第八章｜ 机械能守恒定律
第4节 机械能守恒定律
核心素养点击
物理观念 (1)知道什么是机械能，理解物体动能和势能的相互转化。
(2)通过机械能守恒定律的学习， 初步建立能量观念、体会守恒思想。
(3)知道机械能守恒定律的内容和守恒条件。
科学思维 (1)会分析机械能守恒的条件，在具体实例中分析动能与势能(包括弹性势能)之间的相互转化。
(2)理解机械能守恒定律的推导过程。
(3)会从做功和能量转化的角度判断机械能是否守恒，能应用机械能守恒定律解决有关问题。
科学态度与责任 (1)通过对机械能守恒定律的验证，能认识科学规律的建立需要实验证据的检验。 (2)能认识机械能守恒定律对日常生活的影响。
1．填一填
(1)追寻守恒量
伽利略的斜面实验(如图所示)
①过程：将小球由斜面A上某位置由静止释放，小球运动到斜面B上。
②现象：如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球在斜面B上速度变为0(即到达最高点)时的高度与它出发时的高度相同。
③结论：这一事实说明某个量是守恒的，在物理学上我们把这个量叫作能量或者能。
(2)动能与势能的相互转化
①动能与重力势能间的转化：只有重力做功时，若重力做正功，则重力势能转化为动能；若重力做负功，则动能转化为重力势能。
②动能与弹性势能间的转化：只有弹簧的弹力做功时，若弹力做正功，则弹性势能转化为动能；若弹力做负功，则动能转化为弹性势能。
③机械能：动能、重力势能和弹性势能统称为机械能，在重力或弹力做功时，不同形式的机械能可以发生相互转化。
2．判断
(1)伽利略通过斜面实验得出了机械能守恒的结论。(×)
(2)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转化。(√)
(3)物体的机械能一定是正值。(×)
1．填一填
(1)推导：如图所示，物体沿光滑曲面滑下。物体在某一时刻处在高度为h1的位置A，这时它的速度是v1。经过一段时间后，物体下落到高度为h2的另一位置B，这时它的速度是v2。用W表示这一过程中重力做的功，由动能定理可得W＝mv22－mv12，
又W＝mgh1－mgh2
可得mgh1－mgh2＝mv22－mv12，
移项后得mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1，即物体末状态动能与势能之和等于物体初状态动能与势能之和。
(2)内容：
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
(3)守恒条件：
物体系统内只有重力或弹力做功。
(4)表达式：
①mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1。
②Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。
2．判断
(1)通过重力或弹力做功，机械能可以转化为非机械能。(×)
(2)合力为0，物体的机械能一定守恒。(×)
(3)合力做功为0，物体的机械能一定守恒。(×)
(4)物体自由下落时，物体的机械能一定守恒。(√)
主题探究 一 机械能守恒条件的理解与判断
【重难释解】
1．机械能守恒条件的理解
(1)守恒条件：只有重力或系统内弹力做功。
(2)理解：
①只受重力作用，系统的机械能守恒。例如所有做抛体运动的物体。
②系统内只有重力和弹力作用，系统的机械能守恒。例如：
a．如图甲所示，小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力，则只有重力做功，小球的机械能守恒。
b．如图乙所示，各接触面光滑，A自B上端自由下滑的过程中，只有重力和A、B间的弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒。但对A来说，B对A的弹力做负功，这个力对A来说是外力，A的机械能不守恒。
c．如图丙所示，不计空气阻力，球在下落过程中，只有重力和弹簧的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒。但对球来说，其机械能不守恒。
③除重力和弹力之外，还有其他力做功，但其他力做功的总和为0，系统机械能没有转化为其他形式的能，物体的机械能不变。
2．机械能守恒的判断方法
(1)通过做功来判断——常用于单个物体
分析物体或系统受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为0，则机械能守恒。
(2)通过能量转化来判断——常用于多个物体组成的系统
若系统中只有动能和势能的相互转化，无机械能与其他形式的能的相互转化，则系统的机械能守恒。
(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．图甲中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒
B．图乙中，物块B在大小等于摩擦力的拉力下沿斜面下滑时，物块B机械能守恒
C．图丙中，不计任何阻力时，物体A加速下落，物体B加速上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．图丁中，小球沿水平面做速度大小不变的圆锥摆运动时，小球机械能守恒
[解析] 甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，故A错误；乙图中物块B除受重力外，还受支持力、拉力、摩擦力，但当拉力与摩擦力大小相等时，除重力之外的三个力做功的代数和为0，故物块B机械能守恒，故B正确；丙图中绳子的张力对A做负功，对B做正功，两者代数和为0，又不计任何阻力，故A、B组成的系统机械能守恒，故C正确；丁图中小球的动能不变，势能不变，故机械能守恒，故D正确。
[答案] BCD
判断机械能守恒的三点提醒
(1)合力为0是物体处于平衡状态的条件。物体的合力为0时，它一定处于匀速运动状态或静止状态，但它的机械能不一定守恒。
(2)合力做功为0是物体动能不变的条件。合力对物体不做功，它的动能一定不变，但它的机械能不一定守恒。
(3)只有重力做功或系统内弹力做功是机械能守恒的条件。只有重力对物体做功时，物体的机械能一定守恒；只有重力或系统内弹力做功时，系统的机械能一定守恒。
【素养训练】
1．关于下面图中，下列说法中正确的是( )
A．图甲中“蛟龙号”载人潜水器被吊车吊下水的过程中它的机械能守恒
B．图乙中火车在匀速转弯时动能不变，故所受合外力为0
C．图丙中握力器在手的压力作用下弹性势能增加了
D．图丁中撑竿跳高运动员在上升过程中机械能守恒
解析：选C 图甲中“蛟龙号”载人潜水器被吊车吊下水的过程，钢绳对它做负功，机械能不守恒，故A错误；图乙中火车在匀速转弯时做匀速圆周运动，所受的合外力指向圆心且不为0，故B错误；图丙中握力器在手的压力下形变增大，弹性势能增大，故C正确；图丁中撑竿跳高运动员在上升过程中撑竿的弹性势能转化为运动员的机械能，运动员的机械能不守恒，故D错误。
2．(2024·重庆高考)2024年5月3日，嫦娥六号探测器成功发射，开启月球背面采样之旅，探测器的着陆器上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程中( )
A．减速阶段所受合外力为0
B．悬停阶段不受力
C．自由下落阶段机械能守恒
D．自由下落阶段加速度大小g＝9.8 m/s2
解析：选C 组合体在减速阶段有加速度，合外力不为0，故A错误；组合体在悬停阶段加速度为0，处于平衡状态，合外力为0，但仍受重力和向上的力，故B错误；组合体在自由下落阶段只受重力，机械能守恒，故C正确；月球表面重力加速度不为9.8 m/s2，故D错误。
3．光滑水平面上有A、B两木块，A、B之间用一轻弹簧拴接，A靠在墙壁上，用力F向左推B使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状态，若突然撤去力F，则下列说法中正确的是( )
A．木块A离开墙壁前，A、B组成的系统机械能守恒
B．木块A离开墙壁后，A、B组成的系统机械能守恒
C．木块A离开墙壁前，A、B及弹簧组成的系统机械能守恒
D．木块A离开墙壁后，A、B及弹簧组成的系统机械能不守恒
解析：选C 木块A离开墙壁前，弹簧的弹力对B做功，则A、B组成的系统机械能不守恒，但是A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，A错误，C正确；木块A离开墙壁后，弹簧的弹力对A、B都做功，则A、B组成的系统机械能不守恒，但是A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，B、D错误。
【重难释解】
1．机械能守恒定律的不同表达式
机械能守恒定律 表达式 物理意义
从不同状态看 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化角度看 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 动能的增加量等于势能的减少量
从转移角度看 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
2．应用机械能守恒定律的基本思路
荡秋千是一种常见的娱乐休闲活动(如图)。若秋千绳的长度l＝2 m，荡到最高点时秋千绳与竖直方向的夹角θ＝60°。重力加速度g＝9.8 m/s2，求荡到最低点时秋千的速度大小。(忽略阻力及秋千绳的质量，且人在秋千上的姿势可视为不变)
[解析] 以人和秋千座椅组成的系统为研究对象并将其视为质点，受力分析如图所示。选择秋千在最低位置时的水平面为零势能参考平面。设秋千荡到最高点A处为初状态，在最低点B处为末状态。已知l＝2 m，θ＝60°。
初动能Ek1＝0，此时重力势能Ep1＝mgl(1－cos θ)。末动能Ek2＝mv2，此时重力势能Ep2＝0。
根据机械能守恒定律有Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1，
即mv2＝mgl(1－cos θ)，
v＝
＝ m/s
≈4.4 m/s。
[答案] 4.4 m/s
[讨论] 在现实中，若人在荡秋千时姿势不变，则秋千将逐渐停下来，这是有阻力的缘故。因此，人荡秋千时，只有在保持姿势不变且忽略阻力的情况下，其机械能才守恒。为什么有的人可以越荡越高，他是怎么做到的呢？请分析原因。
提示：人荡秋千时越荡越高，是在荡秋千的过程中，人通过做一些合适的动作做功，将人体内的化学能转化为人和秋千的机械能的缘故。
[迁移] 下列问题能否运用牛顿运动定律或机械能守恒定律解答？请试一试。
如图所示，假设运动员从雪道的最高点A由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑的雪道到达跳台的B点时，速度为多少？当他落到离B点竖直高度为10 m的雪地C点时，速度又是多少？(假设这一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦力和空气阻力，重力加速度g取10 m/s2)
解析：忽略摩擦力和空气阻力作用，且在这一过程中运动员没有做其他动作，则运动员由A点到B点和由B点到C点的过程中，机械能均守恒，
由mghA－mghB＝mvB2，可得vB＝4 m/s，
由mghBC＝mvC2－mvB2，
可得vC＝2 m/s。
答案：4 m/s 2 m/s[迁移·发散]
【素养训练】
4．(2025·全国卷)如图所示，撑杆跳高运动中，运动员经过助跑、撑杆起跳，最终越过横杆。若运动员起跳前助跑速度为10 m/s，则理论上运动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度为(重力加速度取10 m/s2)( )
A．4 m B．5 m
C．6 m D．7 m
解析：选B 在理论上，当运动员在最高点速度为零时，重心提升高度最大，根据机械能守恒定律有mv2＝mgh，可得其理论的最大高度h＝5 m，故选B。
5.如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则下列选项错误的是( )
A．物体落到海平面时的势能为mgh
B．重力对物体做的功为mgh
C．物体在海平面上的动能为mv02＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为mv02
解析：选A 若以地面为参考平面，物体落到海平面时的势能为－mgh，故A错误；此过程重力做正功，做功的数值为mgh，故B正确；不计空气阻力，只有重力做功，所以机械能守恒，有mv02＝－mgh＋Ek，在海平面上的动能为Ek＝mv02＋mgh ，故C正确；在地面处的机械能为mv02，因此在海平面上的机械能也为mv02，故D正确。
6．滑板运动是一种陆地上的“冲浪运动”，滑板运动员可在不同的滑坡上滑行。如图所示，a、b、c、d、e为同一竖直平面内依次平滑连接的滑行轨道，其中bcd是一段半径R＝2.5 m的圆弧轨道，O点为圆心，c点为圆弧的最低点。运动员脚踩滑板从高H＝3 m处由静止出发，沿轨道自由滑下。运动员连同滑板可视为质点，其总质量m＝60 kg。忽略摩擦阻力和空气阻力，g取10 m/s2，求运动员滑经c点时轨道对滑板的支持力的大小。
解析：运动员从开始滑下至c点，由机械能守恒定律得mgH＝mv2①
运动员滑至最低点时，由牛顿运动定律和向心力公式得FN－mg＝m②
由①②得FN＝mg＝2 040 N。
答案：2 040 N
一、培养创新意识和创新思维
跳水运动员跳水过程中能量的转化
跳水运动员在弹离跳板后，先上升到一定的高度，在空中完成一系列复杂而优美的动作后入水。请你分析一下，从运动员起跳到入水的全过程中，有哪些能量发生了相互转化。说出你的判断依据，并与同学讨论交流。
提示：(1)跳水运动员在走板和起跳时要先使跳板上下振动，此过程运动员将身体储存的化学能转化为跳板的弹性势能。
(2)然后跳板的弹性势能转化为运动员身体起跳的动能，运动员离开跳板上升的过程中，动能逐渐转化为重力势能。
(3)当运动员到达最高点下降时，重力势能逐渐转化为动能。
(4)运动员入水后，受水的阻力作用，运动员的重力势能和动能都减少，转化为水和运动员的内能等。
二、注重学以致用和思维建模
1．铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是( )
解析：选D 由于不计空气阻力，铅球被水平推出后只受重力作用，加速度等于重力加速度，不随时间改变，故A错误；铅球被水平推出后做平抛运动，竖直方向有vy＝gt，则被水平推出后速度大小为v＝，可知速度大小与时间不是一次函数关系，故B错误；铅球被水平推出后的动能Ek＝mv2＝m，可知动能与时间不是一次函数关系，故C错误；由于忽略空气阻力，所以被水平推出后铅球机械能守恒，故D正确。
2．滑雪运动深受人民群众喜爱。某滑雪运动员(可视为质点)由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB，从滑道的A点滑行到最低点B的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿AB下滑过程中( )
A．所受合外力始终为0 B．所受摩擦力大小不变
C．合外力做功一定为0 D．机械能始终保持不变
解析：选C 运动员从A点滑到B点的过程做匀速圆周运动，合外力指向圆心，不做功，故A错误，C正确。
如图所示，沿圆弧切线方向运动员受到的合力为0，即Ff＝mgsin α，下滑过程中α减小，sin α变小，故摩擦力Ff变小，故B错误。运动员下滑过程中动能不变，重力势能减小，则机械能减小，故D错误。
3.质量为25 kg的小孩坐在秋千板上，小孩重心离拴绳子的横梁距离为2.5 m，如果秋千摆到最高点时，绳子与竖直方向的夹角是60°，秋千板摆到最低点时，忽略手与绳间的作用力，求小孩对秋千板的压力大小。(不计空气阻力，g取10 m/s2)
解析：秋千摆到最低点过程中，只有重力做功，机械能守恒，则mgl(1－cos 60°)＝mv2①
在最低点时，设秋千板对小孩的支持力为FN，由牛顿第二定律得FN－mg＝m②
解得FN＝2mg＝2×25×10 N＝500 N，
由牛顿第三定律得小孩对秋千板的压力大小为500 N。
答案：500 N
[课时跟踪检测]
A组—重基础·体现综合
1．如图所示的各种运动过程中，物体机械能守恒的是(忽略空气阻力)( )
A．将箭搭在弦上，拉弓的整个过程
B．过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程
C．在一根细线的中央悬挂着一个物体，双手保持高度不变拉着细线慢慢分开的过程
D．手握内有弹簧的圆珠笔，笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程
解析：选D 将箭搭在弦上，拉弓的整个过程中，拉力对弓箭做功，机械能不守恒，故A错误；过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程，动能不变，重力势能变大，机械能不守恒，故B错误；在一根细线的中央悬挂着一个物体，双手保持高度不变拉着细线慢慢分开的过程，动能不变，重力势能增大，机械能不守恒，故C错误；笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程中，只有重力和弹簧弹力做功，机械能守恒，故D正确。
2.(多选)竖直放置的轻弹簧下连接一个小球，用手托起小球，使弹簧处于压缩状态，如图所示。则迅速放手后(不计空气阻力)( )
A．放手瞬间小球的加速度等于重力加速度
B．小球与弹簧与地球组成的系统机械能守恒
C．小球的机械能守恒
D．小球向下运动过程中，小球动能与弹簧弹性势能之和不断增大
解析：选BD 放手瞬间小球加速度大于重力加速度，故A错误；整个系统(包括地球)的机械能守恒，故B正确，C错误；向下运动过程中，因为重力势能减小，所以小球的动能与弹簧弹性势能之和增大，故D正确。
3．如图所示，无人机在空中匀速上升时，不断增加的能量是( )
A．动能 B．动能、重力势能
C．重力势能、机械能 D．动能、重力势能、机械能
解析：选C 无人机匀速上升，所以动能保持不变，故A、B、D错误；因为无人机高度不断增加，所以其重力势能不断增加，在上升过程中升力对无人机做正功，无人机机械能不断增加，故C正确。
4.如图所示，质量为m的苹果，从离地面H高的树上由静止开始落下，树下有一深度为h的坑。若以地面为零势能参考平面，则当苹果落到坑底时的机械能为( )
A．－mgh B．mgH
C．mg(H＋h) D．mg(H－h)
解析：选B 苹果下落过程机械能守恒，开始下落时其机械能为E＝mgH，落到坑底时机械能仍为mgH，故B正确。
5.一小球以一定的初速度从如图所示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过A处时对轨道的压力大小为( )
A．2mg B．3mg
C．4mg D．5mg
解析：选C 小球恰好能通过轨道2的最高点B时，有mg＝，小球在轨道1上经过A处时，有F＋mg＝，根据机械能守恒定律，有1.6mgR＝mvA2－mvB2，解得F＝4mg，由牛顿第三定律可知，经过A处时对轨道的压力大小为4mg，故C正确。
6．如图所示，光滑的曲面与光滑的水平面平滑相连，一轻弹簧右端固定，质量为m的小球从高度h处由静止下滑，则( )
A．小球与弹簧刚接触时，速度大小为
B．小球与弹簧接触的过程中，小球机械能守恒
C．小球压缩弹簧至最短时，弹簧的弹性势能为mgh
D．小球在压缩弹簧的过程中，小球的加速度保持不变
解析：选A 小球在曲面上下滑过程中，根据机械能守恒定律得mgh＝mv2，v＝，即小球与弹簧刚接触时，速度大小为，故A正确。小球与弹簧接触的过程中，弹簧的弹力对小球做负功，小球机械能不守恒，故B错误。整个过程，根据系统的机械能守恒可知，小球压缩弹簧至最短时，弹簧的弹性势能为mgh，故C错误。小球在压缩弹簧的过程中，弹簧弹力增大，则小球的加速度增大，故D错误。
7.如图所示，一个小环套在竖直放置的光滑圆形轨道上做圆周运动。小环从最高点A滑到最低点B的过程中，其线速度大小的二次方v2随下落高度h变化的图像可能是下列选项中的( )
解析：选A 设小环在A点的速度为v0，下落高度h时的速度为v，由机械能守恒定律得mv2＝mgh＋mv02，得v2＝v02＋2gh，可见v2与h是线性关系，若v0＝0，则v2＝2gh，图像为过原点的直线；若v0≠0，当h＝0时，有纵截距，故A正确。
8．(多选)如图所示，小球(可视为质点)沿水平面通过O点进入半径为R的半圆弧轨道后恰能通过最高点P，然后落回水平面，不计一切阻力。下列说法正确的是( )
A．小球落地点离O点的水平距离为2R
B．小球落地时的动能为
C．小球运动到半圆弧最高点P时向心力恰好为0
D．若将半圆弧轨道上部的圆弧截去，其他条件不变，则小球能达到的最大高度比P点高0.5R
解析：选ABD 由题意知在P点时，重力恰好提供向心力，mg＝m，小球经P点时的速度大小v＝，故C错误；由2R＝gt2、x＝vt得小球落地点离O点的水平距离为2R，故A正确；根据动能定理2mgR＝Ek－mv2得，小球落地时的动能Ek＝2mgR＋mv2＝mgR，故B正确；由mgh＝mgR得小球能达到的最大高度h＝2.5R，比P点高0.5R，故D正确。
9.某同学用实验研究“圆珠笔的上跳”，一支可伸缩的圆珠笔，内有一根弹簧，尾部有一个小帽，压一下小帽，笔尖就伸出。如图所示，手握笔杆，使笔尖向上，小帽抵在桌面上，在压下后突然放手，笔杆将竖直向上跳起一定的高度。在某次实验中，某同学用刻度尺测得圆珠笔跳起的高度为12 cm，请你帮他分析：
(1)圆珠笔由桌面静止起跳到上升至最大高度的过程中，能量发生了怎样的变化？
(2)从能量转化的角度计算出圆珠笔起跳的初速度v0多大？(g取10 m/s2)
解析：(1)圆珠笔弹簧的弹性势能减少，转化为圆珠笔的动能，离开桌子后，圆珠笔减少的动能转化成圆珠笔增加的重力势能，圆珠笔运动到最高点时，圆珠笔的重力势能最大，动能为零。
(2)由机械能守恒定律得mgh＝mv02，代入数据得v0≈1.55 m/s。
答案：(1)圆珠笔弹簧弹性势能→圆珠笔动能→圆珠笔重力势能 (2)1.55 m/s
组—重应用·体现创新
10.(多选)如图所示，不计空气阻力，取地面为参考平面，将质量为m的物体沿斜上方以速度v0抛出后，能达到的最大高度为h0，当它落到离地面高度为h的平台上时，下列判断正确的是( )
A．它的总机械能等于mv02
B．它的总机械能为mgh0
C．它的动能为mg(h0－h)
D．它的动能为mv02－mgh
解析：选AD 在运动的过程中机械能守恒，因此它落到平台上时的总机械能等于初始状态的总机械能，因此它的总机械能等于mv02，A正确；由于物体到达最高点时，只有水平分速度vx，因此在最高点时的总机械能可表示为E＝mgh0＋mvx2，B错误；对于整个运动的过程，根据机械能守恒定律可知mv02＝mgh＋Ek，因此它落到平台上时的动能为Ek＝mv02－mgh，从最高点到高度h处由动能定理可得Ek－mvx2＝mg(h0－h)，C错误，D正确。
11. (多选)固定在竖直面内的光滑圆管POQ，PO段长度为L，与水平方向的夹角为30°，在O处有插销，OQ段水平且足够长。管内PO段装满了质量均为m的小球，小球的半径远小于L，其编号如图所示。拔掉插销，1号球在下滑过程中( )
A．机械能守恒
B．做变加速运动
C．对2号球做的功为mgL
D．经过O点时速度v＝
解析：选BCD 下滑过程中1号球会受到2号球对它沿斜面向上的弹力作用，因弹力对其做负功，故1号球的机械能会减小，故A错误；设n为小球总数，n1为在斜面上的小球数，对所有小球的整体而言，根据牛顿第二定律a＝＝gsin θ，则随着n1减小，整体的加速度减小，则球1的加速度减小，故B正确；对所有小球的整体，从开始下滑到全部滑到水平面上，由机械能守恒nmg·L·sin 30°＝nmv2解得v＝，故D正确；对1号球，由动能定理，mgLsin 30°＋W＝mv2，解得W＝－mgL，则1号球对2号球做的功为mgL，C正确。
12．如图所示装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成。其中轨道Ⅰ由光滑轨道AB与粗糙直轨道BC平滑连接，高度差分别是h1＝0.20 m、h2＝0.10 m，BC水平距离L＝1.00 m，轨道Ⅱ由AE、螺旋圆形EFG和GB三段光滑轨道平滑连接而成，且A点与F点等高，当弹簧压缩量为d时，恰能使质量m＝0.05 kg的滑块沿轨道Ⅰ上升到B点；当弹簧压缩量为2d时，恰能使滑块沿轨道Ⅰ上升到C点。(已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比，g取10 m/s2)
(1)当弹簧压缩量为d时，求弹簧的弹性势能及滑块离开弹簧瞬间的速度大小。
(2)求滑块与轨道BC间的动摩擦因数。
(3)当弹簧压缩量为d时，若沿轨道Ⅱ运动，滑块能否上升到B点？请通过计算说明理由。
解析：(1)以A点所在的水平面为参考平面，由机械能守恒定律可得
E弹＝ΔEk＝ΔEp＝mgh1＝0.05×10×0.2 J＝0.1 J，
由ΔEk＝mv02可得v0＝2 m/s。
(2)由E弹∝d2，可得ΔEk′＝E弹′＝4E弹＝4mgh1，
由动能定理可得－mg(h1＋h2)－μmgL＝－ΔEk′，
解得μ＝0.5。
(3)恰能通过圆形轨道最高点必须满足的条件是
mg＝，
由机械能守恒定律有v＝v0＝2 m/s，
得Rm＝0.4 m，
当R≤0.4 m时，滑块能上升到B点；
当R>0.4 m时，滑块不能上升到B点。
答案：(1)0.1 J 2 m/s (2)0.5
(3)不一定，原因见解析
7 / 7人教版物理必修第二册
第八章｜ 机械能守恒定律
第4节 机械能守恒定律
核心素养点击
物理观念 (1)知道什么是机械能，理解物体动能和势能的相互转化。
(2)通过机械能守恒定律的学习， 初步建立能量观念、体会守恒思想。
(3)知道机械能守恒定律的内容和守恒条件。
科学思维 (1)会分析机械能守恒的条件，在具体实例中分析动能与势能(包括弹性势能)之间的相互转化。
(2)理解机械能守恒定律的推导过程。
(3)会从做功和能量转化的角度判断机械能是否守恒，能应用机械能守恒定律解决有关问题。
科学态度与责任 (1)通过对机械能守恒定律的验证，能认识科学规律的建立需要实验证据的检验。 (2)能认识机械能守恒定律对日常生活的影响。
1．填一填
(1)追寻守恒量
伽利略的斜面实验(如图所示)
①过程：将小球由斜面A上某位置由 释放，小球运动到斜面B上。
②现象：如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球在斜面B上速度变为0(即到达最高点)时的高度与它出发时的高度 。
③结论：这一事实说明某个量是守恒的，在物理学上我们把这个量叫作 或者 。
(2)动能与势能的相互转化
①动能与重力势能间的转化：只有重力做功时，若重力做正功，则 转化为动能；若重力做负功，则 转化为重力势能。
②动能与弹性势能间的转化：只有弹簧的弹力做功时，若弹力做正功，则 转化为动能；若弹力做负功，则 转化为弹性势能。
③机械能： 、 和 统称为机械能，在重力或弹力做功时，不同形式的机械能可以发生相互转化。
2．判断
(1)伽利略通过斜面实验得出了机械能守恒的结论。( )
(2)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转化。( )
(3)物体的机械能一定是正值。( )
1．填一填
(1)推导：如图所示，物体沿光滑曲面滑下。物体在某一时刻处在高度为h1的位置A，这时它的速度是v1。经过一段时间后，物体下落到高度为h2的另一位置B，这时它的速度是v2。用W表示这一过程中重力做的功，由动能定理可得W＝mv22－mv12，
又W＝mgh1－mgh2
可得mgh1－mgh2＝mv22－mv12，
移项后得mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1，即物体末状态动能与势能之和 物体初状态动能与势能之和。
(2)内容：
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以 ，而总的机械能 。
(3)守恒条件：
物体系统内只有 或 做功。
(4)表达式：
①mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1。
②Ek2＋Ep2＝ 。
2．判断
(1)通过重力或弹力做功，机械能可以转化为非机械能。( )
(2)合力为0，物体的机械能一定守恒。( )
(3)合力做功为0，物体的机械能一定守恒。( )
(4)物体自由下落时，物体的机械能一定守恒。( )
主题探究 一 机械能守恒条件的理解与判断
【重难释解】
1．机械能守恒条件的理解
(1)守恒条件：只有重力或系统内弹力做功。
(2)理解：
①只受重力作用，系统的机械能守恒。例如所有做抛体运动的物体。
②系统内只有重力和弹力作用，系统的机械能守恒。例如：
a．如图甲所示，小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力，则只有重力做功，小球的机械能守恒。
b．如图乙所示，各接触面光滑，A自B上端自由下滑的过程中，只有重力和A、B间的弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒。但对A来说，B对A的弹力做负功，这个力对A来说是外力，A的机械能不守恒。
c．如图丙所示，不计空气阻力，球在下落过程中，只有重力和弹簧的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒。但对球来说，其机械能不守恒。
③除重力和弹力之外，还有其他力做功，但其他力做功的总和为0，系统机械能没有转化为其他形式的能，物体的机械能不变。
2．机械能守恒的判断方法
(1)通过做功来判断——常用于单个物体
分析物体或系统受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为0，则机械能守恒。
(2)通过能量转化来判断——常用于多个物体组成的系统
若系统中只有动能和势能的相互转化，无机械能与其他形式的能的相互转化，则系统的机械能守恒。
(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．图甲中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒
B．图乙中，物块B在大小等于摩擦力的拉力下沿斜面下滑时，物块B机械能守恒
C．图丙中，不计任何阻力时，物体A加速下落，物体B加速上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．图丁中，小球沿水平面做速度大小不变的圆锥摆运动时，小球机械能守恒
【素养训练】
1．关于下面图中，下列说法中正确的是( )
A．图甲中“蛟龙号”载人潜水器被吊车吊下水的过程中它的机械能守恒
B．图乙中火车在匀速转弯时动能不变，故所受合外力为0
C．图丙中握力器在手的压力作用下弹性势能增加了
D．图丁中撑竿跳高运动员在上升过程中机械能守恒
2．(2024·重庆高考)2024年5月3日，嫦娥六号探测器成功发射，开启月球背面采样之旅，探测器的着陆器上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程中( )
A．减速阶段所受合外力为0
B．悬停阶段不受力
C．自由下落阶段机械能守恒
D．自由下落阶段加速度大小g＝9.8 m/s2
3．光滑水平面上有A、B两木块，A、B之间用一轻弹簧拴接，A靠在墙壁上，用力F向左推B使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状态，若突然撤去力F，则下列说法中正确的是( )
A．木块A离开墙壁前，A、B组成的系统机械能守恒
B．木块A离开墙壁后，A、B组成的系统机械能守恒
C．木块A离开墙壁前，A、B及弹簧组成的系统机械能守恒
D．木块A离开墙壁后，A、B及弹簧组成的系统机械能不守恒
【重难释解】
1．机械能守恒定律的不同表达式
机械能守恒定律 表达式 物理意义
从不同状态看 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化角度看 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 动能的增加量等于势能的减少量
从转移角度看 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
2．应用机械能守恒定律的基本思路
荡秋千是一种常见的娱乐休闲活动(如图)。若秋千绳的长度l＝2 m，荡到最高点时秋千绳与竖直方向的夹角θ＝60°。重力加速度g＝9.8 m/s2，求荡到最低点时秋千的速度大小。(忽略阻力及秋千绳的质量，且人在秋千上的姿势可视为不变)
[讨论] 在现实中，若人在荡秋千时姿势不变，则秋千将逐渐停下来，这是有阻力的缘故。因此，人荡秋千时，只有在保持姿势不变且忽略阻力的情况下，其机械能才守恒。为什么有的人可以越荡越高，他是怎么做到的呢？请分析原因。
。
[迁移] 下列问题能否运用牛顿运动定律或机械能守恒定律解答？请试一试。
如图所示，假设运动员从雪道的最高点A由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑的雪道到达跳台的B点时，速度为多少？当他落到离B点竖直高度为10 m的雪地C点时，速度又是多少？(假设这一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦力和空气阻力，重力加速度g取10 m/s2)
【素养训练】
4．(2025·全国卷)如图所示，撑杆跳高运动中，运动员经过助跑、撑杆起跳，最终越过横杆。若运动员起跳前助跑速度为10 m/s，则理论上运动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度为(重力加速度取10 m/s2)( )
A．4 m B．5 m
C．6 m D．7 m
5.如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则下列选项错误的是( )
A．物体落到海平面时的势能为mgh
B．重力对物体做的功为mgh
C．物体在海平面上的动能为mv02＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为mv02
6．滑板运动是一种陆地上的“冲浪运动”，滑板运动员可在不同的滑坡上滑行。如图所示，a、b、c、d、e为同一竖直平面内依次平滑连接的滑行轨道，其中bcd是一段半径R＝2.5 m的圆弧轨道，O点为圆心，c点为圆弧的最低点。运动员脚踩滑板从高H＝3 m处由静止出发，沿轨道自由滑下。运动员连同滑板可视为质点，其总质量m＝60 kg。忽略摩擦阻力和空气阻力，g取10 m/s2，求运动员滑经c点时轨道对滑板的支持力的大小。
一、培养创新意识和创新思维
跳水运动员跳水过程中能量的转化
跳水运动员在弹离跳板后，先上升到一定的高度，在空中完成一系列复杂而优美的动作后入水。请你分析一下，从运动员起跳到入水的全过程中，有哪些能量发生了相互转化。说出你的判断依据，并与同学讨论交流。
提示：(1)跳水运动员在走板和起跳时要先使跳板上下振动，此过程运动员将身体储存的化学能转化为跳板的弹性势能。
(2)然后跳板的弹性势能转化为运动员身体起跳的动能，运动员离开跳板上升的过程中，动能逐渐转化为重力势能。
(3)当运动员到达最高点下降时，重力势能逐渐转化为动能。
(4)运动员入水后，受水的阻力作用，运动员的重力势能和动能都减少，转化为水和运动员的内能等。
二、注重学以致用和思维建模
1．铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是( )
2．滑雪运动深受人民群众喜爱。某滑雪运动员(可视为质点)由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB，从滑道的A点滑行到最低点B的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿AB下滑过程中( )
A．所受合外力始终为0 B．所受摩擦力大小不变
C．合外力做功一定为0 D．机械能始终保持不变
3.质量为25 kg的小孩坐在秋千板上，小孩重心离拴绳子的横梁距离为2.5 m，如果秋千摆到最高点时，绳子与竖直方向的夹角是60°，秋千板摆到最低点时，忽略手与绳间的作用力，求小孩对秋千板的压力大小。(不计空气阻力，g取10 m/s2)
[课时跟踪检测]
A组—重基础·体现综合
1．如图所示的各种运动过程中，物体机械能守恒的是(忽略空气阻力)( )
A．将箭搭在弦上，拉弓的整个过程
B．过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程
C．在一根细线的中央悬挂着一个物体，双手保持高度不变拉着细线慢慢分开的过程
D．手握内有弹簧的圆珠笔，笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程
2.(多选)竖直放置的轻弹簧下连接一个小球，用手托起小球，使弹簧处于压缩状态，如图所示。则迅速放手后(不计空气阻力)( )
A．放手瞬间小球的加速度等于重力加速度
B．小球与弹簧与地球组成的系统机械能守恒
C．小球的机械能守恒
D．小球向下运动过程中，小球动能与弹簧弹性势能之和不断增大
3．如图所示，无人机在空中匀速上升时，不断增加的能量是( )
A．动能 B．动能、重力势能
C．重力势能、机械能 D．动能、重力势能、机械能
4.如图所示，质量为m的苹果，从离地面H高的树上由静止开始落下，树下有一深度为h的坑。若以地面为零势能参考平面，则当苹果落到坑底时的机械能为( )
A．－mgh B．mgH
C．mg(H＋h) D．mg(H－h)
5.一小球以一定的初速度从如图所示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过A处时对轨道的压力大小为( )
A．2mg B．3mg
C．4mg D．5mg
6．如图所示，光滑的曲面与光滑的水平面平滑相连，一轻弹簧右端固定，质量为m的小球从高度h处由静止下滑，则( )
A．小球与弹簧刚接触时，速度大小为
B．小球与弹簧接触的过程中，小球机械能守恒
C．小球压缩弹簧至最短时，弹簧的弹性势能为mgh
D．小球在压缩弹簧的过程中，小球的加速度保持不变
7.如图所示，一个小环套在竖直放置的光滑圆形轨道上做圆周运动。小环从最高点A滑到最低点B的过程中，其线速度大小的二次方v2随下落高度h变化的图像可能是下列选项中的( )
8．(多选)如图所示，小球(可视为质点)沿水平面通过O点进入半径为R的半圆弧轨道后恰能通过最高点P，然后落回水平面，不计一切阻力。下列说法正确的是( )
A．小球落地点离O点的水平距离为2R
B．小球落地时的动能为
C．小球运动到半圆弧最高点P时向心力恰好为0
D．若将半圆弧轨道上部的圆弧截去，其他条件不变，则小球能达到的最大高度比P点高0.5R
9.某同学用实验研究“圆珠笔的上跳”，一支可伸缩的圆珠笔，内有一根弹簧，尾部有一个小帽，压一下小帽，笔尖就伸出。如图所示，手握笔杆，使笔尖向上，小帽抵在桌面上，在压下后突然放手，笔杆将竖直向上跳起一定的高度。在某次实验中，某同学用刻度尺测得圆珠笔跳起的高度为12 cm，请你帮他分析：
(1)圆珠笔由桌面静止起跳到上升至最大高度的过程中，能量发生了怎样的变化？
(2)从能量转化的角度计算出圆珠笔起跳的初速度v0多大？(g取10 m/s2)
组—重应用·体现创新
10.(多选)如图所示，不计空气阻力，取地面为参考平面，将质量为m的物体沿斜上方以速度v0抛出后，能达到的最大高度为h0，当它落到离地面高度为h的平台上时，下列判断正确的是( )
A．它的总机械能等于mv02
B．它的总机械能为mgh0
C．它的动能为mg(h0－h)
D．它的动能为mv02－mgh
11. (多选)固定在竖直面内的光滑圆管POQ，PO段长度为L，与水平方向的夹角为30°，在O处有插销，OQ段水平且足够长。管内PO段装满了质量均为m的小球，小球的半径远小于L，其编号如图所示。拔掉插销，1号球在下滑过程中( )
A．机械能守恒
B．做变加速运动
C．对2号球做的功为mgL
D．经过O点时速度v＝
12．如图所示装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成。其中轨道Ⅰ由光滑轨道AB与粗糙直轨道BC平滑连接，高度差分别是h1＝0.20 m、h2＝0.10 m，BC水平距离L＝1.00 m，轨道Ⅱ由AE、螺旋圆形EFG和GB三段光滑轨道平滑连接而成，且A点与F点等高，当弹簧压缩量为d时，恰能使质量m＝0.05 kg的滑块沿轨道Ⅰ上升到B点；当弹簧压缩量为2d时，恰能使滑块沿轨道Ⅰ上升到C点。(已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比，g取10 m/s2)
(1)当弹簧压缩量为d时，求弹簧的弹性势能及滑块离开弹簧瞬间的速度大小。
(2)求滑块与轨道BC间的动摩擦因数。
(3)当弹簧压缩量为d时，若沿轨道Ⅱ运动，滑块能否上升到B点？请通过计算说明理由。
7 / 7
