第八章｜ 机械能守恒定律
第5节 实验：验证机械能守恒定律
?实验目的
1．通过实验研究物体运动过程中动能与重力势能的变化，从而验证机械能守恒定律。
2．练习使用打点计时器或气垫导轨等器材验证机械能守恒定律。
?实验思路
思路1：自由下落的物体只受到重力作用，满足机械能守恒的条件。
甲
思路2：物体沿光滑斜面下滑时，虽然受到重力和斜面的支持力，但支持力与物体位移方向垂直(如图甲所示)，对物体不做功，这种情况也满足机械能守恒的条件。
思路3：用细线悬挂的小球摆动时，细线的拉力与小球的运动方向垂直，对小球不做功。如果忽略空气阻力，这个过程中只有重力做功，也满足机械能守恒的条件。
?实验原理
(以下都以思路1：自由落体运动的物体为例)
让物体自由下落，忽略阻力情况下物体的机械能守恒，有两种方案验证物体的机械能守恒：
1．以物体下落的起始点O为基准，测出物体下落高度h时的速度大小v，若mv2＝mgh成立，则可验证物体的机械能守恒。
2．测出物体下落高度h过程的初、末时刻的速度v1、v2，若关系式mv22－mv12＝mgh成立，则物体的机械能守恒。
实验器材
铁架台 带铁夹 、打点计时器、重物 带纸带夹子 、纸带、复写纸、导线、毫米刻度尺、低压交流电源。
?实验步骤
乙
1．安装置：按如图乙所示将检查、调整好的打点计时器竖直固定在铁架台上，接好电路。
2．打纸带：将纸带的一端用夹子固定在重物上，另一端穿过打点计时器的限位孔，用手提着纸带使重物静止在靠近打点计时器的地方。先接通电源，后松开纸带，让重物带着纸带自由下落。更换纸带重复做3～5次实验。
3．选纸带：选取点迹较为清晰且前两点间的距离约为2 mm的纸带，把纸带上打出的两点间的距离为2 mm的第一个点作为起始点，记作O，在距离O点较远处再依次选出计数点1、2、3…
4．测距离：用毫米刻度尺测出O点到计数点1、2、3…的距离，即为对应下落的高度h1、h2、h3…
?数据处理
1．计算各点对应的瞬时速度：记下第1个点的位置O，在纸带上从离O点适当距离开始选取几个计数点1、2、3…并测量出各计数点到O点的距离h1、h2、h3…再根据公式vn＝，计算出1、2、3、4、…、n点的瞬时速度v1、v2、v3、v4、…、vn。
2．机械能守恒验证
方法一：利用起始点和第n点。
从起始点到第n个计数点，重力势能减少量为mghn，动能增加量为mvn2，计算ghn和vn2，如果在实验误差允许的范围内ghn＝vn2，则机械能守恒定律得到验证。
方法二：任取两点A、B。
从A点到B点，重力势能减少量为mghA－mghB，动能增加量为mvB2－mvA2，计算ghAB和vB2－vA2，如果在实验误差允许的范围内ghAB＝vB2－vA2，则机械能守恒定律得到验证。
方法三：图像法。
丙
计算各计数点v2，以v2为纵轴，以各计数点到第一个点的距离h为横轴，根据实验数据绘出v2-h图线，如图丙所示。若在误差许可的范围内图像是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒定律。
?误差分析
1．在进行长度测量时，测量及读数不准造成偶然误差。
2．系统误差的主要来源是重物下落要克服阻力做功，部分机械能转化成内能，下落高度越大，机械能损失越多，所以实验数据出现了各计数点对应的机械能依次略有减小的现象。
3．由于交流电的周期不稳定，造成打点时间间隔变化而产生系统误差。
?注意事项
1．应尽可能控制实验，满足机械能守恒的条件，这就要求尽量减小各种阻力的影响，采取的措施有：
(1)安装打点计时器时，必须使两个限位孔的中线严格竖直，以减小摩擦阻力。
(2)应选用质量和密度较大的重物，增大重力可使阻力的影响相对减小，增大密度可以减小体积，使空气阻力减小。
2．实验中，提纸带的手要保持不动，且保证纸带竖直。接通电源后，等打点计时器工作稳定再松开纸带。
3．纸带的选取
(1)以第一个点为起点时，要验证的是mvn2＝mghn，必须保证纸带上的第一个点为重物静止释放时打的点，所以前两个点的间距为h＝gt2＝×10×(0.02)2m＝2 mm。
(2)以下落中某点为起点时，要验证的是mvm2－mvn2＝mghmn，这时选择纸带不需要满足前两点间距为2 mm。
4．计算速度时不能用v＝gt或v＝，否则就犯了用机械能守恒定律去验证机械能守恒的错误。
5．测量下落高度时，为减小实验误差，后边的点应距起点O较远，在测量各点到O点的距离时，应当用刻度尺从O点量起，一次性读出各点到O点的距离。
(一)实验原理与操作
典例1
甲
用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律。实验所用的电源为学生电源，输出低压交流电和直流电两种，重物从高处由静止开始落下，重物拖着的纸带通过打点计时器打出一系列的点，对纸带上的点的痕迹进行测量，即可验证机械能守恒定律。
(1)下面列举了该实验的几个操作步骤：
A．按照图示的装置安装器件；
B．将打点计时器接到电源的直流输出端上；
C．用天平测量出重物的质量；
D．释放悬挂纸带的夹子，接通电源开关打出一条纸带；
E．测量打出的纸带上选中点与起始点之间的距离；
F．根据测量的结果计算重物下落过程中减少的重力势能是否等于增加的动能。
其中没有必要进行的步骤是________；操作不恰当的步骤是________。
(2)某同学做“验证机械能守恒定律”的实验时，打下的一条纸带如图乙所示，0点为起始点，测得3点、6点、9点与第一点0间的距离分别为hA＝1.75 cm，hB＝7.00 cm，hC＝15.70 cm，交流电的周期是0.02 s，当地的重力加速度g＝9.8 m/s2，设重物的质量是m＝1.00 kg，则从0点到6点，重物的动能增量ΔEk＝_____J，重物重力势能减少量ΔEp＝_____J。(均保留两位有效数字)
乙
[解析] (1)没有必要进行的步骤是C，本实验是用自由落体运动验证机械能守恒，验证的是mgh＝mv2，所以质量可不用测；操作不恰当的步骤是B、D，打点计时器连接的应该是交流电源，操作时应该先接通电源后释放重物。
(2)从0点到6点，重物的动能增量ΔEk＝mvB2＝mvAC2，ΔEk＝×1×2 J＝0.68 J，重物重力势能减少量ΔEp＝mghB＝0.69 J。
[答案] (1)C BD (2)0.68 0.69
关于实验操作的三点提醒
(1)本实验不需要测量重物的质量。
(2)打点计时器连接的应该是交流电源。
(3)实验时应该先接通电源后释放重物。
【对点训练】
1．在利用自由落体运动验证机械能守恒定律的实验中，电源的频率为50 Hz，依次打出的点为0、1、2、…、n。则：
(1)如果用打出的点2到点6之间的纸带来验证，必须直接测量的物理量为________、______、______，必须计算出的物理量为__________、__________，验证的表达式为________________________________________________________________________。
(2)下列实验步骤操作合理的排列顺序是________(填写步骤前面的字母)。
A．将打点计时器竖直安装在铁架台上
B．接通电源，再松开纸带，让重物自由下落
C．取下纸带，更换新纸带(或将纸带翻个面)重新做实验
D．将重物固定在纸带的一端，让纸带穿过打点计时器，用手提着纸带
E．选择一条纸带，用刻度尺测出重物下落的高度h1、h2、h3、…、hn，计算出对应的瞬时速度v1、v2、v3、…、vn
F．分别算出mvn2和mghn, 在实验误差范围内看是否相等
解析：(1)要验证打出的点2到点6之间的纸带对应重物的运动过程中机械能是否守恒，应测出点2到点6的距离h26，要计算打下点2和点6时纸带对应的速度v2和v6，必须测出点1到点3之间的距离h13和点5到点7之间的距离h57，验证的表达式为mgh26＝mv62－mv22。
(2)实验操作顺序为ADBCEF。
答案：(1)点2到点6之间的距离h26 点1到点3之间的距离h13 点5到点7之间的距离h57 打下点2时纸带的瞬时速度v2 打下点6时纸带的瞬时速度v6 mgh26＝mv62－mv22 (2)ADBCEF
(二)数据处理与误差分析
典例2 (2025·河南高考)实验小组利用图1所示装置验证机械能守恒定律。可选用的器材有：交流电源(频率50 Hz)、铁架台、电子天平、重锤、打点计时器、纸带、刻度尺等。
图1
(1)下列所给实验步骤中，有4个是完成实验必需且正确的，把它们选择出来并按实验顺序排列：______(填步骤前面的序号)。
①先接通电源，打点计时器开始打点，然后再释放纸带
②先释放纸带，然后再接通电源，打点计时器开始打点
③用电子天平称量重锤的质量
④将纸带下端固定在重锤上，穿过打点计时器的限位孔，用手捏住纸带上端
⑤在纸带上选取一段，用刻度尺测量该段内各点到起点的距离，记录分析数据
⑥关闭电源，取下纸带
(2)图2所示是纸带上连续打出的五个点A、B、C、D、E到起点的距离。则打出B点时重锤下落的速度大小为________m/s(保留3位有效数字)。
图2
(3)纸带上各点与起点间的距离即为重锤下落高度h，计算相应的重锤下落速度v，并绘制图3所示的v2 h关系图像。理论上，若机械能守恒，图中直线应______(填“通过”或“不通过”)原点且斜率为________(用重力加速度大小g表示)；由图3得直线的斜率k＝____________(保留3位有效数字)。
图3
(4)定义单次测量的相对误差η＝×100%，其中Ep是重锤重力势能的减小量，Ek是其动能增加量，则实验相对误差为η＝________×100%(用字母k和g表示)；当地重力加速度大小取g＝9.80 m/s2，则η＝________%(保留2位有效数字)，若η<5%，可认为在实验误差允许的范围内机械能守恒。
[解析] (1)根据机械能守恒定律mgh＝mv2，可知质量可以约掉，不需要用电子天平称量重锤的质量。实验步骤为：将纸带下端固定在重锤上，穿过打点计时器的限位孔，用手捏住纸带上端；先接通电源，打点计时器开始打点，然后再释放纸带；关闭电源，取下纸带；在纸带上选取一段，用刻度尺测量该段内各点到起点的距离，记录分析数据。故按实验顺序排列为④①⑥⑤。
(2)根据题意可知纸带上相邻两点间的时间间隔为T＝＝0.02 s，根据匀变速直线运动中间时刻的速度等于该过程平均速度可得vB＝≈1.79 m/s。
(3)根据mgh＝mv2，整理可得v2＝2gh，可知若机械能守恒，题图3直线应通过原点，且斜率k＝2g；由题图3可知直线的斜率k＝≈19.0。
(4)根据题意有η＝×100%＝×100%；当地重力加速度大小取g＝9.80 m/s2，代入数据可得η≈3.1%。
[答案] (1)④①⑥⑤ (2)1.79 (3)通过 2g 19.0(18.8～19.1均可) (4) 3.1(2.6～4.1均可)
实验数据处理的三点提醒
(1)应用计算法计算有关数据时要注意单位统一。
(2)不能应用公式v＝来求解瞬时速度。
(3)应用图像法时要注意坐标轴的意义不同，对应斜率的意义也不同。
根据关系式mgh＝mv2可知：
①如果作v2-h图像，则图线的斜率k＝2g。
②如果作v2-h图像，则图线的斜率k＝g。
③如果作h-v2图像，则图线的斜率k＝。
【对点训练】
2．用自由落体法验证机械能守恒定律的实验中，根据纸带算出相关各点的速度v，测量出下落距离h，则以为纵轴，以h为横轴画出的图像应是( )
解析：选C 由机械能守恒定律得mgh＝mv2，得＝gh，可以看出与h成正比例关系，图线是过原点的直线，故C正确。
创新点(一) 实验原理、实验器材的创新
1．利用气垫导轨验证机械能守恒定律，实验装置示意图如图所示。
(1)实验步骤：
①将气垫导轨放在水平面上，桌面高度不低于1 m，将导轨调至水平；
②用游标卡尺测量挡光条的宽度为l＝9.30 mm；
③由导轨标尺读出两光电门中心之间的距离s＝_______cm；
④将滑块移至光电门1左侧某处，待砝码静止不动时，释放滑块，要求砝码落地前挡光条已通过光电门2；
⑤从数字计时器(图中未画出)上分别读出挡光条通过光电门1和光电门2所用的时间Δt1和Δt2；
⑥用天平称出滑块和挡光条的总质量M，再称出托盘和砝码的总质量m。
(2)用表示直接测量的物理量字母写出下列所示物理量的表达式：
①滑块通过光电门1和光电门2时瞬时速度分别为v1＝________和v2＝________。
②当滑块通过光电门1和光电门2时，系统(包括滑块、挡光条、托盘和砝码)的总动能分别为Ek1＝________和Ek2＝________。
③在滑块从光电门1运动到光电门2的过程中，系统势能的减少量ΔEp减＝________(重力加速度为g)。
(3)如果ΔEp减＝________，则可认为验证了机械能守恒定律。
解析：(1)③由导轨标尺读出两光电门中心之间的距离s＝60.00 cm(59.96～60.04)。
(2)①挡光条宽度很小，因此将挡光条通过光电门时的平均速度当作瞬时速度，挡光条的宽度l可用游标卡尺测量，挡光时间Δt可从数字计时器读出，因此，滑块通过光电门的瞬时速度可由计算，则滑块通过光电门1时瞬时速度为v1＝，通过光电门2时瞬时速度为v2＝。
②当滑块通过光电门1时系统(包括滑块、挡光条、托盘和砝码)的总动能Ek1＝(M＋m)2，通过光电门2时的总动能Ek2＝(M＋m)2。
③在滑块从光电门1运动到光电门2的过程中，系统势能的减少量ΔEp减＝mgs。
(3)如果ΔEp减＝Ek2－Ek1，两者在误差允许范围内相等，那么可认为验证了机械能守恒定律。
答案：(1)③60.00(59.96～60.04) (2)①
②(M＋m)2 (M＋m)2 ③mgs
(3)Ek2－Ek1
本实验的创新点：
(1)原理创新：本实验通过验证托盘和砝码减少的重力势能与托盘和砝码及滑块增加的总动能是否相等来验证系统的机械能守恒。
(2)器材创新：本实验应用了气垫导轨与光电门的组合测量滑块的瞬时速度。
创新点(二) 实验器材、数据处理的创新
2.某同学将小球a、b分别固定于一轻杆的两端，轻杆呈水平且处于静止状态，释放轻杆使a、b两球随轻杆逆时针转动，用如图所示装置验证机械能守恒定律，已知重力加速度大小为g。
(1)测出小球的直径为d，测出小球a、b质量分别为ma和mb，光电门记录小球的挡光时间为Δt，转轴O到a、b球的距离分别为la和lb，光电门固定于转轴O的正下方，与O的距离为lb，如果系统(小球a、b)的机械能守恒，应满足的关系式为____________________(用题中测量量的字母表示)。
(2)分析本实验中可能产生误差的原因(说出一条即可)：________________________
________________________________________________________________________。
解析：(1)对小球a和b构成的系统，当杆由水平位置转到b球经过光电门的过程中：
系统重力势能的减小量为ΔEp＝mbglb－magla，
系统动能的增加量为ΔEk＝mbvb2＋mava2
由于两球共轴转动，角速度相等，有＝，
由题意得vb＝
系统机械能守恒要满足ΔEk＝ΔEp，
即mbglb－magla＝ma＋mb。
(2)实验中可能产生误差的原因：杆的质量不能忽略、转轴有摩擦、空气对小球的阻力、小球b经过光电门时不一定正对光电门的中心等。
答案：(1)mbglb－magla＝ma＋mb (2)见解析
本实验的创新点：
(1)器材创新：本实验应用了用杆连接的两个小球共轴转动。
(2)数据处理创新：本实验中两个小球转动的角速度相等，根据小球b的速度可以求出小球a的速度。
[课时跟踪检测]
组—重基础·体现综合
1．(多选)在“验证机械能守恒定律”的实验中，对于自由下落的重物，下列选择条件中可取的是( )
A．选用重物时，重的比轻的好
B．选用重物时，体积小的比大的好
C．重物所受重力应与它所受的空气阻力和纸带所受打点计时器的阻力平衡
D．重物所受重力应远大于它所受的空气阻力和纸带所受打点计时器的阻力
解析：选ABD 本实验的目的是验证机械能守恒定律，故应尽量选用重的、体积小的重物，从而能减小实验误差；所受阻力应不影响实验结果，即重力应远大于空气阻力和纸带所受打点计时器的阻力。
2.用如图所示装置验证机械能守恒定律，由于电火花计时器两限位孔不在同一竖直线上，使纸带通过时受到较大的阻力，这样实验造成的结果是( )
A．重力势能的减少量明显大于动能的增加量
B．重力势能的减少量明显小于动能的增加量
C．重力势能的减少量等于动能的增加量
D．以上几种情况都有可能
解析：选A 由于重物下落时要克服阻力做功，重物减少的重力势能转化为重物的动能和系统的内能，因此重力势能的减少量大于动能的增加量，故A正确。
3．在“验证机械能守恒定律”的实验中，质量m＝1 kg的重物自由下落，在纸带上打出一系列的点，如图所示(相邻两计数点时间间隔为0.02 s)，单位：cm，那么：
(1)纸带的________(填“右”或“左”)端与重物相连。
(2)打点计时器打下计数点B时，重物的速度vB＝________。
(3)从起点O到打下计数点B的过程中重物重力势能减少量ΔEp＝________J，此过程中重物动能的增加量ΔEk＝________J(g取9.8 m/s2)。
(4)通过计算，数值上ΔEp________(填“＞”“＝”或“＜”)ΔEk，这是因为________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
解析：(1)重物下落的过程中，重物的速度越来越大，打的点间距应当越来越大，故左端与重物相连。
(2)B点瞬时速度等于AC段的平均速度
vB＝＝ m/s＝0.98 m/s。
(3)重力势能的减少量
ΔEp＝mgh＝1×9.8×0.050 1 J＝0.491 J，
动能的增加量
ΔEk＝mvB2＝×1×0.982 J＝0.480 J。
(4)计算得出ΔEp＞ΔEk。这是因为重物在下落过程中还需克服阻力做功。
答案：(1)左 (2)0.98 m/s (3)0.491 0.480
(4)＞ 重物在下落过程中还需克服阻力做功
4.利用如图所示装置验证机械能守恒定律。图中AB是固定的光滑斜面，斜面的倾角为30°，1和2是固定在斜面上适当位置的两个光电门，与它们连接的光电计时器都没有画出。让滑块从斜面的顶端滑下，光电门1、2各自连接的光电计时器显示的挡光时间分别为5.00×10－2 s、2.00×10－2 s。已知滑块质量为2.00 kg，滑块沿斜面方向的长度为5.00 cm，光电门1和2之间的距离为0.54 m，g取9.80 m/s2，取滑块经过光电门时的速度为其平均速度。
(1)滑块经过光电门1时的速度v1＝________m/s，经过光电门2时的速度v2＝________m/s。
(2)滑块通过光电门1、2之间的动能增加量为________J，重力势能的减少量为________J。
解析：(1)滑块沿斜面方向的长度为L＝5.00×10－2 m，
v1＝＝ m/s＝1.00 m/s，
v2＝＝ m/s＝2.50 m/s。
(2)动能增加量ΔEk＝mv22－mv12
＝×2.00×(2.502－1.002)J＝5.25 J，
重力势能的减少量
ΔEp＝2.00×9.80×0.54×sin 30° J≈5.29 J。
答案：(1)1.00 2.50 (2)5.25 5.29
5．某实验小组利用铁架台、弹簧、钩码、打点计时器、刻度尺等器材验证系统机械能守恒定律，实验装置如图甲所示。弹簧的劲度系数为k，原长为L0，钩码的质量为m。已知弹簧的弹性势能表达式为E＝kx2，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，当地的重力加速度大小为g。
(1)在弹性限度内将钩码缓慢下拉至某一位置，测得此时弹簧的长度为L。接通打点计时器电源。从静止释放钩码，弹簧收缩，得到了一条点迹清晰的纸带。钩码加速上升阶段的部分纸带如图乙所示，纸带上相邻两点之间的时间间隔均为T(在误差允许范围内，认为释放钩码的同时打出A点)。从打出A点到打出F点时间内，弹簧的弹性势能减少量为________，钩码的动能增加量为________，钩码的重力势能增加量为________。
(2)利用计算机软件对实验数据进行处理，得到弹簧弹性势能减少量、钩码的机械能增加量分别与钩码上升高度h的关系，如图丙所示。
由图丙可知，随着h增加，两条曲线在纵向的间隔逐渐变大，主要原因是________________________________________________________________________。
解析：(1)根据题意，弹簧初始伸长量为L－L0，题中明确纸带为加速上升阶段，即弹簧始终处于伸长状态，F位置弹簧伸长量为L－L0－h4，弹性势能减少量为k(L－L0)2－k(L－L0－h4)2，也可以整理为k(L－L0)h4－kh42。点F处的速度为，因此，动能变化量为，重力势能增加量为mgh4。
(2)摩擦力和空气阻力做功随着位移增加，减小的弹性势能一部分转变为内能。
答案：(1)k(L－L0)h4－kh42 mgh4 (2)见解析
组—重应用·体现创新
6．(2024·浙江6月选考)在“验证机械能守恒定律”的实验中，
(1)下列操作正确的是________。
(2)实验获得一条纸带，截取点迹清晰的一段并测得数据如图所示。已知打点的频率为50 Hz，则打点“13”时，重锤下落的速度大小为________m/s(保留三位有效数字)。
(3)某同学用纸带的数据求出重力加速度g＝9.77 m/s2，并用此g值计算得出打点“1”到“13”过程重锤的重力势能减小值为5.09m，另计算得动能增加值为5.08m(m为重锤质量)，则该结果________(选填“能”或“不能”)验证机械能守恒，理由是________。
A．在误差允许范围内
B．没有用当地的重力加速度g
解析：(1)做该实验时，为了减小阻力的影响，且获得最多的数据，应手提纸带上端使纸带竖直，同时使重物靠近打点计时器，由静止释放，故选B。
(2)由T＝知，T＝0.02 s，根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于该过程平均速度可得，打点“13”时，重锤下落的速度大小为
v13＝＝m/s＝3.34 m/s。
(3)不能验证机械能守恒；
计算重力势能时应用当地的重力加速度g计算，故选B。
答案：(1)B (2)3.34 (3)不能 B
7．某同学利用如图甲所示的装置验证机械能守恒定律，已知当地重力加速度为g。主要实验步骤如下：
甲
①用游标卡尺测量挡光片的宽度d，用量角器测出气垫导轨的倾角θ；
②测量挡光片到光电门的距离x；
③由静止释放滑块，记录数字计时器显示挡光片的挡光时间t；
④改变x，测出不同x所对应的挡光时间t。
根据上述实验步骤请回答：
(1)用游标卡尺测量挡光片的宽度时的结果如图乙所示，则挡光片的宽度d＝________mm。
乙
(2)滑块通过光电门时速度的表达式v＝________(用实验中所测物理量符号表示)。
(3)根据实验测得的多组x、t数据，可绘制x-图像，图像的纵坐标为x，横坐标为，如果滑块下滑过程符合机械能守恒定律，则图像应为过原点的一条倾斜直线，其斜率为________(用d、θ、g表示)。
解析：(1)游标卡尺的主尺读数为2 mm，游标读数为0.05×8 mm＝0.40 mm，所以最终读数为2 mm＋0.40 mm＝2.40 mm。
(2)因为挡光片通过光电门的时间极短，所以可以用平均速度表示瞬时速度，滑块通过光电门时速度v＝。
(3)如果滑块下滑过程符合机械能守恒定律，那么应有mgxsin θ＝m2，x＝2，x-图像应为过原点的一条倾斜直线，其斜率为。
答案：(1)2.40 (2) (3)
8．某同学设计了一个用拉力传感器验证机械能守恒定律的实验。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，另一端连接小钢球，如图甲所示。拉起小钢球至某一位置由静止释放，使小钢球在竖直平面内摆动，记录钢球摆动过程中拉力传感器示数的最大值Tmax和最小值Tmin。改变小钢球的初始释放位置，重复上述过程。根据测量数据在直角坐标系中绘制的Tmax -Tmin图像是一条直线，如图乙所示。
(1)若小钢球摆动过程中机械能守恒。则图乙中直线斜率的理论值为________。
(2)由图乙得：直线的斜率为________，小钢球的重力为________ N。(结果均保留2位有效数字)
(3)该实验系统误差的主要来源是________(单选，填正确答案标号)。
A．小钢球摆动角度偏大
B．小钢球初始释放位置不同
C．小钢球摆动过程中有空气阻力
解析：(1)设初始位置时，细线与竖直方向夹角为θ，则细线拉力最小值为Tmin＝mgcos θ，
到最低点时细线拉力最大，设小钢球在最低点的速度为v，由机械能守恒定律得
mgl(1－cos θ)＝mv2，
在最低点：Tmax－mg＝m，
联立可得Tmax＝3mg－2Tmin，
若小钢球摆动过程中机械能守恒，则图乙中直线斜率的理论值为－2。
(2)由图乙得直线的斜率为
k＝－＝－2.1，
3mg＝1.77 N，
则小钢球的重力为mg＝0.59 N。
(3)该实验系统误差的主要来源是小钢球摆动过程中有空气阻力，使得机械能减小，故选C。
答案：(1)－2 (2)－2.1 0.59 (3)C
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第八章｜ 机械能守恒定律
第5节 实验：验证机械能守恒定律
?实验目的
1．通过实验研究物体运动过程中动能与重力势能的变化，从而验证机械能守恒定律。
2．练习使用打点计时器或气垫导轨等器材验证机械能守恒定律。
?实验思路
思路1：自由下落的物体只受到重力作用，满足机械能守恒的条件。
甲
思路2：物体沿光滑斜面下滑时，虽然受到重力和斜面的支持力，但支持力与物体位移方向垂直(如图甲所示)，对物体不做功，这种情况也满足机械能守恒的条件。
思路3：用细线悬挂的小球摆动时，细线的拉力与小球的运动方向垂直，对小球不做功。如果忽略空气阻力，这个过程中只有重力做功，也满足机械能守恒的条件。
?实验原理
(以下都以思路1：自由落体运动的物体为例)
让物体自由下落，忽略阻力情况下物体的机械能守恒，有两种方案验证物体的机械能守恒：
1．以物体下落的起始点O为基准，测出物体下落高度h时的速度大小v，若mv2＝mgh成立，则可验证物体的机械能守恒。
2．测出物体下落高度h过程的初、末时刻的速度v1、v2，若关系式mv22－mv12＝mgh成立，则物体的机械能守恒。
实验器材
铁架台 带铁夹 、打点计时器、重物 带纸带夹子 、纸带、复写纸、导线、毫米刻度尺、低压交流电源。
?实验步骤
乙
1．安装置：按如图乙所示将检查、调整好的打点计时器竖直固定在铁架台上，接好电路。
2．打纸带：将纸带的一端用夹子固定在重物上，另一端穿过打点计时器的限位孔，用手提着纸带使重物静止在靠近打点计时器的地方。先接通电源，后松开纸带，让重物带着纸带自由下落。更换纸带重复做3～5次实验。
3．选纸带：选取点迹较为清晰且前两点间的距离约为2 mm的纸带，把纸带上打出的两点间的距离为2 mm的第一个点作为起始点，记作O，在距离O点较远处再依次选出计数点1、2、3…
4．测距离：用毫米刻度尺测出O点到计数点1、2、3…的距离，即为对应下落的高度h1、h2、h3…
?数据处理
1．计算各点对应的瞬时速度：记下第1个点的位置O，在纸带上从离O点适当距离开始选取几个计数点1、2、3…并测量出各计数点到O点的距离h1、h2、h3…再根据公式vn＝，计算出1、2、3、4、…、n点的瞬时速度v1、v2、v3、v4、…、vn。
2．机械能守恒验证
方法一：利用起始点和第n点。
从起始点到第n个计数点，重力势能减少量为mghn，动能增加量为mvn2，计算ghn和vn2，如果在实验误差允许的范围内ghn＝vn2，则机械能守恒定律得到验证。
方法二：任取两点A、B。
从A点到B点，重力势能减少量为mghA－mghB，动能增加量为mvB2－mvA2，计算ghAB和vB2－vA2，如果在实验误差允许的范围内ghAB＝vB2－vA2，则机械能守恒定律得到验证。
方法三：图像法。
丙
计算各计数点v2，以v2为纵轴，以各计数点到第一个点的距离h为横轴，根据实验数据绘出v2-h图线，如图丙所示。若在误差许可的范围内图像是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒定律。
?误差分析
1．在进行长度测量时，测量及读数不准造成偶然误差。
2．系统误差的主要来源是重物下落要克服阻力做功，部分机械能转化成内能，下落高度越大，机械能损失越多，所以实验数据出现了各计数点对应的机械能依次略有减小的现象。
3．由于交流电的周期不稳定，造成打点时间间隔变化而产生系统误差。
?注意事项
1．应尽可能控制实验，满足机械能守恒的条件，这就要求尽量减小各种阻力的影响，采取的措施有：
(1)安装打点计时器时，必须使两个限位孔的中线严格竖直，以减小摩擦阻力。
(2)应选用质量和密度较大的重物，增大重力可使阻力的影响相对减小，增大密度可以减小体积，使空气阻力减小。
2．实验中，提纸带的手要保持不动，且保证纸带竖直。接通电源后，等打点计时器工作稳定再松开纸带。
3．纸带的选取
(1)以第一个点为起点时，要验证的是mvn2＝mghn，必须保证纸带上的第一个点为重物静止释放时打的点，所以前两个点的间距为h＝gt2＝×10×(0.02)2m＝2 mm。
(2)以下落中某点为起点时，要验证的是mvm2－mvn2＝mghmn，这时选择纸带不需要满足前两点间距为2 mm。
4．计算速度时不能用v＝gt或v＝，否则就犯了用机械能守恒定律去验证机械能守恒的错误。
5．测量下落高度时，为减小实验误差，后边的点应距起点O较远，在测量各点到O点的距离时，应当用刻度尺从O点量起，一次性读出各点到O点的距离。
(一)实验原理与操作
典例1
甲
用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律。实验所用的电源为学生电源，输出低压交流电和直流电两种，重物从高处由静止开始落下，重物拖着的纸带通过打点计时器打出一系列的点，对纸带上的点的痕迹进行测量，即可验证机械能守恒定律。
(1)下面列举了该实验的几个操作步骤：
A．按照图示的装置安装器件；
B．将打点计时器接到电源的直流输出端上；
C．用天平测量出重物的质量；
D．释放悬挂纸带的夹子，接通电源开关打出一条纸带；
E．测量打出的纸带上选中点与起始点之间的距离；
F．根据测量的结果计算重物下落过程中减少的重力势能是否等于增加的动能。
其中没有必要进行的步骤是________；操作不恰当的步骤是________。
(2)某同学做“验证机械能守恒定律”的实验时，打下的一条纸带如图乙所示，0点为起始点，测得3点、6点、9点与第一点0间的距离分别为hA＝1.75 cm，hB＝7.00 cm，hC＝15.70 cm，交流电的周期是0.02 s，当地的重力加速度g＝9.8 m/s2，设重物的质量是m＝1.00 kg，则从0点到6点，重物的动能增量ΔEk＝_____J，重物重力势能减少量ΔEp＝_____J。(均保留两位有效数字)
乙
【对点训练】
1．在利用自由落体运动验证机械能守恒定律的实验中，电源的频率为50 Hz，依次打出的点为0、1、2、…、n。则：
(1)如果用打出的点2到点6之间的纸带来验证，必须直接测量的物理量为________、______、______，必须计算出的物理量为__________、__________，验证的表达式为________________________________________________________________________。
(2)下列实验步骤操作合理的排列顺序是________(填写步骤前面的字母)。
A．将打点计时器竖直安装在铁架台上
B．接通电源，再松开纸带，让重物自由下落
C．取下纸带，更换新纸带(或将纸带翻个面)重新做实验
D．将重物固定在纸带的一端，让纸带穿过打点计时器，用手提着纸带
E．选择一条纸带，用刻度尺测出重物下落的高度h1、h2、h3、…、hn，计算出对应的瞬时速度v1、v2、v3、…、vn
F．分别算出mvn2和mghn, 在实验误差范围内看是否相等
(二)数据处理与误差分析
典例2 (2025·河南高考)实验小组利用图1所示装置验证机械能守恒定律。可选用的器材有：交流电源(频率50 Hz)、铁架台、电子天平、重锤、打点计时器、纸带、刻度尺等。
图1
(1)下列所给实验步骤中，有4个是完成实验必需且正确的，把它们选择出来并按实验顺序排列：______(填步骤前面的序号)。
①先接通电源，打点计时器开始打点，然后再释放纸带
②先释放纸带，然后再接通电源，打点计时器开始打点
③用电子天平称量重锤的质量
④将纸带下端固定在重锤上，穿过打点计时器的限位孔，用手捏住纸带上端
⑤在纸带上选取一段，用刻度尺测量该段内各点到起点的距离，记录分析数据
⑥关闭电源，取下纸带
(2)图2所示是纸带上连续打出的五个点A、B、C、D、E到起点的距离。则打出B点时重锤下落的速度大小为________m/s(保留3位有效数字)。
图2
(3)纸带上各点与起点间的距离即为重锤下落高度h，计算相应的重锤下落速度v，并绘制图3所示的v2 h关系图像。理论上，若机械能守恒，图中直线应______(填“通过”或“不通过”)原点且斜率为________(用重力加速度大小g表示)；由图3得直线的斜率k＝____________(保留3位有效数字)。
图3
(4)定义单次测量的相对误差η＝×100%，其中Ep是重锤重力势能的减小量，Ek是其动能增加量，则实验相对误差为η＝________×100%(用字母k和g表示)；当地重力加速度大小取g＝9.80 m/s2，则η＝________%(保留2位有效数字)，若η<5%，可认为在实验误差允许的范围内机械能守恒。
【对点训练】
2．用自由落体法验证机械能守恒定律的实验中，根据纸带算出相关各点的速度v，测量出下落距离h，则以为纵轴，以h为横轴画出的图像应是( )
创新点(一) 实验原理、实验器材的创新
1．利用气垫导轨验证机械能守恒定律，实验装置示意图如图所示。
(1)实验步骤：
①将气垫导轨放在水平面上，桌面高度不低于1 m，将导轨调至水平；
②用游标卡尺测量挡光条的宽度为l＝9.30 mm；
③由导轨标尺读出两光电门中心之间的距离s＝_______cm；
④将滑块移至光电门1左侧某处，待砝码静止不动时，释放滑块，要求砝码落地前挡光条已通过光电门2；
⑤从数字计时器(图中未画出)上分别读出挡光条通过光电门1和光电门2所用的时间Δt1和Δt2；
⑥用天平称出滑块和挡光条的总质量M，再称出托盘和砝码的总质量m。
(2)用表示直接测量的物理量字母写出下列所示物理量的表达式：
①滑块通过光电门1和光电门2时瞬时速度分别为v1＝________和v2＝________。
②当滑块通过光电门1和光电门2时，系统(包括滑块、挡光条、托盘和砝码)的总动能分别为Ek1＝________和Ek2＝________。
③在滑块从光电门1运动到光电门2的过程中，系统势能的减少量ΔEp减＝________(重力加速度为g)。
(3)如果ΔEp减＝________，则可认为验证了机械能守恒定律。
创新点(二) 实验器材、数据处理的创新
2.某同学将小球a、b分别固定于一轻杆的两端，轻杆呈水平且处于静止状态，释放轻杆使a、b两球随轻杆逆时针转动，用如图所示装置验证机械能守恒定律，已知重力加速度大小为g。
(1)测出小球的直径为d，测出小球a、b质量分别为ma和mb，光电门记录小球的挡光时间为Δt，转轴O到a、b球的距离分别为la和lb，光电门固定于转轴O的正下方，与O的距离为lb，如果系统(小球a、b)的机械能守恒，应满足的关系式为____________________(用题中测量量的字母表示)。
(2)分析本实验中可能产生误差的原因(说出一条即可)：________________________
________________________________________________________________________。
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组—重基础·体现综合
1．(多选)在“验证机械能守恒定律”的实验中，对于自由下落的重物，下列选择条件中可取的是( )
A．选用重物时，重的比轻的好
B．选用重物时，体积小的比大的好
C．重物所受重力应与它所受的空气阻力和纸带所受打点计时器的阻力平衡
D．重物所受重力应远大于它所受的空气阻力和纸带所受打点计时器的阻力
2.用如图所示装置验证机械能守恒定律，由于电火花计时器两限位孔不在同一竖直线上，使纸带通过时受到较大的阻力，这样实验造成的结果是( )
A．重力势能的减少量明显大于动能的增加量
B．重力势能的减少量明显小于动能的增加量
C．重力势能的减少量等于动能的增加量
D．以上几种情况都有可能
3．在“验证机械能守恒定律”的实验中，质量m＝1 kg的重物自由下落，在纸带上打出一系列的点，如图所示(相邻两计数点时间间隔为0.02 s)，单位：cm，那么：
(1)纸带的________(填“右”或“左”)端与重物相连。
(2)打点计时器打下计数点B时，重物的速度vB＝________。
(3)从起点O到打下计数点B的过程中重物重力势能减少量ΔEp＝________J，此过程中重物动能的增加量ΔEk＝________J(g取9.8 m/s2)。
(4)通过计算，数值上ΔEp________(填“＞”“＝”或“＜”)ΔEk，这是因为________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
4.利用如图所示装置验证机械能守恒定律。图中AB是固定的光滑斜面，斜面的倾角为30°，1和2是固定在斜面上适当位置的两个光电门，与它们连接的光电计时器都没有画出。让滑块从斜面的顶端滑下，光电门1、2各自连接的光电计时器显示的挡光时间分别为5.00×10－2 s、2.00×10－2 s。已知滑块质量为2.00 kg，滑块沿斜面方向的长度为5.00 cm，光电门1和2之间的距离为0.54 m，g取9.80 m/s2，取滑块经过光电门时的速度为其平均速度。
(1)滑块经过光电门1时的速度v1＝________m/s，经过光电门2时的速度v2＝________m/s。
(2)滑块通过光电门1、2之间的动能增加量为________J，重力势能的减少量为________J。
5．某实验小组利用铁架台、弹簧、钩码、打点计时器、刻度尺等器材验证系统机械能守恒定律，实验装置如图甲所示。弹簧的劲度系数为k，原长为L0，钩码的质量为m。已知弹簧的弹性势能表达式为E＝kx2，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，当地的重力加速度大小为g。
(1)在弹性限度内将钩码缓慢下拉至某一位置，测得此时弹簧的长度为L。接通打点计时器电源。从静止释放钩码，弹簧收缩，得到了一条点迹清晰的纸带。钩码加速上升阶段的部分纸带如图乙所示，纸带上相邻两点之间的时间间隔均为T(在误差允许范围内，认为释放钩码的同时打出A点)。从打出A点到打出F点时间内，弹簧的弹性势能减少量为________，钩码的动能增加量为________，钩码的重力势能增加量为________。
(2)利用计算机软件对实验数据进行处理，得到弹簧弹性势能减少量、钩码的机械能增加量分别与钩码上升高度h的关系，如图丙所示。
由图丙可知，随着h增加，两条曲线在纵向的间隔逐渐变大，主要原因是________________________________________________________________________。
组—重应用·体现创新
6．(2024·浙江6月选考)在“验证机械能守恒定律”的实验中，
(1)下列操作正确的是________。
(2)实验获得一条纸带，截取点迹清晰的一段并测得数据如图所示。已知打点的频率为50 Hz，则打点“13”时，重锤下落的速度大小为________m/s(保留三位有效数字)。
(3)某同学用纸带的数据求出重力加速度g＝9.77 m/s2，并用此g值计算得出打点“1”到“13”过程重锤的重力势能减小值为5.09m，另计算得动能增加值为5.08m(m为重锤质量)，则该结果________(选填“能”或“不能”)验证机械能守恒，理由是________。
A．在误差允许范围内
B．没有用当地的重力加速度g
7．某同学利用如图甲所示的装置验证机械能守恒定律，已知当地重力加速度为g。主要实验步骤如下：
甲
①用游标卡尺测量挡光片的宽度d，用量角器测出气垫导轨的倾角θ；
②测量挡光片到光电门的距离x；
③由静止释放滑块，记录数字计时器显示挡光片的挡光时间t；
④改变x，测出不同x所对应的挡光时间t。
根据上述实验步骤请回答：
(1)用游标卡尺测量挡光片的宽度时的结果如图乙所示，则挡光片的宽度d＝________mm。
乙
(2)滑块通过光电门时速度的表达式v＝________(用实验中所测物理量符号表示)。
(3)根据实验测得的多组x、t数据，可绘制x-图像，图像的纵坐标为x，横坐标为，如果滑块下滑过程符合机械能守恒定律，则图像应为过原点的一条倾斜直线，其斜率为________(用d、θ、g表示)。
8．某同学设计了一个用拉力传感器验证机械能守恒定律的实验。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，另一端连接小钢球，如图甲所示。拉起小钢球至某一位置由静止释放，使小钢球在竖直平面内摆动，记录钢球摆动过程中拉力传感器示数的最大值Tmax和最小值Tmin。改变小钢球的初始释放位置，重复上述过程。根据测量数据在直角坐标系中绘制的Tmax -Tmin图像是一条直线，如图乙所示。
(1)若小钢球摆动过程中机械能守恒。则图乙中直线斜率的理论值为________。
(2)由图乙得：直线的斜率为________，小钢球的重力为________ N。(结果均保留2位有效数字)
(3)该实验系统误差的主要来源是________(单选，填正确答案标号)。
A．小钢球摆动角度偏大
B．小钢球初始释放位置不同
C．小钢球摆动过程中有空气阻力
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