第七章｜ 万有引力与宇宙航行
习题课二 万有引力定律与航天
【知识贯通】
天体运动问题的分析
1．一种模型
无论自然天体(如火星、地球、月球等)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体在万有引力作用下做匀速圆周运动。
2．两条思路
(1)万有引力提供向心力，即G＝m＝mω2r＝mr＝ma。
(2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、天体表面的重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，称为“黄金代换”。
3．四种关系
天体的运行参量与轨道半径的变化关系
越高越慢
在距地面不同高度的太空中有许多飞行器。其中天舟一号距地面高度约为393 km，哈勃望远镜距地面高度约为612 km，张衡一号距地面高度约为500 km。若它们均可视为绕地球做圆周运动，则( )
A．天舟一号的加速度大于张衡一号的加速度
B．哈勃望远镜的线速度大于张衡一号的线速度
C．天舟一号的周期大于哈勃望远镜的周期
D．哈勃望远镜的角速度大于张衡一号的角速度
[解析] 天舟一号与张衡一号做圆周运动时均由万有引力提供向心力，由G＝ma，可得a＝，“天舟一号”轨道半径小，故加速度大，故A正确；哈勃望远镜和“张衡一号”做圆周运动时均是由万有引力提供向心力，由G＝m，可得v＝ ，哈勃望远镜轨道半径大，故线速度小，由G＝mrω2，可得ω＝ ，哈勃望远镜轨道半径大，故角速度小，故B、D错误；天舟一号与哈勃望远镜做圆周运动时均是由万有引力提供向心力，由G＝mr，可得T＝2π ，哈勃望远镜轨道半径大，故周期大，故C错误。
[答案] A
应用万有引力定律应注意的问题
(1)卫星的an、v、ω、T与卫星的质量无关，仅由被环绕的天体的质量M和轨道半径r决定。
(2)应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件，如地球的公转周期是365天，自转一周是24小时，其表面的重力加速度约为9.8 m/s2。
【集训提能】
1．(2025·广东高考)一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是( )
A．公转周期约为6年
B．从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C．从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D．在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
解析：选D 根据题意，设地球与太阳之间的距离为R，则小行星公转轨道的半长轴为l＝＝6R，由开普勒第三定律有＝，解得T＝＝6年，故A错误；由牛顿第二定律有＝ma，解得a＝，可知＝＝，即小行星在近日点的加速度是地球公转加速度的，故D正确；从远日点到近日点，小行星与太阳之间的距离减小，由万有引力定律F＝可知，小行星受到的太阳引力增大，故B错误；由开普勒第二定律可知，从远日点到近日点，小行星的线速度逐渐增大，故C错误。
2．(多选)地球静止卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列关系式正确的是( )
A.＝ B.＝2
C.＝ D.＝
解析：选AD 对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，根据G＝m，可得 ＝。对于地球静止卫星和地球赤道上的物体，其共同特点是角速度相等，根据an＝ω2r，可得＝。故选A、D。
3．如图甲所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是( )
A．周期为2t1－t0 B．半径为
C．角速度的大小为 D．加速度的大小为
解析：选B 由题图乙可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为T＝t1－t0，则P的公转周期为t1－t0，故A错误；P绕恒星Q做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得＝mr，解得半径为r＝＝，故B正确；P的角速度为ω＝＝，故C错误；P的加速度大小为a＝ω2r＝2·＝·，故D错误。
【知识贯通】
1．变轨问题概述
(1)稳定运行
卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，即G＝m。
(2)变轨运行
当卫星由于某种原因，其速度v突然变化时，F引和m不再相等，会出现以下两种情况：
①当F引>m时，卫星做近心运动；
②当F引
2．变轨问题的两种常见形式
(1)渐变
由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化，由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看成是匀速圆周运动。
①关键要点：轨道半径r减小(近心运动)。
这种变轨运动的起因是阻力使卫星速度减小，所需要的向心力减小了，而万有引力大小没有变，因此卫星将做近心运动，即轨道半径r将减小。
②各个物理参量的变化：当轨道半径r减小时，卫星线速度v、角速度ω、向心加速度a增大，周期T减小。
(2)突变
由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其到达预定的轨道。
发射地球静止卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，在P点第一次点火加速，在短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆轨道Ⅱ；卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入轨道Ⅲ，绕地球做角速度与地球自转角速度相同的匀速圆周运动。
(多选)如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前、后的轨道，下列说法正确的是( )
A．飞船从1轨道变到2轨道要点火加速
B．飞船在1轨道的周期大于2轨道的
C．飞船在1轨道的速度大于2轨道的
D．飞船在1轨道的加速度大于2轨道的
[解析] 飞船从较低的轨道1进入较高的轨道2要进行加速做离心运动，A正确；根据G＝m＝mr＝ma，可得a＝，v＝，T＝2π，可知飞船在轨道1的周期小于在轨道2的周期，在轨道1的速度大于在轨道2的速度，在轨道1的加速度大于在轨道2的加速度，故B错误，C、D正确。
[答案] ACD
[答案] D
卫星变轨问题的三点提醒
(1)卫星在轨道上的变轨点的线速度v增大或减小，但向心加速度a不变。
(2)卫星在圆轨道上由低轨道变轨至高轨道后，线速度v将减小，角速度ω将减小，周期T将增大，向心加速度a将减小。
(3)卫星在椭圆轨道上由近地点运动至远地点，线速度v将减小，加速度a将减小。
【集训提能】
1．(2025·广州模拟)2024年5月3日嫦娥六号发射成功，5月8日成功实施近月制动，并顺利进入环月轨道飞行，示意图如图所示。假设登月探测器在环月轨道1上的P点实施变轨，进入椭圆轨道2，再由近月点Q点进入圆轨道3，已知轨道1的半径为3r，轨道3的半径为r，登月探测器在轨道3的运行周期为T，则登月探测器( )
A．在轨道1上运行的周期为3T
B．从轨道2上的Q点进入圆轨道3时，需要点火加速
C．沿轨道1过P点比沿轨道2过P点时的加速度大
D．沿轨道2运行时，经P点和Q点时的加速度大小之比为1∶3
解析： 选A 根据开普勒第三定律＝，解得T1＝3T，故A正确；从轨道2上的Q点进入圆轨道3时，由离心运动变为圆周运动，需要减速，故B错误；根据万有引力提供向心力得G＝ma，解得a＝，沿轨道1过P点的加速度等于沿轨道2过P点时的加速度，故C错误；根据a＝，沿轨道2运行时，经P点和Q点时的加速度大小之比为1∶9，故D错误。
2．(2024·湖北高考)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则( )
A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
解析：选A 空间站变轨前、后在P点所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知，空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确；因为变轨后轨道的半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知，空间站变轨后的运动周期比变轨前的运动周期大，故B错误；变轨时，空间站喷气加速，因此变轨后其在P点的速度比变轨前的大，故C错误；由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前的速度大，比在近地点的速度小，则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的速度小，故D错误。
3．2025年4月24日，长征二号F遥二十运载火箭将“神舟二十号”载人飞船精准送入预定轨道。“神舟二十号”与火箭分离后，将进行多次变轨，与中国空间站进行径向交会对接。如图所示为“神舟二十号”对接前变轨过程的简化示意图，AC是椭圆轨道Ⅱ的长轴，“神舟二十号”从圆轨道Ⅰ先变轨到椭圆轨道Ⅱ，再变轨到圆轨道Ⅲ，与在圆轨道Ⅲ运行的空间站实施对接。下列说法正确的是( )
A．“神舟二十号”两次变轨过程中均需要点火减速
B．“神舟二十号”在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期小于空间站运行的周期
C．“神舟二十号”在椭圆轨道Ⅱ上经过C点时的速率大于空间站经过C点时的速率
D．“神舟二十号”在椭圆轨道Ⅱ上C点时的加速度大于空间站在C点时的加速度
解析：选B 飞船从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速，故“神舟二十号”两次变轨过程中均需要点火加速，A错误；由于“神舟二十号”在椭圆轨道Ⅱ上运行的半长轴小于空间站的轨道半径，根据开普勒第三定律＝k，可知“神舟二十号”在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期小于空间站运行的周期，B正确；“神舟二十号”从椭圆轨道Ⅱ变轨到圆轨道Ⅲ需要在C处点火加速，故“神舟二十号”在椭圆轨道Ⅱ上经过C点时的速率小于空间站经过C点时的速率，C错误；由万有引力提供向心力有＝ma，得a＝，可知“神舟二十号”在椭圆轨道Ⅱ上C点时的加速度等于空间站在C点时的加速度，D错误。
【知识贯通】
1．“双星”模型
如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体，不考虑其他天体的引力作用，在彼此间的万有引力作用下绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动，称为“双星”模型。
2．“双星”模型的分析方法
两颗星各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即：
对m1，＝m1ω12r1；对m2，＝m2ω22r2。
3．“双星”模型的特点
(1)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(2)两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。
(4)“双星”的运动周期T＝2π 。
(5)“双星”的总质量公式m1＋m2＝。
某双星系统中的A、B两星球绕其连线上的某固定点O做匀速圆周运动，如图所示，现测得两星球球心之间的距离为L，运动周期为T，已知引力常量为G，若AO＞OB，则( )
A．两星球的总质量等于
B．星球A的向心力大于星球B的向心力
C．星球A的线速度一定小于星球B的线速度
D．双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期变大
[解析] 设星球A的质量为MA，星球B的质量为MB，两星球转动的角速度为ω，据万有引力提供向心力得，对A，＝MAω2RA，对B，＝MBω2RB，其中 T＝，L＝RA＋RB，解得T＝，MA＋MB＝，故当双星的质量一定，双星之间的距离减小时，其转动周期减小，A正确，D错误；双星靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律知向心力大小相等，B错误；双星是同轴转动模型，其角速度相等，根据v＝ωr，AO＞OB得vA＞vB，C错误。
[答案] A
解双星问题的两个关键点
(1)对于双星系统，要抓住三个相等，即向心力、角速度、周期相等。
(2)万有引力公式中L是两星球之间的距离，不是星球做圆周运动的轨道半径。
【集训提能】
4.如图所示，“食双星”是指在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。在地球上通过望远镜观察这种双星，视线与双星轨道共面。观测发现恒星A的周期为T，已知两颗恒星A、B间距为d，万有引力常量为G，则可推算出双星的总质量为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设A、B两天体的轨道半径分别为r1、r2，质量分别为mA、mB，两者做圆周运动的周期相同，均为T，对两天体，由万有引力提供向心力可得G＝mA2r1，G＝mB2r2，其中d＝r1＋r2，联立解得mA＋mB＝，故选B。
5．(多选)冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统，质量之比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。由此可知卡戎绕O点运动的( )
A．角速度大小约为冥王星的7倍
B．向心力大小约为冥王星的
C．轨道半径约为冥王星的7倍
D．周期大小与冥王星周期相同
解析：选CD 由题图可知，冥王星与卡戎绕O点转动时每转一圈所用的时间相同，故D正确，A错误；冥王
星与卡戎绕O点转动时万有引力提供向心力，即G＝M冥ω2r冥＝m卡 ω2r卡，故＝＝，故B错误，C正确。
[课时跟踪检测]
组—重基础·体现综合
1．(2025·湖北高考)甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是( )
A．甲运动的周期比乙的小
B．甲运动的线速度比乙的小
C．甲运动的角速度比乙的小
D．甲运动的向心加速度比乙的小
解析：选A 根据万有引力提供向心力有G＝m＝mω2r＝mr＝ma，可得v＝，ω＝，T＝2π，a＝，因r甲v乙，ω甲>ω乙，T甲a乙，故选A。
2．如图所示，在同一轨道平面内的两颗人造地球卫星A、B绕地球做同方向的匀速圆周运动，周期分别为TA、TB。某时刻A、B和地球恰好在同一条直线上，从此时刻开始到A、B和地球再次共线的时间间隔为t，下列说法中正确的是( )
A．A、B卫星的线速度vAB．A、B卫星的向心加速度aAC．t一定大于TA
D．t一定大于
解析：选D 设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球的质量为M，根据万有引力提供向心力，得G＝m＝ma，可得v＝ ，a＝。由v＝ 知卫星的轨道半径越大，线速度越小，所以有vA＞vB，故A错误；由a＝知，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，所以有aA＞aB，故B错误；由几何关系可知，从图中位置开始至A、B和地球再次共线，A比B多转过的角度为nπ(n＝1,2,3，…)，则有·t－·t＝nπ(n＝1,2,3，…)，可得t＝(n＝1,2,3，…)，即t一定大于，故C错误，D正确。
3．(多选)北斗卫星导航系统由不同轨道卫星组成，其中北斗 IGSO3卫星的运行轨道为倾斜地球同步轨道，倾角为55.9°，高度约为3.59万千米；北斗 M3卫星运行轨道为中远地球轨道，倾角为55.3°，高度约为2.16万千米。已知地球半径约为6 400千米，两颗卫星的运行轨道均可视为圆轨道，则下列说法中正确的是( )
A．北斗 IGSO3卫星的线速度大于北斗 M3卫星的线速度
B．北斗 IGSO3卫星的周期大于北斗 M3卫星的周期
C．北斗 IGSO3卫星连续经过地球非赤道上某处正上方的时间间隔约为24 h
D．北斗 IGSO3卫星与地面上的北京市的距离恒定
解析：选BC 根据G＝m＝mr，可知v＝ ，T＝2π ，因北斗 IGSO3卫星的轨道半径大于北斗 M3卫星的轨道半径，所以北斗 IGSO3卫星的线速度小于北斗 M3卫星的线速度，北斗 IGSO3卫星的周期大于北斗 M3卫星的周期，故A错误，B正确；北斗 IGSO3卫星运行轨道为倾斜地球同步轨道，可知其周期为24 h，可以在每天的同一时刻经过地球上某点的上空，则卫星连续经过地球非赤道上某处正上方的时间间隔约为24 h，但是不能定点在北京市的上空，故C正确，D错误。
4． “祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是( )
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
解析：选D 由题意可知，火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍，说明火星的公转周期为地球公转周期的1.88倍，根据万有引力提供向心力，得：G＝mr2＝m＝mrω2＝ma，解得：T＝2π ，v＝ ，ω＝ ，a＝，由于T火>T地，可知，r火>r地、v火5．有研究表明：300年后人类产生的垃圾将会覆盖地球1米厚。有人提出了“将人类产生的垃圾分批转移到无人居住的月球上”的设想，假如不考虑其他星体的影响，且月球仍沿着原来的轨道绕地球做匀速圆周运动，运用你所学物理知识，分析垃圾转移前后，下列说法中正确的是( )
A．地球与月球间的万有引力会逐渐减小
B．月球绕地球运行的线速度将会逐渐变小
C．月球绕地球运行的向心加速度将会逐渐变大
D．月球绕地球运行的周期将变小
解析：选B 月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解出线速度、周期和万有引力的表达式进行分析。设地球质量为M，月球质量为m，地球与月球间的万有引力F＝G，由于M>m，M减小、m增加、M＋m固定，故Mm会增加，地球与月球间的万有引力会逐渐增加，直到两者质量相等为止，故A错误；万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有G＝m＝mr＝ma，解得T＝2π ，v＝，a＝，由于M减小，故月球的运行速度减小，向心加速度减小，周期将会增大，故B正确，C、D错误。
6.如图为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则( )
A．A的质量一定大于B的质量
B．A的线速度一定大于B的线速度
C．L一定，M越大，T越大
D．M一定，L越小，T越大
解析：选B 双星系统中两星间距不变，角速度相等，根据v＝rω，因为rBvB，故B正确；双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以向心力相等，故mArAω2＝mBrB ω2，因为rBmA，即B的质量一定大于A的质量，故A错误；根据牛顿第二定律得G＝mArA＝mBrB，其中rA＋rB＝L，联立解得T＝2π ＝2π ，故L一定，M越大，T越小，M一定，L越小，T越小，故C、D错误。
7．(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有( )
A．由v＝可知，甲的速度是乙的 倍
B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由F＝可知，甲的向心力是乙的
D．由＝k可知，甲的周期是乙的2 倍
解析：选CD 两卫星均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，由＝，可得v＝ ，则乙的速度是甲的倍，故A错误；由ma＝，可得a＝，则乙的向心加速度是甲的4倍，故B错误，由F＝，结合两人造卫星质量相等，可知甲的向心力是乙的，故C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，且甲的轨道半径是乙的2倍，结合开普勒第三定律可知，甲的周期是乙的2 倍，故D正确。
8．(多选)某国际研究小组观测到了一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动，双星系统中质量较小的星体能“吸食”质量较大的星体的表面物质，达到质量转移的目的。根据大爆炸宇宙学可知，双星间的距离在缓慢增大，假设星体的轨道近似为圆，则在该过程中( )
A．双星做圆周运动的角速度不断减小
B．双星做圆周运动的角速度不断增大
C．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径减小
D．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大
解析：选AD 设质量较小的星体质量为m1，轨道半径为r1，质量较大的星体质量为m2，轨道半径为r2。双星间的距离为L，则L＝r1＋r2，转移的质量为Δm。
根据万有引力提供向心力，对m1：
G＝(m1＋Δm)ω2r1 ①
对m2：G＝(m2－Δm)ω2r2 ②
由①②得ω＝ ，总质量m1＋m2不变，两者距离L增大，则角速度ω变小，故A正确，B错误。
由②式可得r2＝，把ω的值代入得
r2＝＝L，
因为L增大，所以r2增大，即质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大，故C错误，D正确。
9．半径R＝4 500 km的某星球上有一倾角为30°的固定斜面，一质量为1 kg的小物块在力F作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F始终与斜面平行。如果物块和斜面间的动摩擦因数μ＝，力F随时间变化的规律如图所示(取沿斜面向上方向为正)，2 s末物块速度恰好又为0。引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。试问：
(1)该星球的质量大约是多少？
(2)要从该星球上抛出一个物体，使该物体不再落回星球，至少需要多大速度？(计算结果保留两位有效数字)
解析：(1)设星球表面的重力加速度为g。小物块在力F1＝20 N作用过程中：
F1－mgsin θ－μmgcos θ＝ma1，
1 s末速度为v＝a1t1，
小物块在力F2＝4 N作用过程中：
F2＋mgsin θ＋μmgcos θ＝ma2，
且有 v＝a2t2，
联立以上四式，解得 g＝8 m/s2，
由G＝mg，
得 M＝＝ kg≈2.4×1024 kg。
(2)要从该星球上抛出一个物体，使该物体不再落回该星球，抛出物体的最小速度为v′，必须满足mg＝m，
得v′＝＝ m/s＝6×103 m/s，
＝6.0 km/s。
答案：(1)2.4×1024 kg (2)6.0 km/s
组—重应用·体现创新
10．(2024·安徽高考)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继卫星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时( )
A．周期约为144 h
B．近月点的速度大于远月点的速度
C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
解析：选B 冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得＝，解得在捕获轨道运行周期T2＝T1≈288 h，A错误；根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确；鹊桥二号从捕获轨道到冻结轨道进行近月制动，在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。
11．(2024·重庆高考)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动。假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体c(图中未画出)质量为m(m M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则( )
A．c的线速度大小为a的倍
B．c的向心加速度大小为b的一半
C．c在一个周期内的路程为2πr
D．c的角速度大小为
解析：选A a、b、c三个天体角速度相同，由于m M，则对a天体有G＝Mω2r，解得ω＝，故D错误；设c与a、b的连线跟a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有2Gcos α＝mω2，解得α＝30°，则c的轨道半径为rc＝＝r，由v＝ωr，可知c的线速度大小为a的倍，故A正确；由a＝ω2r，可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误；c在一个周期内运动的路程为s＝2πrc＝2πr，故C错误。
12．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律，天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX 3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星可视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的线速度v和运行周期T。
(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(用m1、m2表示)；
(2)求暗星B的质量m2与可见星A的线速度v、运行周期T和质量m1之间的关系式。
解析：(1)设A、B的轨道半径分别为r1、r2，
由题意知A、B做匀速圆周运动的角速度相同，
设为ω。根据牛顿第二定律，
有FA＝m1ω2r1，FB＝m2ω2r2，
又FA＝FB，
设A、B之间的距离为r，有r＝r1＋r2，
由以上各式得r＝r1 ①
根据万有引力定律，
有FA＝G，
将①代入上式得FA＝G，
令FA＝G，
可得m′＝。 ②
(2)根据牛顿第二定律，
有G＝m1 ③
可见星A的轨道半径r1＝ ④
由②③④式解得＝。 ⑤
答案：(1)
(2)＝
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第七章｜ 万有引力与宇宙航行
习题课二 万有引力定律与航天
【知识贯通】
天体运动问题的分析
1．一种模型
无论自然天体(如火星、地球、月球等)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体在万有引力作用下做匀速圆周运动。
2．两条思路
(1)万有引力提供向心力，即G＝m＝mω2r＝mr＝ma。
(2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、天体表面的重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，称为“黄金代换”。
3．四种关系
天体的运行参量与轨道半径的变化关系
越高越慢
在距地面不同高度的太空中有许多飞行器。其中天舟一号距地面高度约为393 km，哈勃望远镜距地面高度约为612 km，张衡一号距地面高度约为500 km。若它们均可视为绕地球做圆周运动，则( )
A．天舟一号的加速度大于张衡一号的加速度
B．哈勃望远镜的线速度大于张衡一号的线速度
C．天舟一号的周期大于哈勃望远镜的周期
D．哈勃望远镜的角速度大于张衡一号的角速度
【集训提能】
1．(2025·广东高考)一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是( )
A．公转周期约为6年
B．从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C．从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D．在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
2．(多选)地球静止卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列关系式正确的是( )
A.＝ B.＝2
C.＝ D.＝
3．如图甲所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是( )
A．周期为2t1－t0 B．半径为
C．角速度的大小为 D．加速度的大小为
【知识贯通】
1．变轨问题概述
(1)稳定运行
卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，即G＝m。
(2)变轨运行
当卫星由于某种原因，其速度v突然变化时，F引和m不再相等，会出现以下两种情况：
①当F引>m时，卫星做近心运动；
②当F引2．变轨问题的两种常见形式
(1)渐变
由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化，由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看成是匀速圆周运动。
①关键要点：轨道半径r减小(近心运动)。
这种变轨运动的起因是阻力使卫星速度减小，所需要的向心力减小了，而万有引力大小没有变，因此卫星将做近心运动，即轨道半径r将减小。
②各个物理参量的变化：当轨道半径r减小时，卫星线速度v、角速度ω、向心加速度a增大，周期T减小。
(2)突变
由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其到达预定的轨道。
发射地球静止卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，在P点第一次点火加速，在短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆轨道Ⅱ；卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入轨道Ⅲ，绕地球做角速度与地球自转角速度相同的匀速圆周运动。
(多选)如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前、后的轨道，下列说法正确的是( )
A．飞船从1轨道变到2轨道要点火加速
B．飞船在1轨道的周期大于2轨道的
C．飞船在1轨道的速度大于2轨道的
D．飞船在1轨道的加速度大于2轨道的
【集训提能】
1．(2025·广州模拟)2024年5月3日嫦娥六号发射成功，5月8日成功实施近月制动，并顺利进入环月轨道飞行，示意图如图所示。假设登月探测器在环月轨道1上的P点实施变轨，进入椭圆轨道2，再由近月点Q点进入圆轨道3，已知轨道1的半径为3r，轨道3的半径为r，登月探测器在轨道3的运行周期为T，则登月探测器( )
A．在轨道1上运行的周期为3T
B．从轨道2上的Q点进入圆轨道3时，需要点火加速
C．沿轨道1过P点比沿轨道2过P点时的加速度大
D．沿轨道2运行时，经P点和Q点时的加速度大小之比为1∶3
2．(2024·湖北高考)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则( )
A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
3．2025年4月24日，长征二号F遥二十运载火箭将“神舟二十号”载人飞船精准送入预定轨道。“神舟二十号”与火箭分离后，将进行多次变轨，与中国空间站进行径向交会对接。如图所示为“神舟二十号”对接前变轨过程的简化示意图，AC是椭圆轨道Ⅱ的长轴，“神舟二十号”从圆轨道Ⅰ先变轨到椭圆轨道Ⅱ，再变轨到圆轨道Ⅲ，与在圆轨道Ⅲ运行的空间站实施对接。下列说法正确的是( )
A．“神舟二十号”两次变轨过程中均需要点火减速
B．“神舟二十号”在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期小于空间站运行的周期
C．“神舟二十号”在椭圆轨道Ⅱ上经过C点时的速率大于空间站经过C点时的速率
D．“神舟二十号”在椭圆轨道Ⅱ上C点时的加速度大于空间站在C点时的加速度
【知识贯通】
1．“双星”模型
如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体，不考虑其他天体的引力作用，在彼此间的万有引力作用下绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动，称为“双星”模型。
2．“双星”模型的分析方法
两颗星各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即：
对m1，＝m1ω12r1；对m2，＝m2ω22r2。
3．“双星”模型的特点
(1)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(2)两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。
(4)“双星”的运动周期T＝2π 。
(5)“双星”的总质量公式m1＋m2＝。
某双星系统中的A、B两星球绕其连线上的某固定点O做匀速圆周运动，如图所示，现测得两星球球心之间的距离为L，运动周期为T，已知引力常量为G，若AO＞OB，则( )
A．两星球的总质量等于
B．星球A的向心力大于星球B的向心力
C．星球A的线速度一定小于星球B的线速度
D．双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期变大
【集训提能】
4.如图所示，“食双星”是指在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。在地球上通过望远镜观察这种双星，视线与双星轨道共面。观测发现恒星A的周期为T，已知两颗恒星A、B间距为d，万有引力常量为G，则可推算出双星的总质量为( )
A. B.
C. D.
5．(多选)冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统，质量之比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。由此可知卡戎绕O点运动的( )
A．角速度大小约为冥王星的7倍
B．向心力大小约为冥王星的
C．轨道半径约为冥王星的7倍
D．周期大小与冥王星周期相同
[课时跟踪检测]
组—重基础·体现综合
1．(2025·湖北高考)甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是( )
A．甲运动的周期比乙的小
B．甲运动的线速度比乙的小
C．甲运动的角速度比乙的小
D．甲运动的向心加速度比乙的小
2．如图所示，在同一轨道平面内的两颗人造地球卫星A、B绕地球做同方向的匀速圆周运动，周期分别为TA、TB。某时刻A、B和地球恰好在同一条直线上，从此时刻开始到A、B和地球再次共线的时间间隔为t，下列说法中正确的是( )
A．A、B卫星的线速度vAB．A、B卫星的向心加速度aAC．t一定大于TA
D．t一定大于
3．(多选)北斗卫星导航系统由不同轨道卫星组成，其中北斗 IGSO3卫星的运行轨道为倾斜地球同步轨道，倾角为55.9°，高度约为3.59万千米；北斗 M3卫星运行轨道为中远地球轨道，倾角为55.3°，高度约为2.16万千米。已知地球半径约为6 400千米，两颗卫星的运行轨道均可视为圆轨道，则下列说法中正确的是( )
A．北斗 IGSO3卫星的线速度大于北斗 M3卫星的线速度
B．北斗 IGSO3卫星的周期大于北斗 M3卫星的周期
C．北斗 IGSO3卫星连续经过地球非赤道上某处正上方的时间间隔约为24 h
D．北斗 IGSO3卫星与地面上的北京市的距离恒定
4． “祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是( )
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
5．有研究表明：300年后人类产生的垃圾将会覆盖地球1米厚。有人提出了“将人类产生的垃圾分批转移到无人居住的月球上”的设想，假如不考虑其他星体的影响，且月球仍沿着原来的轨道绕地球做匀速圆周运动，运用你所学物理知识，分析垃圾转移前后，下列说法中正确的是( )
A．地球与月球间的万有引力会逐渐减小
B．月球绕地球运行的线速度将会逐渐变小
C．月球绕地球运行的向心加速度将会逐渐变大
D．月球绕地球运行的周期将变小
6.如图为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则( )
A．A的质量一定大于B的质量
B．A的线速度一定大于B的线速度
C．L一定，M越大，T越大
D．M一定，L越小，T越大
7．(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有( )
A．由v＝可知，甲的速度是乙的 倍
B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由F＝可知，甲的向心力是乙的
D．由＝k可知，甲的周期是乙的2 倍
8．(多选)某国际研究小组观测到了一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动，双星系统中质量较小的星体能“吸食”质量较大的星体的表面物质，达到质量转移的目的。根据大爆炸宇宙学可知，双星间的距离在缓慢增大，假设星体的轨道近似为圆，则在该过程中( )
A．双星做圆周运动的角速度不断减小
B．双星做圆周运动的角速度不断增大
C．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径减小
D．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大
9．半径R＝4 500 km的某星球上有一倾角为30°的固定斜面，一质量为1 kg的小物块在力F作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F始终与斜面平行。如果物块和斜面间的动摩擦因数μ＝，力F随时间变化的规律如图所示(取沿斜面向上方向为正)，2 s末物块速度恰好又为0。引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。试问：
(1)该星球的质量大约是多少？
(2)要从该星球上抛出一个物体，使该物体不再落回星球，至少需要多大速度？(计算结果保留两位有效数字)
组—重应用·体现创新
10．(2024·安徽高考)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继卫星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时( )
A．周期约为144 h
B．近月点的速度大于远月点的速度
C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
11．(2024·重庆高考)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动。假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体c(图中未画出)质量为m(m M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则( )
A．c的线速度大小为a的倍
B．c的向心加速度大小为b的一半
C．c在一个周期内的路程为2πr
D．c的角速度大小为
12．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律，天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX 3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星可视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的线速度v和运行周期T。
(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(用m1、m2表示)；
(2)求暗星B的质量m2与可见星A的线速度v、运行周期T和质量m1之间的关系式。
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