人教版物理必修第二册
第七章｜ 万有引力与宇宙航行
第2节 万有引力定律
核心素养点击
物理观念 (1)知道万有引力定律的内容、表达式和适用范围。 (2)知道万有引力定律公式中r的物理意义，了解引力常量G。
科学思维 (1)理解万有引力定律的推导过程。 (2)会用万有引力定律解决简单的引力计算问题。
科学态度与责任 (1)通过万有引力定律的推导过程，认识在科学规律发现过程中大胆猜想与严格求证的重要性。 (2)知道万有引力定律的发现使人类在地球上的重物下落与天体运动方面完成了认识上的统一。 (3)知道引力常量G的测定在科学史上的重大意义。
1．填一填
(1)行星绕太阳运动的原因猜想：行星绕太阳运动是因为受到了太阳对它的 。
(2)模型建立：
行星以太阳为圆心做 运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。
(3)太阳对行星的引力：
太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力F＝m，行星绕太阳运行的线速度v＝，行星轨道半径r与周期T的关系＝k。于是得出F＝4π2k，即F∝。
(4)行星对太阳的引力：由牛顿第三定律可得行星对太阳的引力F也应与太阳的质量m太成 。
(5)行星与太阳间的引力：由F∝，F∝m太，可得F∝，可写成F＝G。
2．判断
(1)行星与太阳间的引力大小相等，方向相反。( )
(2)太阳对行星的引力与行星的质量成正比。( )
(3)在推导太阳与行星的引力公式时，用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律。( )
(4)由于太阳质量大于行星质量，故太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力。( )
1．填一填
(1)牛顿的思考：地球对月球的引力、地球对地面上物体的引力若为同一种力，则其大小的表达式应满足F＝G。
(2)检验过程
[理论分析] 月球绕地球做匀速圆周运动，
由F＝G和a月＝，可得a月＝，
苹果做自由落体运动，由F＝G和a苹＝，
得a苹＝，由r＝60R，可得＝。
[天文观测] 已知自由落体加速度g＝9.8 m/s2，月地中心间距r月地＝3.8 108 m，月球公转周期T月＝2.36 106 s，可求得月球绕地球做匀速圆周运动的加速度a月＝·r月地≈2.7 10－3 m/s2，≈。
(3)检验结果：地球对月球的引力、地球对地面上物体的引力、太阳与行星间的引力，遵从相同的规律。
2．判断
(1)地球对月球的引力和地球对地面上物体的引力属于同一种性质的力。( )
(2)月球绕地球做匀速圆周运动的向心力是由地球对它的引力产生的。( )
(3)月球上物体下落受到的力与地球上物体下落受到的力性质不同。( )
1．填一填
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互 ，引力的方向在它们的 上，引力的大小与物体的质量m1和m2的 成正比、与它们之间距离r的 成反比。
(2)公式：F＝G。
(3)引力常量：式中G叫作 ，大小为6.67 10－11 ，它是由英国物理学家
在实验室里首先测出的，该实验同时也验证了万有引力定律。
2．判断
(1)万有引力只存在于天体之间，常见的普通物体间不存在万有引力。( )
(2)一般物体间也存在万有引力，只是力太小，受力分析时可忽略不计。( )
(3)引力常量是牛顿首先测出的。( )
(4)公式F＝G中G是比例系数，与太阳、行星都没有关系。( )
【重难释解】
1．万有引力的四个特性
特性 内容
普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，遵守牛顿第三定律
宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
2.万有引力定律F＝G的理解
(1)适用条件：适用于计算两个质点间的万有引力。
(2)引力常量G的理解：
①数值：G＝6.67 10－11N·m2/kg2。
②物理意义：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。
③G的测定：由英国科学家卡文迪什在实验室里首先通过卡文迪什扭秤装置测出的。
④测定G的意义：证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。
(3)距离r的理解：r是两个质点间的距离。
①对于两个质量均匀分布的球体，r应是两球心间的距离。
②对于一个均匀球体与球外一个质点，r应是球体球心到质点的距离。
③对于两个物体间的距离比物体本身大得多时，物体可以看成质点，r应是两个物体间的距离。
典例1 在嫦娥六号探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与月球表面的距离，F表示它所受的月球引力，能够描述F随h变化关系的图像是( )
【素养训练】
1．(多选)对于万有引力定律的表达式F＝G，下列说法中正确的是( )
A．公式中G为引力常量，与两个物体的质量无关
B．当r趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．m1与m2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力
D．m1与m2受到的引力大小总是相等的，而与m1、m2是否相等无关
2．火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4
C．2.0 D．2.5
3．(2025·全国卷)“天都一号”通导技术试验卫星测距试验的成功，标志着我国在深空轨道精密测量领域取得了技术新突破。“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时，下列说法正确的是( )
A．受月球的引力大小保持不变
B．相对月球的速度大小保持不变
C．离月球越近，其相对月球的速度越大
D．离月球越近，其所受月球的引力越小
【重难释解】
1．万有引力和重力的关系
设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的引力为F＝G，方向指向地心O，如图所示。万有引力F可分解为两个分力：
(1)物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn，方向垂直于自转轴。
(2)物体的重力mg，方向竖直向下，但不一定指向地心：
①在赤道上、两极点的重力方向指向地心；
②在其他位置的重力方向均不指向地心。
2．重力与纬度的关系
地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mRω2＋mg，所以mg＝G－mRω2。
(2)地球两极处：向心力为0，所以mg＝F＝G。
(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg3．重力与高度的关系
由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小。
(1)在地面附近：mg＝G。
(2)距离地面h高度处：mgh＝G(R为地球半径，gh为离地面h高度处的重力加速度)。因此，距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。
假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的密度为( )
A. B.
C. D.
【素养训练】
4．(2025·广州模拟)关于重力和万有引力的关系，下列说法正确的是( )
A．物体在南极受到的万有引力大于重力
B．物体在赤道受到的万有引力大于重力
C．离地越高，物体的重力加速度越大
D．万有引力是重力的一个分力，因此重力大于万有引力
5．设地球自转周期为T，质量为M，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为( )
A. B.
C. D.
一、培养创新意识和创新思维
“填补法”计算物体间的万有引力
对于质量分布均匀的不完整的球形物体间的万有引力，无法直接应用万有引力公式求得，解决该类问题常用“填补法”。
所谓“填补法”，即对本来是非对称的物体，通过“填补”后构成对称物体，然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求解的方法。常见的类型是把非对称物体(挖空部分为球体)补成球体，即先把挖去的部分“填补”上，使其成为半径为R的完整球体，再根据万有引力公式，分别计算出半径为R的球体和“填补”上的球体对物体的万有引力，最后两引力相减即可得到答案。
有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从M中挖去半径为R的球体，如图所示，则剩余部分对m的万有引力F( )
A. B.
C. D.
【针对训练】
1．将密度均匀、质量为M的球形物体，在其中心处挖去一小球，且小球的半径是大球半径的，形成一个空心球，离空心球球心为d的位置放置一质量为m的质点，求空心球对质点m的引力大小。
2．两个质量分布均匀、密度相同且大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F。现将其中一个小球中挖去半径为原球半径一半的球，并按如图所示的形式紧靠在一起，三个球心在一条直线上，试计算它们之间的万有引力大小。
二、注重学以致用和思维建模
1.如图所示，木星是太阳系中最大的行星，与太阳的距离为7.8 108 km，木星和太阳的质量分别为1.9 1027 kg和2.0 1030 kg。试求木星与太阳之间的万有引力大小。
2．两个质量均为50 kg中学生距离1 m。
(1)假设两个中学生可以看成质点，请计算其万有引力F的大小。
(2)g取10 N/kg，请计算其万有引力F与一位中学生的重力比值。
(3)比较(2)结果你能得到什么启发？
3．某航天员在飞船发射前测得自身连同航天服等随身装备共重840 N，在火箭发射阶段，他发现当飞船随火箭以a＝的加速度匀加速竖直上升到某位置时(其中g为地球表面处的重力加速度)，其身体下方体重测试仪的示数为1 220 N。已知地球半径R＝6 400 km，地球表面重力加速度g取10 m/s2求解过程中可能用到 ≈1.03, ≈1.02。问：
(1)该位置处的重力加速度g′是地面处重力加速度g的多少倍？
(2)该位置距地球表面的高度h为多大？
[课时跟踪检测]
组—重基础·体现综合
1．(2024·广西高考)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在( )
A．a处最大 B．b处最大
C．c处最大 D．a、c处相等，b处最小
2．(多选)关于太阳与行星间的引力，下列说法中正确的是( )
A．由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大
B．行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，在从近日点向远日点运动时所受引力变小
C．由F＝可知G＝，由此可见G与F和r2的乘积成正比，与M和m的乘积成反比
D．行星绕太阳的椭圆轨道可近似看成圆形轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力
3．如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，大小分别为m1、m2，半径分别为r1、r2，则两球的万有引力大小为( )
A．G B．G
C．G D．G
4．2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射成功，并进入预定轨道。之后在地球引力作用下，绕地球做匀速圆周运动，已知地球的质量为M，地球的半径为R，载人飞船的质量为m，离地面的高度为h，引力常量为G，则地球对载人飞船的万有引力大小为( )
A．G B．G
C．G D．G
5．关于万有引力F＝G和重力，下列说法正确的是( )
A．公式中的G是一个比例常数，没有单位
B．到地心距离等于地球半径2倍处的重力加速度为地面重力加速度的
C．m1、m2受到的万有引力是一对平衡力
D．若两物体的质量不变，它们间的距离减小到原来的一半，它们间的万有引力也变为原来的一半
6．(2025·广东佛山质量检测)中国空间站轨道高度为400～450千米，地球半径约为6 370千米。当航天员出舱在空间站舱外作业时，其所受地球的引力大约是他在地面所受地球引力的( )
A．0.9倍 B．0.25倍
C．0.1倍 D．0.01倍
7．设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的引力作用而产生的加速度为g，则为( )
A．1 B.
C. D.
8．在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行的轨道与月球绕地球运行的轨道均可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7 107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，下列说法正确的是( )
A．太阳引力远小于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的引力大小相等
D．月球对不同区域海水的引力大小有差异
9．事实证明，行星与恒星间的引力规律也适用于其他物体间，已知地球质量约为月球质量的81倍，宇宙飞船从地球飞往月球，当飞至某一位置时(如图所示)，宇宙飞船受到地球与月球引力的合力为0。问：此时飞船在空间什么位置？(已知地球与月球中心间距离是3.84 105 km)
10．(多选)如图所示，三颗质量均为m的地球卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是( )
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
11．(2025·广州五校联考)若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零。中国空间站轨道距离地面高度为h，所在处的重力加速度为g1；“蛟龙”号载人潜水器下潜深度为d，所在处的重力加速度为g2；地表处重力加速度为g，不计地球自转影响，下列关系式正确的是( )
A．g1＝g B．g2＝g
C．g1＝g2 D．g1＝g2
12．天问一号在火星表面着陆前的最后两个运动阶段分别为动力减速阶段和着陆缓冲阶段。在动力减速阶段，探测器发动机打开，经40 s速度由87 m/s减至7 m/s。将天问一号在动力减速阶段的运动看作竖直方向的匀变速直线运动，已知天问一号的质量约为5 t，火星半径约为地球半径的二分之一，火星质量约为地球质量的十分之一，地球表面的重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)火星表面的重力加速度g火的大小；
(2)动力减速阶段发动机提供的力的大小。
7 / 7第七章｜ 万有引力与宇宙航行
第2节 万有引力定律
核心素养点击
物理观念 (1)知道万有引力定律的内容、表达式和适用范围。 (2)知道万有引力定律公式中r的物理意义，了解引力常量G。
科学思维 (1)理解万有引力定律的推导过程。 (2)会用万有引力定律解决简单的引力计算问题。
科学态度与责任 (1)通过万有引力定律的推导过程，认识在科学规律发现过程中大胆猜想与严格求证的重要性。 (2)知道万有引力定律的发现使人类在地球上的重物下落与天体运动方面完成了认识上的统一。 (3)知道引力常量G的测定在科学史上的重大意义。
1．填一填
(1)行星绕太阳运动的原因猜想：行星绕太阳运动是因为受到了太阳对它的引力。
(2)模型建立：
行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。
(3)太阳对行星的引力：
太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力F＝m，行星绕太阳运行的线速度v＝，行星轨道半径r与周期T的关系＝k。于是得出F＝4π2k，即F∝。
(4)行星对太阳的引力：由牛顿第三定律可得行星对太阳的引力F也应与太阳的质量m太成正比。
(5)行星与太阳间的引力：由F∝，F∝m太，可得F∝，可写成F＝G。
2．判断
(1)行星与太阳间的引力大小相等，方向相反。(√)
(2)太阳对行星的引力与行星的质量成正比。(√)
(3)在推导太阳与行星的引力公式时，用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律。(√)
(4)由于太阳质量大于行星质量，故太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力。(×)
1．填一填
(1)牛顿的思考：地球对月球的引力、地球对地面上物体的引力若为同一种力，则其大小的表达式应满足F＝G。
(2)检验过程
[理论分析] 月球绕地球做匀速圆周运动，
由F＝G和a月＝，可得a月＝，
苹果做自由落体运动，由F＝G和a苹＝，
得a苹＝，由r＝60R，可得＝。
[天文观测] 已知自由落体加速度g＝9.8 m/s2，月地中心间距r月地＝3.8×108 m，月球公转周期T月＝2.36×106 s，可求得月球绕地球做匀速圆周运动的加速度a月＝·r月地≈2.7×10－3 m/s2，≈。
(3)检验结果：地球对月球的引力、地球对地面上物体的引力、太阳与行星间的引力，遵从相同的规律。
2．判断
(1)地球对月球的引力和地球对地面上物体的引力属于同一种性质的力。(√)
(2)月球绕地球做匀速圆周运动的向心力是由地球对它的引力产生的。(√)
(3)月球上物体下落受到的力与地球上物体下落受到的力性质不同。(×)
1．填一填
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
(2)公式：F＝G。
(3)引力常量：式中G叫作引力常量，大小为6.67×10－11N·m2/kg2，它是由英国物理学家卡文迪什在实验室里首先测出的，该实验同时也验证了万有引力定律。
2．判断
(1)万有引力只存在于天体之间，常见的普通物体间不存在万有引力。(×)
(2)一般物体间也存在万有引力，只是力太小，受力分析时可忽略不计。(√)
(3)引力常量是牛顿首先测出的。(×)
(4)公式F＝G中G是比例系数，与太阳、行星都没有关系。(√)
【重难释解】
1．万有引力的四个特性
特性 内容
普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，遵守牛顿第三定律
宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
2.万有引力定律F＝G的理解
(1)适用条件：适用于计算两个质点间的万有引力。
(2)引力常量G的理解：
①数值：G＝6.67×10－11N·m2/kg2。
②物理意义：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。
③G的测定：由英国科学家卡文迪什在实验室里首先通过卡文迪什扭秤装置测出的。
④测定G的意义：证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。
(3)距离r的理解：r是两个质点间的距离。
①对于两个质量均匀分布的球体，r应是两球心间的距离。
②对于一个均匀球体与球外一个质点，r应是球体球心到质点的距离。
③对于两个物体间的距离比物体本身大得多时，物体可以看成质点，r应是两个物体间的距离。
典例1 在嫦娥六号探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与月球表面的距离，F表示它所受的月球引力，能够描述F随h变化关系的图像是( )
[解析] 由万有引力公式F＝G可知，探测器与月球表面距离h越大，F越小，故B、C错误；而F与h不是一次函数关系，故A错误。
[答案] D
巧用“排除法”求解图像问题
排除法是解答选择题的常用方法之一。典例1中要选择F随h变化关系的图像，根据万有引力公式F＝G很难直接判断F h的关系图线的形状特点，但由公式可知h越大，F一定越小，故可以排除B、C项；又由公式知F与h不是一次函数关系，故排除A项，从而确定D项正确。
【素养训练】
1．(多选)对于万有引力定律的表达式F＝G，下列说法中正确的是( )
A．公式中G为引力常量，与两个物体的质量无关
B．当r趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．m1与m2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力
D．m1与m2受到的引力大小总是相等的，而与m1、m2是否相等无关
解析：选AD 公式中的G为比例系数，称作引力常量，与两个物体的质量无关，故A正确；当两物体表面距离r越来越小，直至趋近于0时，物体不能再看作质点，表达式F＝G已不再适用于计算它们之间的万有引力，故B错误；m1与m2受到彼此的引力为作用力与反作用力，此二力总是大小相等、方向相反，与m1、m2是否相等无关，故C错误，D正确。
2．火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4
C．2.0 D．2.5
解析：选B 由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面受到的万有引力大小为F地＝G，质量为m的物体在火星表面受到的万有引力大小为F火＝G，二者的比值＝＝0.4，故B正确，A、C、D错误。
3．(2025·全国卷)“天都一号”通导技术试验卫星测距试验的成功，标志着我国在深空轨道精密测量领域取得了技术新突破。“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时，下列说法正确的是( )
A．受月球的引力大小保持不变
B．相对月球的速度大小保持不变
C．离月球越近，其相对月球的速度越大
D．离月球越近，其所受月球的引力越小
解析：选C “天都一号”在环月椭圆轨道上运行时与月球的距离不断发生变化，根据F＝G可知受月球的引力大小不断发生变化，离月球越近，其所受月球的引力越大，故A、D错误；根据开普勒第二定律可知“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时相对月球的速度大小不断发生变化，在近月点速度最大，在远月点速度最小，即离月球越近，相对月球的速度越大，故B错误，C正确。
【重难释解】
1．万有引力和重力的关系
设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的引力为F＝G，方向指向地心O，如图所示。万有引力F可分解为两个分力：
(1)物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn，方向垂直于自转轴。
(2)物体的重力mg，方向竖直向下，但不一定指向地心：
①在赤道上、两极点的重力方向指向地心；
②在其他位置的重力方向均不指向地心。
2．重力与纬度的关系
地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mRω2＋mg，所以mg＝G－mRω2。
(2)地球两极处：向心力为0，所以mg＝F＝G。
(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg3．重力与高度的关系
由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小。
(1)在地面附近：mg＝G。
(2)距离地面h高度处：mgh＝G(R为地球半径，gh为离地面h高度处的重力加速度)。因此，距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。
假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的密度为( )
A. B.
C. D.
[解析] 在地球的两极处有G＝mg0；在赤道处有G－mg＝m2R，地球质量与地球半径的关系M＝πR3ρ，联立三式可得ρ＝，故B正确。
[答案] B
关于万有引力和重力关系的处理方法
(1)物体随地球自转时，由于地球自转角速度很小，物体转动需要的向心力很小，一般情况下，认为重力约等于万有引力，即mg＝G。
(2)对于地球的卫星，所受重力等于万有引力，即mg＝G。
【素养训练】
4．(2025·广州模拟)关于重力和万有引力的关系，下列说法正确的是( )
A．物体在南极受到的万有引力大于重力
B．物体在赤道受到的万有引力大于重力
C．离地越高，物体的重力加速度越大
D．万有引力是重力的一个分力，因此重力大于万有引力
解析：选B 万有引力的一个分力表现为重力，另一个分力提供物体随地球自转的向心力，在赤道处地球自转线速度最大，所需向心力最大，故物体在赤道处重力最小，所以物体在赤道受到的万有引力大于重力，故D错误，B正确；在两极处地球自转线速度为零，所需向心力为零，故物体在两极受到的万有引力等于重力，A错误；离地越高，物体的重力加速度越小，故C错误。
5．设地球自转周期为T，质量为M，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 物体在南极地面所受的支持力等于万有引力，FN＝F＝，①
在赤道处，F万－F′＝F向，
得FN′＝F′＝F万－F向，又F向＝mR，
则FN′＝－mR， ②
由①、②式，可得＝，故A正确。
一、培养创新意识和创新思维
“填补法”计算物体间的万有引力
对于质量分布均匀的不完整的球形物体间的万有引力，无法直接应用万有引力公式求得，解决该类问题常用“填补法”。
所谓“填补法”，即对本来是非对称的物体，通过“填补”后构成对称物体，然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求解的方法。常见的类型是把非对称物体(挖空部分为球体)补成球体，即先把挖去的部分“填补”上，使其成为半径为R的完整球体，再根据万有引力公式，分别计算出半径为R的球体和“填补”上的球体对物体的万有引力，最后两引力相减即可得到答案。
有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从M中挖去半径为R的球体，如图所示，则剩余部分对m的万有引力F( )
A. B.
C. D.
解析：选A 质量为M的球体对质点m的万有引力F1＝G＝G，
挖去的球体的质量M′＝M＝，
质量为M′的球体对质点m的万有引力
F2＝G＝G，
则剩余部分对质点m的万有引力
F＝F1－F2＝G－G＝。故A正确。
【针对训练】
1．将密度均匀、质量为M的球形物体，在其中心处挖去一小球，且小球的半径是大球半径的，形成一个空心球，离空心球球心为d的位置放置一质量为m的质点，求空心球对质点m的引力大小。
解析：由题意知小球半径是大球半径的，则＝。小球挖在大球正中央，间距相等，则F引＝F1－F2＝－＝。
答案：
2．两个质量分布均匀、密度相同且大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F。现将其中一个小球中挖去半径为原球半径一半的球，并按如图所示的形式紧靠在一起，三个球心在一条直线上，试计算它们之间的万有引力大小。
解析：如图甲所示，原本为实心球时，可知：
F＝G； ①
右边的球体被挖去一小球体后，设它们之间的万有引力为F′；右边的球体不能看成质点，则不能直接应用万有引力定律求F′的值；如图乙所示，可以用“填补法”处理该问题。如图丙所示，被挖掉部分小球体与左边球之间的万有引力为
F1＝G， ②
且m1∶m＝3∶r3＝1∶8， ③
联立①②③式得F1＝F； ④
剩余部分之间的万有引力大小为
F′＝F－F1， ⑤
联立④⑤式得F′＝F。
答案：F
二、注重学以致用和思维建模
1.如图所示，木星是太阳系中最大的行星，与太阳的距离为7.8×108 km，木星和太阳的质量分别为1.9×1027 kg和2.0×1030 kg。试求木星与太阳之间的万有引力大小。
解析：由题意可知，m1＝1.9×1027 kg，
m2＝2.0×1030 kg，r＝7.8×1011 m。
根据公式F＝G可得所求引力
F＝6.67×10－11× N
≈4.2×1023 N。
答案：4.2×1023 N
2．两个质量均为50 kg中学生距离1 m。
(1)假设两个中学生可以看成质点，请计算其万有引力F的大小。
(2)g取10 N/kg，请计算其万有引力F与一位中学生的重力比值。
(3)比较(2)结果你能得到什么启发？
解析：(1)两个中学生看成质点，其万有引力
F＝G＝1.667 5×10－7 N。
(2)一位中学生的重力G′＝mg＝500 N，则万有引力F与一位中学生的重力比值＝3.335×10－10。
(3)由(2)结果可以看出两个中学生间的万有引力与一位中学生的重力比较完全可以忽略不计，因此，分析地球上物体间的相互作用力时，不用分析万有引力。
答案：见解析
3．某航天员在飞船发射前测得自身连同航天服等随身装备共重840 N，在火箭发射阶段，他发现当飞船随火箭以a＝的加速度匀加速竖直上升到某位置时(其中g为地球表面处的重力加速度)，其身体下方体重测试仪的示数为1 220 N。已知地球半径R＝6 400 km，地球表面重力加速度g取10 m/s2求解过程中可能用到 ≈1.03, ≈1.02。问：
(1)该位置处的重力加速度g′是地面处重力加速度g的多少倍？
(2)该位置距地球表面的高度h为多大？
解析：(1)飞船起飞前，对航天员进行受力分析有
G＝mg，得m＝84 kg。
在h高度处对航天员进行受力分析，
应用牛顿第二定律有F－mg′＝ma，解得＝。
(2)根据万有引力公式，
在地面处有G＝mg，
在h高度处有G＝mg′。
解以上两式得h≈128 km。
答案：(1) (2)128 km
[课时跟踪检测]
组—重基础·体现综合
1．(2024·广西高考)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在( )
A．a处最大 B．b处最大
C．c处最大 D．a、c处相等，b处最小
解析：选A 根据万有引力公式F＝G可知，题图中a处距离月球最近，单位质量的海水受月球的引力最大。故选A。
2．(多选)关于太阳与行星间的引力，下列说法中正确的是( )
A．由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大
B．行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，在从近日点向远日点运动时所受引力变小
C．由F＝可知G＝，由此可见G与F和r2的乘积成正比，与M和m的乘积成反比
D．行星绕太阳的椭圆轨道可近似看成圆形轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力
解析：选BD 由F＝可知，太阳对行星的引力大小与m、r有关，对同一行星，r越大，F越小，故B正确；对不同行星，r越小，F不一定越大，还要由行星的质量决定，故A错误；公式中G为比例系数，是一常量，与F、r、M、m均无关，故C错误；通常的研究中，行星绕太阳的椭圆轨道可近似看成圆形轨道，向心力由太阳对行星的引力提供，故D正确。
3．如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，大小分别为m1、m2，半径分别为r1、r2，则两球的万有引力大小为( )
A．G B．G
C．G D．G
解析：选D 对两质量分布均匀的球体，F＝G中的r为两球心之间的距离。两球的万有引力F＝G，故D正确。
4．2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射成功，并进入预定轨道。之后在地球引力作用下，绕地球做匀速圆周运动，已知地球的质量为M，地球的半径为R，载人飞船的质量为m，离地面的高度为h，引力常量为G，则地球对载人飞船的万有引力大小为( )
A．G B．G
C．G D．G
解析：选A 根据万有引力定律可知地球对载人飞船的万有引力大小为F＝G，故选A。
5．关于万有引力F＝G和重力，下列说法正确的是( )
A．公式中的G是一个比例常数，没有单位
B．到地心距离等于地球半径2倍处的重力加速度为地面重力加速度的
C．m1、m2受到的万有引力是一对平衡力
D．若两物体的质量不变，它们间的距离减小到原来的一半，它们间的万有引力也变为原来的一半
解析：选B G的单位是N·m2/kg2，故A错误；设地球质量为M，半径为R，则地球表面的重力加速度为，到地心距离等于地球半径2倍处的重力加速度为，故B正确；m1、m2受到的万有引力是一对作用力与反作用力，故C错误；根据万有引力公式，若两物体的质量不变，它们间的距离减小到原来的一半，则它们间的万有引力应变为原来的4倍，故D错误。
6．(2025·广东佛山质量检测)中国空间站轨道高度为400～450千米，地球半径约为6 370千米。当航天员出舱在空间站舱外作业时，其所受地球的引力大约是他在地面所受地球引力的( )
A．0.9倍 B．0.25倍
C．0.1倍 D．0.01倍
解析：选A 设地球半径为R，空间站的轨道高度为h，航天员的质量为m，地球质量为M，航天员在地面时所受地球的引力F1＝，在空间站舱外作业时所受地球的引力F2＝，可得＝2≈0.9，故选A。
7．设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的引力作用而产生的加速度为g，则为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选D 地球表面处的重力加速度和离地心距离为4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以：
在地球表面：G＝mg0 ①
离地心距离为4R处：G＝mg ②
由①②两式得＝2＝，故D正确。
8．在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行的轨道与月球绕地球运行的轨道均可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，下列说法正确的是( )
A．太阳引力远小于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的引力大小相等
D．月球对不同区域海水的引力大小有差异
解析：选D 根据F＝G，可得＝·，代入数据可知，太阳对地球上相同质量海水的引力远大于月球对其的引力，故A、B错误；因为月心到不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异，故C错误，D正确。
9．事实证明，行星与恒星间的引力规律也适用于其他物体间，已知地球质量约为月球质量的81倍，宇宙飞船从地球飞往月球，当飞至某一位置时(如图所示)，宇宙飞船受到地球与月球引力的合力为0。问：此时飞船在空间什么位置？(已知地球与月球中心间距离是3.84×105 km)
解析：设地球、月球和飞船的质量分别为M地、M月和m，x表示飞船到地球球心的距离，则F地＝F月，即＝，代入数据解得x≈3.46×108 m。
答案：在地球与月球的连线上，距地球球心距离为3.46×108 m
组—重应用·体现创新
10．(多选)如图所示，三颗质量均为m的地球卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是( )
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
解析：选BC 利用万有引力公式计算，地心与卫星间的距离为r，地球与一颗卫星间的引力大小为，故A错误，B正确；由几何知识可得，两颗卫星之间的距离为r，两颗卫星之间利用万有引力定律可得引力大小为，故C正确；三颗卫星对地球的引力大小相等，方向在同一平面内，相邻两个力夹角为120°，所以三颗卫星对地球引力的合力等于0，故D错误。
11．(2025·广州五校联考)若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零。中国空间站轨道距离地面高度为h，所在处的重力加速度为g1；“蛟龙”号载人潜水器下潜深度为d，所在处的重力加速度为g2；地表处重力加速度为g，不计地球自转影响，下列关系式正确的是( )
A．g1＝g B．g2＝g
C．g1＝g2 D．g1＝g2
解析：选C 对于中国空间站，根据万有引力提供向心力可得＝mg1，解得g1＝，在地球表面＝mg，因此g1＝g，A错误；设地球密度为ρ，在地球表面万有引力等于重力，即＝m1g，又因为m地＝ρV＝，代入得g＝，由于质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零，因此g2＝＝g，B错误；由以上各式联立可得＝，C正确，D错误。
12．天问一号在火星表面着陆前的最后两个运动阶段分别为动力减速阶段和着陆缓冲阶段。在动力减速阶段，探测器发动机打开，经40 s速度由87 m/s减至7 m/s。将天问一号在动力减速阶段的运动看作竖直方向的匀变速直线运动，已知天问一号的质量约为5 t，火星半径约为地球半径的二分之一，火星质量约为地球质量的十分之一，地球表面的重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)火星表面的重力加速度g火的大小；
(2)动力减速阶段发动机提供的力的大小。
解析：(1)在地球表面，重力等于万有引力mg＝，
在火星表面，重力等于万有引力mg火＝，
代入数据联立解得g火＝4.0 m/s2。
(2)天问一号在动力减速阶段，由运动学公式v＝v0－at，
根据牛顿第二定律可知F－m′g火＝m′a，
联立解得动力减速阶段发动机提供的力的大小为F＝3×104 N。
答案：(1)4 m/s2 (2)3×104 N
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