人教版物理必修第二册
第八章｜ 机械能守恒定律
习题课三 动能定理和机械能守恒定律的应用
【知识贯通】
机械能守恒定律和动能定理的比较
比较内容 机械能守恒定律 动能定理
表达式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk
物理意义 重力或弹力做功的过程是动能与势能转化的过程 合外力对物体做的功是动能变化的量度
应用范围 只有重力或弹力做功 无条件限制
关注角度 守恒的条件和初末状态机械能的形式及大小 动能的变化及合外力做功情况
如图甲所示为商场内的螺旋滑梯，小孩从顶端A处进入，由静止开始沿滑梯自然下滑(如图乙所示)，并从底端B处滑出。已知螺旋滑梯总长度L＝20 m，A、B间的高度差h＝12 m，g取10 m/s2。
(1)假设螺旋滑梯光滑，则小孩从B处滑出时的速度v1多大？
(2)若有人建议将该螺旋滑梯改建为倾斜直线滑梯，并保持高度差与总长度不变。已知小孩与倾斜直线滑梯间的动摩擦因数μ＝0.25，若小孩仍从顶端由静止自然下滑，则从底端滑出时的速度v2多大？
(3)若小孩与滑梯间的动摩擦因数仍为0.25，你认为小孩从螺旋滑梯底端B处滑出的速度v3与(2)问中倾斜直线滑梯滑出的速度v2哪个更大？试简要说明理由。
【集训提能】
1.如图所示，质量为m的小物块在粗糙水平桌面上做直线运动，经距离l后以速度v飞离桌面，最终落在水平地面上。已知l＝1.4 m，v＝3.0 m/s，m＝0.10 kg，物块与桌面间的动摩擦因数μ＝0.25，桌面高h＝0.45 m。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)小物块落地点距飞出点的水平距离s；
(2)小物块落地时的动能Ek；
(3)小物块的初速度大小v0。
2.如图所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径R＝0.5 m，轨道在C处与水平地面相切，在C处放一小物块(未画出)，给它一水平向左的初速度v0＝5 m/s，它沿CBA运动，通过A处，最后落在水平地面上的D处，求C、D间的距离x(重力加速度g取10 m/s2)。
【知识贯通】
应用动能定理处理多过程问题的两种方法
1．分段法
将复杂的多过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解。
2．全程法
分析整个过程中物体的受力情况，分析每个力的做功情况，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解。
[特别提醒]
当题目不涉及中间量时，选择全程法应用动能定理更简单、更方便。
典例2 如图所示，ABCD为一位于竖直平面内的轨道，其中BC水平，A点比BC高出10 m。BC长1 m，AB和CD轨道光滑且与BC平滑连接。一质量为1 kg的物体，从A点以4 m/s的速度开始运动，经过BC后滑到高出C点10.3 m的D点时速度为零，g取10 m/s2，求：
(1)物体与BC轨道间的动摩擦因数；
(2)物体第5次经过B点时的速度大小；
(3)物体最后停止的位置距B点多少米。
【集训提能】
3．(多选)如图所示，轨道NPQ固定在竖直平面内，NP段水平且粗糙，PQ段为光滑半圆弧，半径为R。质量为m并可视为质点的物体以初速度v从N点沿水平轨道向右运动，刚好能到达最高点Q。重力加速度为g，则下列选项正确的有( )
A．物体在Q点对轨道的压力为mg
B．物体在Q点的速度大小为
C．物体在P点的速度大小为
D．在NP段物体克服摩擦力做功为 mv2－mgR
4．(多选)一辆质量为m的汽车由静止开始，以恒定功率P1从底端运动到顶端，如图甲所示；然后汽车以恒定功率P2由静止从顶端返回到底端，如图乙所示。图甲、乙中汽车行驶的最大速度都为v，已知斜面高度为h，重力加速度大小为g，汽车行驶过程中受到的摩擦力大小相等，下列说法正确的是( )
A．恒定功率：P1>P2
B．摩擦力大小为
C．汽车均做匀加速直线运动
D．甲、乙图中汽车牵引力做功差为2mgh
5．质量为m的弹力球从距水平地面高为h处静止释放；弹力球与水平地面碰撞后竖直反弹，反弹最大高度是，假设弹力球在空中运动时，受到的空气阻力大小恒定；与地面碰撞时，损失的动能为碰撞前瞬间的25%。已知重力加速度为g。求：
(1)弹力球第一次落地时的速度大小；
(2)从静止释放到反弹到高度处的过程，空气阻力对弹力球做的功。
【知识贯通】
1．轻绳连接的物体系统
(1)常见情景(如图所示)。
(2)三点提醒
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
2．轻杆连接的物体系统
(1)常见情景(如图所示)。
(2)三大特点
①平动时两物体线速度大小相等，转动时两物体角速度相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
③对于杆和物体组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
3．轻质弹簧连接的物体系统
(1)题型特点
由轻质弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功，又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
(2)两点提醒
①对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。
②物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量往往有关联。
如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地面接触，B物体距地面高度为0.8 m(g取10 m/s2)。求：
(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度；
(2)B物体着地后A物体还能上升的高度。
如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B(可视为质点)，杆长为L。开始时，杆静止在水平位置，求无初速度释放后杆转到竖直位置时，A、B两小球的速度各是多少？
【集训提能】
6.(多选)如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中下列说法中正确的是( )
A．M球的机械能守恒
B．M球的机械能减小
C．M和N组成的系统的机械能守恒
D．绳的拉力对N做负功
7． (多选)图甲为某科技兴趣小组制作的重力投石机示意图。支架固定在水平地面上，轻杆AB可绕支架顶部水平轴OO′在竖直面内自由转动。A端凹槽内装有一石子，B端固定一配重。某次打靶时，将杆沿逆时针方向转至与竖直方向成θ角后由静止释放，杆在配重重力作用下转到竖直位置时石子被水平抛出。石子投向正前方竖直放置的靶，打到靶心上方的“6”环处，如图乙所示。若要打中靶心的“10”环处，可能实现的途径有( )
A．增大石子的质量，同时减小配重的质量
B．减小投石机到靶的距离，同时增大θ角
C．增大投石机到靶的距离，同时减小θ角
D．减小投石机到靶的距离，同时增大配重的质量
8．(多选)如图所示，足够长的光滑斜面固定在水平地面上，轻质弹簧与A、B物块相连，A、C物块由跨过光滑小滑轮的轻绳连接。初始时刻，C在外力作用下静止，绳中恰好无拉力，B放置在水平面上，A静止。现撤去外力，物块C沿斜面向下运动，当C运动到最低点时，B对地面的压力刚好为零。已知A、B的质量均为m，弹簧始终处于弹性限度内，则上述过程中( )
A．C的质量mC可能小于m
B．C的速度最大时，A的加速度为零
C．C的速度最大时，弹簧的弹性势能最小
D．A、B、C构成的系统的机械能先变大后变小
[课时跟踪检测]
组—重基础·体现综合
1．某人骑自行车下坡，坡长l＝500 m，坡高h＝8 m，人和车总质量为100 kg，下坡时初速度为4 m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为10 m/s，g取10 m/s2，则下坡过程中阻力所做的功为( )
A．－4 000 J B．－3 800 J
C．－5 000 J D．－4 200 J
2.如图所示，质量为M的电梯在地板上放置一质量为m的物体，钢索拉着电梯由静止开始向上做加速运动，当上升高度为H时，速度达到v，则( )
A．地板对物体的支持力做的功等于mv2
B．地板对物体的支持力做的功等于mgH
C．钢索的拉力做的功等于Mv2＋MgH
D．合力对电梯做的功等于Mv2
3.如图所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，若将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h。若将小球A换为质量为2m的小球B(A、B均可视为质点)，仍从弹簧原长位置由静止释放，已知重力加速度为g，不计空气阻力，则小球B下降h时的速度为( )
A. B.
C. D．0
4.如图所示，在水平台面上的A点，一个质量为m的物体以初速度v0抛出，不计空气阻力，以水平地面为零势能面，则当它到达B点时的机械能为( )
A.mv02＋mgh B.mv02＋mgH
C．mgH－mgh D.mv02＋mg(H－h)
5.如图所示，在竖直面内固定一光滑的硬质杆ab，杆与水平面的夹角为θ，在杆的上端a处套一质量为m的圆环，圆环上系一轻弹簧，弹簧的另一端固定在与a处在同一水平线上的O点，O、b两点处在同一竖直线上。由静止释放圆环后，圆环沿杆从a运动到b，在圆环运动的整个过程中，弹簧一直处于伸长状态，则下列说法正确的是( )
A．圆环的机械能保持不变
B．弹簧对圆环一直做负功
C．弹簧的弹性势能逐渐增大
D．圆环和弹簧组成的系统机械能守恒
6.一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示。长度为πR、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球。小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直。将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力)( )
A. B.
C. D．2
7.如图所示，小球从A点以初速度v0沿粗糙斜面向上运动，到达最高点B后返回A，C为AB的中点。下列说法中正确的是( )
A．小球从A到B过程与从B到A过程，时间相等
B．小球从A到B过程与从B到A过程，动能变化量的大小相等
C．小球从A到C过程与从C到B过程，时间相等
D．小球从A到C过程与从C到B过程，动能变化量的大小相等
8．如图所示，质量、初速度大小都相同的A、B、C三个小球，在同一水平面上，A球竖直上抛，B球以倾斜角θ斜向上抛，空气阻力不计，C球沿倾角为θ的光滑斜面上滑，它们上升的最大高度分别为hA、hB、hC，则( )
A．hA＝hB＝hC B．hA＝hBC．hA＝hB>hC D．hA＝hC>hB
9.如图所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O点处于同一水平线上的P点处有一根光滑的细钉，已知OP＝，在A点给小球一个水平向左的初速度v0，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B。求：
(1)小球到达B点时的速率；
(2)若不计空气阻力，则初速度v0；
(3)若空气阻力不能忽略，则初速度需变为v0′＝3 时才可以恰好到达最高点B，则小球从A到B的过程中克服空气阻力做的功。
组—重应用·体现创新
10．(多选)如图甲，在蹦极者身上装好传感器，可测量他在不同时刻下落的高度及速度。蹦极者从蹦极台自由下落，利用传感器与计算机结合得到如图乙所示的速度(v)—位移(l)图像。蹦极者及所携带设备的总质量为60 kg，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列表述正确的是( )
A．整个下落过程，蹦极者及设备组成的系统机械能不守恒
B．从弹性绳刚伸直开始，蹦极者做减速运动
C．蹦极者动能最大时，弹性绳的拉力大小等于重力
D．弹性绳的弹性势能最大值为15 600 J
11．如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为mA＝1 kg和mB＝2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水平地面的高度h＝0.1 m。两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2。则下列说法中正确的是( )
A．整个下滑过程中A球机械能守恒
B．整个下滑过程中轻杆没有作用力
C．整个下滑过程中A球机械能的减少量为 J
D．整个下滑过程中B球机械能的增加量为 J
12．如图所示，弯曲斜面与半径为R的竖直半圆组成光滑轨道，一个质量为m的小球从高度为4R的A点由静止释放，经过半圆的最高点D后做平抛运动落在水平面的E点，忽略空气阻力(重力加速度为g)，求：
(1)小球在D点时的速度vD；
(2)小球落地点E离半圆轨道最低点B的位移x；
(3)小球经过半圆轨道的C点(C点与圆心O在同一水平面)时对轨道的压力大小。
7 / 7第八章｜ 机械能守恒定律
习题课三 动能定理和机械能守恒定律的应用
【知识贯通】
机械能守恒定律和动能定理的比较
比较内容 机械能守恒定律 动能定理
表达式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk
物理意义 重力或弹力做功的过程是动能与势能转化的过程 合外力对物体做的功是动能变化的量度
应用范围 只有重力或弹力做功 无条件限制
关注角度 守恒的条件和初末状态机械能的形式及大小 动能的变化及合外力做功情况
如图甲所示为商场内的螺旋滑梯，小孩从顶端A处进入，由静止开始沿滑梯自然下滑(如图乙所示)，并从底端B处滑出。已知螺旋滑梯总长度L＝20 m，A、B间的高度差h＝12 m，g取10 m/s2。
(1)假设螺旋滑梯光滑，则小孩从B处滑出时的速度v1多大？
(2)若有人建议将该螺旋滑梯改建为倾斜直线滑梯，并保持高度差与总长度不变。已知小孩与倾斜直线滑梯间的动摩擦因数μ＝0.25，若小孩仍从顶端由静止自然下滑，则从底端滑出时的速度v2多大？
(3)若小孩与滑梯间的动摩擦因数仍为0.25，你认为小孩从螺旋滑梯底端B处滑出的速度v3与(2)问中倾斜直线滑梯滑出的速度v2哪个更大？试简要说明理由。
[解析] (1)由机械能守恒定律可得mgh＝mv12
解得v1＝＝4 m/s。
(2)由动能定理可得WG－Wf＝mv22，
mgh－μmg·L＝mv22，解得v2＝4 m/s。
(3)当小孩从螺旋滑梯下滑，由动能定理可得
WG－Wf′＝mv32，
与倾斜直线滑梯下滑相比，重力做功相等，沿螺旋滑梯下滑时，小孩受到的弹力更大(或需要向心力)，受到的滑动摩擦力更大，滑动摩擦力做的负功更大，故v2>v3，即速度v2更大。
[答案] (1)4 m/s (2)4 m/s
(3)速度v2更大，理由见解析
动能定理与机械能守恒定律的选择
(1)能用机械能守恒定律解决的题一般都能用动能定理解决，而且省去了确定是否守恒和选定零势能面的麻烦。
(2)能用动能定理来解决的题却不一定都能用机械能守恒定律来解决，在这个意义上讲，动能定理比机械能守恒定律应用更广泛、更普遍。
【集训提能】
1.如图所示，质量为m的小物块在粗糙水平桌面上做直线运动，经距离l后以速度v飞离桌面，最终落在水平地面上。已知l＝1.4 m，v＝3.0 m/s，m＝0.10 kg，物块与桌面间的动摩擦因数μ＝0.25，桌面高h＝0.45 m。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)小物块落地点距飞出点的水平距离s；
(2)小物块落地时的动能Ek；
(3)小物块的初速度大小v0。
解析：(1)小物块飞离桌面后做平抛运动，根据平抛运动规律，在竖直方向h＝gt2，水平方向s＝vt，
解得水平距离s＝v ＝0.90 m。
(2)小物块从飞离桌面到落地的过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律可得小物块落地时的动能为
Ek＝mv2＋mgh＝0.90 J。
(3)小物块在桌面上运动的过程中，根据动能定理，有
－μmg·l＝mv2－mv02，
解得小物块的初速度大小v0＝＝4.0 m/s。
答案：(1)0.90 m (2)0.90 J (3)4.0 m/s
2.如图所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径R＝0.5 m，轨道在C处与水平地面相切，在C处放一小物块(未画出)，给它一水平向左的初速度v0＝5 m/s，它沿CBA运动，通过A处，最后落在水平地面上的D处，求C、D间的距离x(重力加速度g取10 m/s2)。
解析：法一，应用机械能守恒定律求解
物块从C到A过程中，只有重力做功，机械能守恒，则
ΔEp＝－ΔEk，
即2mgR＝mv02－mv2，
物块从A到D过程中做平抛运动，则竖直方向2R＝gt2，
水平方向x＝vt，
联立以上各式并代入数据得x＝1 m。
法二，应用动能定理求解
物块从C到A过程中，只有重力做功，由动能定理得
－mg·2R＝mv2－mv02，
物块从A到D过程中做平抛运动，
则竖直方向2R＝gt2，
水平方向x＝vt，
联立以上各式并代入数据得x＝1 m。
答案：1 m
【知识贯通】
应用动能定理处理多过程问题的两种方法
1．分段法
将复杂的多过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解。
2．全程法
分析整个过程中物体的受力情况，分析每个力的做功情况，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解。
[特别提醒]
当题目不涉及中间量时，选择全程法应用动能定理更简单、更方便。
典例2 如图所示，ABCD为一位于竖直平面内的轨道，其中BC水平，A点比BC高出10 m。BC长1 m，AB和CD轨道光滑且与BC平滑连接。一质量为1 kg的物体，从A点以4 m/s的速度开始运动，经过BC后滑到高出C点10.3 m的D点时速度为零，g取10 m/s2，求：
(1)物体与BC轨道间的动摩擦因数；
(2)物体第5次经过B点时的速度大小；
(3)物体最后停止的位置距B点多少米。
[解析] (1)由动能定理得
－mg(h－H)－μmgsBC＝0－mv12，
解得μ＝0.5。
(2)物体第5次经过B点时，物体在BC上滑动了4次，由动能定理得
mgH－μmg·4sBC＝mv22－mv12，
解得v2＝4 m/s≈13.3 m/s。
(3)分析整个过程，由动能定理得
mgH－μmgs＝0－mv12，
解得s＝21.6 m。
所以物体在轨道上来回运动了10次后，还有1.6 m，故距B点的距离为2 m－1.6 m＝0.4 m。
[答案] (1)0.5 (2)13.3 m/s (3)距B点0.4 m
应用动能定理解题应注意的两点
(1)当物体运动过程中涉及多个力做功时，各力对应的位移可能不相同，计算各力做功时，应注意各力对应的位移。计算总功时，应计算整个过程中出现过的各力做功的代数和。
(2)研究初、末动能时，只需关注初、末状态，不必关心中间运动的细节。
【集训提能】
3．(多选)如图所示，轨道NPQ固定在竖直平面内，NP段水平且粗糙，PQ段为光滑半圆弧，半径为R。质量为m并可视为质点的物体以初速度v从N点沿水平轨道向右运动，刚好能到达最高点Q。重力加速度为g，则下列选项正确的有( )
A．物体在Q点对轨道的压力为mg
B．物体在Q点的速度大小为
C．物体在P点的速度大小为
D．在NP段物体克服摩擦力做功为 mv2－mgR
解析：选BCD 由题意，物体刚好能到达Q点，可知在Q点物体的重力恰好提供所需向心力，轨道对物体的支持力为0，则物体对轨道的压力为0，根据牛顿第二定律有mg＝m，可得vQ＝，故A错误，B正确；物体从P点到Q点，根据动能定理有－mg·2R＝mvQ2－mvP2，求得物体在P点的速度大小为vP＝，在NP段，有－Wf＝mvP2－mv2得物体克服摩擦力做功为Wf＝mv2－mgR，故C、D正确。
4．(多选)一辆质量为m的汽车由静止开始，以恒定功率P1从底端运动到顶端，如图甲所示；然后汽车以恒定功率P2由静止从顶端返回到底端，如图乙所示。图甲、乙中汽车行驶的最大速度都为v，已知斜面高度为h，重力加速度大小为g，汽车行驶过程中受到的摩擦力大小相等，下列说法正确的是( )
A．恒定功率：P1>P2
B．摩擦力大小为
C．汽车均做匀加速直线运动
D．甲、乙图中汽车牵引力做功差为2mgh
解析：选ABD 当汽车受力平衡时，汽车速度达到最大，设斜面倾角为θ，题图甲中汽车的牵引力大小为F1，题图乙中汽车的牵引力大小为F2，对于题图甲有F1＝mgsin θ＋f，P1＝F1v＝(mgsin θ＋f)v，对于题图乙有F2＝f－mgsin θ，P2＝F2v＝(f－mgsin θ)v，联立可得P1>P2，f＝，故A、B正确；汽车以恒定功率启动，一开始做加速度逐渐减小的加速运动，之后做匀速运动，故C错误；设题图甲中汽车牵引力做功为W甲，根据动能定理可得W甲－mgh－f＝mv2，设题图乙中汽车牵引力做功为W乙，根据动能定理可得W乙＋mgh－f＝mv2，联立可得题图甲、乙中汽车牵引力做功差为W甲－W乙＝2mgh，故D正确。
5．质量为m的弹力球从距水平地面高为h处静止释放；弹力球与水平地面碰撞后竖直反弹，反弹最大高度是，假设弹力球在空中运动时，受到的空气阻力大小恒定；与地面碰撞时，损失的动能为碰撞前瞬间的25%。已知重力加速度为g。求：
(1)弹力球第一次落地时的速度大小；
(2)从静止释放到反弹到高度处的过程，空气阻力对弹力球做的功。
解析：(1)设弹力球第一次落地时的速度大小为v，所受空气阻力为Ff，下降过程中根据动能定理得
(mg－Ff)h＝mv2，
上升过程中根据动能定理得
－(mg＋Ff)＝0－(1－0.25)mv2，
解得v＝，Ff＝mg。
(2)空气阻力对弹力球做的功
W＝－Ff＝－mg×＝－mgh，
做负功，大小为mgh。
答案：(1) (2)－mgh
【知识贯通】
1．轻绳连接的物体系统
(1)常见情景(如图所示)。
(2)三点提醒
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
2．轻杆连接的物体系统
(1)常见情景(如图所示)。
(2)三大特点
①平动时两物体线速度大小相等，转动时两物体角速度相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
③对于杆和物体组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
3．轻质弹簧连接的物体系统
(1)题型特点
由轻质弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功，又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
(2)两点提醒
①对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。
②物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量往往有关联。
如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地面接触，B物体距地面高度为0.8 m(g取10 m/s2)。求：
(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度；
(2)B物体着地后A物体还能上升的高度。
[解析] (1)法一，由E1＝E2。
对A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为零势能参考平面，则
mBgh＝mAgh＋(mA＋mB)v2。
解得v＝ ＝ m/s＝2 m/s。
法二，由ΔEk增＝ΔEp减，得
(mA＋mB)v2＝mBgh－mAgh，
解得v＝2 m/s。
法三，由ΔEA增＝ΔEB减，得
mAgh＋mAv2＝mBgh－mBv2
解得v＝2 m/s。
(2)当B落地后，A以2 m/s的速度竖直上抛，
则A上升的高度由机械能守恒定律可得
mAgh′＝mAvA2，
可得h′＝＝ m＝0.2 m。
[答案] (1)2 m/s (2)0.2 m
如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B(可视为质点)，杆长为L。开始时，杆静止在水平位置，求无初速度释放后杆转到竖直位置时，A、B两小球的速度各是多少？
[解析] 把A、B两小球和杆看成一个系统，杆对A、B两小球的弹力为系统的内力，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。以A球在最低点的位置所在的水平面为零势能参考平面，则初状态：系统的动能为Ek1＝0，重力势能为Ep1＝2mgL。末状态(即杆转到竖直位置)：
系统的动能为Ek2＝mvA2＋mvB2，
重力势能为Ep2＝mg，
由机械能守恒定律得
2mgL＝mgL＋mvA2＋mvB2
又因为在转动过程中A、B两球的角速度相同，故vA＝2vB，联立解得vA＝，vB＝。
[答案]
多物体机械能守恒问题的分析技巧
(1)对多个物体组成的系统，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的距离关系和速度关系。
①距离关系：也就是相互连接的两物体发生的位移关系。当一个物体上升，另一个物体下降时，上升的竖直距离和下降的竖直距离不一定相等，一定要根据几何关系找出它们之间的距离关系。
②速度关系：也就是两物体间的速度大小关系。若是通过轻杆或轻绳连接的连接体，则它们沿着杆或绳子方向上的速度大小相等，根据这种速度关系找出它们之间的速度大小关系；通过轻杆连接的连接体，往往都是共轴转动，相同时间内转过的角度相等。
(3)列机械能守恒方程时，可选用ΔEk＝－ΔEp的形式。
【集训提能】
6.(多选)如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中下列说法中正确的是( )
A．M球的机械能守恒
B．M球的机械能减小
C．M和N组成的系统的机械能守恒
D．绳的拉力对N做负功
解析：选BC 因M下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增加，但M和N组成的系统的机械能守恒，故B、C正确，A、D错误。
7． (多选)图甲为某科技兴趣小组制作的重力投石机示意图。支架固定在水平地面上，轻杆AB可绕支架顶部水平轴OO′在竖直面内自由转动。A端凹槽内装有一石子，B端固定一配重。某次打靶时，将杆沿逆时针方向转至与竖直方向成θ角后由静止释放，杆在配重重力作用下转到竖直位置时石子被水平抛出。石子投向正前方竖直放置的靶，打到靶心上方的“6”环处，如图乙所示。若要打中靶心的“10”环处，可能实现的途径有( )
A．增大石子的质量，同时减小配重的质量
B．减小投石机到靶的距离，同时增大θ角
C．增大投石机到靶的距离，同时减小θ角
D．减小投石机到靶的距离，同时增大配重的质量
解析：选AC 设石子被水平抛出的位置到石子击中的靶位高度差为h，水平距离为x，平抛运动的初速度为v0，则有h＝gt2，x＝v0t，石子若击中靶心，h增大，t增大，则x不变时，必须减小v0，x减小时，也必须减小v0，当x增大时，增大v0或减小v0都有可能击中靶心；结合系统机械能守恒定律可知，A、C正确，B、D错误。
8．(多选)如图所示，足够长的光滑斜面固定在水平地面上，轻质弹簧与A、B物块相连，A、C物块由跨过光滑小滑轮的轻绳连接。初始时刻，C在外力作用下静止，绳中恰好无拉力，B放置在水平面上，A静止。现撤去外力，物块C沿斜面向下运动，当C运动到最低点时，B对地面的压力刚好为零。已知A、B的质量均为m，弹簧始终处于弹性限度内，则上述过程中( )
A．C的质量mC可能小于m
B．C的速度最大时，A的加速度为零
C．C的速度最大时，弹簧的弹性势能最小
D．A、B、C构成的系统的机械能先变大后变小
解析：选BCD 弹簧原来的压缩量x1＝；当C运动到最低点时，B对地面的压力刚好为零，可知弹簧的拉力等于B的重力，则弹簧此时的伸长量为x2＝；x1＝x2，弹簧初、末状态的弹性势能相等。由于A、B、C和弹簧构成的系统机械能守恒，则有mCg sin α·＝mg·(α是斜面的倾角)，解得mC sin α＝m，由于sin α<1，所以mC>m，A错误。C的速度最大时，加速度为零，则有绳子拉力FT＝mCgsin α＝mg，A的加速度为零，此时弹簧的弹力为零，弹簧的弹性势能最小，B、C正确。由于A、B、C和弹簧构成的系统机械能守恒，而弹簧先由压缩恢复原长再拉伸，所以弹性势能先减小后增加，故A、B、C构成的系统的机械能先变大后变小，D正确。
[课时跟踪检测]
组—重基础·体现综合
1．某人骑自行车下坡，坡长l＝500 m，坡高h＝8 m，人和车总质量为100 kg，下坡时初速度为4 m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为10 m/s，g取10 m/s2，则下坡过程中阻力所做的功为( )
A．－4 000 J B．－3 800 J
C．－5 000 J D．－4 200 J
解析：选B 下坡过程中，重力做功WG＝mgh＝100×10×8 J＝8 000 J，支持力不做功，阻力做功为W，由动能定理得WG＋W＝mvt2－mv02，代入数据解得W＝－3 800 J，故B正确。
2.如图所示，质量为M的电梯在地板上放置一质量为m的物体，钢索拉着电梯由静止开始向上做加速运动，当上升高度为H时，速度达到v，则( )
A．地板对物体的支持力做的功等于mv2
B．地板对物体的支持力做的功等于mgH
C．钢索的拉力做的功等于Mv2＋MgH
D．合力对电梯做的功等于Mv2
解析：选D 对物体由动能定理得WFN－mgH＝mv2，故WFN＝mgH＋mv2，故A、B错误；钢索拉力做的功WF拉＝(M＋m)gH＋(M＋m)v2，故C错误；由动能定理知，合力对电梯做的功应等于电梯动能的变化量Mv2，故D正确。
3.如图所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，若将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h。若将小球A换为质量为2m的小球B(A、B均可视为质点)，仍从弹簧原长位置由静止释放，已知重力加速度为g，不计空气阻力，则小球B下降h时的速度为( )
A. B.
C. D．0
解析：选B 对弹簧和小球A，根据机械能守恒定律得小球A下降h高度时弹簧的弹性势能Ep＝mgh；对弹簧和小球B，当小球B下降h高度时，根据机械能守恒定律有Ep＋×2mv2＝2mgh；解得小球B下降h时的速度v＝，故B正确。
4.如图所示，在水平台面上的A点，一个质量为m的物体以初速度v0抛出，不计空气阻力，以水平地面为零势能面，则当它到达B点时的机械能为( )
A.mv02＋mgh B.mv02＋mgH
C．mgH－mgh D.mv02＋mg(H－h)
解析：选B 抛出的物体在不计空气阻力的情况下满足机械能守恒，因此物体在B点时的机械能等于A点时的机械能，选地面为零势能面，则物体在A、B点机械能都是mv02＋mgH，故B正确。
5.如图所示，在竖直面内固定一光滑的硬质杆ab，杆与水平面的夹角为θ，在杆的上端a处套一质量为m的圆环，圆环上系一轻弹簧，弹簧的另一端固定在与a处在同一水平线上的O点，O、b两点处在同一竖直线上。由静止释放圆环后，圆环沿杆从a运动到b，在圆环运动的整个过程中，弹簧一直处于伸长状态，则下列说法正确的是( )
A．圆环的机械能保持不变
B．弹簧对圆环一直做负功
C．弹簧的弹性势能逐渐增大
D．圆环和弹簧组成的系统机械能守恒
解析：选D 由几何关系可知，当圆环与O点的连线与杆垂直时，弹簧的长度最短，弹簧的弹性势能最小。在圆环从a到C的过程中弹簧对圆环做正功，而从C到b的过程中弹簧对圆环做负功，圆环的机械能是变化的，故A、B错误；当圆环与O点的连线与杆垂直时，弹簧的长度最短，弹簧的弹性势能最小，所以弹簧的弹性势能先减小后增大，故C错误；在整个过程中只有重力和弹簧的弹力做功，圆环和弹簧组成的系统机械能守恒，故D正确。
6.一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示。长度为πR、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球。小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直。将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力)( )
A. B.
C. D．2
解析：选A 当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球下落的高度为h＝πR－R＋R＝R，小球下落过程中，根据动能定理有mgh＝mv2，联立以上两式解得v＝，故A正确，B、C、D错误。
7.如图所示，小球从A点以初速度v0沿粗糙斜面向上运动，到达最高点B后返回A，C为AB的中点。下列说法中正确的是( )
A．小球从A到B过程与从B到A过程，时间相等
B．小球从A到B过程与从B到A过程，动能变化量的大小相等
C．小球从A到C过程与从C到B过程，时间相等
D．小球从A到C过程与从C到B过程，动能变化量的大小相等
解析：选D 因斜面粗糙，小球在运动中机械能不断减小，可知小球回到A点的速度小于v0，再由匀变速直线运动中＝可知小球在从A运动到B的过程中平均速度大于小球从B返回A的过程中的平均速度，而两过程中位移大小相同，故运动时间不等，故A错误。由动能定理可知小球动能的变化量等于合外力所做的功，两过程位移大小相同，而从A到B过程中合力FAB＝mgsin θ＋f大于返回时合力FBA＝mgsin θ－f，故小球从A运动到B的过程中合外力做功多，动能变化大，故B错误。小球从A到C过程中最小速度等于小球从C到B过程中的最大速度，因为小球从A到C与从C到B的两过程中位移大小是相等的，所以运动时间不等，故C错误。小球在从A到C过程与从C到B过程中所受合力相等，由动能定理可知动能变化量的大小相等，故D正确。
8．如图所示，质量、初速度大小都相同的A、B、C三个小球，在同一水平面上，A球竖直上抛，B球以倾斜角θ斜向上抛，空气阻力不计，C球沿倾角为θ的光滑斜面上滑，它们上升的最大高度分别为hA、hB、hC，则( )
A．hA＝hB＝hC B．hA＝hBC．hA＝hB>hC D．hA＝hC>hB
解析：选D A球和C球上升到最高点时速度均为0，而B球上升到最高点时仍有水平方向的速度，即仍有动能。对A、C球由机械能守恒得mgh＝mv02，得h＝。对B球，mgh′＋mv2＝mv02，得h′＝9.如图所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O点处于同一水平线上的P点处有一根光滑的细钉，已知OP＝，在A点给小球一个水平向左的初速度v0，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B。求：
(1)小球到达B点时的速率；
(2)若不计空气阻力，则初速度v0；
(3)若空气阻力不能忽略，则初速度需变为v0′＝3 时才可以恰好到达最高点B，则小球从A到B的过程中克服空气阻力做的功。
解析：(1)小球恰能到达最高点B，则在最高点有mg＝，小球到达B点时的速率v＝ 。
(2)从A至B的过程，由机械能守恒定律得
－mg＝mv2－mv02，
解得v0＝ 。
(3)空气阻力是变力，设小球从A到B的过程中克服空气阻力做功为Wf，由动能定理得
－mg－Wf＝mv2－mv0′2，
解得Wf＝mgL。
答案：(1) (2) (3)mgL
组—重应用·体现创新
10．(多选)如图甲，在蹦极者身上装好传感器，可测量他在不同时刻下落的高度及速度。蹦极者从蹦极台自由下落，利用传感器与计算机结合得到如图乙所示的速度(v)—位移(l)图像。蹦极者及所携带设备的总质量为60 kg，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列表述正确的是( )
A．整个下落过程，蹦极者及设备组成的系统机械能不守恒
B．从弹性绳刚伸直开始，蹦极者做减速运动
C．蹦极者动能最大时，弹性绳的拉力大小等于重力
D．弹性绳的弹性势能最大值为15 600 J
解析：选CD 不计空气阻力，只有重力和弹性绳弹力做功，整个下落过程中蹦极者及设备组成的系统机械能守恒，A错误；弹性绳刚伸直时弹性绳的拉力小于蹦极者的重力，蹦极者继续做加速运动。当拉力等于重力时，蹦极者所受合外力为0，速度达到最大，动能达到最大。当拉力大于重力时，蹦极者开始做减速运动，到最低点时速度为0，B错误，C正确；从图像可知，下落的最大高度为26 m，由E＝mgh＝60×10×26 J＝15 600 J，D正确。
11．如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为mA＝1 kg和mB＝2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水平地面的高度h＝0.1 m。两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2。则下列说法中正确的是( )
A．整个下滑过程中A球机械能守恒
B．整个下滑过程中轻杆没有作用力
C．整个下滑过程中A球机械能的减少量为 J
D．整个下滑过程中B球机械能的增加量为 J
解析：选C A、B两球均在斜面上滑动的过程中，设轻杆的作用力大小为F。根据牛顿第二定律，对整体有(mA＋mB)gsin 30°＝(mA＋mB)a，对B有F＋mBgsin 30°＝mBa。联立解得F＝0，即在斜面上滑动的过程中，只有重力对A球做功，所以A球在B球到地面之前，在斜面上运动时机械能守恒。在斜面上下滑的整个过程中，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，得mAg(h＋Lsin 30°)＋mBgh＝(mA＋mB)v2，解得v＝ m/s。在斜面上下滑的整个过程中B球机械能的增加量为ΔEB＝mBv2－mBgh＝ J。根据系统的机械能守恒知，A球机械能的增加量为ΔEA＝－ΔEB＝－ J，分析可知A在斜面上、B在水平面上运动过程中轻杆有作用力，故A、B、D错误，C正确。
12．如图所示，弯曲斜面与半径为R的竖直半圆组成光滑轨道，一个质量为m的小球从高度为4R的A点由静止释放，经过半圆的最高点D后做平抛运动落在水平面的E点，忽略空气阻力(重力加速度为g)，求：
(1)小球在D点时的速度vD；
(2)小球落地点E离半圆轨道最低点B的位移x；
(3)小球经过半圆轨道的C点(C点与圆心O在同一水平面)时对轨道的压力大小。
解析：(1)小球从A到D，根据机械能守恒定律可得
mg(4R－2R)＝mvD2，整理可以得到vD＝2。
(2)小球离开D点后做平抛运动，根据平抛运动规律可知：
水平方向有x＝vDt，
竖直方向有2R＝gt2，
整理可以得到x＝4R。
(3)从A到C，根据机械能守恒定律得
mg(4R－R)＝mvC2，
在C点，根据牛顿第二定律FN＝m，
整理可以得到FN＝6mg。
由牛顿第三定律可知，小球经过半圆轨道的C点时对轨道的压力大小为6mg。
答案：(1)2 (2)4R (3)6mg
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