第八章｜ 机械能守恒定律
第3节 动能和动能定理
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物理观念 (1)知道动能的定义和表达式。 (2)知道动能定理的内容和表达式。
科学思维 正确理解动能定理，知道动能定理的适用条件，会用动能定理进行分析和计算。
科学探究 领悟应用功的表达式、牛顿第二定律和运动学公式推导动能定理的过程。
科学态度与责任 能用动能定理解释生产和生活中的现象或解决实际问题，提高理论与实践相结合的能力。
1．填一填
(1)定义：物体由于运动而具有的能量。
(2)表达式：Ek＝mv2。
(3)单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳。1 J＝1 kg·m2·s－2。
(4)特点：
①具有瞬时性，是状态量。
②具有相对性，选取不同的参考系，同一物体的动能一般不同，通常是指物体相对于地面的动能。
③是标量，没有方向，也没有负值。
2．判断
(1)速度大的物体，动能一定大。(×)
(2)物体的动能由质量和速度两个因素决定。(√)
(3)质量一定的物体，其动能与速度成正比。(×)
(4)动能只有大小，没有方向；只有正值，没有负值。(√)
1．填一填
(1)动能定理的推导
设某物体的质量为m，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生一段位移l，速度由v1增加到v2(如图)。
在这个过程中，恒力F做的功W＝Fl，
由牛顿第二定律得F＝ma。
由运动学公式可得l＝，
将F、l表达式代入W＝Fl中可得
W＝mv22－mv12。
(2)动能定理的内容
力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
(3)动能定理的表达式
①W＝mv22－mv12。
②W＝Ek2－Ek1。
说明：式中W为合外力做的功，它等于各力做功的代数和。
(4)动能定理的适用范围
不仅适用于恒力做功和直线运动，也适用于变力做功和曲线运动情况。
2．判断
(1)合外力做功不等于0，物体的动能一定变化。(√)
(2)物体的速度发生变化，合外力做功一定不等于0。(×)
(3)物体的动能增加，合外力做正功。(√)
(4)动能定理只适用于恒力做功和直线运动。(×)
主题探究 一 动能和动能定理的理解
【重难释解】
1．动能的理解
(1)是状态量：与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应。
(2)是标量：只有大小，没有方向；只有正值，没有负值。
(3)具有相对性：选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。
(4)动能与速度的三种关系
数值关系 Ek＝mv2，同一物体，速度v越大，动能Ek越大
瞬时关系 动能和速度均为状态量，二者具有瞬时对应关系
变化关系 当动能发生变化时，物体的速度(大小)一定发生变化；当速度发生变化时，物体的动能可能不变
2.对动能定理的理解
(1)表达式W＝ΔEk中的W为合外力对物体做的总功。
(2)动能定理描述了做功和动能的变化的两种关系。
①等值关系：物体动能的变化等于合力对它做的功。
②因果关系：合力对物体做的功决定了物体动能的变化。
下列关于运动物体的合外力做功和动能、速度变化的关系，正确的是( )
A．物体做变速运动，合外力一定不为0，动能一定变化
B．若合外力对物体做功为0，则合外力一定为0
C．物体的合外力做功，它的速度大小一定发生变化
D．物体的动能不变，所受的合外力必定为0
[解析] 力是改变物体速度的原因，物体做变速运动时，合外力一定不为0，但合外力不为0时，做功可能为0，动能可能不变，故A、B错误。物体的合外力做功，它的动能一定变化，速度大小也一定变化，故C正确。物体的动能不变，所受合外力做功一定为0，但合外力不一定为0，故D错误。
[答案] C
(1)合力做功一定等于物体动能的变化量，与物体受力情况无关。
(2)求某个不易判断对应位移的力做的功时，或力是变力时，可以根据动能定理求解。
【素养训练】
1．下面有关动能的说法中正确的是( )
A．物体只有做匀速运动时，动能才不变
B．物体做平抛运动时，水平方向速度不变，动能不变
C．物体做自由落体运动时，速度逐渐变大，物体的动能增加
D．物体的动能变化时，速度不一定变化，速度变化时，动能一定变化
解析：选C 物体只要速率不变，动能就不变，故A错误；物体做平抛运动时，速率增大，动能增大，故B错误；物体做自由落体运动时，由v＝gt知，速度逐渐变大，物体的动能增加，故C正确；物体的动能变化时，速度的大小一定变化，故D错误。
2．(2025·云南高考)如图所示，中老铁路国际旅客列车从云南某车站由静止出发，沿水平直轨道逐渐加速到144 km/h，在此过程中列车对座椅上的一高中生所做的功最接近( )
A．4×105 J B．4×104 J
C．4×103 J D．4×102 J
解析：选B 高中生的质量约为m＝50 kg，144 km/h＝40 m/s，根据动能定理有W＝mv2＝4×104 J，故选B。
3．(多选)如图所示，质量为m的小车在水平恒力F的推动下，从山坡(粗糙)底部A处由静止开始运动至高为h的坡顶B，获得的速度为v，A、B之间的水平距离为x，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．小车克服重力所做的功是mgh
B．合外力对小车做的功是mv2
C．推力对小车做的功是mv2＋mgh
D．阻力对小车做的功是mv2＋mgh－Fx
解析：选ABD 小车克服重力做功W＝mgh，故A正确；由动能定理可知，小车受到的合力所做的功等于小车动能的增量，即W合＝ΔEk＝mv2，故B正确；由动能定理可知，W合＝W推＋W重＋W阻＝mv2，推力做的功W推＝mv2－W阻－W重＝mv2＋mgh－W阻，故C错误；阻力对小车做的功W阻＝mv2－W推－W重＝mv2＋mgh－Fx，故D正确。
【重难释解】
1．应用动能定理解题的基本思路
2．动能定理与牛顿运动定律的比较
比较内容 牛顿运动定律 动能定理
适用条件 只能研究物体在恒力作用下做直线运动的情况 对于物体在恒力或变力作用下做直线运动或曲线运动均适用
应用方法 要考虑运动过程的每一个细节 只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法 矢量运算 代数运算
相同点 确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
结论 应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错
为了交通安全，在公路上行驶的汽车应保持必要的间距。已知某高速公路的最高限速vmax＝120 km/h，假设前车突然停止，后车司机从发现情况到进行制动操作，汽车通过的位移s′＝17 m，制动时汽车所受的阻力为汽车所受重力的，则该高速公路上汽车间的安全距离至少应为多大？(g取10 m/s2)
解题指导 根据动能定理，分别列出公式中等号左侧的功和等号右侧初末状态的动能，即可求解得到需要的物理量的值。
[解析] 汽车制动时，阻力对汽车做负功，
有W＝－fs＝－0.5mgs。
汽车的动能减小至0，根据动能定理W＝Ek2－Ek1，
有－0.5mgs＝0－mvmax2。
汽车制动后滑行的距离
s＝＝ m≈111 m。
因此，该高速公路上汽车之间的最小安全距离
s安全＝s＋s′＝(111＋17)m＝128 m。
[答案] 128 m
动能定理与牛顿运动定律在解题时的选择方法
(1)动能定理与牛顿运动定律是解决力学问题的两种重要方法，同一个问题，用动能定理一般要比用牛顿运动定律解决起来更简便。
(2)通常情况下，若问题涉及时间、加速度或过程的细节，要用牛顿运动定律解决；而曲线运动、变力做功或多过程等问题，一般要用动能定理解决。
【素养训练】
4．(多选)A、B两物体在光滑水平面上，分别在相同的水平恒力F作用下，由静止开始通过相同的位移l。若A的质量大于B的质量，则在这一过程中( )
A．A获得的动能较大
B．B获得的动能较大
C．A、B获得的动能一样大
D．A的末速度小于B获得的末速度
解析：选CD 由动能定理可知外力做功相同，则动能变化相同，故C正确；A的质量大于B的质量，故A的末速度小于B获得的末速度，故D正确。
5．(2024·安徽高考)某同学参加户外拓展活动，遵照安全规范，坐在滑板上，从高为h的粗糙斜坡顶端由静止下滑，至底端时速度为v。已知人与滑板的总质量为m，可视为质点。重力加速度大小为g，不计空气阻力。则此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为( )
A．mgh B.mv2
C．mgh＋mv2 D．mgh－mv2
解析：选D 人与滑板在下滑的过程中，由动能定理可得mgh－Wf＝mv2－0，可得此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为Wf＝mgh－mv2，故选D。
6．(2025·福建高考)如图甲，水平地面上有A、B两个物块，两物块质量均为0.2 kg，A与地面间的动摩擦因数为μ＝0.25，B与地面无摩擦，两物块在外力F的作用下向右前进，F与位移x的图像如图乙所示，P为圆弧最低点，M为最高点，水平地面长度大于4 m，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)0～1 m，F做的功；
(2)x＝1 m时，A与B之间的弹力；
(3)要保证B能到达M点，圆弧半径r满足的条件。
解析：(1)0～1 m，F做的功W＝F1x1＝1.5×1 J＝1.5 J。
(2)对AB整体，根据牛顿第二定律有F1－f＝2ma，其中f＝μmg，对B，根据牛顿第二定律有FAB＝ma，联立解得FAB＝0.5 N。
(3)当A、B之间的弹力为零时，A、B分离，根据上述分析可知此时F2＝0.5 N，
由题图乙可知此时x2＝3 m，
在该过程中，对A、B，根据动能定理有
WF－μmgx2＝×2mv2，
根据题图乙可得WF＝1.5 J＋×2 J＝3.5 J，
从P点到M点，根据动能定理
－mg·2rmax＝mvmin2－mv2，
在M点的最小速度满足mg＝m，
联立可得rmax＝0.2 m，
即圆弧半径满足的条件r≤0.2 m。
答案：(1)1.5 J (2)0.5 N (3)r≤0.2 m
一、培养创新意识和创新思维
探究恒力做功与动能改变的关系
要研究恒力做功与动能改变的关系，需要测出作用于物体的力、物体的位移，以及物体的质量和速度，求出恒力所做的功和物体的动能，然后进行比较。
用打点计时器测小车的位移和速度，用天平测小车的质量，用钩码给小车提供作用力。此实验的装置与“探究加速度与力、质量的关系”的实验装置基本相同。思考实验中如何平衡摩擦力？如何让小车所受的合力近似等于钩码的重力？
如图所示，用细线通过定滑轮连接小车与钩码，纸带通过打点计时器与小车相连。实验中，通过改变钩码数量来改变小车所受拉力的大小，测出需要测的物理量。
将钩码的重力视为小车受到的拉力，g＝9.80 m/s2，利用W＝mgΔx算出拉力对小车做的功W。利用Ek＝Mv2算出小车动能，并求出动能的变化量ΔEk。计算结果见下表。
W/(×10－3 J) 2.45 2.92 3.35 3.81 4.26
ΔEk/(×10－3 J) 2.36 2.83 3.22 3.65 4.10
比较W和ΔEk的大小关系，可以得出什么结论？
提示：挂钩码前，调节木板左侧的高度，直至向右轻推小车，小车做匀速运动时，就平衡了小车的摩擦力。要使小车所受的合力近似等于钩码的重力，小车的质量应远大于钩码的质量。
从表中数据可以看出，在误差范围内拉力对小车所做的功等于小车动能的增量。
二、注重学以致用和思维建模
1．(多选)人们用滑道从高处向低处运送货物。如图所示，可看作质点的货物从圆弧滑道顶端P点静止释放，沿滑道运动到圆弧末端Q点时速度大小为6 m/s。已知货物质量为20 kg，滑道高度h为4 m，且过Q点的切线水平，重力加速度取10 m/s2。关于货物从P点运动到Q点的过程，下列说法正确的有( )
A．重力做的功为360 J
B．克服阻力做的功为440 J
C．经过Q点时向心加速度大小为9 m/s2
D．经过Q点时对轨道的压力大小为380 N
解析：选BCD 重力做的功为WG＝mgh＝800 J，A错误；下滑过程根据动能定理可得WG－Wf＝mvQ2，代入数据解得，克服阻力做的功为Wf＝440 J，B正确；经过Q点时向心加速度大小为a＝＝9 m/s2，C正确；经过Q点时，根据牛顿第二定律可得F－mg＝ma，解得货物受到的支持力大小为F＝380 N，根据牛顿第三定律可知，货物对轨道的压力大小为380 N，D正确。
2.(2024·广州高一调研)如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体。电梯在钢索的拉力作用下竖直向上做加速运动，当电梯的速度由v1增加到v2时，上升高度为H，重力加速度为g，物体始终与电梯保持相对静止，则在这个过程中，下列结论正确的是( )
A．对物体，动能定理的表达式为WN＝mv22，其中WN为支持力做的功
B．对物体，动能定理的表达式为W合＝0，其中W合为合力做的功
C．对物体，动能定理的表达式为WN－mgH＝mv22－mv12
D．对电梯，其所受合力做功为Mv22－Mv12－mgH
解析：选C 物体受重力和支持力作用，根据动能定理得WN－mgH＝mv22－mv12，故C正确，A、B错误；对电梯，所受合力做功等于电梯动能的变化量，故D错误。
3.如图所示是公路上的“避险车道”，车道表面是粗糙的碎石，其作用是供下坡的汽车在刹车失灵的情况下避险。质量m＝2.0×103 kg的汽车沿下坡行驶，当驾驶员发现刹车失灵的同时发动机失去动力，此时速度表示数v1＝36 km/h，汽车继续沿下坡匀加速直行l＝350 m、下降高度h＝50 m时到达“避险车道”，此时速度表示数v2＝72 km/h。(g取10 m/s2)
(1)求从发现刹车失灵至到达“避险车道”这一过程汽车动能的变化量；
(2)求汽车在下坡过程中所受的阻力；
(3)若“避险车道”与水平面间的夹角为17°，汽车在“避险车道”受到的阻力是在下坡公路上的3倍，求汽车在“避险车道”上运动的最大位移(sin 17°≈0.3)。
解析：(1)汽车速度v1＝36 km/h＝10 m/s，
v2＝72 km/h＝20 m/s。
由ΔEk＝mv22－mv12，得ΔEk＝3.0×105 J。
(2)由动能定理mgh－Ffl＝mv22－mv12
得Ff＝＝2.0×103 N。
(3)设汽车在“避险车道”上运动的最大位移是x，由动能定理－(mgsin 17°＋3Ff)x＝0－mv22
得x＝≈33.3 m。
答案：(1)3.0×105 J (2)2.0×103 N (3)33.3 m
[课时跟踪检测]
组—重基础·体现综合
1． (多选)关于物体的动能，下列说法不正确的是( )
A．质量相同的物体，速度大的动能一定大
B．动能相同的物体，质量相同时速度一定相同
C．质量不变的物体，速度变化，动能一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
解析：选BCD 根据Ek＝mv2知，质量相同的物体，速度大的动能一定大，故A正确；动能相同的物体，质量相同时速度大小一定相同，但方向可能不同，故速度可能不同，故B错误；质量不变的物体，速度变化，可能只是速度的方向发生变化，所以动能不一定变化，故C错误；动能不变的物体，不一定处于平衡状态，如匀速圆周运动，故D错误。
2．手提物体上升的过程中，拉力对物体做的功为6 J，物体克服重力做的功为4 J。不计空气阻力，此过程中物体的动能( )
A．增加10 J B．减小6 J
C．增加2 J D．减小4 J
解析：选C 根据动能定理得ΔEk＝W＋WG＝6 J＋(－4) J＝2 J，故物体的动能增加2 J，C正确。
3．如图所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
A.mgR B.mgR
C.mgR D.mgR
解析：选C 质点经过Q点时，由重力和轨道支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得FN－mg＝m，由题意知FN＝2mg，可得vQ＝，质点自P滑到Q的过程中，由动能定理得mgR－Wf＝mvQ2，克服摩擦力所做的功为Wf＝mgR，故C正确。
4．(多选)甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F分别拉它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s。如图所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，则下列关于力F对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是( )
A．力F对甲物体做功多
B．力F对甲、乙两个物体做的功一样多
C．甲物体获得的动能比乙大
D．甲、乙两个物体获得的动能相同
解析：选BC 由功的公式W＝Flcos α＝Fs可知，两种情况下力F对甲、乙两个物体做的功一样多，故A错误，B正确；根据动能定理，对甲有Fs＝Ek1，对乙有Fs－Ffs＝Ek2，可知Ek1＞Ek2，即甲物体获得的动能比乙大，故C正确，D错误。
5．将距离沙坑表面上方1 m高处质量为0.2 kg的小球由静止释放，测得小球落入沙坑静止时距离沙坑表面的深度为10 cm。若忽略空气阻力，g取10 m/s2，则小球克服沙坑的阻力所做的功为( )
A．0.4 J B．2 J
C．2.2 J D．4 J
解析：选C 由动能定理得mg(h＋d)－Wf＝0，小球克服沙坑的阻力所做的功为Wf＝2.2 J，故C正确，A、B、D错误。
6．如图所示，小球以初速度v0从A点沿粗糙的轨道运动到高为h的B点后沿原路返回，其返回途中仍经过A点，则经过A点的速度大小为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 在从A到B的过程中，重力和摩擦力都做负功，根据动能定理可得－mgh－Wf＝0－mv02，从B到A的过程中，重力做正功，摩擦力做负功(因为是沿原路返回，所以两种情况摩擦力做功大小相等)，根据动能定理可得mgh－Wf＝mv2，两式联立得再次经过A点的速度大小为，故B正确。
7．某同学参加学校运动会立定跳远项目比赛，起跳直至着地过程如图所示，测量得到比赛成绩是2.4 m，目测空中脚离地最大高度约0.8 m，忽略空气阻力，则起跳过程该同学所做功大约为( )
A．625 J B．250 J
C．50 J D．2 500 J
解析：选A 该同学做抛体运动，从起跳到达到最大高度的过程中，竖直方向做加速度为g的匀减速直线运动，
则t＝ ＝ s＝0.4 s，
竖直方向初速度vy＝gt＝4 m/s，
水平方向做匀速直线运动，则
v0＝＝ m/s＝3 m/s，
起跳时的速度
v＝＝ m/s＝5 m/s，
设该同学的质量为50 kg，
根据动能定理得W＝mv2＝625 J，故A正确。
8．(2025·深圳高一期末)某游戏项目中，挑战者小明需要利用绳子荡过水坑，如图所示。两次游戏中小明分别抓住绳子的A点和B点，并随绳子做圆周运动。两次抓住绳子瞬间速度方向均水平，且大小相等。视小明为质点，比较他抓住A点和抓住B点时，抓住A点( )
A．对绳子的拉力较大 B．角速度较大
C．向心加速度较小 D．最终能荡到更大的高度
解析：选C 小明从最低点以大小相等的速度v做圆周运动，由牛顿第二定律可知T＝mg＋m，圆周运动在最低点的角速度为ω＝，向心加速度为an＝，抓住A点时的半径l较大，则绳子的拉力较小，角速度较小，向心加速度较小，故A、B错误，C正确；设荡起的最大高度为h，由动能定理可知－mgh＝0－mv2，可得h＝，则无论抓住A点或B点，最终能荡起的最大高度相同，故D错误。
9.如图所示，物体在离斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑上与斜面平滑连接的水平面，若物体与斜面及水平面间的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°。求物体能在水平面上滑行的距离。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
解析：对物体在斜面上和水平面上受力进行分析如图所示。
法一 分过程列方程：
设物体滑到斜面底端时的速度为v，物体下滑阶段FN1＝mgcos 37°，
故Ff1＝μFN1＝μmgcos 37°。
由动能定理得
mgsin 37°·l1－μmgcos 37°·l1＝mv2－0
设物体在水平面上滑行的距离为l2，
摩擦力Ff2＝μFN2＝μmg，
由动能定理得－μmg·l2＝0－mv2，
由以上各式可得l2＝3.5 m。
法二 全过程列方程：
mgl1sin 37°－μmgcos 37°·l1－μmg·l2＝0，
解得：l2＝3.5 m。
答案：3.5 m
组—重应用·体现创新
10．(2024·贵州高考)质量为1 kg 的物块静置于光滑水平地面上，设物块静止时的位置为x轴零点。现给物块施加一沿x轴正方向的水平力F，其大小随位置x变化的关系如图所示，则物块运动到x＝3 m处，F做功的瞬时功率为( )
A．8 W B．16 W
C．24 W D．36 W
解析：选A 根据图像可知物块运动到x＝3 m处，F做的总功为WF＝3×2 J＋2×1 J＝8 J，该过程根据动能定理得WF＝mv2，解得物块运动到x＝3 m 处时的速度为v＝4 m/s，故此时F做功的瞬时功率为P＝Fv＝8 W。故选A。
11．(多选)物体沿直线运动的v-t图像如图所示，已知在第1 s内合力对物体做的功为W，则( )
A．从第1 s末到第3 s末合力做的功为4W
B．从第3 s末到第5 s末合力做功为－2W
C．从第5 s末到第7 s末合力做的功为W
D．从第3 s末到第4 s末合力做的功为－0.75W
解析：选CD 物体在第1 s末到第3 s末做匀速直线运动，合力为0，合力做功为0，故A错误。从第3 s末到第5 s末动能的变化量与第1 s内动能的变化量相反，合力的功相反，等于－W，故B错误。从第5 s末到第7 s末动能的变化量与第1 s内动能的变化量相同，合力做功相同，即为W，故C正确。从第3 s末到第4 s末动能变化量是负值，大小等于第1 s内动能的变化量的，则合力做功为－0.75W，故D正确。
12.如图所示为一滑梯的实物图，滑梯的斜面段长度L＝5.0 m，高度h＝3.0 m，为保证小朋友的安全，在水平面铺设安全地垫。水平段与斜面段平滑连接，小朋友在连接处速度大小不变。某小朋友从滑梯顶端由静止开始滑下，经斜面底端后水平滑行一段距离，停在水平地垫上。已知小朋友质
量为m＝20 kg，小朋友在斜面上受到的平均阻力f1＝88 N，在水平段受到的平均阻力f2＝100 N。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)小朋友在斜面滑下的过程中克服摩擦力做的功；
(2)小朋友滑到斜面底端时的速度v的大小；
(3)为使小朋友不滑出水平地垫，地垫的长度x至少多长。
解析：(1)小朋友在斜面滑下的过程中克服摩擦力做的功为Wf1＝f1L＝88×5 J＝440 J。
(2)小朋友在斜面上运动的过程，由动能定理得
mgh－Wf1＝mv2，
代入数据解得v＝4 m/s。
(3)小朋友在水平地垫上运动的过程，由动能定理得
－f2x＝0－mv2，
代入数据解得x＝1.6 m。
答案：(1)440 J (2)4 m/s (3)1.6 m
7 / 7人教版物理必修第二册
第八章｜ 机械能守恒定律
第3节 动能和动能定理
核心素养点击
物理观念 (1)知道动能的定义和表达式。 (2)知道动能定理的内容和表达式。
科学思维 正确理解动能定理，知道动能定理的适用条件，会用动能定理进行分析和计算。
科学探究 领悟应用功的表达式、牛顿第二定律和运动学公式推导动能定理的过程。
科学态度与责任 能用动能定理解释生产和生活中的现象或解决实际问题，提高理论与实践相结合的能力。
1．填一填
(1)定义：物体由于 而具有的能量。
(2)表达式：Ek＝mv2。
(3)单位：与功的单位相同，国际单位为 。1 J＝1 kg·m2·s－2。
(4)特点：
①具有瞬时性，是 。
②具有相对性，选取不同的参考系，同一物体的动能一般不同，通常是指物体相对于
的动能。
③是 ，没有方向，也没有负值。
2．判断
(1)速度大的物体，动能一定大。( )
(2)物体的动能由质量和速度两个因素决定。( )
(3)质量一定的物体，其动能与速度成正比。( )
(4)动能只有大小，没有方向；只有正值，没有负值。( )
1．填一填
(1)动能定理的推导
设某物体的质量为m，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生一段位移l，速度由v1增加到v2(如图)。
在这个过程中，恒力F做的功W＝Fl，
由牛顿第二定律得F＝ma。
由运动学公式可得l＝，
将F、l表达式代入W＝Fl中可得
W＝mv22－mv12。
(2)动能定理的内容
力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中 。
(3)动能定理的表达式
①W＝mv22－mv12。
②W＝ 。
说明：式中W为 ，它等于各力做功的 。
(4)动能定理的适用范围
不仅适用于 做功和 运动，也适用于 做功和 运动情况。
2．判断
(1)合外力做功不等于0，物体的动能一定变化。( )
(2)物体的速度发生变化，合外力做功一定不等于0。( )
(3)物体的动能增加，合外力做正功。( )
(4)动能定理只适用于恒力做功和直线运动。( )
主题探究 一 动能和动能定理的理解
【重难释解】
1．动能的理解
(1)是状态量：与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应。
(2)是标量：只有大小，没有方向；只有正值，没有负值。
(3)具有相对性：选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。
(4)动能与速度的三种关系
数值关系 Ek＝mv2，同一物体，速度v越大，动能Ek越大
瞬时关系 动能和速度均为状态量，二者具有瞬时对应关系
变化关系 当动能发生变化时，物体的速度(大小)一定发生变化；当速度发生变化时，物体的动能可能不变
2.对动能定理的理解
(1)表达式W＝ΔEk中的W为合外力对物体做的总功。
(2)动能定理描述了做功和动能的变化的两种关系。
①等值关系：物体动能的变化等于合力对它做的功。
②因果关系：合力对物体做的功决定了物体动能的变化。
下列关于运动物体的合外力做功和动能、速度变化的关系，正确的是( )
A．物体做变速运动，合外力一定不为0，动能一定变化
B．若合外力对物体做功为0，则合外力一定为0
C．物体的合外力做功，它的速度大小一定发生变化
D．物体的动能不变，所受的合外力必定为0
【素养训练】
1．下面有关动能的说法中正确的是( )
A．物体只有做匀速运动时，动能才不变
B．物体做平抛运动时，水平方向速度不变，动能不变
C．物体做自由落体运动时，速度逐渐变大，物体的动能增加
D．物体的动能变化时，速度不一定变化，速度变化时，动能一定变化
2．(2025·云南高考)如图所示，中老铁路国际旅客列车从云南某车站由静止出发，沿水平直轨道逐渐加速到144 km/h，在此过程中列车对座椅上的一高中生所做的功最接近( )
A．4×105 J B．4×104 J
C．4×103 J D．4×102 J
3．(多选)如图所示，质量为m的小车在水平恒力F的推动下，从山坡(粗糙)底部A处由静止开始运动至高为h的坡顶B，获得的速度为v，A、B之间的水平距离为x，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．小车克服重力所做的功是mgh
B．合外力对小车做的功是mv2
C．推力对小车做的功是mv2＋mgh
D．阻力对小车做的功是mv2＋mgh－Fx
【重难释解】
1．应用动能定理解题的基本思路
2．动能定理与牛顿运动定律的比较
比较内容 牛顿运动定律 动能定理
适用条件 只能研究物体在恒力作用下做直线运动的情况 对于物体在恒力或变力作用下做直线运动或曲线运动均适用
应用方法 要考虑运动过程的每一个细节 只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法 矢量运算 代数运算
相同点 确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
结论 应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错
为了交通安全，在公路上行驶的汽车应保持必要的间距。已知某高速公路的最高限速vmax＝120 km/h，假设前车突然停止，后车司机从发现情况到进行制动操作，汽车通过的位移s′＝17 m，制动时汽车所受的阻力为汽车所受重力的，则该高速公路上汽车间的安全距离至少应为多大？(g取10 m/s2)
【素养训练】
4．(多选)A、B两物体在光滑水平面上，分别在相同的水平恒力F作用下，由静止开始通过相同的位移l。若A的质量大于B的质量，则在这一过程中( )
A．A获得的动能较大
B．B获得的动能较大
C．A、B获得的动能一样大
D．A的末速度小于B获得的末速度
5．(2024·安徽高考)某同学参加户外拓展活动，遵照安全规范，坐在滑板上，从高为h的粗糙斜坡顶端由静止下滑，至底端时速度为v。已知人与滑板的总质量为m，可视为质点。重力加速度大小为g，不计空气阻力。则此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为( )
A．mgh B.mv2
C．mgh＋mv2 D．mgh－mv2
6．(2025·福建高考)如图甲，水平地面上有A、B两个物块，两物块质量均为0.2 kg，A与地面间的动摩擦因数为μ＝0.25，B与地面无摩擦，两物块在外力F的作用下向右前进，F与位移x的图像如图乙所示，P为圆弧最低点，M为最高点，水平地面长度大于4 m，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)0～1 m，F做的功；
(2)x＝1 m时，A与B之间的弹力；
(3)要保证B能到达M点，圆弧半径r满足的条件。
一、培养创新意识和创新思维
探究恒力做功与动能改变的关系
要研究恒力做功与动能改变的关系，需要测出作用于物体的力、物体的位移，以及物体的质量和速度，求出恒力所做的功和物体的动能，然后进行比较。
用打点计时器测小车的位移和速度，用天平测小车的质量，用钩码给小车提供作用力。此实验的装置与“探究加速度与力、质量的关系”的实验装置基本相同。思考实验中如何平衡摩擦力？如何让小车所受的合力近似等于钩码的重力？
如图所示，用细线通过定滑轮连接小车与钩码，纸带通过打点计时器与小车相连。实验中，通过改变钩码数量来改变小车所受拉力的大小，测出需要测的物理量。
将钩码的重力视为小车受到的拉力，g＝9.80 m/s2，利用W＝mgΔx算出拉力对小车做的功W。利用Ek＝Mv2算出小车动能，并求出动能的变化量ΔEk。计算结果见下表。
W/(×10－3 J) 2.45 2.92 3.35 3.81 4.26
ΔEk/(×10－3 J) 2.36 2.83 3.22 3.65 4.10
比较W和ΔEk的大小关系，可以得出什么结论？
提示：挂钩码前，调节木板左侧的高度，直至向右轻推小车，小车做匀速运动时，就平衡了小车的摩擦力。要使小车所受的合力近似等于钩码的重力，小车的质量应远大于钩码的质量。
从表中数据可以看出，在误差范围内拉力对小车所做的功等于小车动能的增量。
二、注重学以致用和思维建模
1．(多选)人们用滑道从高处向低处运送货物。如图所示，可看作质点的货物从圆弧滑道顶端P点静止释放，沿滑道运动到圆弧末端Q点时速度大小为6 m/s。已知货物质量为20 kg，滑道高度h为4 m，且过Q点的切线水平，重力加速度取10 m/s2。关于货物从P点运动到Q点的过程，下列说法正确的有( )
A．重力做的功为360 J
B．克服阻力做的功为440 J
C．经过Q点时向心加速度大小为9 m/s2
D．经过Q点时对轨道的压力大小为380 N
2.(2024·广州高一调研)如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体。电梯在钢索的拉力作用下竖直向上做加速运动，当电梯的速度由v1增加到v2时，上升高度为H，重力加速度为g，物体始终与电梯保持相对静止，则在这个过程中，下列结论正确的是( )
A．对物体，动能定理的表达式为WN＝mv22，其中WN为支持力做的功
B．对物体，动能定理的表达式为W合＝0，其中W合为合力做的功
C．对物体，动能定理的表达式为WN－mgH＝mv22－mv12
D．对电梯，其所受合力做功为Mv22－Mv12－mgH
3.如图所示是公路上的“避险车道”，车道表面是粗糙的碎石，其作用是供下坡的汽车在刹车失灵的情况下避险。质量m＝2.0×103 kg的汽车沿下坡行驶，当驾驶员发现刹车失灵的同时发动机失去动力，此时速度表示数v1＝36 km/h，汽车继续沿下坡匀加速直行l＝350 m、下降高度h＝50 m时到达“避险车道”，此时速度表示数v2＝72 km/h。(g取10 m/s2)
(1)求从发现刹车失灵至到达“避险车道”这一过程汽车动能的变化量；
(2)求汽车在下坡过程中所受的阻力；
(3)若“避险车道”与水平面间的夹角为17°，汽车在“避险车道”受到的阻力是在下坡公路上的3倍，求汽车在“避险车道”上运动的最大位移(sin 17°≈0.3)。
[课时跟踪检测]
组—重基础·体现综合
1． (多选)关于物体的动能，下列说法不正确的是( )
A．质量相同的物体，速度大的动能一定大
B．动能相同的物体，质量相同时速度一定相同
C．质量不变的物体，速度变化，动能一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
2．手提物体上升的过程中，拉力对物体做的功为6 J，物体克服重力做的功为4 J。不计空气阻力，此过程中物体的动能( )
A．增加10 J B．减小6 J
C．增加2 J D．减小4 J
3．如图所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
A.mgR B.mgR
C.mgR D.mgR
4．(多选)甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F分别拉它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s。如图所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，则下列关于力F对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是( )
A．力F对甲物体做功多
B．力F对甲、乙两个物体做的功一样多
C．甲物体获得的动能比乙大
D．甲、乙两个物体获得的动能相同
5．将距离沙坑表面上方1 m高处质量为0.2 kg的小球由静止释放，测得小球落入沙坑静止时距离沙坑表面的深度为10 cm。若忽略空气阻力，g取10 m/s2，则小球克服沙坑的阻力所做的功为( )
A．0.4 J B．2 J
C．2.2 J D．4 J
6．如图所示，小球以初速度v0从A点沿粗糙的轨道运动到高为h的B点后沿原路返回，其返回途中仍经过A点，则经过A点的速度大小为( )
A. B.
C. D.
7．某同学参加学校运动会立定跳远项目比赛，起跳直至着地过程如图所示，测量得到比赛成绩是2.4 m，目测空中脚离地最大高度约0.8 m，忽略空气阻力，则起跳过程该同学所做功大约为( )
A．625 J B．250 J
C．50 J D．2 500 J
8．(2025·深圳高一期末)某游戏项目中，挑战者小明需要利用绳子荡过水坑，如图所示。两次游戏中小明分别抓住绳子的A点和B点，并随绳子做圆周运动。两次抓住绳子瞬间速度方向均水平，且大小相等。视小明为质点，比较他抓住A点和抓住B点时，抓住A点( )
A．对绳子的拉力较大 B．角速度较大
C．向心加速度较小 D．最终能荡到更大的高度
9.如图所示，物体在离斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑上与斜面平滑连接的水平面，若物体与斜面及水平面间的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°。求物体能在水平面上滑行的距离。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
组—重应用·体现创新
10．(2024·贵州高考)质量为1 kg 的物块静置于光滑水平地面上，设物块静止时的位置为x轴零点。现给物块施加一沿x轴正方向的水平力F，其大小随位置x变化的关系如图所示，则物块运动到x＝3 m处，F做功的瞬时功率为( )
A．8 W B．16 W
C．24 W D．36 W
11．(多选)物体沿直线运动的v-t图像如图所示，已知在第1 s内合力对物体做的功为W，则( )
A．从第1 s末到第3 s末合力做的功为4W
B．从第3 s末到第5 s末合力做功为－2W
C．从第5 s末到第7 s末合力做的功为W
D．从第3 s末到第4 s末合力做的功为－0.75W
12.如图所示为一滑梯的实物图，滑梯的斜面段长度L＝5.0 m，高度h＝3.0 m，为保证小朋友的安全，在水平面铺设安全地垫。水平段与斜面段平滑连接，小朋友在连接处速度大小不变。某小朋友从滑梯顶端由静止开始滑下，经斜面底端后水平滑行一段距离，停在水平地垫上。已知小朋友质
量为m＝20 kg，小朋友在斜面上受到的平均阻力f1＝88 N，在水平段受到的平均阻力f2＝100 N。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)小朋友在斜面滑下的过程中克服摩擦力做的功；
(2)小朋友滑到斜面底端时的速度v的大小；
(3)为使小朋友不滑出水平地垫，地垫的长度x至少多长。
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