第七章｜ 万有引力与宇宙航行
第3节 万有引力理论的成就
核心素养点击
物理观念 (1)理解“称量地球质量”的基本思路。 (2)理解计算太阳质量的基本思路。
科学思维 (1)理解万有引力定律在天文学上的重要应用——发现未知天体、预言哈雷彗星的回归。 (2)能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解。
科学态度与责任 了解万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力，激发探索太空、了解太空的兴趣。
1．填一填
(1)若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即mg＝G。
(2)地球的质量：m地＝。
2．判断
(1)牛顿发现了万有引力定律，同时测出了地球的质量。(×)
(2)物体所受的重力就是地球对物体的万有引力。(×)
(3)物体所受的重力与地球对物体的万有引力一般不同。(√)
3．想一想
如果已知地球表面的重力加速度g和地球的半径R及引力常量G，那么能否计算出地球的平均密度？
提示：由m地＝ρ·πR3和m地＝可求出地球的平均密度ρ＝。
1．填一填
(1)行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的万有引力提供行星的向心力。
(2)由G＝mω2r，ω＝，
可得：m太＝。
其中r为行星的轨道半径，T为行星的公转周期。
2．判断
(1)利用地球绕太阳做匀速圆周运动的信息，可求出地球的质量。(×)
(2)行星做匀速圆周运动的轨道半径越大，太阳的质量就越大。(×)
(3)通过观测卫星绕地球的运转的周期和轨道半径可以计算出地球的质量。(√)
1．填一填
(1)海王星的发现
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶，根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
(2)预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷，依据万有引力定律计算彗星轨道，准确预言了彗星的回归时间。
(3)意义：海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。
2．判断
(1)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。(√)
(2)天体的运动是无法预测的。(×)
(3)哈雷彗星的回归有一定的周期。(√)
【重难释解】
1．天体质量的计算
(1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
已知量 万有引力提供向心力 中心天体的质量
线速度v 轨道半径r G＝m M＝
角速度ω 轨道半径r G＝mrω2 M＝
周期T 轨道半径r G＝mr M＝
2．天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入上式可得ρ＝。
当卫星环绕天体表面附近运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝。
半径为R的某天体的一颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该高度做圆周运动的周期为T，已知引力测量为G，求该天体的质量和密度。
[解析] 卫星距天体表面的高度为h时，有
G＝m(R＋h)，
则该天体的质量M＝，
则该天体的密度ρ＝＝＝。
[答案]
[迁移·发散]
1．在典例1中，假设在该天体上发射一颗贴近该天体的表面做匀速圆周运动的卫星，它的周期为T0 。求该天体的质量和密度。
解析：设卫星的质量为m，天体的质量为M。
卫星贴近天体表面运动时有
G＝mR，
则该天体的质量M＝，
根据数学知识可知天体的体积为V＝πR3，
故该天体的密度为ρ＝＝。
答案：
2．航天员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度。
解析：(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，
h＝g月t2，
月球表面的自由落体加速度大小g月＝。
(2)因不考虑月球自转的影响，
所以有G＝mg月，
月球的质量M＝。
(3)月球的密度ρ＝＝＝。
答案：(1) (2) (3)
【素养训练】
1．“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 根据万有引力公式＝mr，整理得M＝，因为“鹊桥二号”中继星环绕月球运行的周期与地球同步卫星环绕地球运行的周期相等，故＝，故选D。
2．如果火星着陆器着陆前近火星做匀速圆周运动，绕行的周期约为101分钟，已知地球的平均密度约为5.5×103 kg/m3，地球近地卫星的周期约为85分钟，则火星的平均密度约为( )
A．3.9×103 kg/m3 B．4.8×103 kg/m3
C．5.6×103 kg/m3 D．7.2×103 kg/m3
解析：选A 近地卫星万有引力提供向心力＝R，其中M＝ρ·πR3，解得ρT2＝，则ρ火T火2＝ρ地T地2，所以ρ火＝≈3.9×103 kg/m3，A正确，B、C、D错误。
3．嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为( )
A. B.
C. D.(1＋k)3
解析：选D 设月球的半径为R，质量为M，对嫦娥六号分析，根据万有引力提供向心力有G＝m·(k＋1)R，月球的体积V＝πR3，月球的平均密度ρ＝，联立可得ρ＝(1＋k)3。故选D。
【重难释解】
1．基本分析思路
行星绕恒星(或卫星绕行星)的运动可看作匀速圆周运动，向心力由中心天体的万有引力提供。
2．两个重要关系
(1)基本关系：万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力，即G＝m＝mrω2＝mr＝ma。
(2)黄金代换： GM＝gR2
①“GM”与“gR2”可以相互替代。
②式中M、R、g分别为天体的质量、天体的半径、天体表面的重力加速度。
证明：在天体表面物体的重力等于万有引力，mg＝G，可得GM＝gR2。
3．天体的运动参量与轨道半径r的关系分析
火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为∶
C．角速度大小之比为2∶3
D．向心加速度大小之比为9∶4
[解析] 火星与地球轨道周长之比等于公转轨道半径之比，A项错误；火星和地球绕太阳的运动可视为匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有G＝ma＝m＝mω2r，解得a＝，v＝ ，ω＝ ，所以火星与地球线速度大小之比为∶，B项错误；角速度大小之比为2∶3，C项正确；向心加速度大小之比为4∶9，D项错误。
[答案] C
天体运动参量的比较问题的两点提醒
(1)相比较的不同天体必须是绕同一中心天体做匀速圆周运动。
(2)对于同一个天体运动，只要轨道半径r改变，该天体运动的加速度a、线速度v、角速度ω和周期T都随之改变——“牵一发(r)而动全身(a、v、ω、T)”。
【素养训练】
4．土星的部分卫星绕土星的运动可视为匀速圆周运动，其中的两颗卫星轨道半径分别为r1、r2且r1≠r2，向心加速度大小分别为a1、a2，则( )
A.＝ B.＝
C．a1r1＝a2r2 D．a1r12＝a2r22
解析：选D 设土星的质量为M，两颗卫星的质量分别为m1、m2，对两颗卫星，根据牛顿第二定律有G＝m1a1，G＝m2a2，整理可得a1r12＝a2r22。故选D。
5．如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该小行星带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A．太阳对各小行星的引力相同
B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D．小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值均大于地球公转的线速度值
解析：选C 由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定律可知太阳对各小行星的引力不同，故A错误；太阳对小行星的万有引力提供小行星做圆周运动的向心力，由G＝m2r，可得T＝ ，小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，故B错误；由G＝ma可得a＝，可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，故C正确；由G＝m可得v＝ ，可知小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值均小于地球公转的线速度值，故D错误。
6．(2025·河南高考)2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese12b的轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为( )
A．13天 B．27天 C．64天 D．128天
解析：选A 地球绕太阳运动周期约为T0＝365天，设太阳的质量为M0，日地距离为r0，Gliese12b的轨道半径为r，其母恒星的质量为M，根据万有引力提供向心力得＝m地r0，＝mr，整理得＝，已知r＝r0，M＝M0，则T＝T0≈13天，故选A。
一、培养创新意识和创新思维
下表给出了五颗卫星绕木星运行的数据，这些卫星的运动可近似视为圆周运动。
卫星 轨道半径r/km 周期T/d 卫星质量m/kg
木卫五 1.814×105 0.498 2.08×1018
木卫一 4.217×105 1.77 8.93×1022
木卫二 6.710×105 3.55 4.80×1022
木卫三 1.070×106 7.15 1.48×1023
木卫四 1.883×106 16.7 1.08×1023
(1)请根据表中数据定性描述：卫星运行周期与轨道半径之间的关系，卫星运行周期与卫星质量之间的关系。
(2)请用物理规律来证明你的上述分析。
解析：(1)根据表中数据可以得出，卫星的轨道半径越大，卫星运行周期就越大，卫星运行周期与卫星的质量大小无关。
(2)由G＝m卫·2·r，
可得T＝，
由此可见卫星的轨道半径越大，周期越大，卫星运行周期与卫星的质量m卫大小无关。
答案：见解析
二、注重学以致用和思维建模
1．(多选)我国500 m口径球面射电望远镜(天眼)已发现多颗毫秒脉冲星，若某毫秒脉冲星自转周期为T，半径为R。假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为G。下列说法正确的是( )
A．无法计算该星体的质量
B．可以计算该星体的密度
C．该星体的质量M＝
D．该星体的最小密度ρ＝
解析：选AD 在星球上的物体随着星球自转时的向心力为万有引力的一个分量，即万有引力大于等于向心力，根据牛顿第二定律有G≥m··R，解得M≥，可得该星体最小质量为Mmin＝，又因为有V＝πR3，可得该星体的最小密度为ρmin＝＝，综上，无法计算该星体的质量和密度，可以计算该星体的最小质量和最小密度，故A、D正确。
2.20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。假设有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变为Δv和飞船受到的推力F(其他星球对它的引力可忽略)。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动。已知星球的半径为R，引力常量用G表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是( )
A.， B.，
C.， D.，
解析：选D 飞船在Δt时间内的加速度a＝，所以飞船的质量m＝＝；飞船绕星球做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力：G＝mr，又v＝，整理得M＝，故D正确。
3.在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为( )
A．k32 B．k32 C.2 D.2
解析：选D 设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，根据G＝mr，可得G＝m月r1，G＝m地r2，由几何关系得＝＝，密度ρ＝，联立可得＝2，故选D。
[课时跟踪检测]
组—重基础·体现综合
1．月球表面重力加速度是地球表面重力加速度的，若已知月球半径约为1.72×103 km，引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2，地球表面重力加速度为9.8 m/s2。试估算月球质量的数量级为( )
A．1016 kg B．1020 kg
C．1022 kg D．1024 kg
解析：选C 根据G＝mg可得M＝，则M月＝＝ kg≈7.2×1022 kg，故C正确。
2．地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )
A．物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B．赤道处的角速度比南纬30°大
C．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
解析：选A 由F＝G可知，若地球看成球形，则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转所需的向心力。在赤道上，向心力最大，重力最小，故A正确。地球上各处的角速度均等于地球自转的角速度，故B错误。地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，故C错误。地面上物体随地球自转的向心力是万有引力与地面支持力的合力，故D错误。
3．(2025·陕晋宁青高考)我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约3 750 km，轨道周期约2 h。引力常量G取6.67×10－11 N·m2/kg2，根据以上数据可推算出火星的( )
A．质量 B．体积
C．逃逸速度 D．自转周期
解析：选A 轨道器绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，可得G＝m＝mω2r＝mr＝ma，题中已知的物理量有轨道半径r、轨道周期T、引力常量G，可推算出火星的质量，故A正确；若想推算火星的体积和逃逸速度，则还需要知道火星的半径R，故B、C错误；根据上述分析可知，不能通过所提供物理量推算出火星的自转周期，故D错误。
4．某航天员到达一自转较慢的星球后，在星球表面展开了科学实验。他让一小球在离地高1 m处自由下落，测得落地时间为0.2 s。已知该星球半径为地球半径的5倍，地球表面重力加速度g＝10 m/s2，该星球的质量和地球质量的比值为( )
A．100∶1 B．75∶1 C．125∶1 D．150∶1
解析：选C 依题意，可求得该星球表面重力加速度大小为g′＝＝50 m/s2，在星球表面由万有引力等于重力G＝mg′，在地球表面万有引力等于重力有G＝mg，可得该星球的质量和地球质量的比值＝＝，C正确，A、B、D错误。
5．一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( )
A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径
C．测定行星的体积 D．测定飞船的运行速度
解析：选A 取飞船为研究对象，由G＝mR及M＝πR3ρ，知ρ＝，故A正确。
6．(2025·安徽高考)(多选)2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M、半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则( )
A．r＝ B．r＝＋R
C．M＝ D．M＝
解析：选BC 对于卫星甲和卫星乙，根据开普勒第三定律有＝，解得r＝＋R，故A错误，B正确；对于卫星乙，根据万有引力提供向心力可得＝m乙2r，解得M＝，故C正确，D错误。
7.嫦娥六号的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察嫦娥六号在环月轨道上的运动，发现每经过时间t，通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图所示。已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为( )
A. B. C. D.
解析：选A 根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥五号”的轨道半径r＝，根据转过的角度和时间，可得ω＝，月球对“嫦娥五号”的万有引力提供“嫦娥五号”做圆周运动的向心力，可得G＝mω2r，由以上三式可得M＝，故A正确。
8．(多选)三颗火星卫星A、B、C绕火星做匀速圆周运动，如图所示，已知mA＝mBA．运行线速度关系为vA>vB＝vC
B．运行周期关系为TAC．向心力大小关系为FA＝FBD．半径与周期关系为＝＝
解析：选ABD 由G＝m得v＝ ，因此vA>vB＝vC，故A正确；由G＝mr得T＝2π ，因此TAaB＝aC，因为mA＝mBFB，FB9．有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，求：
(1)该星球半径与地球半径之比；
(2)该星球质量与地球质量之比。
解析：(1)由＝mg得M＝，
ρ＝＝＝，
R＝，＝·＝＝。
(2)由(1)可知该星球半径是地球半径的4倍。根据M＝得＝·＝。
答案：(1)4∶1 (2)64∶1
组—重应用·体现创新
10．(2024·新课标卷)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c 的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的( )
A．0.001倍 B．0.1倍
C．10倍 D．1 000倍
解析：选B 设红矮星质量为M1，行星质量为m1，轨道半径为r1，周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，到太阳距离为r2，周期为T2；根据万有引力定律有G＝m1r1，G＝m2r2，联立可得＝3·2，由于行星轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，可得≈0.1，故选B。
11．(多选)某同学阅读了“火星的现在、地球的未来”一文，摘录了以下资料：①根据目前被科学界普遍接受的宇宙大爆炸学说可知，引力常量在极其缓慢地减小；②火星位于地球绕太阳轨道的外侧；③由于火星与地球的自转周期几乎相同，自转轴与公转轨道平面的倾角也几乎相同，所以火星上也有四季变化。根据该同学摘录的资料和有关天体运动规律，可推断( )
A．太阳对地球的引力在缓慢减小
B．太阳对地球的引力在缓慢增加
C．火星上平均每个季节持续的时间等于3个月
D．火星上平均每个季节持续的时间大于3个月
解析：选AD 由于引力常量在缓慢减小，根据万有引力公式得知太阳对地球的引力在缓慢减小，故A正确，B错误。由于火星的轨道半径比地球的轨道半径大，由＝mR，得T＝2π ，所以火星绕太阳公转的周期比地球大，地球公转周期是一年，即12个月，则火星的公转周期大于12个月，因而火星上的每个季度要大于3个月，故C错误，D正确。
12．我国航天技术飞速发展，设想数年后航天员登上了某星球表面。航天员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G。求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的平均密度。
解析：(1)小球在星球表面做平抛运动，
有L＝vt，h＝gt2，解得g＝。
(2)在星球表面满足G＝mg，
M＝ρ·πR3，解得ρ＝。
答案：(1) (2)
7 / 7人教版物理必修第二册
第七章｜ 万有引力与宇宙航行
第3节 万有引力理论的成就
核心素养点击
物理观念 (1)理解“称量地球质量”的基本思路。 (2)理解计算太阳质量的基本思路。
科学思维 (1)理解万有引力定律在天文学上的重要应用——发现未知天体、预言哈雷彗星的回归。 (2)能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解。
科学态度与责任 了解万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力，激发探索太空、了解太空的兴趣。
1．填一填
(1)若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的 ，即mg＝G。
(2)地球的质量：m地＝。
2．判断
(1)牛顿发现了万有引力定律，同时测出了地球的质量。 ( )
(2)物体所受的重力就是地球对物体的万有引力。 ( )
(3)物体所受的重力与地球对物体的万有引力一般不同。 ( )
3．想一想
如果已知地球表面的重力加速度g和地球的半径R及引力常量G，那么能否计算出地球的平均密度？
提示：由m地＝ρ·πR3和m地＝可求出地球的平均密度ρ＝。
1．填一填
(1)行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的万有引力提供行星的 。
(2)由G＝mω2r，ω＝，
可得：m太＝。
其中r为行星的轨道半径，T为行星的公转周期。
2．判断
(1)利用地球绕太阳做匀速圆周运动的信息，可求出地球的质量。 ( )
(2)行星做匀速圆周运动的轨道半径越大，太阳的质量就越大。 ( )
(3)通过观测卫星绕地球的运转的周期和轨道半径可以计算出地球的质量。 ( )
1．填一填
(1)海王星的发现
英国剑桥大学的学生 和法国年轻的天文学家 ，根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的 在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
(2)预言哈雷彗星回归
英国天文学家 ，依据万有引力定律计算彗星轨道，准确预言了彗星的回归时间。
(3)意义： 的发现和 的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。
2．判断
(1)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。 ( )
(2)天体的运动是无法预测的。 ( )
(3)哈雷彗星的回归有一定的周期。 ( )
【重难释解】
1．天体质量的计算
(1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
已知量 万有引力提供向心力 中心天体的质量
线速度v 轨道半径r G＝m M＝
角速度ω 轨道半径r G＝mrω2 M＝
周期T 轨道半径r G＝mr M＝
2．天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入上式可得ρ＝。
当卫星环绕天体表面附近运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝。
半径为R的某天体的一颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该高度做圆周运动的周期为T，已知引力测量为G，求该天体的质量和密度。
[迁移·发散]
1．在典例1中，假设在该天体上发射一颗贴近该天体的表面做匀速圆周运动的卫星，它的周期为T0 。求该天体的质量和密度。
2．航天员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度。
【素养训练】
1．“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为( )
A. B.
C. D.
2．如果火星着陆器着陆前近火星做匀速圆周运动，绕行的周期约为101分钟，已知地球的平均密度约为5.5×103 kg/m3，地球近地卫星的周期约为85分钟，则火星的平均密度约为( )
A．3.9×103 kg/m3 B．4.8×103 kg/m3
C．5.6×103 kg/m3 D．7.2×103 kg/m3
3．嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为( )
A. B.
C. D.(1＋k)3
【重难释解】
1．基本分析思路
行星绕恒星(或卫星绕行星)的运动可看作匀速圆周运动，向心力由中心天体的万有引力提供。
2．两个重要关系
(1)基本关系：万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力，即G＝m＝mrω2＝mr＝ma。
(2)黄金代换： GM＝gR2
①“GM”与“gR2”可以相互替代。
②式中M、R、g分别为天体的质量、天体的半径、天体表面的重力加速度。
证明：在天体表面物体的重力等于万有引力，mg＝G，可得GM＝gR2。
3．天体的运动参量与轨道半径r的关系分析
火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为∶
C．角速度大小之比为2∶3
D．向心加速度大小之比为9∶4
【素养训练】
4．土星的部分卫星绕土星的运动可视为匀速圆周运动，其中的两颗卫星轨道半径分别为r1、r2且r1≠r2，向心加速度大小分别为a1、a2，则( )
A.＝ B.＝
C．a1r1＝a2r2 D．a1r12＝a2r22
5．如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该小行星带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A．太阳对各小行星的引力相同
B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D．小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值均大于地球公转的线速度值
6．(2025·河南高考)2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese12b的轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为( )
A．13天 B．27天 C．64天 D．128天
一、培养创新意识和创新思维
下表给出了五颗卫星绕木星运行的数据，这些卫星的运动可近似视为圆周运动。
卫星 轨道半径r/km 周期T/d 卫星质量m/kg
木卫五 1.814×105 0.498 2.08×1018
木卫一 4.217×105 1.77 8.93×1022
木卫二 6.710×105 3.55 4.80×1022
木卫三 1.070×106 7.15 1.48×1023
木卫四 1.883×106 16.7 1.08×1023
(1)请根据表中数据定性描述：卫星运行周期与轨道半径之间的关系，卫星运行周期与卫星质量之间的关系。
(2)请用物理规律来证明你的上述分析。
二、注重学以致用和思维建模
1．(多选)我国500 m口径球面射电望远镜(天眼)已发现多颗毫秒脉冲星，若某毫秒脉冲星自转周期为T，半径为R。假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为G。下列说法正确的是( )
A．无法计算该星体的质量
B．可以计算该星体的密度
C．该星体的质量M＝
D．该星体的最小密度ρ＝
2.20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。假设有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变为Δv和飞船受到的推力F(其他星球对它的引力可忽略)。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动。已知星球的半径为R，引力常量用G表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是( )
A.， B.，
C.， D.，
3.在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为( )
A．k32 B．k32 C.2 D.2
[课时跟踪检测]
组—重基础·体现综合
1．月球表面重力加速度是地球表面重力加速度的，若已知月球半径约为1.72×103 km，引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2，地球表面重力加速度为9.8 m/s2。试估算月球质量的数量级为( )
A．1016 kg B．1020 kg
C．1022 kg D．1024 kg
2．地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )
A．物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B．赤道处的角速度比南纬30°大
C．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
3．(2025·陕晋宁青高考)我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约3 750 km，轨道周期约2 h。引力常量G取6.67×10－11 N·m2/kg2，根据以上数据可推算出火星的( )
A．质量 B．体积
C．逃逸速度 D．自转周期
4．某航天员到达一自转较慢的星球后，在星球表面展开了科学实验。他让一小球在离地高1 m处自由下落，测得落地时间为0.2 s。已知该星球半径为地球半径的5倍，地球表面重力加速度g＝10 m/s2，该星球的质量和地球质量的比值为( )
A．100∶1 B．75∶1 C．125∶1 D．150∶1
5．一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( )
A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径
C．测定行星的体积 D．测定飞船的运行速度
6．(2025·安徽高考)(多选)2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M、半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则( )
A．r＝ B．r＝＋R
C．M＝ D．M＝
7.嫦娥六号的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察嫦娥六号在环月轨道上的运动，发现每经过时间t，通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图所示。已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为( )
A. B. C. D.
8．(多选)三颗火星卫星A、B、C绕火星做匀速圆周运动，如图所示，已知mA＝mBA．运行线速度关系为vA>vB＝vC
B．运行周期关系为TAC．向心力大小关系为FA＝FBD．半径与周期关系为＝＝
9．有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，求：
(1)该星球半径与地球半径之比；
(2)该星球质量与地球质量之比。
组—重应用·体现创新
10．(2024·新课标卷)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c 的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的( )
A．0.001倍 B．0.1倍
C．10倍 D．1 000倍
11．(多选)某同学阅读了“火星的现在、地球的未来”一文，摘录了以下资料：①根据目前被科学界普遍接受的宇宙大爆炸学说可知，引力常量在极其缓慢地减小；②火星位于地球绕太阳轨道的外侧；③由于火星与地球的自转周期几乎相同，自转轴与公转轨道平面的倾角也几乎相同，所以火星上也有四季变化。根据该同学摘录的资料和有关天体运动规律，可推断( )
A．太阳对地球的引力在缓慢减小
B．太阳对地球的引力在缓慢增加
C．火星上平均每个季节持续的时间等于3个月
D．火星上平均每个季节持续的时间大于3个月
12．我国航天技术飞速发展，设想数年后航天员登上了某星球表面。航天员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G。求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的平均密度。
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