行≈3.23 AU，可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间。故选C。
12．地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球轨道半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现，哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律即＝k，其中T为行星绕太阳公转的周期，r为轨道的半长轴估算。它下次飞近地球是哪一年？
解析：＝k，其中T为行星绕太阳公转的周期，r为轨道的半长轴，k是对太阳系中的任何行星都适用的常量。可以根据已知条件列方程求解。
将地球的公转轨道近似成圆形轨道，其周期为T1，半径为r1；哈雷彗星的周期为T2，轨道半长轴为r2，则根据开普勒第三定律有＝，
因为r2＝18r1，地球公转周期为1年，所以可知哈雷彗星的周期为T2＝×T1≈76.4年
所以它下次飞近地球在2062年左右。
答案：2062年左右
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