9.6 黄金分割 同步训练（无答案）2025-2026学年鲁教版数学八年级下册

9.6 黄金分割 同步训练
一、单选题
1．把长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为（ ）
A． B． C． D．
2．大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（　　）．
A． B． C．3 D．
3．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，若雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全身的高度比，可增强视觉美感．按照这一比例，若雕像的总高度为2米，则雕像下部的高度为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知直线垂直于线段于点．我们按如下步骤尺规作图：第一步，分别以、为圆心，大于为半径作弧，两弧分别交于点、，作直线交于点；第二步，以为圆心，为半径作弧，与射线交于点；第三步，以为圆心，为半径作弧，与射线交于点；第四步，以为圆心，为半径作弧，与线段交于点．则点是线段的（ ）
A．二等分点 B．三等分点 C．四等分点 D．黄金分割点
6．顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形（底与腰的比为黄金比）．如图，，，都是黄金三角形，且，则长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图（1）是古希腊时期的帕特农神庙，如果把图（1）中用虚线表示的矩形画成图（2）中的矩形，以矩形的宽为边在其内部作正方形，那么我们可以发现，，点是的黄金分割点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．大自然是美丽设计师，如图是一片银杏叶，点是线段的黄金分割点，即，若，则的长为___________．
9．若线段上的点满足，则称点为线段的黄金分割点．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台长为，试计算主持人应走到离点至少_____处？
10．如图，某种蜻蜓的尾巴长度与整个身躯的长度之比满足黄金比，即为黄金比，若的长度为，则的长度为_____．
11．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点分别在习字格的边上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且．若，则的长为___________（结果保留根号）．
12．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，在其内部作正方形，若矩形的边，那么_____．
三、解答题
13．人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则．如图，在中，若点M是线段的黄金分割点（），，求证：．
14．我们已经知道叫做黄金数，其近似值为，它可通过解方程得到．如图，给定一条线段，如何找出它的黄金分割点呢？过点作的垂线，并在垂线上取；连接，以点为圆心，为半径画弧，交于点；以点为圆心，为半径画弧，交于点．则点即为所求．请你说明这样作图的道理，若，求的长．
15．定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点．例如：如图1，点是线段上一点，，且，则点是线段的黄金分割点．
(1)图1中，若线段，求线段的长．
(2)如图2，线段，，是线段的黄金分割点．求证：点是线段的黄金分割点．
16．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段，，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫作线段的黄金分割点．
(1)如图1，已知点C为线段的黄金分割点（），求黄金比．
解：设，，则．
∵，
∴……
请补全以上解题过程；
(2)如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点．（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）